Имя материала: Сборник задач к начальному курсу эконометрики

Автор: Катышев П.К.

Глава 14 предварительное тестирование: введение

 

Задача 14.1

Покажите, что /Зг и в независимы.

 

Решение

Из формул (4.19) (см. также п. 14.2) получаем

 

Рг = (Х'Х)-[Ху   и   Q = (Z'MZ)x^ = {Z'MZ)-l^Z'My. Из тождества MX = О получаем, что ковариация /Зг и в равна 0:

 

Cov(3r,e) = Е ([X'X)-xX£e'MZ(Z'MZ)-x/2} = <j2(X'X)-lX'MZ(Z'MZ)-l/2 = 0.

*Все задачи данного параграфа ссылаются на формулы, разделы и теоремы главы 14 учебника Я. Р. Магнус, П. К. Катышев, Л. Л. Пересецкий «Эконометрика. Начальный курс* (изд. 7, 8-е. М.: Дело, 2005, 2007).

■as*

 

Поскольку /Зг и в имеют совместное нормальное распределение, то из некоррелированности следует их независимость.

Задача 14.2

Докажите теорему 14.1, используя следующие шаги.

а)         Пусть Х„ = [X Z], # = [/З' У] и R = [О SJ]. Покажите, что

МНК-оценка параметра Д» в модели у = Хл(3„ + є при ограничении

R0„ = 0 задается следующей форм} юй: ^^^^^^^^^

Ъ. = (х'.х.)-1х:у-(х'.х.)-,я'(Д(х'.х.)-1я')_1Д(Хх.г1х'.у.

Гх'х

xz

-1

(Х'Х)-1 + QQ'

-Q(Z'MZ)-1'2

Z'X

z'z

 

r(Z'MZ)-l'2Q'

(Z'MZ)-*

б)         Покажите, что

 

(х'.х.г1 =

 

в)         Упростите и получите остальные результаты теоремы 14.1.

 

 

Решение

а) Модель у = Xf5 + Z7 -f є с ограничением 5-7 = 0 может быть записана как модель у = Х./З. + є с ограничением Н(3Л = О. Из формулы (4.19) следует, что МНК-оценка параметра /3. равна

-1

-1 о'

Подпись: -1Подпись: -1 ту'/з. = (х:х.гхх:У - {х'тх.)-1Я(щх'тх.г1н') шщх'.х.г1х:У.

 

[х'х

x'z]

 

Z'X

z'z

 

 

 

А

В]

 

С

I

D

умножением проверяем следующее равенство:

Х'Х)"1 + QQ' -Q{Z'MZ)-1^ " ' ~ч '{Z'MZ)-^2Q' (Z'MZ)-1

где

С

А = I + X'XQQ' - X'Z(Z'MZ)-1/2Q', = -X'XQ{Z'MZ)'1/2 + X'Z(Z'MZ)- = Z'X(X'X)-' 4- Z'XQQ' - Z'Z(Z'MZ)-l'2Q', D = -Z'XQ{Z'MZ)-1/2 + Z'Z(Z'MZ)-x.

Напомним, что матрица Q = (X/X)-1X/Z(Z/MZ)-1/2, тогда X'XQ = X'Z(Z''MZ)~1!2, откуда следует, что Л = / и В — 0. Подставляя выражение для Q, получаем:

Z'XQ = Z,X{XlX)-xX'Z(Z'MZ)-xn

1/2

откуда следует

= ZI - M)Z{Z'MZ)~i/2 = Z'Z{Z'MZ)-l/2 - {Z'MZ.

 

ШУЄТ

Z'X(X'X)"1 4- (Z'XQ - Z'ZfZ'MZJ-^lQ' Z'X(X'X)-1 - (Z'MZ)[/2Q' = 0

и

D = I.

Щ Из X, - [X   Z), (З'ж = [0' у]иД = [О S',] получаем: А

R{XlX*)-lR' - S'yZ'MZ)~xSu        I P^Q5

и поэтому МНК-оценка параметров 0 и 7 в модели у = Х0 + Z7 + є с Граничением S' -     О іадается следующей формулой: ^^^^^^р

Подпись: , "1
Подпись: Xy Z'y

0

/3

 

 

x'z

-i

 

 

Z'X

z'z

 

 

 

XX

x'z]

-1 г

 

 

Z'X

Z'Z

*

 

0

 

Отсюда получаем, что

 

= ((Х'Х)"1 + QQ')X'y - Q(Z'MZ)-i/2Z'y

-QPiQ'X'y + QP>{Z'MZ)-xl2Z'y = {X'X)-lX'y + QQ'X'y + QW,Q'X'y - QW^Z'MZ)-i/2Z'y = 3r - QWi(-Q'X' + (Z'MZ)-x,2Z')y = 3r - QWid

 

и

 

7(i) = 7

= -(Z'MZ)-^2Q'X'y + (Z'MZ)-lZ'y

+ (Z'MZr^PiQ'X'y - (Z'MZ)-l/2Pl(Z,MZ)-i/2Z,y = (Z'MZ)-l!2Wi{~Q'X' + (Z'MZ)-l/2Z,)y = (Z'MZ)'l/2Wid.

 

Из полученных формул легко выводятся остальные утверждения теоремы 14.1.

 

Задача 14.3

Покажите, что в случае 77 = 1 (см. и. 14.8) исследователю безразлично, какую из двух моделей выбрать (с ограничением или без ограничения).

 

Решение

Данный вопрос относится к ситуации, когда у нас только один вспомогательный регрессор, т. е. т = 1, и модель имеет вид у = Х0 4- 72 + є' регрессии с ограничением получаем:

 

Рг = {Х'ХГ1Х'у

и, следовательно,

Е (Д.    /3) = !{Х'ХУ 1 X'z,   V(j§r) = -frV^CC

отсюда

MSE(3r) = о'Х'Х)-1+12(X'X)-iX'zz'X<X'X)-l^^m^^^ = а2{Х'Х)-х + 12{z'Mz)qq' = ст2((Х'Х)-1 + n2qq'),

 

где 9 = (z'Mz)-1^2(X'XyiX'z и ті = {z'Mz)~l'2(X'X)~l Xі z. Оценка

в модели без ограничений равна /3„ = 0Г — 6q. Эта оценка несмещенная Е(/Зи) = 0. величины 0Т и 0 независимы (см. упражнение 14.1) и V(0) = V((z'Mz)-l/2z'My) = а2. Получаем:

 

MSE(3,J = V(3j = V(3r) + V&qq' = a2((X'X)'1 + «79')-

 

Отсюда видно, что MSE(/3r) = MSE(/3U) тогда и только тогда, когда if = 1. Это как раз тот случай, когда исследователю безразлично, какую из двух моделей (с ограничением или без ограничения) выбрать.

 

Задача 14.4

Покажите, что не любой выбор функции А приводит к естественной процедуре.

Решение

Рассмотрим следующую функцию А: Л = 1, если fj < с, и 0 в остальных ,   случаях. Тогда в точке 7} = 0 для любого с > 0 получаем: MSE(Av) < Е(А). Таким образом, процедура не является естественной.

Задача 14.5

Покажите, что матрица V(Wfj) ограничена при п

 

ос.

 

Решение

Известно, что fj имеет нормальное распределение со средним г} и матрицей ковариаций Im. Также известно, что матрица W = ^XiWi является взвешенным средним конечного числа идемпотентных матриц. Отсюда с вероятностью 1 все элементы этой матрицы не превосходят 1, а все ее диагональные элементы (и собственные значения) с вероятностью 1 лежат в интервале [0,1). При п —♦ со эти свойства не изменяются.

 

|3адача 14.6

Найдите функцию распределения величины т) — т/ при условии rj = 0, т. е. 7 = 0.

Решение

Необходимо найти функцию распределения случайной величины £ = А (77)77, где ц ~ N(0,1) и А(х) = 0 при х ^ с, и 1 в противном случае. Распределение не является абсолютно непрерывным и не имеет плотности. Однако нетрудно найти функцию распределения этой случайной величины. По определению функции распределения имеем:

 

—оо < у < —с,

Щу) = Ш < у) =

< 0, 0 ^ у < с, с ^ у < оо,

где через Ф(у) обозначена функция распределения стандартной нормальной случайной величины. Видно, что t имеет скачок в нуле, и величина скачка равна вероятности выбора модели с ограничением, т.е. равна Ф(с) — Ф(—с). График функции распределения для случая с = 1 представлен на рис. 14.1.

0.0

-4-3-2-101234

 

1.0

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |