Имя материала: Сборник задач к начальному курсу эконометрики

Автор: Катышев П.К.

Глава 9 системы регрессионных уравнений

 

Задача 9.1

Рассмотрим следующую модель:

Подпись:
Подпись:
Эндогенные переменные — Cti Yj, It, экзогенная переменная — Gt- На-пиніите эту модель в матричной форме и найдите ее приведенную форму. Сколько ограничении накладывается на шесть Коэффициентов приведенной формы модели и каковы эти ограничения? Покажите, что при заданных значениях коэффициентов приведенной формы можно единственным образом получить значения коэффициентов а, /?, 7 и 5, т.е. при заданной матрице П уравнение ВПтГ = 0 имеет единственное решение относительно В и Г.

 

Решение I

Введем обозначения:

 

z, =

 

Тогда модель может быть записана в матричной форме:

 

Bzt + Twi = et,

где

1     О -0 В=    0     1 -8

-1 -1 1

Приведенная форма записывается в ваде:

 

-7 О

О О

-1

 

Подпись: и,,
Подпись: где

 

 

в-1 =

 

1-0-6

1-6 0 0 5 1-0 S 1        1 1

 

 

 

П =

 

1-0-6

 

Га — 6а 4- /з7

0"

 

4

 

7 — 0*у 4- а<5

6

 

ті

а 4- 7

1

 

4

4

 

 

*)

Ha шесть коэффициентов приведенной формы наложены два огранн-ения:

Подпись: 7Г) +1.7Гу- - ТТС + 7Г, ,

 

7Гу- = 7Г(-

(**)

Покажем, что по заданным коэффициентам приведенной формы (элементам матрицы П), удовлетворяющим ограничениям (**), можно единственным образом восстановить коэффициенты а, /3, 7 и б, т. е. уравнение (П -|- Г — 0 всегда имеет единственное решение. В самом деле, из (*) получаем (если тгу ф 0):

8 =

 

1 < V 1 1

 

о 4- 7 =

 

1 1

 

а{-6) + 10

 

Подставив 5 и /3 в последние два уравнения, получим систему относи-іьпо 7 и а:

7Г?.

Oc + J =

 

а   1

 

1

V

 

7Г,

+ 7-f = —

7Гі

О

Подставляя у = —— а во второе уравнение, получаем:

7TV

о:

1

7Г!

7г;

о

y

1

— а

Отсюда

 

 

0(Ку Г») - 7г£.) = 7Г£

 

44

 

или, в силу (**),

 

Подпись: /3 =
Подпись: 8 =
Подпись: —	7ГС 7	Ї—
1x1-       • тгЬ
Подпись: 7 =

 

Задача 9.2

ч

Рассмотрим проблему идентифицируемости каждого из уравнений в следу ющей модели:

Pt + РпЩ

+ 7nQ<

+ 7ізЛ-і

= Єн,

 

+ 732-Si + 7ззР/-і + 7:мМ'(-п = Єзь

где Pt, Wt, Nt - индекс цен, зарплата, профсоюзный взнос соответствен!! (эндогенные переменные), a Qt И 5< — производительность труда и кол чество забастовок (экзогенные переменные). Как выглядят порядковое и ранговое условия, если известно, что:

а)         711 =0,

б)         021 = 722 = 0,

в)         7зз = 0?

Решение

При исследовании идентифицируемости уравнений в системе одновреме ных уравнений при наличии простейших ограничений (равенство нулю го или иного коэффициента) можно воспользоваться следующим практическим приемом, суть которого может быть продемонстрирована на данном примере.

В нашем случае мы имеем три эндогенные неременные — Pt, Wt, Nt, экзогенные — Qt, St и две легированные эндогенные — Pt-i, И V— і - ПреД ставим исходную систему в виде следующей таблицы, в ячейках которо стоят коэффициенты при соответствующей переменной в соответствуют^ уравнении:

Подпись: tПодпись: 7ll 0
0
е уравнение

е уравнение

е уравнение

 

Pt

 

1

021

0

 

Wt

012 1

032

Nt Q

0

023 1

 

St

0

722 732

Pt-

 

7i3 0

733

 

i

Wt-0

724 734

 

 

Тогда выполнение порядкового условия эквивалентно тому, что в к дом уравнении число нулей не меньше числа уравнений минус 1 (|J IiaJ

случае — 2). Отсюда следует, что для каждого уравнения порядковое условие выполнено даже без дополнительных ограничений а), б), в). Проверка выполнения рангового условия для любого уравнения осуществляется так. Надо взять какой-либо нулевой коэффициент этого уравнения, выписать весь соответствующий столбец таблицы (исключая этот нулевой коэффициент), повторить эту операцию для всех нулевых коэффициентов уравнения и получить матрицу, число строк которой будет на единицу меньше числа уравнений, а число столбцов не меньше, чем число уравнений минус 1, в силу выполнения порядкового условия. Тогда выполнение рангового условия эквивалентно тому, что построенная матрица имеет полный ранг (т.е. число уравнений минус 1).

В пашем случае соответствующие матрицы таковы:

1-е уравнение —

 

2-е уравнение •

 

3-е уравнение

023      122 724

1          732 734

I

7И       713

711

О

0          7зз

1

021

Тогда получаем:

а) если 7i ] = 0, то первое уравнение идентифицируемо, а второе и третье

нет;

б)         если 02} = 722 = 0, то первое и второе уравнения идентифицируемы,

^третье нет;

в)         если 7зз = 0, то первое и третье уравнения идентифицируемы, а второе

нет.

 

 

•адача 9.3

7i2X2t = Єи

+ 723^3* = C2ti

733^31 = єз*-

Опишите процедуру оценивания каждого из уравнений следующей системы:

 

УП + 012У21 + 711

У21     + 721

032У21 + Узь + 731

 

>ешение

Как и в задаче 9.2, составим таблицу.

Подпись: 2-	<
3-	<

 

У и

h'2t

. У3t

const

3*2/

Ш

е уравнение

1

0X2

0

7и 1

712

0

еуравнение

0

1

0

721

0

723

е уравнение

0

032

1

7зі

0

7зз

Применяя процедуру, описанную в задаче 9.2, получаем, что первое и і второе уравнения идентифицируемы, а третье нет, несмотря на то, что для каждого уравнения выполнены порядковые условия. Согласно двухшагово-му методу наименьших квадратов, для оценивания первого уравнения надо осуществить регрессию у2/ иаагге» x3t и константу, получить прогнозные значения у21, а затем провести регрессию ум на У2и 32t» и константу. Для оценивания второго уравнения достаточно провести регрессию У2і на х*м и константу.

 

Задача 9,4

Рассматривается следующая система уравнении:

 

Ун = 7ю          * &12У2І + 0ЇЩІ + \%1Щ + 7i2^2t +

У2і = 720 + 02Уи      + 721-Ти         + gfti

Узг = 7зо + tklVtt + 032У21 + 7зі^и            + 7зз^зі + £з*-

 

Идентифицируемо ли каждое из уравнений системы? Что получится, если применить к первому уравнению двухшаговый метод наименьших квадратов?

 

Решение

Составим таблицу (ср. задача 9.2).

 

 

Уи

 

У:и

const

 

Х2І

хзі

1-е уравнение

-1

012

0X3

7п

712

0

2-е уравнение

021

-1

0

720

721

0

0 I

3-е уравнение

0zx

032

-1

7зо

731

0

7зз

 

Для первого и третьего уравнений не выполнены порядковые условия, следовательно, они не идентифицируемы. Для второго уравнения выполнено как порядковое, так и ранговое условие, поэтому оно идентифицируемо;

Применение к первому уравнению двухшагового метода наименьш квадратов приведет к системе с точной коллинеарностью.

 

Задача 9.5

Задана система одновременных уравнений (ї/і, уг, Уз — эндогенные переме ные).

 

Ун = 7ю          + 02У2ь         +7пяи +€Щ

У2І f 720        + 023УЗІ + l2X        -Ь 723^3* + £2£>

Узг =       0зУи + 032У21     + 731 хп + 732^2/ + 7зз#з* + ЄЩ

а)         Для каждого из трех уравнений определите, выполняются ли порядко-

и ранговые     идентифицируемости. •        ■ ^^^^^Г^Е

б)         Повторите п. а) при дополнительном оі раннчении: 73»=,»^^^^ш

в)         Пов'л>рите п.а) ним доиолиителыи>м <►граничении: 732^Вн^^^^^^Ы

г)         Повторите п. а) при дополнительном ограничении: 732 = 7зз-

 

Решение

Составим таблицу (ср. задача 9.2).

 

 

У и

У21

Узі

const

 

X2t

*3t

1-е уравнение

-1

Р2

0

7io

0

0

2-е уравнение

0

-1

#23

720

721

0

723

3-е уравнение

 

Ді2

-1

0

7зі

732

733

 

 

а) Как видим, для первого и второго уравнений порядковые условия выполняются (число нулей в строке не меньше 2). Для третьего уравнения порядковое (а значит, и ранговое) условие не выполняется.

Матрицы для проверки рангового условия доя первого и второго уравнений следующие:

1-е уравнение —

 

2-е уравнение —

'023 -1

-1

0 723

732 7зз

0

7зз

 

Ранговые условия выполняются для обоих уравнений, следовательно, первое и второе уравнения идентифицируемы.

 

б) Если положить 7з2 — 0, то порядковые условия для первого и второго уравнений не изменятся, а для третьего уравнения порядковое условие становится выполненным.

Ранговое условие для первого уравнения выполняется, для второго и третьего нет. Следовательно, только первое уравнение идентифицируемо.

 

Если положить 7з2 = 1, то для проверки ранговых условий в нервом и втором уравнениях достаточно подставить 732 = 1 в матрицы из п. а). Ранговые условия выполняются, значит, первое и второе уравнения идентифицируемы.

Чтобы проверить идентифицируемость третьего уравнения, сделаем замену переменной: положим 234 = уы - X2t - Тогда таблица примет вид:

 

3-е уравнение —

7ш 0

720 023

 

 

Ее ранг равен 2, следовательно, третье уравнение идентифицируемо.

 

г) Если положить 7з2 = 7зз» то аналогично п. в) подставим это условие в матрицы из п. а) и убедимся, что первое и второе уравнения остались идентифицируемыми.

Чтобы проверить идентифицируемость третьего уравнения, сделаем замену переменной: положим Z2t ~ хм + ХЦ. Тогда таблица примет вид:

3-е уравиепие —

710 О

720 723

 

Ее рані' равен 2, следовательно, третье уравнение идентифицируемо.

 

Задача 9.6

Рассматривается модель, состоящая из двух внешне не связанных уравнений (SUR):

Vti =0i -Fen, J

Уі2 =02Xt+St2-

 

По 50 наблюдениям (по каждому уравнению) получены следующие рез,У-^ таты: £хь = 100, £х2 = 600, £зд(1 = 60, Щхгуь2 = 50, £>і = l°{h £У« = 500, gj/tif 2 = 150, Х>2 = 50, £у?3 = 90.

а)         Напишите формулу для GLS-оценки параметров 0, 02-

б)         Найдите OLS-оценку этих параметров.

в) Найдите SUR (FGLS)-oueHKy этих параметров и оцените матрицы ко-

вариаций этих оценок.         ■ ^^^^^^4ш.

 

Решение         m# ^^Ci

а) Обозначим ковариационную матрицу вектора [є\, £(.2]' через

 

Oil °2

 

 

Модель SUR, следуя обозначениям из разд. 9.1, можно записать в виде

С         у = Х/3 + е,

Их

02

Ух

У2

где

. х =

. є =

, 0 =

У

~Х, О

О Х2

Є2

Опенка ^Зсьб равна:

ДоЬЗ^ХЧГ'ХГ'ХЇГ^.

Матрица О-1 равна:

і

(J22     —С 12

0[СГ22 ~ Щп    ~°*Г2     17п

 

ГГ1 = 5Г1 ®/„ =

.2

Матрица X'fi 'X равна:

X'ft 'X

]

 

(7\022 - &12

(Т22«   — 012 Е а'<

~0Ї2І>1     0*22 ЕЛ'?

Вектор Х'П'""у равен:

 

'о 1.

Х'П 'у =

^11^22 - ?|2

 

022 Е ум - *ria£V«3

-012 Е .ї-Ч.у/1 + Oil 52 **Уй

 

Матрица (Х'П 'X)"1 равна:

 

'r»-l      011022 ~ 012  ГЛі Е^?   0*12 £)Ж

Oil 0*22™ Ел;? - (Е-^

012

 

Оценка ySc:ls равна:

і

 

о №l СГ22 E A E уп - O-l 10-12 E -Г? E ?/i2

Ші^22п£а| - щ (E-Tt)

- 0?2 Е xt X] $t»M + о-! іffi2 E x< E ЭД12)»

Подпись: 2 (o*l20"22 E     E Vtl - 0"i2 E *| E Vt2І2 =

 

0ц 022'>Е-т? - °и (Ext) - 0-120*22" E xtVa +о-ца22пЕ^гг/і2)-

б) МНК-оценки параметров 0 и 02 получаются оцениванием двух уравнений отдельно. Поэтому

 

п*-*50   3' 02    5>Г " 600 -°-0833' JV/

 

в) Сначала оценим параметры матрицы Е и оценим ковариационную матрицу оценки 3ols-

 

т

 

 

71

 

/1

Еї/м (ЕЫ:

7v

500 _ 1502 _ 50      502" ~ '

 

<?22

 

= 0.917.

1^2 1Г / ЕХ'У'2 V Ез 50 (50)2

50     50 • 000

 

 

п Е а'?

 

=

Е

ті

IV

= ЛулУг2    Еш Ei/t2 _ Е^Уи Т,хіУг2 ^ Еуп Е-^У'зЕ^

п2ї>?

50

502

50 • ООО

170    150-50    200-50 150-50-100

502•600

 

= 0.567.

 

Ковариационная матрица оценки /?ous равна:

 

I о о 1

1 п 0 0 1

 

 

"Е1? L ?іа °22п

= 0.02,

1J

і • 600

50 • 600 0.917-50

50 • 600 0.567 • 100

50 • 600

Подставим в эту формулу оценки с?,-, и получим:

= 0.00153,

 

V( А) =

0.00189.

 

v(A) =

 

C^(A,A) =

Подставив оценки дц в формулу для оценки /3gls> получим значения

0ЦЄИОК &FGLS-    I     p'^^j^ I

Л, - 2.549,   02 - 0.135.        Ш Ж Ковариационная матрица оценки /3GLS равна

 

,           v(pGUi) = (xn-1x)-

 

Подставив оценки 9\% в формулу для получаем:

 

У{0) = 0.0147,   V(/?2) = 0.00112,   Co^(0Xl02) = 0.00139.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |