Имя материала: Путеводитель по современной эконометрике

Автор: Вербик Марно

Многомерные модели временных рядов

 

В предыдущей главе мы рассматривали модели для стохастического процесса единственного экономического временного ряда. Одна из причин, почему более интересно рассматривать одновременно несколько временных рядов, состоит в том, что это может улучшить прогнозы. Например, история второй переменной, например Xt, может помочь прогнозированию будущих значений Yt. Возможно также, что какие-то особенные значения переменной Xt связаны с определенными изменениями в переменной Yt. Например, резкие изменения цен на нефть могут помочь в объяснении потребления бензина. В дополнение к проблеме прогнозирования одновременное исследование нескольких временных рядов позволяет нам также рассматривать вопросы «что если». Например, какой уровень потребления бензина ожидается в будущем, если в следующую пару лет цены на нефть снизятся более чем на 10\%?

В этой главе мы рассмотрим многомерные модели временных рядов. В параграфе 9.1 мы обсудим объяснение поведение одной переменной ее собственным прошлым, а также — текущем или лаговыми значениями второй переменной. Таким способом можно моделировать и оценивать динамические эффекты влияния изменений в Xt на Yt. При использовании стандартных процедур оценивания или тестирования динамической модели временного ряда, обычно требуется, чтобы всевозможные переменные были стационарными, поскольку большая часть эконометрической теории строится на предположении стационарности. Например, регрессия нестационарной переменной Yt на нестационарную переменную Xt может привести к так называемой ложной регрессии, в которой общепринятые оценки и критические статистики вводят в заблуждение. Применение нестационарных переменных необязательно приводит к недостоверным оценкам. Важное исключение возникает, когда две или более переменных, интегрируемых порядка 1, (т. е. /(1)), коинтегрированы, то есть, если существует специфическая линейная комбинация этих нестационарных переменных, которая является стационарной. В таких случаях между этими переменными существует долгосрочное динамическое соотношение. Часто экономическая теория предполагает существование таких долгосрочных динамических соотношений или соотношений равновесия, например, паритет покупательной способности или количественная теория денег. Существование долгосрочного (равновесного) динамического соотношения также имеет свои следствия для краткосрочного динамического поведения переменных /(1), поскольку должен быть некоторый механизм, который приводит переменные к долгосрочному динамическому соотношению равновесия. Этот механизм моделируется механизмом коррекции остатков, в котором «остаток равновесия» также управляет краткосрочной динамикой ряда* В параграфе 9.2 вводится понятие коинтеграции и это понятие связывается с моделями коррекции остатков в случае, когда рассматриваются только две переменные. В параграфе 9.3 приводится эмпирическая иллюстрация на примере паритета покупательной способности, который можно охарактеризовать как соответствующее долгосрочное динамическое коинтегрирующее соотношение.

Другой отправной точкой многомерного анализа временных рядов является многомерное обобщение процессов АРСС из главы 8. Эта тема параграфа 9.4, в котором особый акцент делается на векторные модели авторегрессии (ВАРы). Существование коинте-грирующих соотношений между переменными в векторной модели авторегрессии существенно влияет на способ оценивания и представ-

 

В англоязычной литературе для обозначения этого механизма (и, соответственно, модели) используется термин "error-correction mechanism (model)", т. е. «механизм (модель) коррекции ошибок». Поскольку, по существу, речь идет о регрессионных остатках, а не об ошибках (см. наше замечание по этому поводу в сноске в начале параграфа 2.2), мы и в этой главе будем при переводе придерживаться этой позиции (примеч. научн. ред. перевода).

ления ВАР. В параграфе 9.5 обсуждается, как можно проверить гипотезы относительно числа коинтегрирующих соотношений и как можно оценить модель коррекции остатков, представляющую данные. Наконец, в параграфе 9.6 представлен эмпирический пример.

Анализу временных рядов посвящено довольно большое количество современных учебников, в которых обсуждается коинтегра-ция, векторные модели авторегрессии и модели коррекции остатков. Для экономистов привлекательными являются работы: Миллс (Mills, 1990), Эндерс (Enders. 1995), Харрис (Harris, 1995), и Фрэнсис (Franses, 1998). Больше технических деталей представлено, например, у Бэнерджи, Долэйдо, Галбрэйт и Гендри (Banerjee, Dolado, Galbraith, Hendry, 1993), Гамильтона (Hamilton, 1994), Иогансена (Johansen, 1995) и Босвиджика (Boswijk, 1999). В большинстве этих текстов также обсуждаются темы, которые не охвачены в этой главе, включая структурные модели ВАР, причинно-следственную зависимость по Грэнжеру (Granger), сезонность и структурные резкие падения.

 

9.1. Динамические модели

со стационарными переменными

Рассматривая одномерный экономический временной ряд, и применяя методы предыдущей главы для его моделирования, во многих случаях можно построить хорошие прогнозы. Однако одномерный временной ряд не позволяет нам определить, какое влияние оказывают на него, например, изменения в политике. Для того, чтобы выявить это влияние, возможно, следует включить в модель дополнительные переменные. Рассмотрим две (стационарные) переменные ^ Yt и Х^, и предположим, что справедливо

Yt = 6 + OYt-г + ф0Хг + </>iXt-i + st. (9.1)

В соответствии с предыдущей главой мы используем заглавные буквы, чтобы обозначить исходный ряд и строчные буквы для отклонений от среднего значения.

В качестве примера мы можем представлять Yt как «объемы продаж компании», a Xt, как «затраты на рекламу» в месяце t. Если предположить, что St является процессом белого шума, независимым от

Xt, Xt-i,... и Yt-ъ • • • > то вышеуказанное соотношение иногда называется авторегрессионной моделью распределенных лагов 2). Чтобы оценить эту модель состоятельно, мы можем просто использовать обычный метод наименьших квадратов.

0Yt

Интересной составной частью модели (9.1) является описание текущих и будущих значений переменной Yt в зависимости от динамических эффектов изменения в переменной Xt. Взяв частные производные, получим, что непосредственный отклик задается в виде

Фо- (9-2)

dXt

Иногда этот отклик называется мультипликатором воздействия.

Увеличение X на одну единицу влечет непосредственное изменение Y на 0о единиц. Эффект после одного периода равен

w-ea£+*,-e*,+*" (93)

а после двух периодов

 

и так далее. Это показывает, что после первого периода эффект уменьшается, если 6 < 1. Наложение этого так называемого условия устойчивости позволяет нам определить долгосрочный динамический эффект единичного приращения Xt. Оно задается долгосрочным динамическим мультипликатором (или мультипликатором равновесия)

Фо + (вф0 + фі) + в(вф0 +фг) + ...=

= ф0 + (1 + в + 92 + ...)(вф0 + ф1) = ^^. (9.5)

2) Больше деталей можно найти, например, у Дэвидсона и МакКинона (Davidson, MacKinnon, 1993, Sect. 19.4) или у Джонстона и Динардо (Johnston, Dinardo, 1997, Chapter 8).

Таким образом, если затраты на рекламу Xt возрастают на одну единицу, то ожидаемое кумулятивное увеличение в объемах продаж выражается в виде (фо + фі)/(1 — 0). Если возрастание Xt является постоянным, то долгосрочный динамический мультипликатор также имеет интерпретацию математического ожидания долгосрочного динамического постоянного возрастания Yt. Из соотношения (9.1) можно показать, что долгосрочное динамическое соотношение равновесия между Y и X должно быть (полагая E{Yt} = E{Yt-i})

E{Yt) = 5 + 9E{Yt} + фоЕ{Хг} + фгЕ{Хг} (9.6)

или

вд> - г4«+тггЯШ, (9-7)

что представляет альтернативный вывод долгосрочного динамического мультипликатора. Запишем выражение (9.7) короче, как E{Yt} = a + /3E{Xf} с очевидными определениями а и /3.

Существует альтернативный способ сформулировать авторегрессионную модель распределенных лагов из выражения (9.1). Вычитая Yb-і из обеих частей выражения (9.1) и используя некоторые преобразования, получим

AYt = 5- (1ВД-1 + фоАХь + (фо + фг)Хг-1 + et

или

AYt = фоАХг - (1 - 0)[Уі-і -a- pxt^ + et. (9.8)

Эта формулировка является примером модели коррекции остатков. Согласно данной модели приращение в переменной Yt происходит из-за текущего приращения в переменной Xt плюс член коррекции остатков. Если Yt- является значением равновесия, которое соответствует Xt-i, то есть, если «остаток равновесия» в квадратных скобках положителен, то производится отрицательная дополнительная коррекция в переменной Yf. Скорость коррекции определяется коэффициентом 1 — 0, который является параметром коррекции. Предположение устойчивости гарантирует, что 1 — в > 0.

Модель коррекции остатков можно также состоятельно оценить методом наименьших квадратов. Поскольку остаточная сумма квадратов, которая минимизируется с помощью выражения (9.8), является той же самой, что и в выражении (9.1), то получающиеся оценки численно идентичны 3).

Модель (9.8) можно оценить нелинейным методом наименьших квадратов или обычным методом наименьших квадратов после перепараметризации и отыскания решений относительно исходных параметров из получившихся оценок «новых» параметров. Результаты будут одни и те же.

Как авторегрессионная модель распределенных лагов (9.1), так и модель коррекции ошибок (9.8) предполагают, что значения Xt можно рассматривать как заданные, то есть, как некоррелированные с членами ошибок уравнений. По существу выражение (9.1) соответствующе описывает математическое ожидание переменной Yt, задаваемое ее собственной историей и условное по текущим и лагированным значениям переменной Xt. Если бы переменная Xt определялась одновременно с переменной Yt и E{XtSt} ф 0, то обычный метод наименьших квадратов, примененный или к модели (9.1), или к модели (9.8), был бы несостоятельным. Типичное решение в этом контексте состоит в том, чтобы рассмотреть двумерную модель для Y и X (см. параграф 9.5 ниже).

Специальные случаи модели (9.1) можно получить из альтернативных моделей, которые имеют некоторую экономическую интерпретацию. Например, пусть Y£ обозначает оптимальный или желаемый уровень Yt и предположим, что

Yt* =a + /3Xt + rjt, (9.9)

где а и Р — некоторые неизвестные коэффициенты, а щ — остаточный член, независимый от Xt, Xt-, .... Фактическое значение Yt отличается от Y*, потому что коррекция ее оптимального уровня, соответствующая Xt, не является мгновенной. Предположим, что коррекция является только частичной в том смысле, что

Yt - Yt-! = (1 - 6)(Yt* - Yt-!), (9.10)

где 0 < 9 < 1. Подставив в последнее соотношение выражение (9.9), получим

Yt = Yt-! + (1 - Є)а + (1 - 6)0Xt - (1 - 9)Yt-! + (1 - 9)vt = = S + 6Yt-! + ф0Хі + et, (9.11)

где

5=(l-0)a,   фо = (1-0)0,   st = (l-e)rh.

Эта модель является частным случаем модели (9.1), поскольку она не включает Xt-. Модель, заданная соотношениями (9.9) и (9.10), называется моделью частичного приспособления.

Авторегрессионную модель распределенных лагов (9.1) можно легко обобщить. Принимая во внимание только две переменные, можно написать общий вид модели:

9{L)Yt = 6 + ф(Ь)Хг + su (9.12)

где

9(L) = 1 - 9XL - ... - 9pLp,   ф(Ь) = ф0 + ф1Ь + ... + фчЬ*

являются двумя полиномами от оператора сдвига. Заметим, что константа в ф(Ь) не ограничена единицей. Предполагая, что 9(L) является обратимым полиномом (см. п. 8.2.2), можно записать

Yt = 9-1)6 + в-Ь)ф{Ь)Хг + e-L)et. (9.13)

Коэффициенты в полиноме от оператора сдвига в~1 (Ь)ф(Ь) описывают динамическое влияние Xt на текущие и будущие значения Yt. Долгосрочный динамический эффект Xt получается в виде:

r'"wi|^-«?-.:-v <9л4)

и обобщает результат (9.5). Вспомним из п. 8.2.2, что обратимость полинома от оператора сдвига 9(L) требует, чтобы 9 + #2 + • • • + 0Р < 1. Это условие гарантирует, что знаменатель в выражении (9.14) отличается от нуля.

Специальный случай возникает, если 9{L) — 1, при этом модель (9.13) не содержит никаких лагов Yt. Такая модель называется моделью распределенных лагов. Иногда ограничения налагаются на коэффициенты фг} с целью уменьшения проблем коллинеарности и экономии в степенях свободы (обсуждение см. у Green, 2000, Sect. 17.2, или у Judge et al., 1988, Sect. 17.3).

До тех пор, пока можно предполагать, что остатки Et являются процессом белого шума, или — более обще — стационарным и независимым от Xt, Xt-i, ... и Уг_і,>£_2,..., модели распределенных лагов могут быть оценены состоятельно обычным методом наименьших квадратов. Однако проблемы могут возникнуть, если наряду с Yt и Xt стохастический остаток et также является нестационарным. Эти проблемы обсуждается в следующем параграфе.

 

9.2. Модели с нестационарными переменными

9.2.1. Ложные регрессии

Предположение стационарности переменных Yt и Xt является решающим для свойств стандартных процедур оценивания и проверки гипотез. Например, для того, чтобы показать состоятельность МНК-оценок, обычно используется факт сходимости выборочных ковари-аций и дисперсий к теоретическим при неограниченном возрастании объема выборки. К сожалению, если ряды нестационарны, ковари-ации и дисперсии генеральной совокупности неопределены, так как ряды не флуктуируют вокруг постоянного среднего значения.

В качестве иллюстрации рассмотрим две переменные Yt и Xt, порождаемые двумя независимыми случайными блужданиями,

Yt = rt_x + slu   eu ~ НОР(0, а), (9.15) Хі = Хі-1+є2і,   e2t~HOP(0,a\%), (9.16)

где Єн и S2t взаимно независимы. Не существует механизма, порождающего эти данные, который приводил бы к какой-либо связи между Yt и Xt. Исследователь, не знакомый с этими процессами, возможно, захочет оценить регрессионную модель, объясняющую Yt в зависимости от Xt и константы 4^,

Yt = а + (3Xt + st. (9.17)

Результаты этой регрессии, вероятно, будут охарактеризованы довольно высоким значением статистики Д2, высоко автокоррелированными остатками и значимым значением для /3. Этот феномен является хорошо известной проблемой абсурда или ложных регрессий (см. Грэнжер и Ньюболд (Granger, Newbold, 1974)). В этом случае два независимых нестационарных ряда ложно связаны благодаря тому факту, что они оба имеют тренд. Как обсуждалось Грэнжером и Ньюболдом, в этих случаях с высоким R2 и низкой статистикой Дурбина—Ватсона (dw) обычные t- и F-тесты, касающиеся параметров регрессии могут быть очень ошибочными. Причина таких заблуждений заключается в том, что распределения стандартных критических статистик сильно отличаются от распределений, полученных при предположении стационарности. В частности, как показал Филлипс (Phillips (1986)), МНК-оценка не сходится по вероятности к истинному параметру регрессии при возрастании объема выборки, t- и і^-критические статистики не имеют хорошо определенных асимптотических распределений, а статистика dw сходится к нулю. Причина этого состоит в том, что с переменными Yt и Xt, которые являются интегрируемыми порядка 1, /(1), остаток St также будет нестационарной переменной /(1).

 

Чтобы гарантировать согласованную систему обозначений, повсюду в этой главе свободный член обозначен а, а коэффициент наклона (3. В дальнейшем будет ясно, что роль константы часто фундаментально отлична от коэффициентов наклона, если переменные нестационарны.

В качестве варианта ложной регрессии мы сгенерировали два временных ряда, начинающиеся с Yo = -^о — 0, из 200 наблюдений5^ в соответствии со случайными блужданиями (9.15) и (9.16), нормальными остатками и при допущении, что g — о — 1. Результаты регрессии Yt на Xt и константу стандартным МНК представлены в таблице 9.1. Несмотря на то, что оценки параметров в этой таблице полностью отличались бы от одного моделирования к другому, t-отношения, R2 и статистика dw показывают очень типичную структуру: применение обычных уровней значимости, как к постоянному члену, так и Xt высоко значимо, і?2, равный 31\%, кажется приемлемым, хотя статистика Дурбина—Ватсона чрезвычайно низка. (Вспомните из главы 4, что значения близкие к 2 соответствуют нулевой гипотезе об отсутствии автокорреляции.) К результатам оценивания подобно этим нельзя отнестись серьезно. Ведь МНК стремится найти значимую корреляцию между двумя рядами, даже если они никак не связаны, используя для этого факт наличия стохастических трендов у Yt и Х^. Статистически проблема состоит в том, что ряд st является нестационарным.

Если лагированные значения зависимых и независимых переменных включены в регрессию, как в соотношении (9.1), то никакой проблемы ложной регрессии не возникает, потому что существуют значения параметра (а именно в = 1 и фо — ф — 0) такие, что остаток et является 7(0), даже если Yt и/или Xt являются 1(1). В этом случае МНК-оценка состоятельна для всех параметров. Таким образом, включение лагированных значений в регрессию

 

Эти смоделированные ряды доступны в SPURIOUS.

достаточно для решения многих проблем, связанных с ложной регрессией (см. Hamilton, 1994, р. 562).

 

9-2.2. Коинтеграция

Важное исключение из выводов предыдущего раздела возникает, если существует специфическое соотношение между двумя нестационарными временными рядами. Снова рассмотрим два ряда случайного блуждания Yt и Xt, но на этот раз предположим, что существует некоторое действительное (линейное) соотношение между Yt и Xt. Существование этого соотношения отражается в утверждении, что существует некоторое значение (3 такое, что ряд Yt — f3Xt является интегрируемым порядка 0, /(0), хотя оба ряда Yt и Xt являются интегрируемыми порядка 1, /(1). В этом случае говорят, что временные ряды Yt и Xt являются коинтегрированными. Хотя относящаяся к этому случаю асимптотическая теория нестандартна, можно показать, что состоятельное оценивание (3 регрессии Yt по Xt такой же, как регрессия (9.17) возможно. Действительно, в этом случае обычная оценка наименьших квадратов 6, как говорят, является суперсостоятельной для /3, поскольку она сходится к (3 с намного более высокой скоростью, чем в обычной асимптотике. В стандартном случае л/Т(Ь — (3) асимптотически нормально, и мы говорим, что b является л/Т-состоятельной для р. В случае коинтеграции VT(b — /3) вырождено, что означает, что b сходится к (3 с такой высокой скоростью, что разность b — /3, умноженная на возрастающий у/Т множитель, по-прежнему сходится к нулю. Вместо этого соответствующее асимптотическое распределение является распределением для Т(Ъ — /3). Следовательно, обычные процедуры статистического вывода не применимы.

На интуитивном уровне идея понятия суперсостоятельности довольно проста. Предположим, что оцененная модель регрессии имеет вид

Yt = a + bXt + et. (9.18)

Для истинного значения (3, Yt — (3Xt является интегрируемым порядка 0, /(0). Ясно, что для b ф 13 МНК-оцененный остаток et будет нестационарным и, следовательно, будет иметь очень большую дисперсию по любой конечной выборке. Однако для Ъ — (3 оцененная дисперсия et будет значительно меньше. Так как обычный метод наименьших квадратов выбирает а и b таким образом, чтобы минимизировать выборочную дисперсию et, то он является чрезвычайно хорошим в обнаружении оценки близкой к /3.

Если Yt и Xt оба являются интегрируемыми порядка 1, /(1), и существует f3 такое, что Zt = Yt — /3Xt является /(0), то Yt и Xt являются коинтегрированными, с /3 называемым коинтегрирующим параметром, или более обще (1. — /3)' называется коинтегрирующим вектором. В этом случае на долгосрочные динамические компоненты Yt и Xt действует особое ограничение. Так как оба временных ряда Yt и Xt являются /(1), они будут подчиняться «длинноволновым» компонентам, a Zt, будучи /(0), нет: поэтому Yt и j3Xt должны иметь долгосрочные динамические компоненты, которые фактически уравновешиваются, чтобы порождать Zt.

Эта идея связана с понятием долгосрочного динамического равновесия. Предположим, что такое равновесие определяется соотношением

Yt = a + 0Xt. (9.19)

Тогда Zt = Zt — a является «остатком равновесия», который измеряет величину отклонения значения Yt от своего «значения равновесия» a — j3Xt. Если zt является 1(0), то остаток равновесия стационарен и флуктуирует вокруг нуля. Следовательно, в среднем система будет находиться в равновесии. Однако, если Yt и Xt некоинтегрированы и, следовательно, zt является 1(1), остаток равновесия может блуждать долго, и пересечения нуля будут очень редкими. При таких обстоятельствах не имеет смысла рассматривать Yt — a + (3Xt как долгосрочное динамическое равновесие. Следовательно, наличие ко-интегрирующего вектора может интерпретироваться как наличие соотношения долгосрочного динамического равновесия.

Из вышеприведенных рассуждений очевидно, что важно различать случаи существования коинтегрирующего соотношения между Yt и Xt и случаи ложной регрессии. Предположим, что из предыдущих результатов мы знаем, что Yt и Xt является интегрируемыми порядка один, и предположим, что мы оцениваем «коинтегрирую-щую регрессию»

Yt = a + f3Xt+et. (9.20)

Если Yt и Xt коинтегрированы, то член ошибки в регрессии (9.20) является /(0). В противном случае et будет /(1). Следовательно, можно протестировать наличие коинтегрирующего соотношения с помощью теста наличия единичного корня в МНК-оцененных остатках et из регрессии (9.20). Кажется, что это можно сделать применением тестов Дики—Фуллера, рассмотренных в предыдущем разделе. Например, можно построить регрессию

Aet =7o + 7i et-i +ut (9.21)

и протестировать, равно ли 71 нулю (наличие единичного корня). Однако тестирование наличия единичного корня в МНК-оцененных остатках et, а не в самих остатках St, имеет дополнительное осложнение. Так как метод наименьших квадратов «выбирает» остатки в регрессии (9.20) с насколько возможно малой выборочной дисперсией, то даже если переменные не являются коинтегрироваными, МНК может приводить к ряду остатков, «выглядящему» настолько стационарным, насколько это возможно. Таким образом, используя стандартные тесты ДФ или РДФ, мы можем отклонять нулевую гипотезу нестационарности слишком часто. В результате соответствующие критические значения, представленные в таблице 9.2, должны иметь более высокие (по абсолютной величине) отрицательные величины, чем критические значения для стандартных тестов Дики—Фуллера. Если et соответственно не описываются процессом авторегрессии первого порядка, то в регрессию (9.21) следует добавить лагированные значения для Aet 5 приводящие к расширенным тестам Дики—Фуллера (РДФ) с теми же самыми асимптотическими критическими значениями. Этот тест можно расширить до теста наличия коинтеграции между тремя или более переменными. Если в коинтегрирующую регрессию включаются более одной переменной Xt, критические значения сдвигаются влево. Это отражено в дополнительных строках таблицы 9.2.

Альтернативный тест на коинтеграцию основан на обычной статистике Дарбина—Уотсона из регрессии (9.20). Заметим, что наличие единичного корня в ряде St асимптотически соответствует нулевому значению для статистики dw. Таким образом, при нулевой гипотезе наличия единичного корня соответствующий тест состоит в проверке, значима ли больше нуля статистика dw. К сожалению, критические значения для этого теста, обычно называемого тестом коинтегрирующей регрессии Дарбина—Уотсона или тестом КРДУ (см. Sargan. Bhargava, 1983), зависят от процесса, который порождает данные. Если данные порождены процессом случайного блуждания, 5\%-ые критические значения представлены в таблице 9.3 для трех разных объемов выборок. Подчеркнем, что если Yt и Xt не являются коинтегрированными, то при Т стремящемся к бесконечности статистика dw сходится к нулю (по вероятности).

Заметим, что обсуждаемые здесь тесты коинтеграции проверяют наличие единичного корня в остатках регрессии. Это подразумевает, что нулевая гипотеза наличия единичного корня соответствует отсутствию коинтеграции. Так, если мы не можем отклонить наличие единичного корня в МНК-оцененных остатках, то это означает, что мы не можем отклонить, что Yt и Xt, кекоинтегрированы. И наоборот, если бы мы отклонили наличие единичного корня, то тем самым, отклонили бы, что эти две переменные некоинтегрированы.

Если Yt и Xt являются коинтегрированными, то применение МНК к регрессии (9.20) приводит к суперсостоятельной оценке ко-интегрирующего вектора, даже если допущена некорректность невключением в уравнение краткосрочной динамики. Причина этого состоит в том, что нестационарность асимптотически доминирует над всеми формами некорректной спецификации в стационарной части регрессии (9.20). Таким образом, в стационарной части регрессии такими проблемами как неполная краткосрочная динамика, автокорреляция в не включенные (стационарные) переменные, эндогенность Xt, можно пренебречь (то есть, эти проблемы более низкого порядка) при рассмотрении асимптотического распределения суперсостоятельной оценки Ь. Таким образом, асимптотически6^ никогда не существует необходимости, например, включать сезонные фиктивные переменные в коинтегрирующую регрессию. Можно даже поменять ролями Yt и Xt, и оценить

Xt = a*+(3*Yt+ul (9.22)

чтобы получить суперсостоятельные оценки а* — —а/(5 и (3* = 1//3. Важно заметить, что это было бы неверно, если ряды Yt и Xt стационарны и различие между эндогенными и экзогенными переменными является решающим. Например, если (Yt, Xt) — независимые одинаково распределенные, имеющие двумерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием, с дисперсиями сг^, ах и ковариациеи аху, то условное математическое ожидание Yt при заданном Xt равно (axy/a^)Xt = (3Xt, а условное математическое ожидание Xt при заданном Yt равно (axy/ay)Yt = (3*Yt (см. Приложение Б). Заметим, что /З* ф 1/(3, если только Yt и Xt полностью не коррелированны (тогда аху — ахау). Поскольку полная корреляция также подразумевает, что R2 равно единице, то из этого следует, что 7?2, полученный из коинтегрирующей регрессии, должен быть весьма высоким (поскольку он сходится к единице при возрастании объема выборки).

Хотя долгосрочное (равновесное) динамическое соотношение между двумя переменными представляет интерес, возможно, что еще более важное значение для анализа имеют краткосрочные динамические свойства двух рядов. Их исследование можно провести, используя тот результат, что наличие коинтегрирующего соотношения подразумевает существование модели коррекции остатков,

 

Следует упомянуть, что исследования с помощью Монте-Карло-моделирования показывают, что при малых выборках в оцененном коинтегрирующем соотношении смещение может быть существенным, несмотря на свойство суперсостоятельности (см. Banerjee el at., 1993, Sect. 7.4). Как правило, эти смещения являются малыми, если R2 коинтегрирующей регрессии близок к единице. В литературе предлагалось большое число альтернативных оценок (для обзора см. Hargreaves, 1994).

которая описывает краткосрочную динамику в соответствии с долгосрочным динамическим соотношением.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |