Имя материала: Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика»

Автор: Дорохина Елена Юрьевна

Глава 9 эконометрические модели с переменной структурой

Определить ожидаемые оценки параметров для двух уравнений без фиктивной переменной.

Решение.

1.

а) Введем фиктивную переменную

(0,  ґ = 1,...,12 (с 1980 по 1991 г.);

 

 

Задание 9.1

Компания А, крупный производитель спортивных автомобилей, заинтересована оценить следующую производственную функцию за период 1980-1999 гг.:

yt = «о + ах ■ х, + є,, (9.1)

где уі — логарифм среднего выпуска автомобилей в неделю (в тыс. долл.);

xt — логарифм среднего количества рабочих часов в неделю. В 1992 г. компания произвела инвестиции в новую производственную технологию. Есть предположение, что это приведет к изменению свободного члена в уравнении (9.1).

Требуется.

1.         Модифицировать модель (9.1)

а)         с помощью введения фиктивной переменной;

б)         с помощью представления ее в виде двух уравнений без

фиктивной переменной.

1,   t = 13,...20 (с 1992 по 1999 г.).

Уравнение с фиктивной переменной будет выглядеть следующим образом:

Уі = ао + /?• z, + ах ■ xt + є,; б) с помощью двух уравнений модель запишется как у, = «01 + ах ■ хх + £,; t = 1,12; У, = «02 + «і • х, + ес, t = 13,20.

■-{ХХУХ Х'у-

Ъ

2. Оценки параметров модели в соответствии с МНК определяются следующим образом:

Для двух уравнений без фиктивной переменной оценки параметров будут аох = 2,5 и а02 = 2,75

 

Задание 9.2

 

Для объяснения переменной «заработная плата» была предложена следующая модель:

yt = «о + ах ■ хх, + а2 ■ x2t + еь (9.2)

где у, — логарифм совокупной заработной платы; хх, — количество лет обучения; хц — опыт работы; £г(0, о2).

Выборка составлена таким образом, что номера от 1 до 100 соответствуют женщинам, а со 101 по 300 - мужчинам.

Требуется.

Предложить два способа представления нулевой гипотезы, что заработная плата мужчины для данного уровня образования и опыта работы выше, чем у женщины с такими же характеристиками.

Проверить гипотезу, что коэффициенты уравнений типа (9.2), построенных отдельно для подвыборок мужчин и женщин, совпадают. Известно, что в модели для женщин сумма квадратов остатков равна 0,13, а для мужчин — 0,33. Оценка МНК по всей выборке дает сумму квадратов остатков 0,6.

Предложить способ тестирования гипотезы, что заработная плата зависит от размера фирмы, причем от размеров фирмы линейно зависит коэффициент аи:

Показать эквивалентность МНК-оценок коэффициентов <Х ' и а2 в модели

у, = axDt + аг • (1 - А) + в„

[1;    для 1,...,^; где АН

(0;  для ТМ,...,Т

и в модели, построенной отдельно для двух подвыборок ґ=1,...,Г1;г=Г1 + 1,...,Г.

Решение.

1. Первый способ проверить названную гипотезу — ввести фиктивную переменную «пол»

ГО,  t = 1,...,100 (женщины); Z* ~ (1,   t = 101,...,300 (мужчины);

и проверить с помощью критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициента при этой переменной. Таким образом, нулевая гипотеза будетН0: /3=0. 176

Второй способ тестирования - оценить отдельно два уравнения для женщин и для мужчин:

у, = «о' + ах' ■ хи + а2 • x2t + sb;t=,100,

у, = ао" + а{' ■ хи + а2" ■ x2t + єи; t = 101,300,

Проводится тестирование нулевой гипотезы Н0: а'= а", <т'= сг" (тест Чоу).

2. Проведем тест Чоу для указанных данных.

Обозначим ESSur -сумму квадратов остатков для регрессии без ограничений.

ESSUR = ESSx + ESS2, где ESSi и ESS2 — суммы квадратов остатков уравнений, построенных отдельно для женщин и для мужчин.

Обозначим ESSr - сумму квадратов остатков для регрессии с ограничением, которая записывается одним уравнением

yt = «о + ах ■ хи + «2 • x2t + s,;t=l,300,

ESSUR = 0,13 + 0,33 = 0,46; ESSR = 0,6.

Статистика для теста Чоу определяется следующим образом:

(ESSR - ESSUR)/(и + 1)   _ (0,6-0,46)/3 _

ESSUR /(Ті + Г2 - 2 • (и +1))   0,46 /(300 - 6) 0,0467

= 30,21 > 3,16.

0,0015646

Так как расчетное значение больше табличного значения ^(0,95; 2; 294), то нулевая гипотеза отвергается. Таким образом, мы подтвердили различия в зарплате мужчин и женщин.

 

у, = ао + (Ді + Ді • zt) ■ хи + а2 ■ х2, + £,= = «о + Дн • хи + Ді • z, ■ хи + а2 ■ + £•](.

С помощью критерия Стьюдента проверяется статистическая значимость коэффициента Д]. Таким образом, нулевая гипотеза будет Я0:Ді = 0.

4. Для модели, построенной по всей выборке, матрица факторов будет выглядеть следующим образом:

1 о 1 о

 

О  1   гт-ъ

х х-'о Т2

V0 'І, Соответственно рассчитаем

 

 

 

Г 1

п

 

 

( тх

0

 

I*

1

;Х'.у =

t= т

0

т

 

I у,

V

 

 

 

(    ?! л

 

І УгКт-то

V'=tm

Для первой подвыборки получим

у, = ах ■ D, + є, = ах ■ 1 + е, t = 1,Тх. МНК-оценка параметра

 

м         

 

Для первой второй подвыборки имеем

у, = а2-+s,;t=Tx + ,...,T.

Соответственно МНК-оценка параметра

 

I У,

t=t,+

а2 = —1          .

Г-7І

Таким образом, эквивалентность оценок доказана. Задание 9.3

Имеется линейная однофакторная регрессионная модель

у, = dot + аХ1 ■ х,, (9.3) в которой неизвестные параметры меняются в случайном порядке

щ, =а,- +еи, /' = 0,1; где а, — нестохастическая величина и

M[eit] = 0; Дбй] =   ; Cov(s,-„s;x) =        j * £ Требуется.

Показать, что эту модель можно интерпретировать как линейную регрессионную модель с гетероскедастичным остаточным членом.

Решение.

Поставим значения параметров в уравнение (9.3) и получим

у(=Щ + є1ґ + (й2 + E2t) • xt = Й1 + «2 • xt + є1ґ + e2l ■ xt. Ошибка этого уравнения

 

Математическое ожидание ошибки М[$] = Щей + Si, ■ X,} = М[єхі] + М[є2і ■ xt] = MfoJ +x» • МЫ = 0.

Дисперсия ошибки

D[$] = М[$ - М(£)]2 = М[$2 - 2 • $ • М($) + М2(£)] = М[$2] = = М[£к + є2і • Xtf = [єг? + 2 • єи ■ є2, ■ Xt + є2}х} = = о? + 2 • xt • CovOi, • £2() + *} • cr22.

Таким образом, дисперсия остатков является функцией xt, т.е. имеем модель с гетероскедастичными остатками.

 

Задание 9.4

 

На основании квартальных данных с 1993 по 1997 г. с помощью МНК было получено следующее уравнение регрессии:

у, = 1,14 - 0,0111 • хх, - 5,478 • x2t + 0,0432 • xit.

Регрессионная сумма квадратов равна 112,44, а сумма квадратов остатков — 22,78.

Требуется.

Проверить гипотезу о наличии сезонности, если при добавлении в уравнение трех фиктивных переменных, соответствующих трем первым кварталам года, регрессионная сумма увеличилась до 120,75.

Проверить гипотезу о наличии структурного изменения между вторым и третьим кварталами 1995 года, если при раздельном проведении двух регрессий на основании данных с первого квартала 1993 г. по 2-й квартал 1995 г. и с 3-го квартала 1995 г. по 4-й квартал 1997 г. были получены суммы квадратов остатков соответственно 11,44 и 2,75.

Решение.

1. Новое уравнение регрессии запишется следующим образом:

у, = «о + ах ■ xxt + а2 ■ x2t + аг • xit + а4 • dlt + а5 • d2, + оц, ■ d3t.

Тестируем гипотезу Н0: а5 = = а7 = 0 (сезонность отсутствует). Регрессионные суммы квадратов для регрессий без ограничений и с ограничениями равны по условию задачи соответст-180 венно 120,75 и 112,44. Общая сумма квадратов совпадает и в том и в другом случае, поэтому получим

ESSR - ESSUR = RSSR - RSSm = 120,75 - 112,44 = 8,31;

ESSm = TSSr - RSSm = 112,44 + 22,78 - 120,75 = 14,47.

о -ji /-j        7 77

F=   '        ~=   = 2,5 > 3,41 = F(0,95;3;13).

14,47/13 1,1077

Нельзя отклонить гипотезу об отсутствии сезонности. 2. Проводим тест Чоу (см. также задание 9.2 п.2)

ESSr = 22,78; ESSm = ESSx + ESS2 = 11,44 + 2,75 = 14,19;

_   (22,78-14,19)/4 2,1425

= 1,96 < 3,18 = F(0,95;4;13).

14,19/13 1,0915

Таким образом, нулевую гипотезу (уравнения для первого и второго периода одинаковы) не отвергаем. Считаем, что структурного изменения не произошло.

 

Глава 10

 

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СО СПЕЦИФИЧЕСКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

l + e_z' Соответственно получим

 

Таким образом, вероятности роста занятости в фирмах А и Б составят соответственно 81,76\% и 85,81\%.

 

Задание 10.1

 

Logit-модель была применена к выборке, в которой у = 1, если количество занятых в фирме выросло (у = 0 — в противном случае), х — доход фирмы в млн. долл.; хг = 1, если фирма относится к области высоких технологий (хг = 0 — в противном случае). Получена следующая модель:

л

2 = 0,40 + 0,20-^ +0,10-jc2.

Требуется определить оценку вероятности роста занятости для высокотехнологичной фирмы А с доходом в 5 млн. долл. и для фирмы Б, не относящейся к сфере высоких технологий и имеющей доход 7 млн. долл.

Решение.

л

Рассчитаем сначала значения функций z .

 

гі =0,4 + 0,2-5 + 0,1-1 = 1,5;

л

Z2 =0,4 + 0,2-7 + 0,1-0 = 1,8.

В соответствии с Logit-моделью вероятность роста занятости определяется следующим образом:

 

Задание 10.2

Имеется выборка, состоящая из 528 наблюдений, в которой у = 1, если заработная плата работника ниже 5 долл. в час (у = 0 — в противном случае). Предполагается, что уровень заработной платы зависит от следующих факторов: х — образование, лет; х2 — пол (1 — женский, 0 — мужской); х3 — опыт работы, лет. В табл. 10.1 приведены коэффициенты, полученные при оценке линейной регрессии у от х, Х2 и хз с помощью МНК, и при оценке Logit-модели с помощью нелинейного МНК.

Требуется.

1. Определить на основе Logit-модели оценку вероятности для мужчины и для женщины, имеющих 12 лет образования и 15 лет опыта работы, оказаться низкооплачиваемыми работниками.

Определить на основе Logit-модели изменение оценки вероятности быть низкооплачиваемым работником для мужчины с характеристиками из п. 1, если он проучится на один год больше.

Ответить на вопросы п. 1-2 с использование!* линейной регрессионной модели.

Решение.

Рассчитаем сначала в соответствии с Logit-моделью значе-

л

ния функций z для мужчины и для женщины.

Л

zi = 5,87 - 0,56 • 12 +1,26 • 0 - 0,06 • 15 = -1,75;

 

z2 = 5,87 - 0,56 • 12 +1,26 • 1 - 0,06 • 15 = -0,49.

В соответствии с Logit-моделью вероятности быть низкооплачиваемым работником составят соответственно для мужчины и женщины

 

Р(У =l|*i) =    Г-Г^Г =           = 0,1480.

1 + е~И'75)   1 + 5,7546

 

P(y2=\x2) =    гіг75Г =          = 0,3799.

К'г       l'   i + e-(-0,49)    i + i;6323

В соответствии с Logit-моделью маржинальный эффект определяется как

Л>і = l|xi)-(l -POi = l|xi))-a, = = 0,1480<1 - 0,1480>(-0,56) = -0,0706,

т.е., если мужчина с характеристиками из п. 1 проучится на 1 год больше, то оценка вероятности быть низкооплачиваемым работником уменьшится для него на 7\%.

Оценим теперь вероятности быть низкооплачиваемыми работниками в соответствии линейной регрессионной моделью:

 

рх =0,94-0,05-12 + 0,15-0-0,01-15 = 0,19;

рг =0,94-0,05-12 + 0,15-1-0,01-15 = 0,34.

Маржинальный эффект в соответствии с линейной регрессионной моделью равен оценке коэффициента регрессии, т.е. если мужчина с характеристиками из п. 1 проучится на 1 год больше, то оценка вероятности быть низкооплачиваемым работником уменьшится для него на 5\%.

 

Задание 10.3

Имеется выборка, состоящая из 528 наблюдений, в которой у—, если работник состоит в профсоюзе (у = 0 — в противном случае). Предполагается, что членство в профсоюзе зависит от следующих факторов: х} — образование, лет; х2 — пол (1 — жешкий, 0 — мужской); Хз — опыт работы, лет; Х4 — опыт работы в квадрате. Выборочные средние равны

7 = 0,18; X! =13,09; х2 = 0,46; х"3 =17,66; 5с4 = 459,45.

На основе выборочных данных была получена следующая Probit-модель:

у = F(-0,900 - 0,015*! -0,599*2 + 0,029х3 - 0,0003х4) . Требуется.

Определить, насколько снижается вероятность быть членом профсоюза в расчете на год дополнительного образования.

Решение.

Рассчитаем сначала значение линейной регрессионной функции

-0,900 - 0,015-13,09 - 0,599-0,46 + 0,029-17,66 --0,0003-459,45 = -0,99759.

Предельный эффект фактора образования рассчитывается следующим образом:

дР( у = 1)

 

где р(х'-а) — функция плотности нормального распределения. В нашем случае

Д-0,99759) = 0,15924. 0,15924-(-0,15) = -0,00239.

Таким образом, оценка вероятности быть членом профсоюза при увеличении уровня образования на 1 год уменьшается на 0,2\%.

 

Задание 10.4

Имеется набор данных, состоящий из 6 наблюдений.

У         0          0          0          1          1 1

х          -I        -2          0          1          1 1

Требуется.

Оценить линейную модель вероятности с помощью МНК. Рассчитать R1.

Использовать оцененную модель для разделения индивидуумов на 2 группы. Рассчитать количество случаев правильного отнесения к соответствующей группе, применяя следующее правило классификации:

группа I (у = 1), если у > 1/2 ;

л

группа II (у = 0), если у < 112 .

Сопоставьте долю правильного попадания и коэффициент детерминации.

Решение.

Уравнение линейной модели вероятности, оцененное с помощью МНК, выглядит следующим образом:

 

у = 0,5 + 0,375 ■x;Rl = 0,75.

Оценки вероятности события у = 1 равны 0,125; -0,25; 0,5; 0,875; 0,875; 0,875. Следовательно, в группу I войдут наблюдения с 4-го по 6-е; в группу II - с 1-го по 3-е. Все наблюдения правильно отнесены к соответствующей группе. Доля правильного попадания равна 100\%, т.е. заметно выше, чем коэффициент детерминации.

 

Задание 10.5

Среди 48 респондентов был проведен опрос о среднемесячных затратах на табачные изделия. Полученные результаты представлены в табл. 10.2.

Требуется.

1. Определить по цензурированным данным МНК-оценку параметра Tobit-модели

у,' = а+є,,

где є, ~N(0, о2),

у, = у*, если у'>0, yt = 0, если у, <0.

2. Определить по усеченным на уровне 0 данным МНК-оценку параметра Tobit-модели.

Решение.

МНК-оценка параметра Tobit-модели по цензурированным данным равна

48

 

48 48

МНК-оценка параметра Tobit-модели по усеченным данным равна

а = І^=12750 26 26

В расчете принимают участие только те наблюдения, в которых у, >0.

МНК дает завышенные оценки параметра а.

 

Задание 10.6

В 1973 году в г. Трое (штат Мичиган) проводился референдум по вопросу о введении местного школьного налога. В ходе опроса были выявлены определенные характеристики участников референдума (см. табл. 10.3).

Окончание таблицы 10.3

 

 

Название характеристики

Значение

1

0

PUB3

Трое детей посещают государственную школу

В противном случае

PUB4

Четверо детей посещают государственную школу

В противном случае

PUB5

Пятеро и более детей посещают государственную школу

В противном случае

PRIV

В семье есть дети (один или более), посещающие частную школу

В противном случае

SCHOOL

Респондент работает учителем (в государственной или частной школе)

В противном случае

YESVM

Респондент проголосовал «за» на референдуме по вопросу о введении местного «школьного» налога

В противном случае

Кроме того, YEARS = количество лет, прожитых в Трое; LogINC = натуральный логарифм годового дохода домашнего хозяйства, долл.; PTCON = натуральный логарифм суммы годовых платежей по налогу на имущество, долл. Информация о 95 респондентах представлена в табл. 10.4.

Продолжение таблицы 10.4

Продолжение таблицы 10.4

 

PUB1&2

PUB3&4

PUB5

PRIV

YEARS

SCHOOL

Log INC

PTCON

YESVM

 

PUB1&2

PUB3&4

PUB5

PRIV

YEARS

SCHOOL

Log INC

PTCON

YESVM

12

1

0

0

0

30

0

09.770

6.3969

0

 

47

1

0

0

0

26

0

09.770

6.7452

0

13

1

0

0

0

1

0

09.770

6.7452

1

 

48

0

0

0

1

18

0

10.222

7.4955

0

14

0

1

0

0

3

0

10.021

7.0475

1

 

49

0

0

0

0

4

0

09.7700

6.7452

0

15

0

1

0

0

3

0

10.820

6.7452

1

 

50

0

0

0

0

6

0

10.021

7.0475

0

16

0

1

0

0

42

0

09.770

6.7452

1

 

51

0

0

0

0

12

0

10.021

6.7452

1

17

0

1

0

0

5

1

10.222

7.0475

1

 

52

1

0

0

0

49

0

09.4335

6.7452

1

18

1

0

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |