Имя материала: Статистические методы прогнозирования в экономике

Автор: Т.А. Дуброва

3.2. методы выбора кривых роста

 

Существует несколько практических подходов, облегчающих процесс выбора формы кривой роста.

Наиболее простой путь — визуальный анализ, опирающийся на изучение графического изображения временного ряда. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует фактическому развитию процесса. Если на графике исходного ряда тенденция развития недостаточно четко просматривается, то можно провести некоторые стандартные преобразования ряда (например, сглаживание), а потом подобрать функцию, отвечающую графику преобразованного ряда. В современных пакетах статистической обработки имеется богатый арсенал стандартных преобразований данных и широкие возможности для графического изображения, в том числе в различных масштабах. Все это позволяет существенно упростить для исследователя проведение данного этапа.

В статистической литературе описан метод последовательных разностей, помогающий при выборе кривых полиномиального типа. Этот метод применим при выполнении следующих предположений: уровни временного ряда могут быть представлены в виде суммы систематической составляющей и случайной компоненты, подчиненной нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 0, и постоянной дисперсией. Метод предполагает вычисление первых, вторых и т. д. разностей уровней ряда.

Поясним, что для временного ряда у1,у2,...,yn последовательные разности первого

порядка определяются следующим образом: Ayt = yt - yt-1, t = 2, ..., n. Последовательные разности второго порядка — это разности от последовательных разностей первого порядка: A2yt =Ay -Ayt-1, t = 3, n.

Аналогично последовательные разности порядкаk > 3 можно представить в виде:

Akyt =Ak-1yt-Ak -1yt-1, t = k + 1, n.

Расчет ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равными. Порядок разностей принимается за степень выравнивающего полинома.

Существенную помощь при выборе кривых роста из более широкого класса функций может оказать метод характеристик прироста.

Процедура выбора кривых с использованием этого метода включает следующие шаги:

выравнивание ряда с помощью скользящей средней;

определение средних приростов;

вычисление производных характеристик прироста.

Для многих видов кривых были найдены такие преобразования приростов, которые линейно изменялись относительно t или были постоянны. В связи с этим исследование рядов характеристик приростов часто оказывает существенную помощь при определении законов развития исходных временных рядов.

Данный метод является более универсальным по сравнению с методом последовательных разностей.

Однако чаще всего на практике к выбору формы кривой подходят исходя из значений критерия, в качестве которого принимают сумму квадратов отклонений фактических значений уровней от расчетных, получаемых выравниванием. Из рассматриваемых кривых предпочтение будет отдано той, которой соответствует минимальное значение критерия, т. к. чем меньше значение критерия, тем ближе к кривой ложатся данные наблюдений. Используя этот подход, следует иметь в виду ряд моментов.

Во-первых, к ряду, состоящему из m точек можно подобрать многочлен (полином) степени (m - 1), проходящий через все m точек.

Во-вторых, существует множество многочленов более высоких степеней, также проходящих через все эти точки. Для этих многочленов значение критерия будет равно 0, однако очевидно, что такая кривая не слишком пригодна как для выделения тенденции, так и для целей прогнозирования.

Также следует учитывать, что за счет роста сложности кривой можно увеличить точность описания тренда в прошлом, однако доверительные интервалы при прогнозировании будут существенно шире, чем у более простых кривых при одинаковом периоде упреждения, например, за счет большего числа параметров.

Таким образом, использование этого подхода должно проходить в два этапа. На первом — происходит ограничение приемлемых функций, исходя из содержательного анализа задачи. На втором — осуществляется расчет значений критерия и выбор на его основе наиболее подходящей кривой роста. Необходимость содержательного анализа изучаемого процесса развития может быть проиллюстрирована следующими примерами.

Предположим, что на ретроспективном участке ряд динамики может быть хорошо описан с помощью экспоненциальной кривой. Однако первая половина логистической кривой также представлена экспонентой. Поэтому принять гипотезу об экспоненциальной тенденции ряда в будущем можно только после проведения содержательного анализа, в ходе которого следует дать ответ на вопрос: возможно ли наступление "насыщения" при данной совокупности условий. Например, процесс производства может быть ограничен материальными ресурсами или производственными мощностями.

Возможна ситуация, когда наилучшей функцией по данному критерию будет признана прямая, однако полученное на ее основе прогнозное значение будет отрицательным. Если из экономической сути показателя вытекает невозможность отрицательных значений (например, при прогнозировании объема выпускаемой продукции), то, естественно, следует отказаться от этой функции, выбрав менее «удачную» по данному критерию, но соответствующую содержательному смыслу показателя. Например, более подходящей в этом случае может оказаться показательная кривая (3.10) при значении параметра b < 1 (см. рис. 3.1).

В современных пакетах статистической обработки данных и анализа временных рядов представлен широкий спектр кривых роста, например, в пакете «Олимп», разработанном в МЭСИ и широко используемом в учебном процессе, реализованы 16 кривых роста. Причем, возможны несколько режимов работы, удобных для пользователя. Можно среди этих кривых выбрать отдельную функцию, и получить подробный протокол, включающий оценки параметров, характеристики остатков, прогнозы, интервальные и точечные. Можно выделить на экране несколько функций, тогда протокол будет содержать оценки параметров всех заказанных функций и значения критерия для каждой из них. В качестве критерия выбирается средняя квадратическая ошибка:

Подпись: S (yt - yt )2S

(3.15)

n

где

yt — фактическое значение уровня ряда; yt — расчетное значение уровня ряда, полученное по модели; n  — длина ряда.

Подробный протокол, а также прогнозные значения, на заданное пользователем число временных интервалов, приводятся для функции, отвечающей минимуму указанного критерия. Представляется целесообразным для пользователя на основе выше рассмотренных подходов заранее отвергнуть заведомо непригодные варианты, ограничить поле выбора. Отметим, что на практике часто в качестве знаменателя подкоренного выражения принимают величину (n - к), где к — число оцениваемых коэффициентов модели.

В заключение отметим, что нет «жестких» рекомендаций для выбора кривых роста. Особенно осторожно следует подходить к решению этой задачи при использовании полученной функции для экстраполирования найденных закономерностей в будущее. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о сохранении выявленной тенденции в прогнозируемом периоде. Рассмотренные в данном разделе различные статистические приемы и методы могут помочь исследователю при осуществлении сложного выбора подходящей кривой роста.

 

Пример 3.1.

В таблице 3.1 представлены данные об остатках вкладов населения в банках за 15 месяцев. Остатки вкладов указаны на начало каждого месяца.

Необходимо рассчитать прогнозное значение остатков вкладов населения в банках на начало 16-го месяца, исходя из предположения, что тенденция ряда может быть описана:

а)         линейной моделью y€t = a0 + a1t;

б)         параболической моделью j€t = a0 + a1t + a2t2 ;

в)         показательной моделью y€t = a • bt.

 

Решение

а) Для расчета коэффициентов линейного тренда воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда (3.8). Так как число уровней ряда динамики нечетное (n = 15), то центральный уровень (восьмой) принимается за начало отсчета, ему соответствует t = 0. Вышестоящие уровни нумеруются с шагом -1, нижестоящие — с шагом +1 (гр.3 табл.3. 2).

В таблице 3. 2 представлены необходимые вспомогательные вычисления.

a0 =■

 

n

 

15

495 958

33 063,866;

 

a1 =

 

S t1

t

= 899891= =   280 = 3213,896.

 

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:

€ = 33063,866 + 3213,896 t

Согласно этой модели оценка среднего уровня ряда при t = 0 равна 33063,9 млрд. руб., а среднемесячный прирост остатков вкладов населения составляет 3213,9 млрд. руб.

Для прогнозирования на базе полученной модели на одну точку вперед необходимо в нее подставить соответствующее значение временного параметра, т. е. t = 8. (Если бы оценки коэффициентов модели были получены без переноса начала координат в середину ряда, то следовало бы подставить в модель значение временного параметра t = 16).

Определим прогнозное значение:

€ = 33063,866 + 3213,896 • 8;  € = 58775 млрд. руб.

б) Для расчета коэффициентов параболического тренда также воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда (3.9).

Промежуточные вычисления представлены в таблице 3.2:

899891 „пл„апг

о. =      = 3213,896

 

15•9891193 - 28и•495958

a2 =     = 153,517

2          15•9352 - (28и)2

 

ou = 33иб3,866           153,517 = 3и198,16

u 15

Следовательно, уравнение параболического тренда примет вид:

€ = 3и198,16 + 3213,896 t +153,517 t2

Для определения прогнозного значения показателя надо подставить в полученную модель соответствующее значение временного параметра (t = 8):

€ = 3и198,16 + 3213,896 • 8 +153,517 • 82 У8 = 65734 млрд. руб.

в) Для определения параметров тренда, описываемого показательной функцией, воспользуемся (3.8), (3.11).

Таблица 3.3.

В таблице 3.3 представлены необходимые вспомогательные вычисления. Тогда можно рассчитать:

1       154,6876   103125     . 28,2954

ln a =   = 1U,3125,   ln b =      = U,1U11.

15 28и

Проведя потенцирование, получаем: а = 30106,61; b = 1,11. Следовательно, уравнение тренда примет вид:

€ = 30106,61-1,11'

Согласно этой модели среднемесячный темп роста остатков вкладов населения составлял 111\%. В точке, принятой за начало отсчета (t = 0), значение тренда равно 30106,61 млрд руб. Для определения прогнозного значения остатков вклада населения в банках на один месяц вперед подставляем в полученную модель значение t = 8:

€ = 30106,61-1,118; €8 = 69382 млрд. руб.

На рисунке 3.2 изображены фактические значения уровней временного ряда и расчетные значения уровней, полученные на основе двух трендовых моделей: линейной и параболической.

I        70000 j  

Графический анализ свидетельствует о том, что линейную модель нельзя признать удачной, она не подходит для описания тенденции этого временного ряда. Полученный же на ее основе прогноз будет сильно занижен. Далека от реальности и показательная модель. Значительно ближе к фактическим данным ложатся уровни, выровненные по параболической модели, хотя прогнозное значение может быть несколько завышено. Дальнейшее исследование качества полученных моделей должно опираться на показатели, рассматриваемые в следующей главе.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |