Имя материала: Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика»

Автор: Дорохина Елена Юрьевна

Системы взаимозависимых эконометрических моделей

 

Задание 8.1

 

Имеется следующая модель:

р, = р1, + єи;  (8.1)

Щ = Pi-Pt + fc-qt+Єги           (8.2)

h = wl + bl-q1,            (8.3)

где pt — логарифм цены;

w, — логарифм почасовой оплаты;

/, — логарифм себестоимости;

q, — логарифм объема производства;

Ь,—логарифм количества рабочих часов в неделю в период t.

Требуется.

Представить модель в матричной форме записи.

Определить ранговые условия идентифицируемости уравнений для р, И W,.

 

 

Уг

 

; xt —

G, — государственные расходы;

Y, — валовой национальный продукт в период t.

 

 

Матричная форма записи модели

А ■ у, + В • xt = Et.

 

2. Для того чтобы можно было идентифицировать уравнение для р„ необходимо и достаточно, чтобы следующая матрица имела полный ранг:

1    О -Р3^

-і -і і у

Ранг этой матрицы равен 2, т.е. совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Таким образом, уравнение для р, идентифицируемо.

Для того чтобы можно было идентифицировать уравнение для w,, необходимо и достаточно, чтобы имела полный ранг матрица

Ранг этой матрицы также равен 2, также совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Следовательно, и уравнение для wt идентифицируемо.

Требуется.

Определить типы уравнений и типы переменных, входящих в модель (8.4) - (8.6).

Представить структурные уравнения в матричной форме.

Построить соответствующую прогнозную форму.

Определить метод оценки параметров прогнозной формы.

5.         Проверить идентифицируемость уравнений структурной

формы модели.

Решение.

1. Первые два уравнения - уравнения поведения (реакции), их коэффициенты неизвестны и должны быть оценены, кроме того, каждое из уравнений содержит стохастическую ошибку sjt.

Третье уравнение - детерминированное (предопределенное). Его коэффициенты известны, и оно не содержит стохастической ошибки.

С,; I, и Y, - эндогенные нелаговые (взаимозависимые) переменные.

У,л - эндогенная лаговая; G, - экзогенная нелаговая переменная. Обе эти переменные являются предопределенными.

 

Подпись: 0^
о
Задание 8.2

Имеется следующая макроэкономическая модель:

Ct = yxYt + p + sxt; (8.4)

Л = ^, + Дг7,_,+А + £2,;        _ (8.5)

Yt=Ct + It+G„ (8.6)

где С, — потребление; /, — инвестиции;

 

1 О -1

2. Введем следующие обозначения:

о -V

А=   0    1 -Y2

-1 1

о

в =

-Рг -Pi О О

Подпись: г А о Ръ -А оПодпись: іПодпись: { Р~Р72+7Ръ 7Р2 7іЛ 72Р+ Рт>~7Ръ А>-(1~П)Г2
А+А	^2 -і
Определим матрицу 17:

Л-1

1    0 -п

77 =

О 1 -Y2 -1  -1 1

1

о

-Y~Y2 1

1-Г2    п -г

72     1-П -72

1          1 -1

1-п -Г2

j

-А о -А -А о о      і -1,

В первом уравнении число выводимых экзогенных переменных равно 2, а число вводимых эндогенных переменных за вычетом 1 равно 1, следовательно, уравнение сверхидентифици-руемо.

Во втором уравнении число выводимых экзогенных переменных равно 1, а число вводимых эндогенных переменных за вычетом 1 также равно 1, т.е. уравнение идентифицируемо.

Для проверки рангового условия для первого уравнения составим следующую матрицу:

 

fl    Y2 «І И   о 0'

Ранг этой матрицы равен 2, т.е. совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Таким образом, уравнение для С, идентифицируемо.

Для того чтобы можно было идентифицировать уравнение для необходимо и достаточно, чтобы имела полный ранг матрица

Поскольку в правой части уравнений прогнозной формы стоят только предопределенные переменные, которые не коррелируют с ошибками, МНК даст состоятельные оценки параметров.

Проверим сначала порядковые условия идентифицируемости уравнений структурной формы. Для этого составим следующую таблицу.

Ранг этой матрицы также равен 2, также совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Следовательно, и уравнение для I, идентифицируемо.

 

Задание 8.3.

 

Имеется следующая система взаимозависимых уравнений:

7\Уі + ШУъ + РиХи + Ръ*ъ1 = £ь тУ и +Уъ + ПъУм + Рихц + РіаХаі = Віі; ПіУи + УътУъ +Уи + Рыхъ + РззХз, + Д^г = єц.

Требуется.

Проверить идентифицируемость уравнений системы.

Выяснить идентифицируемость, если на параметры наложены следующие ограничения:

а)         Л, = 0;

б)         и, = 0.

 

Решение.

1. Для проверки идентифицируемости составим следующую таблицу.

Таблица 8.2

 

Уі

Уг

Уі

хг

 

 

Уи

У2

0

#1

0

А?

0

Уг

1

У23

0

Ра

0

 

0

Уъг

1

0

Рп

 

&4

Проверим сначала порядковые условия.

В первом уравнении число выводимых экзогенных переменных равно 2, а число вводимых эндогенных переменных за вычетом 1 равно 1, следовательно, уравнение сверхидентифицируемо.

Во втором уравнении число выводимых экзогенных переменных равно 2, а число вводимых эндогенных переменных за вычетом 1 также равно 1, т.е. уравнение сверхидентифицируемо.

В третьем уравнении число выводимых экзогенных переменных равно 1, а число вводимых эндогенных переменных за вычетом 1 равно 1, следовательно, уравнение идентифицируемо.

Для проверки рангового условия для первого уравнения составим следующую матрицу:

V23    ^22   ^24 ^ I 1     fi32 Ръа/

Ранг этой матрицы равен 2, т.е. совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Таким образом, уравнение для уи идентифицируемо.

Для того чтобы можно было идентифицировать уравнение для у2„ необходимо и достаточно, чтобы имела полный ранг матрица

7?п fin { 0   fi33j'

Ранг этой матрицы также равен 2, совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Следовательно, и уравнение для у2, идентифицируемо.

Для проверки рангового условия для третьего уравнения составим следующую матрицу:

Vll fin

 

Ранг этой матрицы равен 2, т.е. уравнение для уг, идентифицируемо.

2.

а)         Если fin = 0, то первое уравнение будет индентифицируе-

мым, второе и третье — нет.

б)         Если уи = 0, то первое и второе уравнения будут иденти-

фицируемы, третье — нет.

 

Задание 8.4

Имеется следующая макроэкономическая модель: С,= а, + a2-Yt + а3 • г, + еи; Л = Д + fii-Y, + А ■£/_! +«И rt = Ті + її ■ Л + YMt + £2t Yt = Ct + It + Gt.

Требуется.

Описать процедуру оценивания уравнений по двухшаговому МНК.

По аналогии с заданием 8.3, п.1 выясняем идентифицируемость уравнений. Поскольку для трех уравнений выполняются как порядковые, так и ранговые условия, то они идентифицируемы.

Согласно двухшаговому МНК для оценивания первого уравнения сначала нужно осуществить регрессии Y, и г, на М,, £/(_ь Gt

Л Л

и const. По построенным уравнениям определяются Yt и rt. На

Л Л

втором шаге оценивается регрессия С(от Y t, rt и const.

Для оценки второго уравнения на первом шаге достаточно

л

осуществить регрессию Y, на М,, £/м, G, и const, рассчитать Y t, а

л

на втором шаге оценить регрессию /(от Y t,      и const.

Для оценки третьего уравнения на первом шаге оценивается

л

регрессия /(от Mh Ut-i, G,. Рассчитываются значения It. На вто-

л

ром шаге оценивается регрессия г, от It,Mtvi const.

 

Задание 8.5

Имеется следующая макроэкономическая модель: Ct = ai + a2Y, + єи;

 

Yt = C, + It + G,

Требуется.

Написать модель в матричном виде и найти соответствующую прогнозную форму.

Определить число ограничений, наложенных на коэффициенты прогнозной формы.

Показать, что при заданных значениях коэффициентов прогнозной формы можно однозначно определить коэффициенты структурной формы.

Решение.

-«2

-Рг 1

0^

о

-1

1. Введем следующие обозначения:

1 0 0 1 -1 -1

в =

-«1 -А о

 

 

 

(с Л

Уі

=

 

 

 

UJ

 

 

(і ^

xt

 

 

 

fit)

 

 

чї

 

=

tit

 

 

 

Матричная форма записи модели

4-і

Уг

А •у, + В-х, = ъ. Прогнозная форма запишется следующим образом:

■ В- xt +А '•£< = П- х, + ц.

Определим матрицу П:

 

Подпись: К 22 КЪ2)а1-

КУ2 КЪ2

Проведя замену Pi = ах, получим

Яу2

0 0

-1

к22 КЪ2

КУ2

-«1

Я32 ЛЪ2

n2 ж22

1

Подпись: ^"і-яі^+агА "2Л
A-«2 A+"1^2 #>
1

V

l-«2-^2

На шесть коэффициентов приведенной формы накладываются два ограничения:

Щі + Я21 = ЯЗЬ Я21 + Я22 + 1 = Я}2-

Покажем теперь, что по заданным коэффициентам прогнозной формы можно единственным образом восстановить структурные коэффициенты.

При Яз2?0 получим

отсюда

 

 

кп -я-32 -я-31 -лп       я31 -яг12

а{ = -   = я\     1         

№2 -Я2 - *22 ) ■ ^32            7132

а     *31    „ _*31    _    . *31'*12

А =      а =-—лп+—

Л-32    ^32 ^32

 

"2

 

*Ъ2

ЯЇ2 . д ^22

            . Р2 = ■          

пЪ1

Подпись: ^31«1 +01 =

КЪ2

 

ч-(1-А)+А-«г =

"32

Подставим значения а2 н р в последнее уравнение. Имеем следующую систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

л31 .

л32 '

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |