Имя материала: Сборник задач к начальному курсу эконометрики

Автор: Катышев П.К.

Глава 8 инструментальные переменные

 

Задача 8.1

Проверьте формулу (8.5)

3,v = (X,X)-lx'y= (X,Z{Z'Z)'lZ,X)'lX,Z(Z,Z)-lZ'y для оценки, полученной двухшаговым методом наименьших квадратов.

 

Решение

Имеем X = Z(Z'Z)'1ZX. Тогда

 

3iv = (x'xy^x'y т (X'ZiZ'Z^Z'ZiZ'ZY^Z'Xy^X'ZiZ'Zy^'y = {X'Z{Z'Z)"xZ'X)~XX'Z{Z'Z)-lZ'y.

 

Задача 8.2

Докажите, что при т = к оценка (8.5)

\% = {X''Z(Z'zyxz'х)']X'Z(Z'Z)~xZ 'у совпадает с оценкой (8.2)

3IV = (Z'X^Z'y. 230

Решение

При т = к матрица Z'X является квадратной невырожденной матрицей.

Поэтому согласно (8.5) имеем         ^ Щ     ^^^^г і

3iv = {Z'X)-l{Z'Z){X'Z)'iX,Z{Z'Z)-xZ,y = {Z'X)-lZ'y.

 

Задача 8.3

Найдите V(/3|V) для оценок (8.2):

 

J3iy = {ZlX)-lZ'y

 

и (8.5):

3iv = (X'Z(Z'Z)-xZ'XyXX'Z(Z'Z)-xZ,y.

 

решение

Рассмотрим сначала случай, когда Z и X — неслучайные матрицы. Тогда

 

v(3iv) = v{{x'z{z'z)-lz'xyxx'z{z'zylz'y}

= (X'Z(Z'Z)~}Z,X)~{X,Z{Z,ZyxZ,V(y)

х Z{Z'Z)~1Z'X(XfZ{Z,Z)'lZ,Xyl = a2(X'Z{Z'Z)-iZ,Xyi

x X'Z{Z'Z)'xZ'Z{Z'Z)~xZ'X(X'Z(Z'zyxz'x)~l

= g2(x'z{z'z)-xz'xy

 

Этот случай, однако, не имеет содержательного смысла, так как если рсгрес-соры X не случайные, то сама проблема коррелированное™ регрессоров и ошибок, для решения которой используется метод инструментальных переменных, отсутствует.

Рассмотрим действительно важный случай, когда X и Z случайные. Однако в этом случае мы можем вычислить только асимптотическую матрицу ковариаций оценок.

Сделаем следующие стандартные для метода IV предположения:

Существует plim(l/n)Z'e = О.

Существует plim(l/n)ZfX — конечная матрица максимального ран-Щк га к.

Существует plim(l/?j)Z/Z — конечная положительно определенная I матрица.

Рассмотрим общий случай. Обозначим Р = Z(Z'Z)~lZ тогда

 

3iv = {Х'РХу'Х'Ру = (3 + {Х'РХУ'Х'Ре.

Заметим сначала, что из 1)-3) вытекает, что следующий предел существует

П равен ПОЛОЖИТеЛЬНО Определенной матрице:      щ   д ^^Ff

-1

р1їт( ~Z'X ) .

plim (-Х'РХ) = рЦш   J /Літ f-Z'Z

 

Также имеем

plim (^Х'Ре^ = plim i}iZ'Z

-i

plim ( ^Z'er ) = 0.

Отсюда получаем:

 

plim (/З

 

 

IV

= /3 + plim {(X'PX)~l Xі Ре) = /3 + (^)Пт^Х'РХ^ рІІт^Х'Рє

 

= 0-

 

Таким образом, мы доказали, что оценка f3lv является состоятельной.

Предположим дополнительно, что n~*f2Z'e — последовательность, удовлетворяющая условиям центральной предельной теоремы. (Это верно, например, в том случае, если инструменты Z не случайные.) Тогда оценка

1

метода инструментальных переменных /3IV имеет асимптотически нормальное распределение, и мы получаем, что вектор

1

^i(0w-P)= -Х'РХ

 

-1

п

Х'Рє

п

Подпись: 1

= ( —Х'РХ

1 '^x'z) (z'z

1

 

 

п

 

Z'e

имеет асимптотическое нормальное распределение с асимптотической матрицей ковариаций

a2plim(^~XfPX

Таким образом, мы показали, что

v^(3rv-£)

 

имеет асимптотическое нормальное распределение с асимптотической матрицей ковариаций

 

a2plim (^X'Z{Z'Z)-XZ'X

 

В частном случае (8.2), когда матрица Z имеет ту же размерность, ч* и матрица X, имеет место равенство

 

(Х'РХ)'1 = (Z'X)-lZ'Z(X'Z)-

так как в этом случае матрица Z'X квадратная, невырожденная. Тогда

асимптотическая матрица ковариациМ имеет вид           ■ ^^щЖ

а2/Лип            Pl[m (^Z'Z) (X'Z

 

Задача 8.4

Пусть мы оцениваем регрессионное уравнение

 

і           Уі = 01 + 02Xt +£t,     t = 1,...,П

с помощью метода инструментальных переменных, используя переменную Zt как инструмент для х*.

Покажите, что оценки коэффициентов имеют вид

 

PlIV = У — P2IVX,   02W = ==Г,    =77      =7

 

и являются решениями системы уравнений

 

Решение

Будем использовать обозначения X = [г &•] для матрицы регрессоров и

Z = [г z] для матрицы инструментальных переменных. Відчислим оценку метода инструментальных переменных:

(Мы использовали тождество (zt - г)'г = 0.) Теперь вычислим 0UV: 2        z'xi'y - \%'xz'y     nz'xy - nz'yx     (z'xy - пЩ7) -- (z'yx - пгху)

hz'x — i'xi'z

nz'x - n2zx

z'x — nzx

nzx

z'x

{z'x - nzx)y - [z'y - nzy)x    _    - _

             = У - P2XVX.

Рассмотрим вторую часть задачи. Оценка f3iv удовлетворяет уравнению

Зїу = (Z'X)~lZ'y, а следовательно, и уравнению    ■ ^^^^^^ж

(z'x)3iv = V^^^vj

Запишем последнее уравнение в координатах:

 

 

или

 

Г л г'х

 

[|uv

 

г'уі

z't z'x

 

 

 

z'y

•n3uv

+ г'х 3aiv =

-- г'у

*'«3||V

f

2'x/32|V =

z'y

что совпадает с системой- указанной в условии задачи.

 

Задача 8.5

Рассмотрим модель (8.3

у = Х/3 + є,   V(e) = <r2/,

 

в которой ре [рессоры Xtp коррелнрованы с ошибками е*. Пусть Z — некоторая матрица. Преобразуем исходное уравнение, умножив его слева на Z':

 

Z'y = Z'X(5 + Z\% (*)'

Покажите, что оценка обобщенного метода наименьших квадратов (5.4) для вектора коэффициентов уравнения (*) равна

0GLS = (X'Z(Z'Z)-lZ'X) ~ХX'Z(Z'Z)-xZ'y. I

Сравните результат с формулой (8.5) ДЛЯ оценки метода инструментальных переменных. Ї

 

Решение I

Введем обозначения: X = Z'X, у = Z'y и є = Z'e. Уравнение (*) в этих обозначениях имеет вид: |

 

у = Х(3 + є,      УЩ = V(Z'e) = Z'V(e)Z = o2Z'Z = П.

Применяя формулу (5.4) для оценок вектора коэффициентов уравнения (*) обобщенным методом наименьших квадратов, получаем следующее выражение:

3gls = (х'п-1Х)-1\%П-1у І = {{Z'X),(Z'Z)-l{Z'X)yz'X){Z,Z)-lZ'y

щ {x'z{z'z)-xz'x)'xx'z{z'z)-'z'y,

которое совпадает с формулой (8.5) для оценки метода инструментальных переменных.

 

Вадима 8.6     > ^т.

I    Пусть переменные у*,     связаны (точным) уравнением ^^^^^^^^

 

Однако вместо точных значений мы наблюдаем измеренные (с ошибками измерений) значения у, — у} 4- Щ и zt = z* + vt, где щ ~ iid(0,<т~), Vt ~ iu/(0, ctJJ), ошибки щ и уа независимы при всех t и s. Мы оцениваем методом наименьших квадратов уравнение

 

,           Vt = 01 + 02*1

а)         Удовлетворяют ли ошибки в данном уравнении условиям стандартной

і      линейной модели?

б)         Найти Cov(ztt єt).

в)         Найти р im02-

 

Решение

а, б) Подставив выражения для у^, z в исходное уравнение, получаем:

 

yt - ut = 0 4- 02(zt - vt)4 или

I           Vt = /Зі 4- ftZ! + (tit - 02Vt).

Таким образом, £t = Щ — 02Vf. В силу условия задачи получаем, что ошибки независимы при всех ( и дисперсия ошибок постоянна

 

V(e,) = V(t«, - fovi) - »£ + ДО.

Поскольку рассматривается модель со стохастическими регрессорами, то в понятие «стандартная модель» входит также некоррелированность ошибок с регрессорами. Вычислим коварпацию zt и ef>

 

Cov{zuet) = Cov(zt* +vt,ut-02vt) = -02ОІ Ф 0.

Подпись: pYm�2 = Подпись: ) Вычислим предел Cov(z, у)

 

Cqv(** + v, у* + ц)    Cov(c' + v, 0i 4- ДО

V(z +1;)

V(z+v)

vji)

~2—;—2 = ^2

 

Таким образом, МНК-оцепка параметра /З2 является асимптотически смещенной и несостоятельной.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |