Имя материала: Путеводитель по современной эконометрике

Автор: Вербик Марно

10.2.6. альтернативные структуры остатков

В моделях со случайными эффектами и моделях с фиксированными эффектами предполагается, что присутствие щ улавливает всю корреляцию между ненаблюдаемыми переменными в различные периоды времени. Таким образом, предполагается, что остатки єц, являются некоррелированными по индивидуумам и времени. При условии, что переменные в векторе хц строго экзогенны, присутствие автокорреляции в остатках Єц не приводит к несостоятельности стандартных оценок. Однако стандартные ошибки и получающиеся критерии становятся недействительными, точно так же, как в главе 4. Кроме того, это будет означать, что оценки больше не эффективны. Например, если истинная ковариационная матрица Q не удовлетворяет выражению (10.16), то оценка со случайными эффектами больше не соответствует РОМНК-оценке вектора неизвестных параметров /3. Как мы знаем, присутствие гетероскедастичности в остатках є и или в эффектах щ для модели со случайными эффектами имеет аналогичные последствия.

Один из способов избежать вводящих в заблуждение выводов без необходимости налагать альтернативные предположения на структуру ковариационной матрицы остатков Я, состоит в использовании МНК-оценки для вектора неизвестных параметров /3 и одновременно коррекции ее стандартных ошибок в соответствии с общими формами гетероскедастичности и автокорреляции. Рассмотрим следующую модель)

Ун = оіі + хф + щи (10.34)

без предположения, что иц имеет некоторую структуру из компонент остатков. Состоятельность МНК-оценки

у N    Т v -1   N Т

b=        XitXit ) Е XitVit (10.35)

4=i t=i '     i=i t=i

вектора параметров (3 требует, чтобы выполнялось условие

E{xituit} = 0. (10.36)

Предполагая, что остатки для различных индивидуумов являются некоррелированными (E{uitUjs} = 0 для всех і ф j), ковариационную матрицу МНК-оценки можно оценить по Невье—Весту из главы 4, то есть:

, N    Т  ч-1   N    Т    Т / N    Т ч-1

у{ь} = (Yl YlXitx'*) EES Uituisxitx'is ( y y Xitx'it) >

4=1 t=l            '           1=1  t=l S = l  M=l t=l '

(10.37)

где иц обозначает МНК-оцененный остаток. Эта оценка учитывает общие формы гетероскедастичности, так же как и автокорреляции (внутригрупповой). Если гетероскедастичность исключается априори, среднюю матрицу в выражении (10.37) можно заменить матрицей

N    Т    Т   у       N ч

Е Е (ы      )Xitx'^ (-38)

г=1 t=l s=l ^      г=1 '

где

1 N

 

1=1

состоятельная оценка для матрицы Qts — Е{ицщ8}.

Если бы остаток чц имел не зависящую от времени компоненту cti, которая могла бы быть коррелированна с объясняющими переменными, то оценка с фиксированными эффектами была бы более уместна, чем МНК-оценка, и могла бы быть использована аналогичная коррекция для гетероскедастичности и автокорреляции (в остатках єц) (Arellano, 1987). Получающееся выражение было бы подобно выражению (10.37), но каждый вектор хц заменялся бы внутригруп-повым преобразованием хц — Хі , а МНК-оцененный остаток внутри-групповым МНК-оцененным остатком (см. (Baltagi, 1995, р. 13)).

Если нелишне специфицировать определенные предположения о форме гетероскедастичности или автокорреляции, то можно получить более эффективные оценки, чем МНК-оценка или оценка с фиксированными эффектами, используя известную структуру ковариационной матрицы остатков и применяя РОМНК или метод максимального правдоподобия. Краткий обзор ряда таких оценок, которые в вычислительном отношении являются, как правило, малопривлекательными, представлен в (Baltagi, 1995, Chapter 5). В монографии (Kmenta, 1986) предлагается относительно простая РОМНК-оценка, которая учитывает автокорреляцию первого порядка в остатках uu вместе с индивидуальной специфической гетероскедастичностью, но не учитывает компоненту, зависящую от времени в остатках чц (см. Baltagi, 1996).

 

10.2.7. Тестирование на наличие

гетероскедастичности и автокорреляции

Большинство тестов, которые можно применить для тестирования на наличие гетероскедастичности или автокорреляции в модели со случайными эффектами, вычислительно обременительны. Для модели с фиксированными эффектами, которая по существу оценивается с помощью МНК, проведение такого тестирования относительно менее сложно. К счастью, можно использовать оценку с фиксированными эффектами, даже если мы делаем предположение о случайных эффектах, то есть о том, что эффекты осі являются независимо и одинаково распределенными случайными величинами, независимыми от объясняющих переменных. Поэтому и в случае модели со случайными эффектами можно использовать процедуры тестирования, как это делается в модели с фиксированными эффектами.

Довольно простое тестирование на наличие автокорреляции в модели с фиксированными эффектами основано на тесте Дарбина—

Уотсона, обсужденном в главе 4. Альтернативная гипотеза состоит в том, что

en = pSi,t-i + Щи (10.39)

где vu являются независимо и одинаково распределенными по индивидуумам и времени. Этим учитывается автокорреляция во времени с ограничением, что каждый индивидуум имеет один и тот же коэффициент автокорреляции р. Нулевой гипотезой при тестировании является гипотеза Но : р — 0 против односторонней альтернативной гипотезы р < 0 или р > 0. Пусть Ец обозначают остатки внутригрупповой регрессии (10.9) или, что эквивалентно, остатки регрессии с фиктивными переменными (10.7). Для такого случая в статье (Bhargava, Franzini, Narendranathan, 1983) предлагается следующее обобщение статистики Дарбина—Уотсона

N Т

 

EES

1=1 t=l

Используя такую же логику вывода, как Дарбин и Уотсон, авторы статьи смогли получить нижнюю и верхнюю границы для истинных критических значений, которые зависят только от iV, Т, и К. В отличие от случая «чисто» временного ряда, область неопределенности теста Дарбина—Уотсона в панельных данных является малой, особенно когда число индивидуумов в панельных данных большое. В таблице 10.1 мы представили некоторые выбранные нижние и верхние границы для истинных 5\% критических значений, которые можно использовать для тестирования против альтернативной гипотезы наличия положительной автокорреляции. Числа в таблице подтверждают, что области неопределенности являются малыми, а также показывают, что варьирование критических значений, обусловленное изменением К, N или Т, весьма ограничено. В модели с тремя объясняющими переменными, оцененными для б периодов времени, нулевая гипотеза Но : р = 0 отклоняется на 5\% уровне значимости, если dwp меньше 1,859 для N = 100, или меньше 1,957 для N = 1000, против односторонней альтернативной гипотезы р > 0. Для панельных данных при больших N авторы статьи предложили простое правило тестирования нулевой гипотезы против альтернативной гипотезы наличия положительной автокорреляции:

нулевая гипотеза отклоняется, если вычисленная статистика dwp меньше двух. Поскольку оценка с фиксированными эффектами состоятельна и для модели со случайными эффектами, то этот тест Дарбина—Уотсона для панельных данных можно использовать также и в модели со случайными эффектами.

Чтобы протестировать наличие гетероскедастичности в остатках є a, мы можем опять воспользоваться остатками модели с фиксированными эффектами ец. Вспомогательная регрессия для проведения тестирования строится в виде регрессии квадратов внутригруппо-вых МНК-оцененных остатков e по константе и J переменным zu, которые, как предполагается, могут повлиять на гетероскедастичность. Такой тест является вариантом теста Бреуша—Пагана11) на наличие гетероскедастичности, обсужденного в главе 4. Альтернативная гипотеза для теста заключается в предположении, что

V{eit) = a2h(z'ita), (10.41)

В контексте панельных данных термин «тест Бреуша—Пагана» обычно связывается с тестом множителей Лагранжа для модели со случайными эффектами при нулевой гипотезе, что никаких индивидуальных специфических эффектов не существует (сг^ = 0); см. (Baltagi, 1995, Sect. 4.2.1). В приложениях этот тест почти всегда отклоняет нулевую гипотезу.

где h — неизвестная, непрерывно дифференцируемая функция с условием h(0) = 1, а тестируемая нулевая гипотеза задается в виде Но : a — 0. При нулевой гипотезе критическая статистика, вычисленная как N(T — 1), умноженное на R2 вспомогательной регрессии, будет иметь асимптотическое хи-квадрат распределение с J степенями свободы. Альтернативный тест можно построить с помощью вычисления остатков межгрупповой регрессии, и критическая статистика равна 7V, умноженному на R2 вспомогательной регрессии межгрупповых остатков по z{ или, более обще, по гц, ... , zit- При нулевой гипотезе о гомоскедастичности остатков критическая статистика имеет асимптотическое хи-квадрат распределение со степенями свободы, равными числу переменных, включенных во вспомогательную регрессию (за исключением свободного члена). Альтернативная гипотеза такого теста является менее определенной.

 

10.3. Пример: объяснение индивидуальной заработной платы

В этом параграфе, чтобы оценить уравнение индивидуальной заработной платы, мы применим ряд описанных выше методов оценивания. Данные12) взяты из Молодежной выборки национального протяженного во времени обследования*^, проведенного в США, и представляют собой выборку из 545 работников-мужчин, занятых полный рабочий день, которые закончили свое обучение в 1980 г., а затем работали в течение 1980-1987гг. Мужчины в выборке молодые, в возрасте от 17 до 23 лет (по состоянию на 1980 год), и вышли на трудовой рынок довольно недавно, в среднем с тремя годами опыта работы на начало выборочного периода. Данные и спецификации, которые мы выбираем, аналогичны тем, что в статье (Vella, Verbeek, 1998). Логарифм заработной платы объясняется с помощью следующих переменных: времени обучения (в годах), опыта работы (в годах) и его квадрата, фиктивных переменных (манекенов) — членства в профсоюзе (состоит, не состоит), работы в общественном секторе (общественный сектор, частный сектор), семейного положения (женат, холост) и двух расовых фиктивных переменных.

' Данные, используемые в этом прарграфе, доступны в MALES. Речь идет о: "Youth Sample of the National Longitudinal Survey" (примеч. научн. ред. перевода). 3) Результаты оценивания в этом параграфе получены с помощью статистического пакета программ St at а 5.0.

Оценивание13^ проводилось с помощью межгрупповой оценки, основанной на индивидуальных средних, и с помощью внутригрупповой оценки, основанной на отклонениях от индивидуальных

средних. Результаты оценивания представлены в первых двух столбцах таблицы 10.2. Прежде всего, следует заметить, что оценка с фиксированными эффектами (или внутригрупповая оценка) исключает из модели любые переменные, не зависящие от времени. Это означает, что в этом случае влияние времени обучения и расовых фиктивных переменных не учитываются. Различия между двумя рядами оценок кажутся существенными, и мы возвратимся к этому ниже. В следующей колонке представлены результаты МНК-оценивания, примененного к модели со случайными эффектами, в котором стандартные ошибки не скорректированы с учетом структуры компонент остатков. Последний столбец представляет результаты применения РОМНК-оценивания случайных эффектов. Как обсуждалось в п. 10.2.2, дисперсии компонент ошибок оіі и є и можно оценить по внутри- и межгрупповым остаткам. В частности мы имеем Э2М = 0,1209 и а — 0,1234. Отсюда можно состоятельно оценить а как а — 0,1209 — 0,1234/8 = 0,1055. Следовательно, множитель ф оценивается как

-=         0Д234

0,1234 + 8 x 0,1055

что приводит к д = 1 - ^1/2 = 0,6428. Это значит, что РОМНК-оценку можно получить из преобразованной регрессии, где 0,64, умноженное на индивидуальное среднее значение, вычитается из исходных данных. Вспомним, что в МНК-оценке полагают, что г? = 0, в то время как в оценке с фиксированными эффектами используется условие $ — 1. Заметим, что значения МНК-оценок и оценок со случайными эффектами находятся внутри интервала с границами: межгрупповые оценки и оценки с фиксированными эффектами.

Если удовлетворяются предположения модели со случайными эффектами, то все четыре оценки в таблице 10.2 состоятельны и оценка со случайными эффектами является самой эффективной. Однако, если индивидуальные эффекты коррелированны с одной или более объясняющими переменными, то только оценка с фиксированными эффектами является состоятельной. Такую гипотезу можно протестировать, сравнивая межгрупповую и внутригруппо-вую оценки, или внутригрупповую оценку с оценкой со случайными эффектами. Оба сравнения приводит к эквивалентным тестам. Самое простое тестирование состоит в проведении теста Хаусмана, обсужденного в п. 10.2.3, основанного на сравнении внутригруп-повой оценки и оценки со случайными эффектами. Критическая

статистика принимает значение, равное 31,75, и отражает различия в коэффициентах при переменных опыта работы, квадрата опыта работы и при манекенах членства в профсоюзе, семейного положения и работы в общественном секторе. При нулевой гипотезе критическая статистика подчиняется хи-квадрат распределению с 5 степенями свободы, так что нам следует отклонить нулевую гипотезу на любом разумном уровне значимости.

Семейное положение является фиктивной переменной, которая, вероятно, будет коррелированна с ненаблюдаемой гетерогенностью в эффектах оіі. Как правило, можно было бы не ожидать значимого причинного влияния семейного положения на заработную плату, поскольку манекен семейного положения обычно улавливает другие (ненаблюдаемые) различия между женатыми и холостыми рабочими. Это подтверждается результатами в таблице. Если мы исключаем индивидуальные эффекты из модели и рассматриваем оценку с фиксированными эффектами, то влияние манекена семейного положения снижается до 4,5\%, тогда как, например, в случае межгрупповой оценки оно составляет почти 15\%. Заметим, что влияние манекена семейного положения в подходе фиксированных эффектов идентифицируется только через людей, которые изменяют свое семейное положение в течение периода выборочного обследования. Подобные замечания можно сделать для влияния манекена членства в профсоюзе на заработную плату работника. Однако вспомним, что все оценки предполагают некоррелированность объясняющих переменных с остатками Ец. Если бы такие корреляции существовали, то даже оценка с фиксированными эффектами была бы несостоятельной. В статье (Vella, Verbeek, 1998) уделяется особое внимание влиянию эндогенного статуса принадлежности к членам профсоюза на заработную плату работников этой группы, и рассматриваются альтернативные, более сложные методы оценивания.

Меры качества подгонки данных моделью подтверждают, что оценка с фиксированными эффектами приводит к наибольшему внутригрупповому R2 и таким образом насколько возможно объясняет внутригрупповую вариацию. МНК-оценка максимизирует обычный (общий) критерий й2, в то время как оценка со случайными эффектами приводит к приемлемым значениям критериев R2 для всех случаев. Вспомним, что стандартные ошибки МНК-оценки вводят в заблуждение, поскольку они не принимают в расчет корреляцию различных остатков. Корректные стандартные ошибки для

МНК-оценки должны быть больше, чем стандартные ошибки для эффективной РОМНК-оценки, которая учитывает эти корреляции.

 

10.4. Динамические линейные модели

Способность моделировать индивидуальную динамику относится к главным преимуществам панельных данных. Во многих экономических моделях предполагается, что текущее поведение зависит от прошлого поведения (постоянство, формирование навыков, частичная корректировка, и т. д.)* поэтому во многих случаях хотелось бы оценить динамическую модель на индивидуальном уровне. Способность моделировать индивидуальную динамику с помощью панельных данных уникальна.

 

10.4.1. Модель авторегрессии панельных данных

Рассмотрим линейную динамическую модель с экзогенными переменными и лагированной зависимой переменной в роли регрессоров, то есть, модель

УН = х'и(3 + 7Уг,*-1 + Оіі + EiU

где предполагается, что остатки вц являются НОР'(О, а2). Для статической модели мы проводили обсуждение состоятельности (устойчивости) и эффективности при выборе между моделями с фиксированными и случайными эффектами В динамической модели ситуация существенно отличается, поскольку лагированная зависимая переменная Уг,г-1 будет зависеть от эффекта ос{ независимо от способа, с помощью которого мы анализируем эти эффекты. Чтобы проиллюстрировать проблемы, которые возникают при этом, сначала рассмотрим случай модели, где не включаются никакие экзогенные переменные, и модель представляется в виде:

Ун = 7УМ-1 +ai + єіи   І7І < 1. (10.42)

Об этих свойствах динамических моделей речь шла в предыдущих двух главах (примеч. науч. ред. перевода).

Предположим, что мы имеем наблюдения относительно переменной Ун для тактов времени t — О,1,... , Т.

Оценка с фиксированными эффектами для неизвестного параметра 7 имеет вид

г=і t=i 

т

г=і t=i

N Т

 

1фэ = i=lty  т  , (Ю.43)

где

т т

1   у   ->           1   х Л

Уі = fY Viu    а   ^t,-i = f Y У***-1'

t=l t=l

Чтобы проанализировать свойства оценки 7фэ7 мы можем подставить выражение (10.42) в выражение (10.43) и получить оценку в виде

^     N Т

Jff Y Y^£it "              ~ Уі,-і)

1фэ = 7 +       1=1 У г            • (Ю.44)

 

г=1 t=l

Однако эта оценка при N —> ос и фиксированном Г смещенная и несостоятельная, поскольку последний член в правой части выражения (10.44) не имеет нулевого математического ожидания и не сходится к нулю при N, стремящемся к бесконечности. В частности можно показать, что (Nickell, 1981; Hsiao, 1986, p. 74)

^    N т

plim лгг      Y^£it "     - Уі,-і) =

N—юо 1У/1

°-і(г"-(1,):\%+тт*0- (іа45)

Таким образом, при фиксированном Г мы имеем несостоятельную оценку. Заметим, что эта несостоятельность не вызывается ничем из того, что мы предполагали о эффектах щ, поскольку они исключаются при оценивании. Проблема состоит в том, что внутригрупповая преобразованная лагированная зависимая переменная коррелированна с внутригрупповым преобразованным остатком. Если Т —> оо, то вероятностный предел (10.45) сходится к нулю, так что оценка с фиксированными эффектами является состоятельной для 7, если Г -> ос и N —► оо.

Можно было бы думать, что асимптотическое смещение для фиксированного Т является весьма малым и поэтому реальной проблемы, вроде бы, нет. Конечно, это не так, поскольку для конечного Г смещение едва ли можно игнорировать. Например, если истинное значение параметра 7 равняется 0,5, то можно легко вычислить, что (при N —> оо)

plim 7фэ ~ —0,25,   если Г = 2,

plunks = —0,04,   если Г = 3,

рНт7фэ = 0,33,     если Г = 10,

поэтому даже для средних значений Г смещение существенно. К счастью, существуют относительно легкие способы избежать таких смещений.

Для решения проблемы несостоятельности, прежде всего, начнем с другого преобразования, чтобы устранить индивидуальные эффекты а^, в частности, мы возьмем первые разности. Это приводит к модели

Ун ~ = т(Уг,*-і - Уи-2) + (єu - eiit-i), t = 2,..., Г. (10.46) Если мы оцениваем ее с помощью МНК, то мы не получаем состоятельную оценку для неизвестного параметра 7 даже при Т —> ос, поскольку лагированная зависимая переменная Уг,г-1 и остатки e^t-i по определению коррелированны. Однако такая преобразованная спецификация наводит на мысль о применении метода инструментальных переменных. Например, лагированная зависимая переменная yi,t-2 коррелированна с разностью г/г,*—і ~ Vi,t-2i но не с лаги-рованным остатком £г,г-ъ если только остаток єц не обнаруживает автокорреляцию (наличие который мы исключаем по предположению) . Тем самым для оценивания неизвестного параметра 7 можно

14)

воспользоваться методом инструментальных переменных ;

N Т

yZ У2 yi,t-2(yit -

іип =    . (Ю.47)

У] У2 Vbt-2(yi,t-i - Ум-2)

i=l t=2

 

) См. параграф 5.3 для общего введения в оценивание методом инструментальных переменных.

Необходимое условие для состоятельности этой функции оценивания заключается в том, что

^ NT

РІІШ N(T-l) ^ J2(£it ~ єМ-і)ї/М-2 = 0 I10-48)

^          ) i=l t=2

для T или для iV, или одновременно для Г и TV, стремящихся к бесконечности. Оценка (10.47) является одной из оценок Андерсона— Хсяо, предложенных в статье (Anderson, Hsiao, 1981). Авторы статьи также предложили альтернативу, где в качестве инструментальной переменной используется разность Уг,г-2 — Уг,г-з- Тогда альтернативная оценка методом инструментальных переменных будет иметь вид

(10.49)

N Т

 

-(2)  _     i=l t=3         

^ип NT

J] ^(Уі,і-2 - Уі,і-з)(Уі9і-1 - УМ-2) і=1 t=3

которая является состоятельной (при условиях регулярности), если

j           TV г

РІІШ N(T - 2) 5^ ^£it " ег,і-і){Уі,і-2 - Ум-з) = 0. (10.50)

^          '   7-І   t = 3

Состоятельность этих двух оценок гарантируется предположением, что остаток вц не имеет никакой автокорреляции.

Заметим, что для второй МИП-оценки при построении инструментальной переменной требуется дополнительный сдвиг, так что эффективное число наблюдений, используемых для оценивания, уменьшается (один такт времени «потерян»). Вопрос, какую из этих оценок следует выбрать не является, по существу, спорным. Подход, основанный на методе моментов, позволяет унифицировать эти оценки и устранить недостатки, связанные со снижением объемов выборок. На первом шаге этого подхода следует отметить, что

^ NT

РІІГЇ1 jVfT-1) ^            " £М-і)УМ-2

(10.51)

^          > і=1 t=3

= E{(eit ~ є^-і)УМ-2} = 0

является условием моментов (см. главу 5). Точно так же условием моментов является

j           АГ Т

РІІШ N(T - 2) S           " єі,і-і)(Уі,і-2 - ї/м-з) =

= S{(eit " є*,і-і)Ум-з} = 0. (10.52)

Таким образом, при оценивании для обеих МИП-оценок налагается одно условие моментов. Известно, что наложение большего количества условий моментов повышает эффективность оценок (конечно, если действительны дополнительные условия). В статье (Arellano, Bond, 1991) предлагается расширить перечень инструментальных переменных с помощью введения дополнительных условий моментов, позволяя количеству этих условий изменяться с t. Для этого авторы статьи положили Т фиксированным. Например, при Т — 4 мы имеем

Е{(єі2 - Єц)уі0} = 0, как условие моментов для t = 2. Для t — 3 мы имеем

Е{(єіз ~ si2)yn} = 0,

 

но также справедливо, что

 

Е{(єі3 -єі2)уіо} = 0.

Для такта времени t = 4 мы имеем условия трех моментов и можем ввести, соответственно, три инструментальных переменных

 

Е{(єі4

- £із)Уіо} =

 

Е{(єі4

- £гз)Угі} =

о,

Е{(єі4

~ £гз)Уг2}

0.

Все эти условия моментов можно использовать в схеме реализации обобщенного метода моментов (ОММ). С целью построения ОММ-оценки определим

 

(10.53)

біут — Єг,Т-1

как вектор преобразованных остатков, и

(10.54)

Подпись: о
[УіО,Уіі]
Подпись: о о
о
( [Уго] 0

 

v о

о      [УгО, ■ ■ ■ , Уг,Т-2/

как матрицу значений инструментальных переменных**1. Каждая строка в матрице Zi содержит инструментальные переменные, которые правомочны для данного такта временна. Следовательно, совокупность всех условий моментов можно записать кратко в виде

Е{г1Авг} = 0. (10.55)

Заметим, что число этих условий равно 1 + 2 + 3 + ... + Г — 1. Чтобы получить ОММ-оценку, напишем это в виде

E{Z't(Ayi - 7Дуі,-і)} = 0. (10.56)

Поскольку число «моментных» условий, как правило, будет превышать число неизвестных коэффициентов, мы оцениваем 7 минимизацией квадратичного выражения в терминах соответствующих выборочных моментов (см. главу 5), то есть

mm

7 г=1

 

1=1

(10.57)

где Wn — симметрическая положительно определенная матрица весов). Дифференцируя это выражение по 7 и решая полученное уравнение относительно 7, приходим к выражению

іони = 2'Ауь-^ х

1=1

г=1

£ A<-i^Wfe 2і&Уі,-і))- (ю.58)

2=1     '           4=1     ' '

Свойства этой оценки зависят от выбора матрицы весов Wn, несмотря на то, что хотя она будет состоятельной до тех пор, пока матрица Wn положительно определенна, например, для матрицы Wjy = Л где / — единичная матрица.

(10.59)

Оптимальной матрицей весов является такая матрица, которая приводит к эффективной оценке, то есть дает наименьшую асимптотическую ковариационную матрицу для оценки 7омм-Из общей теории ОММ (см. главу 5) мы знаем, что оптимальная матрица весов (асимптотически) пропорциональна матрице, обратной к ковариационной матрице выборочных моментов. В данном случае это означает, что оптимальная матрица весов должна удовлетворять

і -і

plim WN = ViZ^Asi}-1 = EiZ'iAeiAe'iZi}'

N^oo

В стандартном случае, когда на ковариационную матрицу є і никакие ограничения не налагаются, оптимальную матрицу весов можно оценить, используя на первом шаге состоятельную функцию оценивания 7, и заменяя оператор математического ожидания выборочным средним. Тогда оптимальная матрица весов имеет вид

N ч-1

(10.60)

^    г=1 '

где Аб{ — вектор оцененных на первом шаге остатков, например, при оценивании 7 с использованием матрицы Wn — I.

В общем подходе ОММ не предполагается, что остатки Єц являются независимо и одинаково распределенными по индивидуумам и времени, и, таким образом, оптимальная матрица весов тогда оценивается без наложения этих ограничений. Однако заметим, что отсутствие автокорреляции было необходимо, чтобы гарантировать выполнение «моментных» условий. Вместо оценивания оптимальной матрицы весов без ограничений, также возможно (и потенциально желательно для малых выборок) наложить ограничение отсутствия автокорреляции в остатках єц одновременно с предположением их гомоскедастичности. Отметив, что при таких ограничениях

/2-10 ...

 

Е{Ає[Ає^} = a2£G = at

0 -1 -1 2/

 

(10.61)

оптимальную матрицу весов можно определить как

/1 N

^      г=1 '

Заметим, что эта матрица не включает неизвестные параметры, так что оптимальную ОММ-оценку можно вычислить в рамках одного шага, если исходные остатки є и, как предполагается, являются го-москедастичными и не обнаруживают никакой автокорреляции.

В общем, ОММ-оценка для неизвестного параметра 7 асимптотически нормальна с ковариационной матрицей, заданной в виде

e"m((^|>U2.) (jft/^^) (іІ>.'д*.-')Г-

(10.63)

Это следует из более общих выражений из параграфа 5.6. С независимо и одинаково распределенными остатками средний член в правой части выражения (10.63) сводится к

 

^    1=1 '

 

10.4.2. Динамические модели с экзогенными переменными

Если модель к тому же содержит экзогенные переменные, то мы напишем модель в виде

yit = хф + 7!/i,t-i + OLi + eit. (10.64)

Такую модель можно оценить также с помощью метода обобщенных инструментальных переменных или с помощью подхода ОММ. В зависимости от предположений, сделанных о переменных в векторе Хц , можно построить разные совокупности дополнительных инструментальных переменных. Если переменные в векторе хц строго экзогенны в том смысле, что они не коррелированны с любым из остатков Sis 5 то мы также имеем, что

E{xiSAsit} = 0   для каждого s, £, (10.65)

так что к списку инструментальных переменных для уравнения первых разностей в каждый такт времени можно добавить хц,... , #гт-Таким образом, число строк в матрице Zi стало бы весьма большим.

Вместо этого можно сохранить почти тот же самый уровень информации, если использовать первые разности переменных вектора хн в качестве их собственных инструментальных переменных). В этом случае мы налагаем «моментные» условия следующего типа

Е{АхцАец} = 0   для каждого t. (10.66)

Тогда матрица инструментальных переменных может быть записана в виде ;

[{у^Ах^}          0          ...         0

Zi =

0          [угО,УгЬ Ах-3] 0

:           '•. 0

v          0          •■•     [УгО,---,УгТ-2, АХ-т]у

(10.67)

Если переменные вектора Хц не строго экзогенны, а предопределены, что соответствует случаю, когда текущие и лагированные переменные в векторах хн не коррелированны с текущими остатками, то мы имеем только, что Е{хцЄі3} = 0 для s > t. Тогда действительными инструментальными переменными для уравнения первых разностей в период t являются только переменные #г£-ъ • • • •> х\% • Таким образом, соответствующие «моментные» условия будут иметь вид:

E{xij-jАєц} = 0   для   j = 1,...      1   (для каждого і). (10.68)

На практике может возникнуть комбинация строго экзогенных и предопределенных х-переменных, а не один из этих двух крайних случаев. Тогда матрицу Zi следует подкорректировать соответствующим образом. В монографии (Baltagi, 1995, Chapter 8) представлено дополнительное обсуждение и примеры.

В статье (Arellano, Bover, 1995) описывается структура объединения вышеупомянутого подхода с оцениванием методом инструментальных переменных Хаусмана, Тэйлора и др. (Hausman, Taylor,

1981, обсужденная в п. 10.2.5. Наиболее важно, что авторы обсуждают, каким образом при оценивании можно также использовать информацию в уровнях*^. Таким образом, в дополнение к представленным выше условиям моментов возможно также использование наличия обоснованных инструментальных переменных для уравнения уровней (10.64) или их среднего по времени (межгрупповая регрессия). Это имеет особое значение, когда коэффициент 7 близок к единице; см. также статью (Blundell, Bond, 1998).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |