Имя материала: Путеводитель по современной эконометрике

Автор: Вербик Марно

9.2.3. механизмы коинтеграции и коррекции остатков

Теорема представления Грэнжера (Granger, 1983; Engle, Granger, 1987) утверждает, что, если множество переменных коинтегрирован-но, то существует адекватное представление коррекции остатков для данных. Таким образом, если оба ряда Yt и Xt являются интегрируемыми порядка 1, 7(1), и имеют коинтегрирующий вектор (1, — /3/, то существует представление коррекции остатков с Zt — Yt — f3Xt вида

6(L)AYt = S + <D(L)AXt-i - -yZt-i + a(L)et (9.23)

где St — белый шум7', a 0(L), ф(Ь) и a(L) — полиномы от оператора сдвига L (с во = 1). Рассмотрим частный случай модели (9.23)

AYt = S + фг AXt-i - 7(^-1 - №-i) + et, (9.24)

где остаточный член не имеет никакой компоненты скользящего среднего, и систематическая динамика насколько возможно проста. Интуитивно ясно, почему теорема представления Грэнжера должна быть справедливой. Если оба ряда Yt и Xt являются /(1), но имеют долгосрочное динамическое соотношение, то должна быть некоторая сила, которая возвращает ошибку равновесия к нулю. Модель коррекции остатков полностью отображает это: она описывает, как Yt и Xt ведут себя в краткосрочной динамике в соответствии с долгосрочным динамическим коинтегрирующим соотношением. Если параметр коинтеграции /3 известен, то все члены в регрессии (9.24) являются 1(0) и никаких проблем вывода не возникает: мы можем оценить эту регрессию с помощью МНК обычным способом.

Когда AYt = AXt-i = 0 мы получаем «отсутствие изменения» устойчивого состояния равновесия

 

Yt-0Xt = -, (9.25)

7

которое соответствует соотношению (9.19), если a = В этом случае модель коррекции остатков можно написать как

AYt = <t>iAXt-i - 7(^-1 -a- 0Xt-i) + єи (9.26)

 

Остаток типа белого шума £t, как предполагается, является независимым и от Уі-і, *t-2, ... и от Xt-i, Xt-2, ....

где константа присутствует только в долгосрочном динамическом соотношении. Однако, если модель коррекции остатков (9.24) содержит константу, которая равна 5 = cry+ АсА^0, то это означает наличие детерминированных трендов как в Ft, так и в Xt, и долгосрочное динамическое равновесие соответствует устойчивому состоянию траектории роста с

AYt = AXt-i = —^—.

1-01

Вспомним из главы 8, что ненулевой свободный член в одномерной модели АРСС с единичным корнем также подразумевает, что ряд имеет детерминированный тренд.

В некоторых случаях имеет смысл предполагать, что коинте-грирующий вектор известен априори (например, когда единственное видимое равновесие Yt = Xt). В этом случае статистический анализ из регрессии (9.23) или (9.24) можно сделать стандартным способом. Если (3 неизвестно, то коинтегрирующий вектор можно оценить (супер)состоятельно из коинтегрирующей регрессии (9.20). Следовательно, можно игнорировать тот факт, что /3 оценивается, да еще в нестандартной асимптотике, и применяется обычная техника оценивания параметров в регрессии (9.23).

Заметим, что точная лагированная структура в представлении (9.23) не специфицируется теоремой, таким образом мы вероятно должны сделать некоторый анализ спецификации в этом направлении. Кроме того, теория является симметричной при рассмотрении It и Xt, поэтому также должно существовать представление коррекции остатков с AXt в качестве лево- сторонней переменной уравнения (9.23). Поскольку, по крайней мере, одна из переменных должна корректировать отклонения от долгосрочного динамического равновесия, то, по крайней мере, один из параметров коррекции 7 в двух уравнениях коррекции остатков должен отличаться от нуля. Если Xt не корректирует остаток равновесия (имеет нулевой параметр коррекции), то эта переменная является слабо экзогенной для (3 (как определено у Engle, Hendry, Richard, 1983). Это означает, что мы можем включить AXt в правую часть соотношения (9.24), не затрагивая члена коррекции остатков —7(5^-1 — (3Xt-i). Таким образом, мы можем наложить условие на Xt в модели коррекции ошибок для Yt (см. параграф 9.5 ниже).

Теорема представления также справедлива и в обратном смысле; то есть если оба ряда Yt и Xt являются 1(1) и имеют представление

коррекции остатков, то они обязательно коинтегрированы. Важно уяснить, что понятие коинтеграции можно применить только к (нестационарному) интегрированному временному ряду. Если Yt и Xt являются 7(0), то порождающий процесс всегда можно записать в форме коррекции остатков (см. параграф 9.1).

 

9.3. Пример: долгосрочный динамический паритет покупательной способности (часть 2)

В предыдущей главе мы ввели тему паритета покупательной способности (ППС), который требует, чтобы обменный курс между двумя валютами равнялся отношению уровней цен двух стран. В логарифмической форме абсолютный паритет покупательной способности (ППС) можно записать в виде

st=Pt-p*t,       ' (9.27)

где St — логарифм наличного обменного курса, pt — логарифм внутренних цен страны, a pt* - логарифм зарубежных цен. Лишь немногие из сторонников ППС привели бы доводы в пользу строгой приверженности паритету покупательной способности. Скорее ППС обычно видится как определение обменного курса в долгосрочной динамике, в то время как разнообразие других факторов, таких как торговые ограничения, производительность и изменения в льготных таможенных пошлинах, может влиять на обменный курс в условиях нарушения равновесия. Следовательно, соотношение (9.27) рассматривается как равновесие или коинтегрирующее соотношение.

Используя ежемесячные наблюдения во Франции и Италии с января 1981г. по июнь 1996 г., как и прежде, мы ищем коинтегрирующее соотношение между pt, Pt и st. В параграфе 8.5 мы уже показали, что гипотезу нестационарности реального валютного курса гst = st — Pt + Pt отклонить невозможно. Это подразумевает, что гипотеза коинтегрирующего вектора (1, —1,1/ отклоняется. В этом разделе мы протестируем, существует ли какое-либо другое коинтегрирующее соотношение, сначала используя только две переменные: логарифм обменного курса St и логарифм отношения цен ratiot = pt — Pt - Интуитивно кажется, что такое соотношение подразумевало бы, что изменение в относительных ценах соответствует

меньшему (или большему) пропорциональному изменению в обменном курсе, при условии сохранения симметрии. Соответствующая коинтегрирующая регрессия

st = a + (3ratiot+et, (9.28)

где /3 = 1 соответствует соотношению (9.27). Заметим, что pt и р\% основаны не на ценах, а на индексах цен. Поэтому можно ожидать, что константа в регрессии (9.28) отличается от нуля. Следовательно, мы можем тестировать только относительную, а не абсолютную ППС.

Доводы параграфа 8.5 подтвердили, что St был интегрируемым порядка один, /(1). Для логарифма отношения цен, ratiot, результаты (расширенных) тестов Дики—Фуллера представлены в таблице 9.4. Ясно, что мы не можем отклонить нулевую гипотезу наличия единичного корня в ratiot, и этот вывод соответствует данным графика на рисунке 8.5.

Теперь мы готовы оценить коинтегрирующую регрессию и проверить коинтеграцию между st, и pt ~ РІ- Сначала мы оценили регрессию (9.28) обычным методом наименьших квадратов. Результаты представлены в таблице 9.5. Тест на наличие коинтегрирующе-го соотношения является тестом на стационарность МНК-оцененных остатков в этой регрессии. Мы можем протестировать наличие единичного корня в остатках с помощью теста КРДУ, основанного на статистике Дарбина—Уотсона. Ясно, что значение 0,055 незначимо

на любом приемлемом уровне значимости, и, следовательно, мы не можем отклонить нулевую гипотезу наличия единичного корня в остатках. Вместо теста КРДУ мы можем также применить расширенные тесты Дики—Фуллера**), результаты которых приведены в таблице 9.6. Соответствующее 5\%-ое критическое значение равно —3,37 (см. таблицу 9.2). Снова нулевую гипотезу наличия единичного корня отклонить невозможно и, следовательно, данные не подтверждают, что наличный обменный курс и отношение цен коин-тегрированы. Этот вывод соответствует, например, выводу Корбея и Оулайриса (Corbae, Ouliaris, 1988), которые заключили, что для обменных курсов и отношений цен нет никакой долгосрочной динамической тенденции, которая вела бы к установлению равновесия.

Потенциальное объяснение отклонения гипотезы наличия коин-тегрирующего соотношения состоит в том, что наложенное ограничение, а именно, что pt и р^ вводят коинтегрирующую регрессию (9.28) с коэффициентом /3 и —/3 соответственно, несправедливо, например,

 

Речь идет, конечно, о модифицированных ДФ и РДФ-тестах, ориентирующихся на критические значения из таблиц, разработанных Дэвидсоном и МакКинноном (примеч. научн. ред. перевода). ) См. предыдущую сноску (примеч. научн. ред. перевода).

из-за транспортных расходов или ошибки измерения. Мы можем оценить регрессию (9.28) без ограничений на коэффициенты таким образом, чтобы можно было протестировать существование более общего коинтегрирующего соотношения между этими тремя переменными, st, Pt я Pt • Однако, когда мы рассматриваем более чем двумерные системы, число коинтегрирующих соотношений может быть больше одного. Например, могут быть два разных коинтегрирующих соотношения между тремя переменными /(1), которые делают анализ несколько более сложным, чем в двумерном случае. В параграфе 9.5 мы рассмотрим более общий случай.

Когда существует только один коинтегрирующий вектор, мы можем оценить коинтегрирующее соотношение, как и прежде с помощью регрессии одной переменной по другим переменным. Однако требуется, чтобы коинтегрирующий вектор включал левостороннюю переменную этой регрессии, потому что ее коэффициент неявно нормируется к минус единице. В нашем примере мы строим регрессию St по pt и р и получаем результаты, представленные в таблице 9.7. Тесты РДФ*) на МНК-оцененных остатках приводят к результатам в таблице 9.8, где соответствующее 5\%-ое критическое значение равно —3,77 (см. таблицу 9.2). Снова приходим к выводу, что мы не можем отклонить нулевую гипотезу, и что нет никакого коинтегрирующего соотношения между логарифмом обменного курса и логарифмом индексов цен Франции и Италии. Это не дает оснований полагать, что мы находимся в обстоятельствах, в которых некоторая (слабая) форма паритета покупательной способности справедлива для этих

 

двух стран. Конечно, возможен случай, что наш выборочный период просто не слишком длительный, чтобы найти достаточное свидетельство для коинтегрирующего соотношения. Как представляется, эти выводы согласуются с теми, которые можно найти в литературе по данной проблеме. Выборки, обладающие более длительной протяженностью, вплоть до столетия или более, в большей степени согласуются с некоторой долгосрочной динамической тенденцией ППС (см. обзор у Фрута и Рогоффа (Froot, Rogoff, 1994)).

 

9.4. Векторные модели авторегрессии

Модели авторегрессии-скользящего среднего из предыдущей главы можно легко распространить на многомерный случай, когда моделируется стохастический процесс, порожденный векторным временным рядом переменных. Самый общий подход состоит в том, чтобы рассмотреть векторную модель авторегрессии (ВАР). ВАР описывает динамическое развитие множества переменных на основе их общей истории. Если мы рассматриваем две переменные, скажем Yt и Xtl то говорят, что ВАР состоит из двух уравнений. Модель ВАР первого порядка задавалась бы в виде

Yt=S1+ OnYt-j. + ex2Xt-x + ей, (9.29) Xt = 62 + 02i*t-i + вхіХі-і + S2u (9.30)

где є it и E2t — Дв& процесса белого шума (независимые от истории Y и X), которые могут быть коррелированы. Если, например, в 12 ф 0, то это означает, что предыстория X помогает объяснению Y. Систему (9.29)-(9.30) можно написать как

Ц)-(2)+й <9-31)

или при соответствующих обозначениях, как

Yt = 5 +           + ?t, (9.32)

где Yt — (Yt, Xt)' и є = (єu, £2t)f • Это распространяет модель авторе-грессиии первого порядка из главы 8 на случай большей размерности. В общем, модель ВАР(р) для fc-мерного вектора Yt задается в виде

Yt = S + Єій-і + • • • + QpYt-p + et, (9.33)

где каждая Qj есть afcxfc матрица, as* — /с-мерный вектор членов белого шума с ковариационной матрицей Е. Как и в одномерном случае, мы можем использовать оператор сдвига, чтобы определить матричный полином от оператора сдвига

S(L)=Ik-e1L-...-epLp,

где Ik — /с-мерная единичная матрица, поэтому мы можем написать ВАР в виде

e(L)Yt = 6 + st.

Матричный полином от оператора сдвига есть к х к матрица, в которой каждый элемент соответствует полиному р-го порядка от L. Аналогичные векторные обобщения моделей АРСС (ВАРСС) можно получить, умножая слева et на (матричный) полином от оператора сдвига.

Модель ВАР состоит из одномерных моделей АРСС, каждая из которых является компонентой ВАР. Преимущества одновременного учета компонент заключаются в том, что модель может быть более экономной, включать меньше лагов, и возможно более точно прогнозировать, поскольку информационное множество расширено включением истории также других переменных. С различных точек зрения Симе (Sims, 1980) пропагандировал применение моделей ВАР вместо моделей структурных одновременных уравнений (СОУ), потому что различие между эндогенными и экзогенными переменными не следует делать априорно, и не требуются «произвольные» ограничения, которые гарантируют идентификацию (см., например, обсуждение у Кэнова, (Canova, 1995)). Подобно приведенной форме СОУ ВАР всегда идентифицируется.

Математическое ожидание Yt можно определить, если мы налагаем условие стационарности, что приводит к выражению

E{Yt} = 5 + e!E{Yt} + ... + SpE{Yt}

или

її = E{Yt} = (I - Єі - ... - ep)-x5 = Є(1)"ч

которое показывает, что стационарность требуется для обратимости8^ к х к матрицы 0(1). В настоящий момент мы предположим, что это так. Как и прежде, мы можем вычесть среднее значение и рассмотреть у' = Yt — /х, для которого мы имеем

Ш = 01УІ-1 + • • • + @рШ-р + et. (9.34)

Мы можем использовать модель ВАР для прогнозирования непосредственно. Для прогнозирования с конца выборочного периода (периода Г), релевантное информационное множество теперь уже включает векторы yV, ут-ъ • - • > и мы получаем оптимальный прогноз на один период вперед

Ут+і|т = E{yT+iyT, ут-ъ • • •} = 0іУт+ .. • + 0рУг-р+і- (9.35)

Дисперсия ошибки прогноза на один период вперед есть просто У{ут+іут, Ут-і, • • •} = £. Прогнозы, больше чем на один период вперед, можно получить рекурсивно. Например,

УТ+2Т = ©1УТ+1| Т + • • • + 0рУТ-р+2

= ©і(0іУт + . • • + ©рут-р+і) + • • • + 0рУт-р+2. (9.36)

Векторная модель авторегрессии довольно просто оценивается уравнение за уравнением 9^ применением обычного метода наименьших квадратов, который является состоятельным, поскольку члены белого шума предполагаются независимыми от истории yt. Из МНК-оцененных остатков каждого из к уравнений ei*, ... ,       мы можем

 

Вспомним из главы 8, что в случае АР(р) стационарность требует, чтобы 0(1) ф 0, так что 0(1)~1 существует.

Поскольку объясняющие переменные для каждого уравнения одни и те же, то метод оценивания системы, как, например, SUR (см. у Грина (Greene, 2000, Sect. 15.4)), приводит к тем же самым оценкам, что и МНК, применяемый к каждому уравнению отдельно. Если на уравнения накладываются различные ограничения, то оценивание SUR более эффективно, чем МНК, хотя МНК-оценивание остается состоятельным.

оценить (г, ^-элемент в £ как

10)

 

1

у t=p+i

так что

1 Т

£ = -— £ eiej, (9.38)

 

где et = (єн,... , e/ct)7.

Длина лагирования р на эмпирическом уровне не всегда легко определяется, при этом даже одномерные автокорреляционные или частные автокорреляционные функции могут не помочь; см. обсуждение у Кэновея (Canova, 1995). Приемлемая стратегия состоит в том, чтобы оценить модель ВАР для различных значений р, а затем выбрать длину лагирования на основе информационных критериев Акаике или Шварца, которые обсуждались в главах 3 и 8, или на основе статистической значимости.

Если матрица 0(1) является обратимой, то это означает, что мы можем написать векторную модель авторегрессии в виде векторной модели скользящего среднего (ВСС), умножая слева на матрицу O(L)-1, по аналогии с представлением скользящего среднего одномерной модели авторегрессии. Получаем выражение

Yt = в(1)-15 + е(Ь)-\% = i + О(Ь)"1^, (9.39)

которое описывает каждый элемент в Yt как взвешенную сумму всех текущих и прошлых et в системе. Записав

O(L)-1 =Ik + A1L + A2L2 + ...,

мы имеем следующее:

Yt = [і + et + Агбі-і + A2et-2 + • • • . (9.40)

Если вектор белого шума St возрастает на вектор то эффект на Yt+s (s > 0) задается в виде Asd. Таким образом в матрице

А. = |Ь (9.41)

10) Предполагая, что имеются наблюдения t = 1, ... , Т, число используемых наблюдений равно (Т — р). Заметим, что можно использовать скорректированные степени свободы, как и в линейной модели регрессии (см. главу 2).

det

каждый ее (г, ^-элемент измеряет влияние на Yjj+S увеличения на одну единицу Єц. Если изменяется только первый элемент Єц из St, то эффекты задаются первым столбцом As. Динамические эффекты на j-ую переменную такого увеличения на одну единицу задаются элементами в первом столбце и j-ой строке 1к, Ai, А2,... . График этих элементов как функция от s называется функцией отклика на импульс. Эта функция измеряет отклик lj,t+s на импульс в Y , сохраняя постоянными все другие переменные, датированные t и ранее. Хотя возможно трудно получить выражения для элементов в O(L)-1, отклики на импульс можно определить совершенно легко методами моделирования (см. Гамильтон (Hamilton, 1994)).

Если матрица 0(1) необратима, то все переменные в It не могут быть стационарными рядами /(0). По крайней мере, должен присутствовать один стохастический тренд. В чрезвычайном случае, когда мы имеем к независимых стохастических трендов, все к переменных являются интегрируемыми порядка один наряду с тем, что никаких коинтегрирующих соотношений не существует. В этом случае матрица 0(1) равна нулевой матрице. Промежуточные варианты более интересны: ранг матрицы 0(1) равняется числу линейных комбинаций переменных в Yt, которые являются /(0), что определяет число коинтегрирующих векторов. Эта тема следующего параграфа.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |