Имя материала: Путеводитель по современной эконометрике

Автор: Вербик Марно

10.2. статическая линейная модель

В этом параграфе мы обсудим статическую линейную модель для панельных данных. Мы начнем с двух основных моделей, модели с фиксированными эффектами и модели со случайными эффектами, и последовательно обсудим выбор между этими двумя моделями, а также обсудим альтернативные процедуры, которые можно рассматривать как промежуточные между обработкой фиксированных эффектов и обработкой случайных эффектов.

 

70.2.7. Модель с фиксированными эффектами

Модель с фиксированными эффектами является просто линейной моделью регрессии, в которой свободные члены изменяются по индивидуальным единицам г, то есть

yit = а{ + хф + eiu   eit ~ ЯОР(0, ^2), (10.6)

где обычно предполагается, что все хц независимы от всех ец. Мы можем написать это в обычной структуре регрессии включением фиктивной переменной для каждой единицы г в модели. Таким образом,

N

Ун = Yl aJdiJ + x'itP + eiu (Ю.7)

где dij — 1, если і — j, и dij; = 0 в противном случае. Таким образом, мы имеем множество из N фиктивных переменных в модели.

Параметры ai,... , ajy и (3 можно оценить с помощью МНК в регрессии (10.7). Соответствующая оценка для вектора неизвестных параметров (3 называется оценкой метода наименьших квадратов с фиктивными переменными (МНК ФП-оценкой). Однако, возможно, непривлекательно с вычислительной точки зрения иметь модель регрессии с таким большим количеством регрессоров. К счастью можно вычислить оценку для вектора неизвестных параметров /3 более простым способом. Можно показать, что точно та же самая оценка для вектора (3 получается, если регрессия строится в отклонениях от индивидуальных средних. По существу, это подразумевает, что сначала с помощью преобразования данных мы исключаем индивидуальные эффекты а^. Чтобы увидеть это, сначала заметим, что

щ = ai+x,i(3 + ei, (10.8)

где

Уг = Т~1 ^2 УН

t

и аналогично для других переменных. Следовательно, мы можем написать

Ун ~Уі = {хц - Хі)'(3 + (eit - si). (10.9)

Это — модель регрессии в отклонениях от индивидуальных средних и она не включает индивидуальные эффекты щ. Преобразование, которое переводит наблюдения в отклонения от индивидуальных средних как в регрессии (10.9), называется внутригрупповым преобразованием. МНК-оценку для вектора неизвестных параметров /3, полученную из этой преобразованной модели, часто называют внутригрупповой МНК-оценкой или оценкой с фиксированными эффектами, и она в точности идентична МНК ФП-оценке, описанной выше. Эта оценка задается в виде

, N   т   ч -1 N т

ДфЭ = f Yl ^2(Xit ~ ^)(xit - Xi)' J        ~ Xi)(yit - Уі).

Ч=і t=i '     i=i t=i

(10.10)

Если предполагается, что все хц независимы от всех Ец (сравните с предположением (А2) из главы 2), то можно показать, что оценка с фиксированными эффектами будет несмещенной для вектора неизвестных параметров /3. Кроме того, если накладывается условие нормальной распределенности остатков єц, то {Зфэ также имеет нормальное распределение. Для состоятельности6^ требуется, чтобы

Е{(хн-хг)ец} = 0 (10.11)

(сравните с предположением (А7) из глав 2 и 5). Для этого достаточно, чтобы хц был некоррелирован с бц, и чтобы Хі не имел никакой корреляции с остатками модели. Эти условия в свою очередь обеспечиваются условиями

Е{хцЕц} = 0   для всех 5, £, (10.12)

при выполнении которых, мы называем переменные в векторе хц строго экзогенными. Строго экзогенная переменная не должна зависеть от текущих, будущих и прошлых значений остатков. Возможно, что в некоторых приложениях такое условие является ограничительным. Ясно, что оно исключает включение лагирован-ных зависимых переменных в вектор хц, но любая переменная вектора хц, которая зависит от предыстории уц, также нарушила бы это условие. Например, если мы объясняем предложение труда индивидуума, то мы можем захотеть включить в модель годы трудового опыта, несмотря на то, что совершенно ясно, что опыт работы зависит от трудовой предыстории человека.

Если объясняющие переменные независимы от всех остатков, то N свободных членов оцениваются несмещенно как

аг = уг- х'ффэ,    г = 1,.. •, N.

По предположению (10.11) эти оценки состоятельны для фиксированных эффектов оіі (по Т стремящемуся к бесконечности). Причина, почему оценки Зг несостоятельны по N —> оо при фиксированном Т, ясна: если Т фиксировано, то индивидуальные средние уі и Хі при возрастании числа индивидуумов никуда не сходятся.

Предполагая, что остатки вц являются независимо и одинаково распределенными (по индивидуумам и по времени) с дисперсией а, ковариационная матрица для оценки с фиксированными эффектами

 

Если не утверждается иное, то в этой главе мы рассматриваем состоятельность по числу индивидуумов 7V, стремящемся к бесконечности. Это соответствует общей ситуации, когда мы имеем панельные данные с большим 7V и относительно малым Т.

(Зфэ задается: в виде

/N   т X"1

у{(ЗфЭ} = ve[J2-*Жх* -**У) • (10-13)

M=l t=l '

Если Г не является большим, то применение стандартной МНК-оценки для ковариационной матрицы, основанной на внутригруп-повой регрессии (10.9), будет недооценивать истинную дисперсию. Причина заключается в том, что в этой преобразованной регрессии ковариационная матрица ошибок является вырожденной (поскольку Т преобразованных ошибок каждого индивидуума дают в сумме нуль), и дисперсия разности єц — Єі равна ((Г — 1)/Т)<т2, а не <т2. Состоятельная оценка для дисперсии <т2 получается как внутри-групповая остаточная сумма квадратов, деленная на множитель N(T — 1). Таким образом, ^ NT

2 " N(T-l) S S fa* ~ S* " х'*Р*э? =

^          }   2=1  t = l

^ NT

= N(T_i) Л £ Ы -у*- (x* - ъУРфэ)2. (Ю.14)

^       > i=i t-i

Можно скорректировать обычные степени свободы вычитанием К в знаменателе. Заметим, что применение стандартной ковариационной матрицы МНК в модели (10.7) с N индивидуальными фиктивными переменными (манекенами) оправдано, поскольку коррекция степеней свободы включает N дополнительных неизвестных параметров, соответствующих индивидуальным свободным членам. При слабых условиях регулярности оценка с фиксированными эффектами асимптотически нормальна, так что можно использовать обычные статистические процедуры (например, ^-критерий и критерий Вальда).

По существу, модель с фиксированными эффектами сфокусирована на различиях «внутри» индивидуумов. То есть, на объяснении, до какой степени уц отличается от yi, а не на объяснении, почему yi отличается от у-. С другой стороны параметрические предположения о векторе /3 накладывают условие, что изменения в х влияют на у одинаково (при прочих равных условиях), является ли это изменением от одного такта времени к другому или изменением от одного индивидуума к другому. Однако, интерпретируя результаты для регрессии с фиксированными эффектами, возможно, важно понять, что параметры идентифицируются только через внутрииндивиду-альную (или, что то же, внутригрупповую) размерность данных.

70.2.2. Модели со случайными эффектами

В регрессионном анализе обычно предполагается, что все факторы, которые влияют на зависимую переменную, но которые не были включены в качестве регрессоров, соответственно могут в итоге суммироваться в случайном остаточном члене уравнения. В нашем случае это приводит к предположению, что эффекты Oti являются случайными факторами, независимо и одинаково распределенными по индивидуумам. Таким образом, мы записываем модель случайных эффектов в виде

yit = /і + x'itP + OLi +Єіи       ( v

slt^HOP(0,a2£y, ai~HOP(0,a2a),

где oti + Єц рассматривается как остаточный член, состоящий из двух компонент: индивидуальной специфической компоненты, которая не изменяется во времени, и компоненты остатка, которая, как предполагается, является некоррелированной во времени. Таким образом, вся корреляция остаточных членов во времени приписывается индивидуальным эффектам с^. Предполагается, что oti и є и взаимно независимы и независимы от XjS (для всех j и s). Это означает, что МНК-оценки для i и j3 в модели со случайными эффектами (10.15) являются несмещенными и состоятельными. Структура компонент остатков подразумевает, что составной остаток с*і + єц будет иметь определенный вид автокорреляции (если только <7^ ф 0). Следовательно, обычно вычисляемые стандартные ошибки для МНК-оценок некорректны, и можно получить более эффективную оценку (ОМНК-оценку), используя структуру ковариационной матрицы остатков.

Чтобы получить ОМНК-оценку 7^, сначала заметим, что для индивидуального г все члены ошибок можно скомпоновать в виде а^т+£г , где іт = (1, 1, • • • , 1)' размерности Г и Єі — (єц, ..., ЄітУКовариационная матрица этого вектора равна (см. (Hsiao, 1986, р. 34))

У{ацт + єі} = П = (тііті'т + <ГєІт, (Ю.16)

где It — Г-мерная единичная матрица. Эту ковариационную матрицу можно использовать, чтобы получить ОМНК-оценку для параметров модели со случайными эффектами (10.15). Для каждого

 

Возможно полезно снова прочитать общее введение в ОМНК-оценивание в параграфе 4.2.

индивидуума мы можем преобразовать данные, умножая слева векторы г/г = (уц,... , УітУ и т. д. на матрицу      , которая задается как

П"1 = *£-2

1т-

 

и которую также можно записать в виде

П'1 = а,

-2

1т- -^іті'т) +ф^ть'т

где

 

Заметив, что It — (1/T)lti>t преобразует данные в отклонения от индивидуальных средних, a (1/T)^tVt, принимает индивидуальные средние значения, ОМНК-оценку для вектора неизвестных параметров (3 можно написать как

N т

N

Ромнк = (     ^2(хи - Xi){xit - Хі)' + грТ^2(х{ - х)(хі - х)' Ч=і t=i і=і

, N    Т  N ч

x

( J2 J2(Xit - Хі^ - Уі) + фт        - х)(Уі -у)), (Ю.17)

4=1 t=l            1=1 '

где

 

обозначает общее среднее вектора хц. Легко видеть, что при ф — О приходим к оценке с фиксированными эффектами. Поскольку ф —> 0 при Т —► оо, то из этого следует, что для большого Г оценка с фиксированными эффектами и оценка со случайными эффектами эквивалентны. Если ф = 1, то ОМНК-оценка просто является МНК-оценкой (и Q является диагональной матрицей). Из общей формулы для ОМНК-оценки можно получить, что

Ромнк = а/Зм + (h - Д)/Зфэ,

где

N

-1 N

 

г=1

г=1

является так называемой межгрупповой оценкой для вектора неизвестных параметров (3. Она является обычной МНК-оценкой вектора параметров /3 в модели для индивидуальных средних

уі = /х + х'ф + аг + еги   г = 1,..., N. (10.18)

Матрица А является матрицей весов, она пропорциональна обращению ковариационной матрицы оценки /Зм (подробности см. в работе (Hsiao, 1986, р. 36)). Таким образом, ОМНК-оценка является матрично-взвешенным средним межгрупповой и внутригрупповой оценок, где веса зависят от соотношения дисперсий этих двух оценок (более точная оценка получает больший вес).

Межгрупповая оценка игнорирует любую внутригрупповую информацию. ОМНК-оценка при сделанных предположениях является оптимальной комбинацией внутригрупповой и межгрупповой оценок, и поэтому более эффективна, чем любая из этих двух оценок в отдельности. МНК-оценка (с ф = 1) также является линейной комбинацией этих двух оценок, но не является эффективной оценкой. Таким образом, как обычно, ОМНК-оценки более эффективны, чем обычные МНК-оценки. Если объясняющие переменные независимы от всех бц и всех аг. то ОМНК-оценка является несмещенной. Она является состоятельной оценкой по N или Г, или N и Г, одновременно стремящимся к бесконечности, если в дополнение к условию (10.11) также справедливо, что Е{хіЄц} = 0 и наиболее важно, что

Е{Хг(Хг} = 0. (10.19)

Заметим, что эти условия также требуются для состоятельности межгрупповой оценки.

Легкий способ вычисления ОМНК-оценки получается, если заметить, что ее можно определить как обычную МНК-оценку для преобразованной модели (см. главу 4), имеющей вид

Ы - $Уг) = Ml - 0) + (xit ~ $Xi) + uiu (10.20)

где $ = 1 — ф1/2. Остатки в этой преобразованной регрессии являются независимо и одинаково распределенными по индивидуумам и времени. Опять заметим, что Ф = 0 соответствует внутригрупповой оценке (i? = 1). В общем, фиксированная доля $ индивидуальных средних вычитается из данных, чтобы получить эту преобразованную модель (0 < і? < 1).

Конечно, компоненты дисперсии а2 и а на практике неизвестны. В таком случае мы должны использовать реализуемую О МНК-оценку (РОМНК), где на первом шаге состоятельно оцениваются неизвестные дисперсии. Оценка дисперсии а2 легко получается из внутригрупповых остатков, как это дано в выражении (10.14). В межгрупповой регрессии дисперсия остатка равна a + (1/Т)а2, которую можно оценить состоятельно в виде

1 N

Эм = й S ІУі - »м - х'Фм)2- (10-21)

1=1

где Дм — межгрупповая оценка Отсюда следует состоятельная оценка для дисперсии

Ъ1 = Ъ2М-ЪЬ (Ю.22)

Снова возможно скорректировать эту оценку применением коррекции степеней свободы, подразумевая, что число регрессоров К + 1 вычитается в знаменателе выражения (10.21) (см. (Hsiao, 1986, р. 38) или (Baltagi, 1995, р. 15)). Полученная РОМНК-оценка называется оценкой со случайными эффектами для вектора неизвестных параметров /3 (и ц) и ниже обозначается как @сэ-

При слабых условиях регулярности оценка со случайными эффектами асимптотически нормальна. Ее ковариационная матрица задается как

N Т

у{(3сэ) = сг2£ (J2 J2(Xit - Wi^Xit - +

Ч=і t=i

N ч-l

+ фТ Y^Fi - х){хі -x)'    , (10.23) i= '

которая показывает, что оценка со случайными эффектами более эффективна, чем оценка с фиксированными эффектами до тех пор, пока ф > 0. Выигрыш в эффективности обусловлен применением межгрупповой вариации в данных (хі — х). Ковариационная матрица (10.23) обычно оценивается по МНК для преобразованной модели (10.20).

В итоге мы увидели ряд оценок для вектора неизвестных параметров /3. Основные две оценки следующие:

1. Межгрупповая оценка, использующая межгрупповую размерность данных (различия между индивидуумами), определенная как МНК-оценка для регрессии индивидуальных средних у по индивидуальным средним х (и константе). Состоятельность при N оо требует, чтобы выполнялись условия E{x{ai} = 0 и ^{хгёг} = 0. Обычно это означает, что объясняющие переменные являются строго экзогенными и некоррелированными с индивидуальным специфическим эффектом OLi.

Внутригрупповая оценка с фиксированными эффектами, использующая внутригрупповую размерность данных (различия внутри индивидуумов), определенная как МНК-оценка для регрессии в отклонениях от индивидуальных средних. Она состоятельна для вектора неизвестных параметров /3 при Т —> ос или N —► оо при условии, что справедливо Е{{хц — Хі)єц} = 0. И опять состоятельность требует, чтобы х-переменные были строго экзогенными, но это не налагает никаких ограничений на соотношение между ai и хц.

Другие две оценки следующие:

МНК-оценка, использующая обе размерности (внутригрупповую и межгрупповую), но не эффективно. Определяется (конечно) как МНК-оценка для исходной модели. Состоятельность при Т —■> ос или N —> оо требует выполнения условия Е{хц(бц + с*г)} = 0. Состоятельность требует, чтобы объясняющие переменные были некоррелироваными с ftj, но не требует наложения условия их строгой экзогенности. Требуется также, чтобы хц и є it были «одновременно» некоррелированными (contemporaneously uncorrelated).

РОМНК-оценка со случайными эффектами, комбинирующая информацию из межгрупповой и внутригрупповой размерности эффективным образом. Она состоятельна при Т —■> ос или при N —> ос при допущениях, сформулированных для оценок в пп. 1 и 2. Ее можно определить как взвешенное среднее межгрупповой и внутригрупповой оценок или как МНК-оценку в регрессии, где переменные преобразованы к виду уц — іїуі, где Ь является оценкой для і? = 1 — ф1^2 с ф = о1(р + То^).

 

10.2.3. Фиксированные эффекты или случайные?

Как рассматривать индивидуальные эффекты щ, как фиксированные или как случайные? — вопрос нелегкий для ответа. Можно привести удивительные различия в оценках неизвестных параметров Р в случаях, если Т мало, а N является большим. Когда для каждого индивидуума имеется только несколько наблюдений во времени, очень важно наиболее эффективное использование данных. Самая общая точка зрения состоит в том, что обсуждение не должно касаться «истинной природы» эффектов о^. Соответствующая интерпретация заключается в том, что подход фиксированных эффектов является условным по значениям эффектов То есть, по существу рассматривается распределение уц при заданных эффектах а:;, где эффекты можно оценить. Интуитивно такая интерпретация имеет смысл, если индивидуумы в выборке «одного типа», и не могут рассматриваться как случайные извлечения из некоторой лежащей в основе генеральной совокупности. Вероятно, что такая интерпретация наиболее уместна, когда г обозначают страны, большие компании или отрасли промышленности, и мы хотим получить прогнозы для конкретной страны, компании или отрасли промышленности. Таким образом, выводы относятся только к тем эффектам, которые находятся в выборке.

Напротив, подход случайных эффектов не является условным по индивидуальным эффектам о^, а «исключает их объединением в одно целое». В этом случае обычно мы не заинтересованы в конкретном значении эффекта для некоторого индивидуума; мы просто сфокусированы на случайно выбранных индивидуумах, которые имеют определенные характеристики. Подход случайных эффектов позволяет сделать вывод относительно характеристик генеральной совокупности. Один из способов формализовать различие в подходах состоит в том, чтобы отметить, что в модели со случайными эффектами утверждается

Е{уихц} = x'it(3,

(10.24)

тогда как в модели с фиксированными эффектами оценивается

E{yitxiuai} = x'itP + ai.

(10.25)

Заметим, что коэффициенты /3 в этих двух условных математических ожиданиях будут одинаковыми, если только справедливо условие E{aixit} — 0. Суммируя эти соображения, можно сказать, что первая причина, почему можно предпочесть оценку с фиксированными эффектами заключается в том, что эффекты щ представляют некоторый интерес, который имеет смысл, если число индивидуальных единиц относительно мало и имеет определенную природу. То есть, важна идентификация индивидуальных единиц.

Однако даже если мы заинтересованы в большей генеральной совокупности индивидуальных единиц, и кажется подходящей структура случайных эффектов, оценка с фиксированными эффектами может быть предпочтительнее. Причина состоит в том, что возможен случай коррелированности и хц, в котором подход случайных эффектов, игнорирующий эту корреляцию, приводит к несостоятельным оценкам. Мы видели это в вышеприведенном примере, в котором эффекты cti включали качество управления и аргументировалась их коррелированность с другими производственными затратами, включенными в производственную функцию. Проблему корреляции между индивидуальными эффектами и объясняющими переменными в векторе хц можно решить, применив подход фиксированных эффектов, который по существу исключает эффекты аг из модели, и тем самым устраняет любые проблемы, которые могут быть связаны с этими эффектами.

Хаусман (Hausman, 1978) предложил тестирование нулевой гипотезы некоррелированности хц и . Общая идея теста Хаусмана состоит в том, что сравниваются две оценки: оценка, которая состоятельна как при нулевой гипотезе, так и при альтернативной гипотезе; и оценка, которая состоятельна (и, как правило, эффективна) только при нулевой гипотезе. Значимое различие между этими двумя оценками указывает, что нулевая гипотеза вряд ли будет справедлива. В настоящем случае предположим, что для всех s и t выполняется условие Е{єцХі3} = 0, так что оценка с фиксированными эффектами /Зфэ является состоятельной для вектора неизвестных параметров Р независимо от того, коррелированы ли хц и о^, тогда как оценка со случайными эффектами (Зсэ состоятельна и эффективна, только если хц и cti некоррелированны. Рассмотрим вектор разностей (Зфэ — Рсэ- Чтобы оценить значимость этих разностей, нам потребуется ковариационная матрица вектора разностей. В общем, требовалось бы оценить ковариационную матрицу между векторами (Зфэ и Рсэ , но поскольку последняя функция оценивания эффективна при нулевой гипотезе, то можно показать, что (при нулевой гипотезе)

У0ФЭ - Дсэ} = У0ФЭ} - У0сэ}- (Ю.26)

Следовательно, мы можем вычислить критическую статистику Хаусмана как

£я = Ффэ - Рсэ)'[У{0фэ} - У0сэ})~1Ффэ - Рсэ), (Ю.27)

где V обозначают оценки истинных ковариационных матриц. При нулевой гипотезе, которая неявно говорит, что рИт(/Зфэ — Рсэ) — 0, статистика £я имеет асимптотическое хи-квадрат распределение с К степенями свободы, где К — число элементов в векторе (3.

Таким образом, критерий Хаусмана тестирует, значимо ли различие оценок с фиксированными и случайными эффектами. В вычислительном отношении провести такое тестирование относительно легко, поскольку ковариационная матрица удовлетворяет соотношению (10.26). Важная причина, почему эти две оценки могут быть различны, заключается в существовании корреляции между хц и аг хотя другие виды неправильной спецификации также могут объяснить отклонение нулевой гипотезы (мы увидим такой пример ниже). Практическая проблема при вычислении критической статистики (10.27) состоит в том, что ковариационная матрица в квадратных скобках, может быть неположительно определенной в конечных выборках, так что ее обращение нельзя вычислить. В качестве альтернативы можно проводить такое тестирование лишь для подмножества элементов в векторе /3.

 

10.2.4. Качество подгонки данных моделью

Вычисление мер качества подгонки данных моделью в приложениях панельных данных несколько необычно. Одна из причин состоит в том, что можно по-разному оценивать важность объяснения внут-ригрупповой и межгрупповой вариации в данных. Другая причина заключается в том, что обычный или скорректированный ("adjusted") критерии R2 уместны только тогда, когда модель оценивается с помощью МНК*). Наша отправная точка состоит в определении R в терминах квадрата коэффициента корреляции между фактическими и прогнозными значениями, как это представлено в параграфе 2.4 (см. соотношение (2.44)). Такое определение имеет определенное преимущество, поскольку приводит к значениям, находящимся внутри интервала [0, 1] независимо от вида функции оценивания, которая применяется для получения прогнозных значений. Напомним, что это определение соответствует стандартному определению R2 (в терминах сумм квадратов), если модель оценивается с помощью МНК (при условии включения свободного члена). В текущем контексте

 

См. соотношения, соответственно, (2.42) и (2.45) в главе 2 (примеч. научн. ред. перевода).

полную вариацию переменной г/ц можно записать в виде суммы внутригрупповой и межгрупповой вариаций, то есть,

^ 5>« - у)2 = д^г ^{yit ~ Vi)2 +           ~ у)2' (10'28)

i,t         i,t і

где у обозначает общее выборочное среднее. Теперь, мы можем определить альтернативные версии меры R2 в зависимости от размерности анализируемых данных.

Например, оценка с фиксированными эффектами выбирается, чтобы наиболее полно объяснить внутригрупповую вариацию, и поэтому максимизируется «внутригрупповой Д2», заданный в виде

Я2вн0Фэ) = corr2(yft9 - у?э, Vit - у.), (10.29)

где у®э — yf3 — (хц — Хі) (Зфэ, a corr2 обозначает квадрат коэффициента корреляции. Межгрупповая оценка, являясь МНК-оценкой для модели в терминах индивидуальных средних, максимизирует «межгрупповой Я2», который мы определяем как

RL™0m) = corr2(yf, ft), (10.30)

где угм = х'фм- МНК-оценка максимизирует общую меру качества подгонки данных моделью и таким образом максимизирует общий R2, который определяется в виде

КбщиМ = сотт2(уги yit), (10.31)

где у it = x'itb. Возможно определить внутригрупповой, межгрупповой и общий R2 для произвольной оценки /3 вектора неизвестных параметров /3, применяя в качестве прогнозных значений значения

Ун = ЯчД  Уі = ^    У и y=^fJ2 У>

t i,t

где свободные члены исключены (и неуместны) 8). При этом, оценками с фиксированными эффектами игнорируется вариация, улавливаемая эффектами <$г. Если мы учитываем вариацию, объясненную N оцененными свободными членами осі, то модель с фиксированными эффектами полностью «подгоняет» межгрупповую вариацию. Хотя это несколько неудовлетворительно, поскольку трудно утверждать,

 

Эти определения соответствуют мерам R , которые вычисляются в статистическом пакете программ Stata 5.0.

что фиксированные эффекты осі объясняют вариацию между индивидуумами, они только улавливают ее. Выражаясь по-другому, если мы спрашиваем себя: почему индивидуум і в среднем потребляет больше, чем другой индивидуум, то ответ, предоставляемый эффектами йг, есть просто: «потому, что это индивидуум г». Учитывая этот аргумент, и что эффекты Зі часто не вычисляются, кажется уместным игнорировать эту часть модели.

Приняв данное выше определение в терминах квадратов коэффициентов корреляции, три определенные выше меры можно вычислить для любой из оценок, которые мы рассматривали. Если мы берем оценку со случайными эффектами, которая является (асимптотически) наиболее эффективной, при условии справедливости нашего предположения о действии случайных эффектов, то внутриг-рупповая, межгрупповая и общая меры R2 обязательно меньше, чем соответствующие меры для фиксированных эффектов, межгрупповой и МНК-оценок, соответственно. Это опять подчеркивает, что меры качества подгонки данных моделью нецелесообразно использовать при выборе между альтернативными методами оценивания. Однако эти меры предоставляют возможные критерии выбора между альтернативными (потенциально не вложенными) спецификаци-ями модели '.

 

10.2.5. Альтернативные оценки

метода инструментальных переменных

Метод оценивания с фиксированными эффектами исключает из модели все, что не зависит от времени. Возможно это высокая цена, которую следует заплатить, чтобы позволить включить в модель помимо переменных х индивидуальную специфицированную гетерогенность oti. Скажем, мы можем интересоваться влиянием не зависящих от времени переменных (например, пола) на заработную плату индивидуума. В действительности, не существует никакой потребности ограничить внимание предположениями существования только фиксированных и случайных эффектов, поскольку возможно получить оценки методом инструментальных переменных, который можно рассматривать в качестве промежуточного подхода между подходами фиксированных и случайных эффектов.

Чтобы это увидеть, прежде всего, заметим, что оценку с фиксированными эффектами можно записать в виде

, N    Т  -1  N і

рфэ = (^2 Yl(Xit - \%i)(xit -   )    Yl(xu ~ г*)(ї/« - Уі) =

^г=1 t=l           '       i=l t=l

, N    T  —1   N T

= 15Z Yl(xu ~ x^t) 51 Yl(xu ~ хі)у*- (Ю.32) і=і t=i        * г=і t=i

Такая запись оценки показывает, что она может быть интерпретирована как оценка метода инструментальных переменных9^ для вектора неизвестных параметров /3 в модели

yit = ti + Xit0 + ai + eit,

где каждая объясняющая переменная инструментована своим значением отклонения от индивидуального специфицированного среднего значения. То есть, вектор хц инструментован векторной разностью хц — Хі. Заметим, что по построению справедливо условие Е{(хц — Xi)ai] = 0 (если мы берем математические ожидания по индексам г и £), так что ИП-оценка является состоятельной при условии Е{(хц — Хі)єц} — 0, которое подразумевает строгую экзо-генность переменных в векторе хц. Ясно, если известно, что специфическая переменная в векторе Хц некоррелирована с эффектом осі , то ее обеспечение инструментальной переменной не требуется; то есть, эту переменную можно использовать в качестве ее собственной инструментальной переменной. Такой способ может позволить нам оценивать также влияние переменных, не зависящих от времени.

Чтобы описать общий подход, рассмотрим линейную модель с четырьмя группами объясняющих переменных (Hausman, Taylor, 1981)

yit = fi + xflit(3i + x'2it(32 + Цг7і + w2i72 + оіі + єц, (10.33)

где ж-переменные изменяются во времени, а ги-переменные не зависят от времени. Предполагается, что переменные с индексом 1 некоррелированы с эффектом аг и со всеми членами ошибок SiS. Переменные Х2,а и W2i коррелированы с эффектом cti;, но не с любым членом ошибки SiS. При этих предположениях функция оценивания фиксированных эффектов была бы состоятельной для векторов неизвестных параметров Pi и р2, но не идентифицировала бы коэффициенты при переменных, не зависящих от времени. Кроме того, она неэффективна, поскольку вектор x\^t в этом случае инструментован без необходимости. Хаусман и Тэйлор (Hausman, Taylor, 1981) предложили оценивать модель (10.33) методом инструментальных переменных, используя в качестве инструментальных следующие переменные: х,ц, уоц и Х2,ц — Х2і, хц. То есть, экзогенные переменные служат в качестве их собственных инструментов, вектор #2,г£ инструментован своим отклонением от вектора индивидуальных средних (как в подходе фиксированных эффектов), а вектор u>2i инструментован вектором индивидуальных средних для вектора #1,гг- Очевидно идентификация требует, чтобы число переменных в векторе xi^t было бы, по крайней мере, не меньше числа переменных в векторе W2i. Полученная оценка, оценка Хаусмана—Тэйлора, позволяет нам оценивать эффекты переменных, не зависящих от времени, даже, несмотря на то, что изменяющиеся во времени ре-грессоры коррелированны с эффектом ос{. Если переменные, не зависящие от времени, предполагаются также коррелированными с эффектом с*і, то их также следует обеспечить инструментальными переменными, и мы потребуем, чтобы включалось достаточное количество переменных, зависящих от времени, которые не коррелированны с эффектом схі. Конечно, существует прямое расширение для включения дополнительных инструментальных переменных в процедуру, которые не основаны на переменных, включенных в модель. К такому приему прямого расширения прибегают в случае пространственных данных, где не существует никаких доступных преобразований, которые могли бы быть аргументированы для предоставления обоснованных инструментальных переменных. Сильное преимущество подхода Хаусмана—Тэйлора состоит в том, что не требуется применение внешних инструментальных переменных. При достаточных предположениях инструментальные переменные можно получить внутри модели. Несмотря на это важное преимущество, оценка Хаусмана—Тэйлора играет удивительно незначительную роль в текущей эмпирической работе.

Хаусман и Тэйлор также показали, что множество инструментальных переменных эквивалентно применению Х,ц — Хц, Х2,Ц — Х2І и xijt, уоц. Это следует непосредственно из того факта, что взятие разных линейных комбинаций исходных инструментальных переменных не влияет на оценку. Хаусман и Тэйлор также показали, как в модели (10.33) можно использовать недиагональную ковариационную матрицу остатков, чтобы улучшить эффективность оценки. В настоящее время оценивание, как правило, проводится в рамках обобщенного метода моментов (ОММ), что мы увидим в параграфе 10.3 (см. (Arellano, Bover, 1995)).

В двух статьях, последовавших за (Hausman, Taylor, 1981), делались попытки улучшить эффективность оценки методом инструментальных переменных Хаусмана—Тэйлора, с помощью введения большего множества инструментальных переменных. В статье (Amemiya, MaCurdy, 1986) предлагается также применение не зависящих от времени инструментальных переменных от Xijt — Хц вплоть до х,іТ — хц. Это требует, чтобы для каждого t выполнялось условие E{{x,it — xu)oti) — 0. Такое предположение имеет смысл, если корреляция между осі и xlh обусловлена наличием не зависящей от времени компоненты в векторе x\^t такой, что Е{х\^оіі} для данного t не зависит от t. В статье (Breusch, Mizon, Schmidt, 1989) представлен подробный обзор литературы по этой тематике и в качестве дополнительных инструментальных переменных предлагается применение

нє ЗаВИСЯЩИХ от Времени ПеремеННЫХ от Х2,І1 — Х2І до Х2,іт — \%2і-

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |