Имя материала: Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика»

Автор: Дорохина Елена Юрьевна

Методы оценки коэффициентов эконометрической модели с нестандартными ошибками

 

Подпись: Z^-ZV) -5c/IV Подпись: *2-i/Z*,

-/V *2  V *2

rTx2/(T.Zx*2) -x/Zx*2^

Задание 3.1

Для обобщенной линейной регрессионной модели у,= ао +aix, +st(t=,...,T) имеется Т= 10 пар наблюдений, которые представлены в табл. 3.1.

-i/ZV

0

0

= ct:

-зс/zv

*2

-l/Z*,

-x/Z**' о Л

V

'0

ZV/^-ZV) -x/ZV

r-x/Zv і

,o l/ZV

Таким образом, в частности,

 

ZV

Требуется.

Определить оценки обобщенного МНК для параметров модели, исходя из того, что имеется «чисто» гетероскедастичная модель с известными дисперсиями ошибки. Они составляют

0,04; если 5,0<х,<15,0;

0,16; если 15,0<х,<25,0;

1,00, если 25,0<х,<40,0.

Оценить параметры модели классическим МНК. Определить ошибку, которая возникает из-за неправильной спецификации модели.

Определить для описанной в п. 1 ситуации ковариационную матрицу оценок параметров, полученных обобщенным МНК.

4. Определить ковариационную матрицу оценок параметров, полученных классическим МНК.

Рассчитаем

Подпись: 1,5161 -0,0876^1. -0,0976   0,0075 у

Решение.

1. Матрица факторов имеет следующий вид:

f          8^

1          10

1          12

1          16

Х =

1 20 1 20 1 24 1 28 1 30 1 36

 

ковариационная матрица ошибки соответственно • 4,12 53,76 53,76 835,2

Х'СгК-i 30'328 Х" У~{412,072

Таким образом, получим

a  -rrO-l^-1rO-1v-(1'5161    -°>0876V 30>328 )-f5'7621l

2. a = (XXyl -Ху

10 204 204 4920

аА-{ЛИ Л) ЛИ У-1 _од976   о, 0075 J' U12,072J _ 1 0,1305 J

 

_1 (  82  "J (5,736fl 1762,4J   ^0,1208У

Если исходить из классической модели вместо описанной в п. 1 модели с «чистой» гетероскедастичностью, то при оценке получим следующие «ошибки» параметров регрессии:

Аі ж 15,7621 - 5,7361| = 0,026;

А2 и |0,1305 - 0,1208| = 0,0097.

«0,04-

 

3.Cov(a„) = <?(X£IlX)~x =

-0,0976   0,0075 J   1,-0,0039  -0,0003)

4. Cov(a) = Ue{XX)x ■-

1,5161    -0,0876W 0,0606 -0,0039^1

T-2

(xxy1 =

1    Г4920 -204^

Zy?-T-y2-4(Zxf-T.x2j

10

-[685,4 - 672,7 - 0,12082(4920 - 4164 - 6)]    , „Л.

8          7584 1-204

( 0,1570 -0,0065^1 *V0,0065   0,0003 У

Таким образом, каждая компонента вектора оценок параметров, полученного классическим МНК, обладает большей дисперсией, чем соответствующая компонента вектора оценок параметров, полученного обобщенным МНК. Правда, для параметра щ различие между дисперсиями очень мало.

Задание 3.2

Имеется «чисто» гетероскедастичная модель линейной од-нофакторной регрессии. Дисперсии ошибок є, (t = ,...,Т) обозна-

2

ЧИМ Gt .

Требуется.

1. Показать, что оценки обобщенного МНК для параметров регрессии «о и а рассчитываются следующим образом:

Zl/a?Zto)/g,2 -ZVoflVo-,2 ,

аА      ;           ^2        '

Zl/a2Ex2/a2-(Zx,/a2)

 

аА0 ~ „  .  о ~аЛ "

Кроме того, в случае однофакторной регрессии

хт

1   ... 1^

Х =

aA={xaxxyl ха] =

1/ог Л

X] /C7j ^Xj* / Су

хг /аг

1/aj

 

l/aT xj / а]   ...  Xj /ст

Подпись: 'Zl/a2Определить ковариационную матрицу вектора оценок, полученного обобщенным МНК.

Показать, что в частном случае «чистой» гомоскедастично-сти вектор оценок, полученный обобщенным МНК, совпадает с вектором оценок, полученным классическим МНК.

Решение.

1. В случае чистой гетероскедастичности при о2 = 1 получим

 

О

Cov(f) = Q:

of

 

2^

2 >

ZV<

z*^/<*2

l

Zl/a2Zx2/a2-(Zx,/a2)

2U v    і 2Л

Z*fK -ZV°,

-Zx,/a2 Zl/^2 1

Zl/a2Zx2/a2-(Zx,/a2) l.xf/af'Zy,/aj - Z*/ /a2Z^ у, /a2

Zi/°?IW<7?-Z*, ^2Z>v Ч2

 

соответственно

 

aF2

0

0

-2

CTj;

Отсюда, как и утверждалось, следует

 

„ Zi/g?Ito)/g?-ZVg?lW

аА =  

Zl/a2Zx2/a2-(Zx,/a2)

Z*2 /g2£y< i*t ~Z*t /g2Z*^/g2 _

Л0       "           'Л ~

+

Zl/a2Zxf2/a2-(Zx,/a2)

El/a2 El/a2I*2/a2-(2>,/<*2)

2 2

+

(z*2/°2) ZW-(lW) iW

zi/^f

ZW

zi/<

zv<^

Zl/a2Z*2/a2-(Z^/a?) Zl/a2Zx2/a2-(Zx,/a2)

zi/°.

ZV^

Zl/cr2

 

Covfo^Cr/Z'-X)-1

2   I   v-.. ,_2      ^, /_2

2

Zl/a2Zx2/a2-(Zx,/a2)Z №*'0|

Ъ2 = .

 

3. В случае «чистой» гомоскедастичности выполняется следующее соотношение:

от - ое .

Таким образом,

Zl/a2Z to)/cr2 ~Z*, /g,2Z W

аЛ       "2         =

Zl/a2Z*2/a2-(Zx,/a2)

І.хіу,-тху_   .     _ZV<?2  Л   EW  - -

 

Итак, при выполнении свойства гомоскедастичности вектор оценок параметров, полученный обобщенным МНК, совпадает с вектором, полученным классическим МНК.

 

Задание 3.3

 

Имеется «чисто» гетероскедастичная модель линейной од-нофакторной регрессии

y, = a0 + alxl + et(t=l,...,T),

ДИСПерСИЯ Ошибки КОТОРОЙ <Ущ =

 

Требуется.

Определить для этой модели ковариационную матрицу ошибок, а также матрицу Г, с помощью которой модель может быть преобразована в классическую.

Перейти к преобразованной модели и определить на ее основе оценки параметров регрессии «о и а,.

3.         Определить оценку параметра о2 для данной модели.

Решение.

1. При заданном соотношении ковариационную матрицу ошибки можно записать следующим образом:

 

Cov(e) = a2Q = a2 х

Матрица Т только тогда может преобразовывать обобщенную модель в классическую, когда ТПГ = Е. Очевидно, что это условие выполняется для матрицы

О Л

Т =

{ 0 1/хТу 2. Модель, преобразованная с помощью матрицы Т,

Задание 3.4

 

Имеется линейное однофакторное уравнение регрессии

y, = a0 + a1x, + st(t=l,...,T),

а также 10 пар наблюдений переменных (х,, у,), которые представлены в табл. 3.2.

уА=ХАа + еА,

(3.1)

а    ЪхмУм-т-хаУа b^-jr£i/*£V*

аА1 - ———  — =     ,

TxAt-JxA £1/х,-1(£1/х,)2

 

аА0 =УА- ааха = ^Z^- -у-Ь .

eAt

3. Определим остатки преобразованного уравнения как Уі ало

-аАХ (/ = 1,...,Г).

1

аа

 

Для классической регрессионной модели оценкой параметра о2 является следующая оценка:

Т-2'

 

Уі аА0

xt xt

Требуется.

Определить линию регрессии с помощью гетероскедастич-ной модели из задания 3.3.

Определить линию регрессии на основе классической модели.

Изобразить обе линии регрессии и фактические данные на диаграмме рассеяния и сравнить их друг с другом.

Решение.

IV*?-^rI1/**IV**

1. аАХ =         І-         = .

II/*,-^(11/*)2

3,2593- —-2,1761-12,2276

=          ^—j     «3,4310;

0,6480- —-4,7356 10

^0—І^-^- = --12,2276-^І^-«0,4761. Т   xt     Т    10 10-2,1762

В целом, линия регрессии, построенная обобщенным МНК для гетероскедастичной модели выглядит следующим образом:

 

yh =3,4310 +0,4761л:.

2. Если оценивать классическую модель с помощью классического МНК, то получим следующее:

а _ І.х,У, -Тху = 425,00-10-6,19-6,32 „Qms °1     Ъх}~Тх2 469,25-10-6,192

а0 = У-^l* «3,8903.

Итак, имеем следующее уравнение регрессии:

yh =3,4310 + 0,476ІХ;    у = 3,8903+0,3925*

у = 3,8903 + 0,3925*.

 

л

для которого выполняется условие <7щ = х} (t = ,...,Т). Имеются следующие фактические данные:

 

xt

1

2

3

4

5

У'

1

2

2

3

4

Требуется.

Определить вектор оценок параметров регрессии а с помощью классического МНК.

Определить вектор оценок параметров регрессии аА с помощью обобщенного МНК.

Определить потерю эффективности, которая возникает из-за применения классического МНК вместо обобщенного.

Определить оценку ковариационной матрицы вектора оценок Cov(a) и сравнить ее с Cov(a).

 

Решение.

1.

_Txty,-Txy = 43-5-3-2,4 -0?-2>2-7х2 55-5-32

Оба уравнения отличаются незначительно. «Ошибка», возникающая из-за того, что для целей прогнозирования применяется уравнение, оцененное классическим МНК, проявится только в будущих периодах.

«0 = у-аххп 2,4- 0,7 -3 = 0,3.

2. Рассматриваемая здесь модель является частным случаем модели из задачи 3.3 при о2 = 1. Согласно решению задачи 3.3, п.1 матрица преобразований будет выглядеть следующим образом:

Задание 3.5

Рассмотрим частный случай гетероскедастичной модели од-нофакторной регрессии

у, = «о + ах х, + є, (t = 1,...,Т),

1хх 0

0 Ї

 

lxTj

Используя выражения из задачи 3.3 п.2, получим

2 1

аа

 

Zi/^-^(Zi/^)2

Ковариационная матрица вектора оценок обобщенного МНК в общем случае:

Со(аА) = (X (Cov(£)4)Ar)4.

В данном случае:

і

2,0697---2,2833-4,2167

:           5         

1,4636-і- 2,283322

 

«0,3424;

 

 

Cov(f)"1 = Q"1 =

 

1/4

 

 

1/9

 

1/16

1/25

аА0 = - Z— - — = - • 4,2167 - - ■ 0,3424 • 2,2833 и 0,6870 . Т   xt     Т    5 5

Для ковариационной матрицы МНК-оценок в общем случае выполняется следующее:

Cov(a) = <?{ХХУ1 ХПХ{ХХ)

'г2

П = (ГТ)-1

Х =

Рассчитаем

55 225 225 979

5 15 15 55

В нашем случае о2 = 1, отсюда следует, что

; (хху1

Х'П Х =

-1

J_ Г 55 -15 50'1-15 5

В целом получим следующую ковариационную матрицу вектора а:

с  , .  J_(55   -15Y 55   225V55   -5Л( 6,6 -2,52л 5021~15    5 Л225 979J^-15    5 J  ^-2,52 1,24,

Определим ковариационную матрицу оценок параметров.

п   ,   s   (2,3159 -1,0850^1 С^^)-!-1,0850 0,6955

 

3. Потеря эффективности при использовании классического МНК вместо обобщенного составит

л   п   t   п   t   л   ( 3>7841 -1.4350' A = Cov(fl)-Cov(fl,)«(_1)4350 0;5445

°2е =

 

4. Оценим сначала

1

Т-2

Ъу}-ТУ2-^^х2-1х2)

= i[34 - 5 • 2,42 - 0,72 (55 - 5• З2 )] = 0,1.

 

Теперь определим

2,v-vW   n, ( 55/50   -15/50"!   ( 0,11  -0,03"

Cov(a) = a2(XX)   =0,1- _15/50    5/50 1 = 1   0)03   ш

Следует обратить внимание на то, что эта оценка не только содержит случайную ошибку выборки, но и основывается на неправильно специфицированной модели. Отдельные оценки по абсолютной величине существенно ниже, чем в истинной матрице Cov(a).

Задание 3.6

2. Матрица факторов У и вектор целевой переменной с выглядят следующим образом:

Подпись: 1Подпись: 300 19100Подпись: 1
160
Рассмотрим «чисто» гетероскедастичную однофакторную регрессионную модель

с,= «о + «і У, + et(t = 1,...,Т), где с — потребление домохозяйства определенной структуры, у — доход этого домохозяйства. Ошибки попарно не коррелиро-ваны, дисперсия ошибки при доходе от 50 до 100 ед. в 2 раза больше, чем при доходе до 50 ед. Имеется следующая выборка объемом 9 наблюдений:

 

У'

30

35

35

45

50

60

70

90

160

с,

30

30

35

35

40

50

70

80

120

Требуется.

Определить ковариационную матрицу ошибки для этой модели.

Оценить параметры уравнения с помощью обобщенного МНК.

Оценить параметры уравнения при измененном условии: дисперсии ошибки должны быть пропорциональны квадрату дохода. Сравнить результат с соответствующим результатом в п. 2.

Решение.

1. Если обозначить через о2 дисперсию ошибки при доходе до 50 ед., то

Cov(aA) = o2n = o2

f 0000000 0^ 010000000 001000000 000100000 000010000 000002000 000000200 000000020 1^0 00000004

120

0,25

0

Г£Г1с =

30

 

Таким образом,

_Гб,75    345 > 1 ( 300 V ЯЛ-^345   22575J l910oJ

            1                      (22575  -345") ( 300

6,75-22575-3452 t-345 6,75Jl9100j

1       Г22575  -345^ ( 300 V/5,4862^

33356,25 -345   6,75 J' ^19100j ~ ^0,7622j

В целом имеем следующую линию регрессии: с = 5,4862 + 0,7622>>.

 

3-«4i=  ~,         :— =

11/*-^т(11/*)2

0,1624---0,1810-7,9071

=          ^—:     «5,2781;

0,0043---0,18102 9

^0=1IfL-^ = 1-7,9071-^^-0,1810«0,7724. Т    yt     Т     9 9

Линия регрессии при измененных условиях:

с'= 5,2781+ 0,7724>>. Линии регрессии из п. 1 и п.З отличаются незначительно.

 

Задание 3.7

 

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью однородного уравнения:

yJt = aiXjtm + а2х/] + ejt (ґ = 1,T;j = 1,.., *,), (3.2)

где yjt— потребление;

x,r(1) — заработная плата;

(2)

Xjt — дивиденды домохозяйстваj в период t. Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии а и а2 должны оцениваться на основе эмпирических данных, но для каждого периода нет данных об индивидуальном потреблении yJt, а есть только совокупное потребление всех  домохозяйств, т.е.

к,

Z у it ■

7=1

Требуется.

Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели а.

Показать, что это уравнение является моделью с чистой ге-тероскедастичностью, в которой ковариационная матрица ошибки известна с точностью до о2.

3.         Определить оценки параметров а и а2.

Решение.

1. Просуммируем уравнения (3.2) по всем j = 1,..., kt и разделим на к,. Таким образом, получим уравнение

у1=а]х^) + а2х^) + г( (t = l,...,T), (3.3)

 

где yt=—Y.yjt

К j

Xf ^ - Zxy^

Kt j

 

1

4 j

Это уравнение позволяет оценить параметры а и а2, так как средние величины могут быть определены из агрегированных данных.

2. Уравнение (3.3) является «чисто» гетероскедастичным, если COV(£>, £V) = 0 для t, т= 1,...,Ги т.

,_ _1_ kt

Сначала покажем, что, поскольку М[^г] = 0, для всех j выполняется

 

Zsi=-ZM[sy,] = 0.

Таким образом, при г

cov(e,, гх) = M[st • єт ] - М[є, ] • М[єт ] = М[є, • є J=

1    К К = Г-ГЕЕМ[єуГє/т] = 0, к, -кт j=u=i

так как M[£Jt • £[г] = О при t *т.

Если о2 является дисперсией ошибки исходной классической модели, то для дисперсии ошибки уравнения (4.3) выполняется следующее:

С учетом того, что

ч

(2)

 

рассчитаем

 

х'аг V =

VX1

 

3cW х(2)

D(st) = D

Подпись: 1 к, Kt J=lЛ    I   .    2 а2

Следовательно, ковариационная матрица ошибки модифицированного уравнения

'1/к,     0 >

О

т;

Cov(e) = ozQ =

о2.

1/к

т.е. она известна до множителя

3. При оценке параметров регрессии а и аг исходят из уравнения (3.3). Так как согласно п. 2 это уравнение является гетеро-скедастичным, то следует применять обобщенный МНК.

Матрица Af содержит средние значения обеих объясняющих переменных для каждого из Г периодов.

WlO =(2)"

(1)

Х.(2)

1 ji

Д2)

=а> =<2)

 

Z^f     ^ j HiKxt ^xt

^xf2) ... ^r4z

 

Обозначим

^ = Е^(^)2Е^(зс/2))2-(Е^(2))2.

С учетом этого

^(J'Q_1Jr1J'n_1J =

хф(2)) Х*л(1Ы -Е*^2)1МРй

 

Подпись: (1) 7(2)хт

Вектор целевой переменной содержит среднее потребление для каждого из Г периодов.

 

У =

Ут;

Задание 3.8

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью трехфакторного уравнения:

yjt = ах + а2х, + a3Wj, + a^jt + ejt {t = 0,T;j = 1,к), (3.4)

где y]t - потребление домохозяйства j в период t; xt — индекс цен в период Ґ,

Wjt — число членов и Zjt — доход домохозяйства j в период t.

87

Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии аь аг, «з и а4 должны оцениваться на основе эмпирических данных, но отдельные данные известны только для 0-го периода, а для всех последующих периодов, к сожалению, известны только средние объемы потребления, среднее число членов домохо-зяйств и средние доходы всех домохозяйств, т.е.

1 к       j к        і к

j=        K j=    K j=

 

Требуется.

Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели а на основе всех имеющихся данных.

Построить ковариационную матрицу ошибки модифицированного уравнения.

3.         Определить вектор оценок параметров а.

Решение.

1. Для 0-го периода строится к уравнений

yjo = «і + «2*0 + cciWjo + atZjo + єр (/' = 1 к),

а для периодов t = 1,..., Г— Г уравнений

yt = aj + a2xt + а^Ц + a4z, + ~zt (t = l,...,T),

1 k

где   Є, =-£6,.

 

( ЛО

 

х0

wl0

z10

 

 

 

; -^о -

 

 

 

 

 

 

 

 

і

х0

WjQ

wj0/

 

 

Если определить как

f

 

то можно записать модифицированное уравнение в матричной

форме

88

(т, л Уо

 

 

■а +

(с Л

[у)

 

 

 

 

Оно охватывает к + Т уравнений, в него входят все имеющиеся данные.

= тм[8уо>£//]= о;

1 к

к i=i

2. Ковариационная матрица ошибки определяется в три шага: а) сначала рассчитываем ковариацию двух возмущающих переменных, одна из которых соответствует j-му из первых к уравнений, вторая t-му из последних Г уравнений модифицированной системы. Так как для всех ошибок исходного уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели, то для всех j = 1,..., к, t = 1,..., Г согласно решению задачи 3.7 п.2 имеем:

 

СОУ(Єу0, S, ) = М [єу0, Е, ] = М

б)         поскольку мы исходим из классической модели, то кова-

риационная матрица ошибок єо равна со(єо) = с?-Е.

Таким образом, все ошибки єр имеют одинаковую дисперсию;

1

2>J

в)         исходя из того, что D(£j,) = о2 для t= 1,Г, получим

D(et) = D

^ J

соответственно ковариационная матрица ошибок є равна

2

Cov(£) = y'E-С учетом того, что M[et ] = М[єт ] = 0, имеем для t= т= 1,..., Т,

 

к кх _

cov(^,£c) = M[e/ •ёс] = -т5: £МІ     -е/т1 = 0.

В целом, для модифицированного уравнения получаем следующую ковариационную матрицу ошибок:

О Ї

1/к

О

 

ОЮ-1--(Г о^Н

 

1/к

Рассматриваемое здесь модифицированное уравнение является простейшим случаем чистой гетероскедастичности. Имеется две различные дисперсии ошибки.

Применим для оценки параметров модифицированного уравнения обобщенный МНК.

О

Задание 3.9

Для линейного однофакторного уравнения регрессии у,= ао + ах х, + £,{t= 1,..., 7)

имеется Т = 20 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменнойх, которые представлены в табл. 3.3.

Будем исходить из нормального распределения ошибки и отсутствия автокорреляции. Имеется подозрение на гетероскеда-стичность.

 

 

 

О

 

где ЕкпЕт — единичные матрицы размерностью соответственно кхкпТхТ.

3. Вектор оценок параметров определяется следующим образом:

& 0W

Ут.

№ Хт) о

аА = -1

•к Щ1 4

і

{хЬЕк кХ'тЕт)

У_0

Ут

Х'йЕк кХтЕт)-= [Х'0Х0 + кХтХт ]~1-[х^у0+к- Х'ту] .

Требуется.

Проанализировать следующий способ проверки на гетеро-скедастичность: с помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза о гомоскедастичности для Т = 5, для Т2 = 10 и для Г3 = 15 наблюдений при уровне значимости а - 0,05, и если хотя бы один из этих тестов отклонит нулевую гипотезу, то имеется гетероскедастичность.

Для уровня значимости а = 0,05 проверить гипотезу, что дисперсии ошибки для первых и последних 10 пар наблюдений различны.

Решение.

1. В качестве нулевой гипотезы выбираем гомоскедастич-ность. Aj (/' = 1,2,3) — события, когда j-й частичный тест ведет к отклонению нулевой гипотезы. Тогда уровень а значимости предлагаемой процедуры согласно определению

a=P(AivA2vA3 ІЯ0).

Для него можно дать только оценку

P(Aj | Н0) = 0,05< а< 3-0,05 = 0,15.

Таким образом, в основе предлагаемого способа тестирования лежит неопределенный уровень значимости между 0,05 и 0,15.

2. Обозначим I и II соответственно первую и вторую части, содержащие по 10 наблюдений.

^2 (2>tyt-Txy)2

т

I

t=l

Для остатков однофакторного уравнения регрессии выполняется следующее:

 

іе2=іУ;2-а2Ех;2 = і:У?-т.у

Zxt2-T-x2

Таким образом, сумма квадратов остатков первой части данных равна

( л2 Zxtyt -Tjxjyj

V I

-2369,12-10-l4,l2-(2451'64-10-15'1-14'1)3

Т.<?=Т.У?-Т1-у} I I

 

і 134,04

2701,32-10 15,1

Сумма квадратов остатков второй части соответственно

( л1 Zxtyt -Tjjxjjyjj

КII

J _

 

2>2= 2>2-Tjj-yjj-II її

92.

= 1621,66-10.Ц92-(1913'72-10'138Ы1'9)2й8

2279,32-10-13,82

134,04 8,92

Расчетное значение критерия Фишера

f-

* 15,03.

2 Ъ<

°/Е  _ /

 

II

Это значение сравнивается с 97,5\%-м квантилем распределения Фишера с 8 и 8 степенями свободы. Д0,975;8;8) = 4,43. Так как 15,03 > 4,43 нулевая гипотеза о гомоскедастичности отклоняется при уровне значимости а = 0,05.

 

Задание ЗЛО

 

Имеется обобщенная регрессионная модель

c,= ao + aiy,+ e,(t=l,...,T),

где с — потребление домохозяйства определенной структуры, у — доход этого домохозяйства. Имеется выборка из задачи 3.6. Рассматриваемые домохозяйства разбиваются на две группы: с доходом до 50 ед. и с доходом от 50 до 100 ед.

Требуется.

С учетом предположения о нормальном распределении ошибки проверить при уровне значимости а = 0,05 нулевую гипотезу, что дисперсия ошибки во второй группе домохозяйств в два раза больше, чем в первой.

Решение.

Если обозначить через сг/ и оїї дисперсии ошибок в соответствующих группах домохозяйств, то проверяется следующая гипотеза: Я0: о#2 = 2сгД

Сначала разобьем всю имеющуюся выборку на группы с доходами до 50 ед. и от 50 до 100 ед. Домохозяйства, доходы которых не попадают в эти пределы, вообще не учитываются.

Группа I         Группа II

Уі        с,          у, с,

30       30         60 50

35       30         70 70

35       35         90 80

45 35 50 40

Теперь оцениваем уравнение для каждой из групп и определяем соответствующие суммы квадратов остатков.

Сумма квадратов остатков для первой группы —

( л2

2>2 = Тс}-Tj-с}          ^ =

= 5850-5-342-(675°-5-39-3?4>2,16,67. 7875-5-392

Сумма квадратов остатков для второй группы -

(           - - 42

-ТНУТІЇ

 

= 13800-3• 66,672 - (15Ю0-3-73,33.66,67)2 ^ 9

„2

16600-3-73, ЗЗ2 Расчетное значение критерия Фишера

= 2-

/ = 2

2>/

-«0,17.

Ее,2 2 II

Это значение сравнивается с 97,5\%-м квантилем распределения Фишера с 3-мя и 1-й степенями свободы и 2,5\%-м квантилем распределения Фишера с 3-мя и 1-й степенями свободы. Табличные значения/0,975;3;1) = 4,43 и Д0,025;3;1) = — * 0,05 . Так

17,4

как расчетное значение лежит между этими двумя квантилями, то нулевая гипотеза не отклоняется при уровне значимости а = 0,05.

«о, сс,..., ап предлагается провести следующее преобразование: из t-го уравнения вычесть М-е уравнение, умноженное на р, t = 1,...,Г, т.е. осуществить переход к обобщенным первым разностям.

Требуется.

Определить матрицу преобразований Тр, с помощью которой осуществляется переход к модифицированному уравнению.

Определить «оптимальные» оценки параметров модифицированного уравнения и показать, как от них можно перейти к оценкам параметров исходного уравнения.

Определить «оптимальные» оценки параметров исходного уравнения и сравнить их с оценками из п. 3.

Решение.

1. Модифицированное уравнение выглядит следующим образом:

А^Уг = «о(1 -р) + аіАрХи + ... + (XnApXnt + \%,(t = 2,Т),

где АрУ, = у,-ру,-и AfXit = хц — рх/^іу,

\%,= Є,-рЄ,^.

Матрица Тр размерностью (Г-1 х Г-1) имеет вид

^-р   1    0   ... 0Л 0   -р   1   ... 0

о

Т =

0   -р 1

Соответственно

 

 

Задание 3.11

Имеется линейное уравнение множественной регрессии у,= ао+ Щ хи + ... + а„хп,+ e,(t= 1,...,7), для ошибок которого выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка, параметр р известен. Для оценивания параметров 94

ґ У2-Р Л 1 (АРУ2Л

АрУТ

V

Ут-Р Утл) (

е2-Е л

 

= &оУ

Подпись: Кроме того, выполняется

хп1

О

трх-

О

... О -р 1 х12-р *ц .

Подпись: -р 1 О О   -р 11 хп

Ґ1-

1   ххт   ... хпТ

1-р  х1Г-р xXJ_x Ґ1-Р   Арх12 -

хп2 ~ Р хп

 

хпТ ~ Р хп,Т-

Дрхл2 Л

■АрХ.

1-р  Арх1Г   ... Дрх„г

 

Ару и АрХ — соответственно вектор целевой переменной и матрица факторов уравнения, преобразованного с помощью матрицы Тр.

2. По условию задачи для ошибок исходного уравнения выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка, следовательно, имеется ошибка є,'

є,' = є,-рє(-,

которая гомоскедастична и некоррелирована. Но ошибка модифицированного уравнения совпадает с ошибкой eh поэтому она также гомоскедастична и некоррелирована.

Поскольку в модифицированном уравнении выполняются предпосылки классической регрессионной модели, то МНК дает для этого уравнения «оптимальные» оценки:

ар= (АрХ ■ АрХ)-] ■ АрХ ■ Ару.

Если ат — оценка параметра оь-(1-/?), то отсюда при известном р оценка параметра ccq исходного уравнения —

1-р

 

ар0

ао(р):

Остальные компоненты вектора ар могут быть в неизменном виде использованы в качестве оценок параметров а,..., а„ исходного уравнения.

3. Исходное уравнение удовлетворяет предпосылкам обобщенной регрессионной модели. «Оптимальные» оценки параметров ао, аи—, сса этого уравнения получают обобщенным МНК.

Матрица преобразований Г размерностью Тх Т в этом случае

/ /         г Л

Г =

yjl-p1   о   о  ... о -р     1   о ... о

О      -р   1 .

о

.. о

 

1 -р;

о

Вектор оценок параметров регрессии

*ll"V^P2 х12 ~ Р х12

аА = [(ТХ)--(ТХ)Т1-(ТХ)'-Т-У. Матрица факторов

4

ТХ

1-р

1-р     Х1Г-р Х,г_!

xnlV!-p2 хп2 ~~ Р хп2

 

хпТ ~ Р хп,Т-

хп2~Р хп хпТ - Р хп,Т-1

 

Согласно п.1

ТрХ =

1-Р     *12~Р ХП 1-р   х1Г-р хіг_і

Очевидно, что матрица ТХ включает в себя первую строку, которая отсутствует у матрицы ТрХ. В остальном обе матрицы совпадают. Сравнение векторов целевой переменной

Ту

Уі^Р1 У2 -РУ

 

jT -РУТ-1

 

( У2 ~РУ Л

 

Ут - РУТ-1

дает аналогичный результат.

С учетом этого небольшого отличия матриц факторов и векторов целевой переменной можно предположить, что оценки не слишком отличаются от ар и аА. Практика показывает, что это предположение, как правило, выполняется.

3. Определить ошибки, которые возникают при использовании классического МНК и оценок из п. 2 по сравнению с «оптимальными» оценками из п. 1.

Решение.

1 р р Р 1 Р Р2    Р 1

рГ_2 Т-1

1. Ковариационная матрица ошибки определяется следующим образом:

2

Г-3     Г-2     Г-1 ^

Р        Р            Р

... рГ"3            /-2

                        РГ-3

СоЧ^) = о?-Л = о2

Р Р2

Р Р 1 Р Р 1

Подпись: 10

 

Задание 3.12

 

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

yt= ао + а, х, + £t(t= 1,...,7)

имеется Т = 12 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.4.

1          -0,4

-0,4      1

-о>

-0,410  -0,410

V

Кроме этого,

 

-Р (1+Р2)

о

,-i

-0,4Z -0,4

-0,4 -0,4:

 

1 -0,4 -0,4 1

 

о о

 

0^

о о

Для ошибки уравнения є, выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка с известными значениями р=-0,4 и о;2 = 1.

Требуется.

Оценить параметры уравнения ао и а, с помощью обобщенного МНК.

Оценить параметры уравнения ао и а с помощью модифицированного уравнения из задачи 3.11.

98

i-pz

Подпись: Рассчитаем Подпись: 1 5,0 144,0 10,0

1

XQ~lX =

5,0 ... 10J 0,84

1   0,4   ... 0^1

0

0,4 1

26,667 144,0 144,0 916,8152

 

и, следовательно,

(xn-lxvl= °'24696 -°>038791 '     1 -0,03879   0,00718 )'

 

-0,4

 

Х--

Г 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1.4 4,50^

2,80

7,52

11,72

7,40

8,02

11,60

4,60

3,90

8,50

12,84

1 0,4

1

5,0  ...  10J 0,84

0

Подпись: Теперь определим

1    ... 1

 

0

0,4   1)

175,7 1083,1081

Таким образом, с использованием обобщенного МНК получаем следующий вектор оценок параметров:

а -(УСГ1УЛ-1 УСТ1 „-Ґ0'24696   -0.03879V 175,7 aA-(XU X)   -Xil 7-^_0)03879   о,00718 J1083,1081

_ (, 37832 Л *1 0,96490

 

2. Из каждого f-го уравнения вычтем (t - 1)-е уравнение, умноженное на (-0,4). Получим 11 уравнений с целевыми переменными Д-одУг = Уі + 0,4-уьі и экзогенными переменными А-0,4 Хи = xit + 0,4-хі^ (г = ,...,п); ошибки этого уравнения гомо-скедастичны и некоррелированны.

Из имеющихся данных рассчитаем матрицу факторов ДодХ и вектор целевой переменной Д_о>4_у модифицированного уравнения

Л-0,4^

6,80 5,02 9,44 11.88 8,94 8,70 13,70 6,54 5,34 10,70 15,36

 

Определим теперь вектор оценок параметров

яр = (Д-о,4*' ■ Л-0,4*)_1 • А-0,4*' • А-о,47 =

_f 21,56 116,76 V1 ( 143,388 Wl,4446^1 ~ ^116,76  749,1248J   888,8108j ^0,9613j

 

Отсюда оценка параметра «о будет равна

1 4446

o0(-0.4) = il^«1.0319,

 

а параметра а - ар «0,9613.

3. На основе классического МНК рассчитаем

я _Т.ЪУ,-Тху _ 537,83-12-5,5-6,675 Л07Л07.

а         ї           т~        т— * 0,97697;

£х/-7х2        463,08-12-5,52

oq = у - ахх * 6,675 - 0,97697 » 1,30167.

«Ошибки» оценок параметров, полученных классическим МНК, составят соответственно

/о = |а0 - аА0 * |1,30167 - 1,37827| * 0,07660;

/і = |а, -aAi * |0,37697 - 0,96486| « 0,01211.

При оценивании с использованием уравнения в обобщенных первых разностях «ошибки» оценок параметров —

/о = а0(-0,4) - аА0 * |1,03582 - 1,37827| « 0,34246;

fx = |ai(-0,4) - аА\ * 10,96486 - 0,96486| * 0,00437.

Таким образом, «ошибки», которые получены при оценке параметров классическим МНК, очень малы.

Оценка параметра ct, полученная на основе уравнения в обобщенных первых разностях, практически не отличается от «оптимальной» оценки обобщенного МНК, но при оценивании параметра ао получаем сравнительно большую «ошибку».

 

Задание 3.13

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |