Имя материала: Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика»

Автор: Дорохина Елена Юрьевна

Методы оценки параметров нелинейных эконометрических моделей

 

Задание 11.1

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии У=Л.х) + є= а-е*3* + є.

 

Требуется.

Разложить функцию Дх) в ряд Тейлора второго порядка в точке хо = 0 и определить, чему равен предел разложения в ряд и-го порядка при п—ух>1

Решение.

Рассчитаем первые и вторые производные функции fix), dx

 

dx2

Разложение функции fix) в ряд Тейлора второго порядка будет выглядеть следующим образом:

f(xQ) = a-e^+-i-a--e^(x-x0)+ja-f-e^>(x-xQ)2 +...; f(fi) = a+a-fi-x+^afi2-x2+...

Предел разложения в ряд n-го порядка при «-»<»

Пт/(х) = а-е^х° +^-ахр-еРх°(х-х0) +

+Laxf.e^(x-xQ)2+...= a.fl±-(Px)n.

2          0 и!

 

Задание 11.2

Итак, система нормальных уравнений выглядит следующим образом:

т т T-aQ-arZx?2 =T,yt ї

т          т 2а    т а

°оЪх?2-axLxt"2 =Т.Уі 'Xt1

t=        t= /=1

a0 • £ x?2 ■ Щх( ) - a, • £ xf°2 ln(x, )=i.yt- x?2 Hxt).

/=1       /=1 /=1

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии

у, = CCq + СС • Xt"2.

 

Требуется.

Записать систему нормальных уравнений для определения оценок параметров ао, а и а2.

Решение.

Сначала определим сумму квадратов остатков

т

S(a0,aha2) = X (у, -а0 -ах ■ х?2).

t=l

Необходимым условием достижения минимума функцией S является равенство нулю ее частных производных по параметрам а0, а и а2.

яо Т

= -2-Il(yt-aQ-al-x^) = 0b;

да0 t=l

т

™-2- lx?i-(yt-a0-avx?) = 0;

 

= -2 ■ I х°2 ■ Hxt ).{yt-aQ-ay Xа* ) = 0. даг /=і

 

Задание 11.3

 

Имеется нелинейное уравнение регрессии

у, = ао ■ (хи - щ) ■ (хь - а2) + є,.

Требуется

Записать «псевдолинейную» модель. Решение.

Представим функцию в следующем виде:

,     2 .

 

Рассчитаем производные функции по параметрам:

^ -(xi-ax)-(Xl-a2);        =-а0 ■ (х2 - а2);

da.Q dax

-4£- = -а0-(х1-а1). da2

Запишем теперь «псевдолинейную» функцию

у=а0-(х1- ах)-(х2 - а2) + (хх -аДС^ - а2)-(ао - аь1) -- ао1 • (*2 - а2У(щ - «і1) - ао1 • (*і - а/Н^і - а2) = = (л - а)-(х2 - а2) ■ ао- ао ■ (х2- а2) ■ ах - ао1 ■ (х} - сс) ■ а2 + + ао-(х2- а2) ■ а + аьі- (хг - ах) • а2.

В заключение перенесем последние два слагаемых в левую часть и получим

у- ао-[ах ■ {х2- а2) + а2 ■ (хх - ахху = = (хх - ахху(х2 - аг1) ■ oq - oqX • (x2 - a2) ■ ax - oq • (xx - ax) • a2.

 

Задание 11.4

 

Имеется нелинейная однофакторная регрессионная модель

yt =axt +et,

где єг{0, о2). Требуется.

Вывести рекурсивные формулы для алгоритма Ньютона-Рафсона.

Показать, что выполняется следующее равенство:

т

M[dzS/da2] = 2<х)/da]2 = 2- z(a)'- z(a),

t=l

где S — сумма квадратов остатков. Решение.

1. Сумма квадратов остатков будет выглядеть следующим образом:

S = I(y,-a*')2-

Функцию S нужно минимизировать по параметру а. Рассчитаем производную по этому параметру:

 

da

Необходимым условием экстремума функции является равенство производной нулю. Таким образом, требуется решить нелинейное уравнения. Метод Ньютона-Рафсона предлагает следующую итеративную процедуру поиска решения:

ап+1 ~ап~ ~   ~ - a

dS/daa„

/'(«„)     " d2S/da2an'

d2S da2

где а„ и ап + х — значения параметра а соответственно на и-и и п + 1-й итерации. Определим

 

= "2• ILV, • х, ■ (xt -1)• ax<~2 -(2x, -1) • x, • a2x'~2].

Соответственно получим

ln+l    "я     ,i„, , і.

dS/daa„

a.„4.1 -a.-

 

Ш ■ xt ■ (xt -1) • a J'2 - (2xt -l)-xr a2*'"2]

 

M[d2S/da2]--

M 2• 2Г(2х, -1)• xr a2xr2yt ■ xt ■ (x, - l)a*'~2

t-y-

t г

= 2 • £ (2x, -1) • x, • a2x'~2 - M(yt)- xt ■ {xt - l)a*'-2

t-V~ t

= 2 • £ Г(2х, -1) • xt- a2x'~2 -ax> ■ x, ■ (x, - l)ax>~21 = t-v- J

t

= 2■ £ {a2*'"2 ■ [{2xt - !)• x, - x, • (x, -1)]} =

= 2 • £a2x'~2 ■ [2x2 - xt - x2 - xt]} = t t

= 2-1 a2*'-2 • x2 = 2Yl[df(xt,a)/da]2 = 2-z(a)'- z(a).

t-l t=l

Задание 11.5

Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии Уі =f(xt,a) + st,

где Є,~Щ,(?). Требуется.

Показать, что оценка а параметра а по методу максимума правдоподобия совпадает с оценкой а, определенной с использованием нелинейного МНК в модели

у, =j(x„ а) + е„

где £ГФ, о2). Решение.

Запишем функцию правдоподобия

 

/(а'ст lj'*)=^y^expl      2^        Г

1          [ S(a)

(2ка2)Г/2   Р1 2а2

Соответственно логарифм функции правдоподобия

Да, а2 | у,Х) = In/(а, а2 | у,Х) = - -1п2ті--1па2 -^Щ.

2          2 2а

В общем случае невозможно найти аналитическое выражение для ММП-оценки а , т.е. значение а , при котором dL/dа = 0.

Однако можно выразить ММП-оценку а2 как функцию от а , приравнять dL/dc? нулю и определить оценку а1 - S(a)/T.

Запишем L в терминах а , заменим о2 на а2, получим логарифмическую функцию правдоподобия L :

г*г ,     Тл „    Т, S(a)   Т         Т. .

I (a v,X) = —In 271    In—— = const            lnS(a).

•^2       2     Г     2 2

Максимизация L (ayJC) означает минимизацию hS(a), а с учетом того, что логарифмирование является монотонным преобразованием, максимизация L (ayJC) одновременно означает и минимизацию S(a), которая требуется при оценке нелинейным МНК.

Следовательно, а = а, где а — это оценка параметра а, полученная с помощью нелинейного МНК, argmin S(a).

 

Задание 11.6

 

Имеется нелинейное уравнение регрессии

 

у, = а+ ^,

где £•, распределена по закону Коши с функцией плотности Дг)=1/я(1+г2).

Требуется.

Построить алгоритм метода максимального правдоподобия Ньютона-Рафсона.

Решение.

Функция плотности распределения ошибки для ґ-го периода запишется следующим образом:

 

/(Б,) = --(1 + Б,2) = --[і + (Л-а)2],

71 71

соответственно ее логарифм

ln/(ef) = lni+ln[l + (^-a)2I,

71

Логарифм функции правдоподобия

Да) = Ilni + 5>[1 + (yt - а)2] = const + £1п[1 + (у, - а)2].

Необходимым условием экстремума функции правдоподобия является равенство нулю ее первой производной.

:0.

dL _ ^ -(yt - а) da      + (yt-a)2

Таким образом, требуется решить нелинейное уравнение. В соответствии с методом Ньютона-Рафсона получим

l-(yt-a„)2

 

dS/daa„ d2S/da2ar

1 +

 

Задание 11.7

 

В результате оценивания по методу наименьших квадратов получается следующая линейная регрессионная модель:

у, = 4хі, + 0,5x2, + е,

с ковариационной матрицей

п   , ч   (0,4 -0,fl C0V(a) 4-0,1   0,2 J"

 

Требуется.

Рассчитать значение статистики Вальда для следующих нулевых гипотез:

а)         Я0: ava2 = 1;

б)         Н0: п(а{) + 1п(«2) = 0.

Проанализировать взаимоотношения между двумя гипотезами и соответствующими тестами.

Написать псевдолинейную модель для оценки приведенной в условии модели в предположении, что верна гипотеза а) из п. 1. Описать, как можно вычислить значение критической статистики в тесте множителей Лагранжа применительно к полученному результату.

3. Вычислить значение статистики в тесте отношения правдоподобия для модели с ограничением, если сумма квадратов остатков в модели без ограничения равна 500, в модели с ограничением — 510, а величина выборки Т= 40.

Решение.

1. Статистика в критерии Вальда определяется следующим образом:

W= g(a)'-(G(a)-Cov(a)-G(a)')4-g(a),

где G(a) — матрица первых частных производных, g(o) — нелинейное ограничение на параметры.

 

g(o) = ai ■ а2- 1;

G(a) = (а2 ах). Соответственно статистика критерия Вальда:

 

W = (ava2-)1

і 0,344828.

(0,5 4).

= (4-0,5-1Г

(а2 ax)-Cov(a)

 

0,4 0,5^1 f0,5 -0,1 0,2

Расчетное значение сравнивается с 0,025\%-м квантилем ^(0,025; 1) = 0,001 и 0,975\%-м квантилем ^(0,975; 1) = 5,024, поскольку / = 0,344828 лежит между двумя табличными значениями, то нельзя отклонить нулевую гипотезу Но-. ах-а2= 1.

б)

g(o) = ln(ai) + ln(a2); G(a) = (Ші l/a2).

Статистика критерия Вальда

_1_

«2

-1

(0,25 2) «0,662694.

а

= (1,386294- 0,69315Г

Расчетное значение сравнивается с 0,025\%-м квантилем ^(0,025; 1) = 0,001 и 0,975\%-м квантилем ^(0,975; 1) = 5,024, поскольку £ = 0,662694 лежит между двумя табличными значениями, то нельзя отклонить нулевую гипотезу Но

ln(«0 + ln(a2) = 0.

Нулевые гипотезы в п. а) и б) отличаются только формой представления. В целом, этот пример подтверждает известный факт, что тест Вальда неинвариантен относительно формы представления нулевой гипотезы.

2. Статистика в тесте множителей Лагранжа рассчитывается следующим образом:

ML = 1S,(o'>V5"15'(o'),

где S(a') = dL/ da|a' - первые частные производные логарифма функции правдоподобия;

Vs = M[S(a ')• S(a ')'] = I(a '); a '— оценка параметра, на который наложено ограничение в соответствии с нулевой гипотезой.

Ограничение а.у<хг — 1 является нелинейным, следовательно, оценить параметры с использованием МНК невозможно. Представим нулевую гипотезу в следующем виде:

ayOi = 1=02= 1/^1 •

Вместо уравнения у = сс-х + а?хг + получим у = аух + + (1/а{)-Х2 + £"(, т.е. нелинейную модель. Эту модель необходимо оценивать с помощью нелинейного МНК.

Построим псевдолинейную модель.

п     ч   df(x,a).  ,    і    df{x,a). , У = У-fix,«і) + J      Ia ■ a = J       a ■ a + e,.

 

Здесь df(x'a) a=xx-x2- (1/a})2. da.

Следовательно,

у = у - xx ■ a} - x2 ■ (l/a}) + x, • a + x2 ■ (1/a,1) = y- 2x2 ■ (1/a});

 

y-2x2 -(1/а})= fa-x2-(l/a{)2)ai + E,.

Из этой псевдолинейной модели можем получить по нелинейному МНК оценку сс, удовлетворяющую ограничению, специфицированному гипотезой Н0, т.е. «2 = Уос. Используя эту оценку «1°, можно вычислить требуемое значение критической статистики.

3. Статистика теста отношения правдоподобия LR=2(L(a)-L(ao)),

где а — оценка при отсутствии ограничения;

ао — оценка при наличии ограничения вида Я0; L — логарифм функции правдоподобия определяется следующим образом:

2      Т  Т     9   1 ё'ё

Па,д ) = —1п27г—1п<т       

2          2          2 о1

где ё = у-х-а , а2 =ё'-ё/Т .

Заменяя ё'ё на а2 -Т , получаем

Т . _    Т   Т ,   Т *

l =        1п2я-   ш сг = const    <j .

2          2   2 2

lm = 2

 

 

 

 

 

— ІП 271

 

+

z )

U

2J

 

Следовательно, вычисляя l для а2 (оценка без ограничений) и 60 (оценка с ограничением вида щ), получаем следующее значение статистики:

( Тл „     Г   Г, „2,

            1п27с  lno^ -

= 2'

,2         2 2

 

1па^--1пст2    = Г-(1па21-1пд2) = Г-1п

Т-In

J J

("510/40

= 0,792.

500/40

Глава 12

 

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В ПРОГНОЗИРОВАНИИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Задание 12.1

На основании выборки из 20 наблюдений оценено следующее уравнение зависимости затрат на рекламу у от годового оборота х в определенной отрасли (см. задание 2.4):

 

у = -1,6042 + 0,1621-х.

Известно, что ошибка уравнения распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.

Требуется.

Определить 95\%-й прогнозный интервал математического ожидания целевой переменной у0 при хо = 30.

Определить 95\%-е прогнозные интервалы математического ожидания целевой переменной при значениях объясняющей переменной 10, 15, 20, 25. Отобразить все прогнозные интервалы и линию регрессии на графике. Прокомментировать результат. Проверить правильность утверждения: «С доверительной вероятностью 95\% все перечисленные прогнозные значения математического ожидания лежат в данном интервале».

Оценить 95\%-й прогнозный интервал для отдельного значения целевой переменной при хо = 30 и сравнить его с прогнозным интервалом в п. 1.

 

Решение.

1. Точечный прогноз математического ожидания целевой переменной уо при хо = 30 строится следующим образом:

 

у0 = -1,6042 + 0,1621 • 30 = 3,2388.

j,0-T(l-a/2;r-2)-ae-J-+w.,2,

Интервальный прогноз математического ожидания определяется в соответствии с выражением

'1 ,   *0 .

1          v*2

1          *0

Т          V *2

1          2>г

[0,0168-0,4534; 0,0168 + 0,4534] =[-0,4366; 0,4702]; т(1-а/2;Г-2)-ае

1

= 0,4

= 2,101-у^- LIZ (15-17'3>2 20 9250-20-17,2

[0,8273 - 0,4; 0,8273 + 0,4] = [0,4273; 1,2273]; т(1-а/2;Г-2)-ае

і #

_|        

1 (30-17.3Г

Подпись: 7о+т(1-а/2;Г-2)-ае- 1+-^-
Табличне значение г(0,975; 18) = 2,101 т(1-а/2;Г-2)-а(

 

= 2,101-^0,7021 •

: 0,5551.

!20 9250-20-17,32

95\%-й прогнозный интервал математического ожидания целевой переменной составит

[3,2588-0,5551; 3,2588+0,5551] = [2,7037; 3,8129].

1 г*2

1 + хо

*2

 

2. По аналогии с п. 1 для значений объясняющей переменной 10, 15, 20, 25 получим соответственно следующее:

 

т(1-а/2;Г-2)-ае

= 0,4534;

-2,101.ДТШ.]Г7 (1°-17'3)2 20 9250-20-17,:

2

= 0,4023

= 2,101-У0Л02Т-^ <2°-17'3>2 20 9250-20-17,

1 , *о2

[1,6378-0,4023; 1,6378+0,4023] = [1,2355; 2,0401]; т(1-а/2;Г-2)-ае

1

= 0,4596;

:2,101-v№-,flZ(25-17'3)2

20 9250-20-17,:

[2,4483-0,4596; 2,4483 + 0,4596] = [1,9887; 2,9079].

Из рис. 12.1 видно, как меняется положение и ширина 95\%-го прогнозного интервала математического ожидания целевой переменной в зависимости от хо. Чем дальше удаляемся от среднего значения х = 17,3, тем шире становится соответствующий прогнозный интервал. Для хо = х прогнозный интервал является самым узким.

Нельзя с вероятностью 95\% утверждать, что все рассматриваемые прогнозные значения математического ожидания будут находиться внутри построенного нами интервала. Для такого высказывания необходимо было бы построить зависимость уо от

всех рассматриваемых хо, т.е. многомерный прогнозный интервал. Если же для каждого из многих хо отдельно строится прогнозный интервал, то доверительная вероятность высказывания, что все прогнозные значения находятся внутри соответствующего интервала, ниже 95\%.

3. 95\%-й прогнозный интервал для отдельного значения у0 строится в соответствии со следующим выражением:

 

70-т(1-а/2;Г-2)-ае- 1 + 1 + -^-;

V    Т Е*г

J

*2 1 + 7 + ^2 1 Е*/

ід + *

*2

 

Если точечный прогноз у0 = 3,2588, то 95\%-й прогнозный интервал для отдельного значения у0 равен

 

т(1-а/2;7/-2)-о-е

Е*г

= 1,8459.

= 2,іоі-УЬ7702Т-1і+і-+ (3°-17'3)2

V    20 9250-20-17,2 [3,2588-1,8459; 3,2588 + 1,8459]= [1,4129; 5,1047].

Задание 12.2

На основании выборки из 10 наблюдений оценено следующее уравнение зависимости спроса на некоторое благо у домохо-зяйств определенной структуры (у) от цены этого блага (х) и дохода домохозяйства (хг) (см. задание 2.15):

 

у = 13,271-1,4937-Х! +-0,023118 х2 -

Известно, что ошибка уравнения распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.

Требуется.

Рассчитать 95\%-й прогнозный интервал математического ожидания целевой переменной уо для значений объясняющих переменных (5,5; 1100) и (6,0; 1150).

Определить 95\%-й прогнозный интервал для отдельного значения целевой переменной при таких же, как в п. 1, значениях объясняющих переменных.

Решение.

1. Точечные прогнозы математического ожидания у0 для данных значений экзогенных переменных будут соответственно

 

у01 = 13,271 -1,4937 • 5,5 + 0,023118 • 1100 * 30,485 ;

 

у02 = 13,271 -1,4937 • 6,0 + 0,023118 • 1150 « 30,895 .

Прогнозный интервал математического ожидания строится следующим образом:

у0-х(-а/2;Т-п-)-ае^х'0(Х'ХГ1 -х0; у0+т(-а/2;Т-п-1)-ае^х'0(Х'ХГ1-х0 .

 

( 1 1

 

 

5,5

= 6,172

 

поо/

 

Дляхої'= (1; 5,5; 1100) получим

= (1; 5,5; 1100)

 

184,08545  -2,21602 -0,1( -2,21602   0,81289 -0,00127 -0,16748   -0,00127 0,00017

Аналогично для х02' = (1; 6,0; 1150) - Хо2'(ХХ)1 • Хад = = 8,8523.

*? = 0,0096587 и <0,975,7) = 2,365.

 

х(-а/2;Т-п-)-аеуІх,0(Х'ХГ1-хОЇ = = 2,365 • V0,0096587 ■ ^6,1762 = 0,578.

Таким образом,

[30,485-0,578; 30,485+ 0,578] = [29,907; 31,063];

Соответственно

т(1 - а/2;Т - п -1) • aeJx^(XXf^x^, = = 2,365 V0,0096587 Д8523 = 0,282;

 

[30,895-0,282; 30,895 + 0,282] = [30,203; 31,587].

Уо

 

2. Для прогнозирования отдельного значения целевой пере менной используется то же самое точечное значение, но интер вал определяется следующим образом:

Уо

 

-x(l-a/2;T-n-l)-ae^ + x'0(XXyl-x0;

 

+ т(1 - а/2;Т - п -1) • ае<\ + х'0(ХХ)~1 ■

Соответственно получим

т(1 - а/2;Г - п -1) • oeyjl + х'0(XX)'1 ■ х01 = = 2,365 ■ V0,0096587 • ^7,1762 = 0,623; [30,485-0,623; 30,485 + 0,623] = [29,862; 31,108];

т(1 - а/ 2;Г - п -1) • ае^1 + х'0(XX)"1 ■ х02 = = 2,365 -^/0,0096587-^/9,8523 =0,73; [30,895-0,73; 30,895 + 0,73] = [30,165; 31,625].

 

Задание 12.3

Имеется информация о средних транспортных индексах в летний период 1999 г. (см. табл. 6.3).

Требуется.

На основе модели ARIMA (0,1,1), оцененной в задании 6.5, построить точечный прогноз исследуемого показателя на 3 периода вперед.

Решение.

Модель ARIMA (0,1,1) выглядит следующим образом:

 

В задании 6.5 определена оценка параметра /? (составляет -0,26876).

Прогнозные значения будут рассчитываться по формулам

л

У 56 = ^55 + е5б + 0.26876 ■ е55;

л л

у 51 = У56+ е51 + °>26876 • е56;

л л

^58 = у 51+ е58 + °> 26876 • е57,

ГДЄ  Є55-Є5&           СООТВеТСТВеННО ОЦеНКИ ОШИбОК £55~£58-

Предполагается, что условные математические ожидания

ОШИбоК М[Є55 + гІУі,..., у55] = 0 При Г>1.

Таким образом, все прогнозные значения будут равны между собой.

В целом получим

Л        Л Л

^56 = У51 = ^58 = (l~b)-У55 + Ь'У54 = = 1,26876 • 261,49 - 0,26876 ■ 259,25 = 262,09.

 

Задание 12.4

Имеются данные процесса контроля качества (см. табл. 6.5). Требуется.

На основании модели ARIMA (1,1,1), оцененной в задании 6.6, п. 2, построить точечный прогноз исследуемого показателя на 3 периода вперед.

Решение.

В задании 6.6 п.2 была получена следующая модель ARIMA (1,1,1):

Ау, = -0,60142 • Дум +е,- 0,77214 ■ В общем случае

л

Ут+i = 0- + а)-ут-а-ут_1-$-ет.

 

Л        Л Л

Ут+х = О + а) ■ Уг+т-1 - «• Уг+т-2 •

 

В упрощенном варианте прогноза условное математическое ожидание ет предполагается равным нулю.

Таким образом, получим

у16 = (1 - 0,60142) • 72 + 0,60142 • 99 = 88 ;

yv = (1 - 0,60142) • 88 + 0,60142 • 72 = 78 ;

у7& = (1 - 0,60142) • 78 + 0,60142 • 88 = 86.

 

Задание 12.5 Имеется модель следующая модель GARCH(1,1):

v(2 = Д + А • s2,-! + П ■ v2m + $ = = 0,000193 + 0,49645 • e2t- + 0,547980 • v2M + Q.

 

Требуется.

Построить точечный прогноз условной дисперсии на 3 периода вперед, если последнее ее расчетное значение для базисного периода равно 0,7619, а остаток составляет 0,0707.

Решение.

Условная дисперсия прогнозируется следующим образом: v2r+1 = До + А • Вт + у ■ vr2; v2T+k = Д + (А + П) ■ v2r+t-b * = 2,3... Итак, получим

Л+1 = 0,000193 + 0,49650 • 0.07072 + 0,547980 • 0,7619 = 0,4202; v2r+2 = 0,000193 + (0,49650 + 0,547980) ■ 0,4202 = 0,4408; v2r+3 = 0,000193 + (0,49650 + 0,547980) ■ 0,4408 = 0,4623.

Задание 12.6

 

На основании информации, приведенной в табл. 12.1, оценены коэффициенты структурной формы системы взаимозависимых уравнений

С, = 41,4245 + 0,6216- Y, + е, Г, = С, + 1,.

 

Требуется.

Оценить коэффициенты прогнозной формы.

Рассчитать точечный прогноз валового национального продукта и потребления, если объем инвестиций равен 164,50.

Построить 95\%-й совместный прогнозный интервал для эндогенных переменных.

4. Определить 95\%-е прогнозные интервалы для отдельно взятых эндогенных переменных.

Решение.

1. Структурная форма модели в общем виде выглядит следующим образом:

С, = аь + ах • Y, + £•,; Y, = C, + It.

Подставим второе уравнение в первое. Получим С, = ao + ai- (С, + !,) + £,;

Е<=_^Р_+_а_./(+є;.

—        , +_      ь = -     -і--      

1-cq   1-ctj       І-оц       1-а! 1-а,

Подставим теперь значение С, во второе уравнение структурной формы. Имеем

 

-а ~а

 

1-а!   1 - aj Поставив оценки параметров аь и а, получим С, = 109,4585 + 1,6424 • I, + є,*; Y, = 109,4585 + 2,6424 • /, + є'.

 

При /, = 164,5-равновесное потребление составит 379,63, а равновесный валовый национальный продукт — 544,13.

Совместный прогнозный интервал эндогенных переменных определяется следующим образом:

л        I           л        л        л        I л

Ст+1-са -sn <Ст+т <Ст+х~^са -sn ;

л        /           л       л         Л        / л

Yt+x - Ya ■ S22 £ Ут+х < Yt+x - V Са ■ S22 , где са =[l + *f+T-(ХХУ ■ Хт+,]- (Т~^2 2 -F(0,975;2;7/-2),

л

а матрица S рассчитывается согласно формуле

S = ^-(Y-X-nMHK)'-(Y-X-n'MHK),

в которой

 

П мнк = YX(XXy •

Матрицы y и x — соответственно матрицы исходных значений эндогенных и экзогенных переменных. Таким образом, получим )/св -*п = Vl2,21618-932,53 = Vll392 = 106,73;

<[са-S22 = д/12,21618-1892,478 = ^/23118,85 =152,04 .

Соответственно 95\%-й совместный прогнозный интервал для потребления составит [272,9; 486,36], а для валового национального продукта — [392,09; 696,17].

4. Для построения прогнозных интервалов для отдельно взятых эндогенных переменных определим сначала

^F(0,975;2;16)-5n = ^/4,69-932,53 = 66,13 ;

J F(0,975; 2; 16) •     = V4,69 ■ 1892,478 = 94,21.

Прогнозный интервал для потребления будет

[379,63 - 66,13; 379,63 + 66,13] = [313,50; 445,76], а для валового национального продукта —

[544,13 - 94,21; 544,13 + 94,21] = [449,92; 638,34].

Y' X

[6105,13 805572,7V 1 8622,77   1142627 J'

(У XVі J 2Д349 -°'01626У vA  л>     1-0,01626   0,00013 У

л

п =

( -62,1918   3,1380V 166,706  5,0486J'

 

л

S =

( 932,53 1308,302 1308,302 1892,478

Табличное значение критерия Фишера ^(0,975; 2; 16) = 4,69; са= 12,21618.

Учебное пособие

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |