Имя материала: Статистические методы прогнозирования в экономике

Автор: Т.А. Дуброва

Глава 2. сглаживание временных рядов с помощью скользящих средних 2.1. применение простых скользящих средних

 

Распространенным приемом при выявлении и анализе тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Методы сглаживания можно условно разделить на два класса, опирающиесяна различные подходы:

аналитический подход;

алгоритмический подход.

Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую. Например, на основе визуального и содержательного экономического анализа динамики временного ряда предполагается, что трендовая составляющая может быть описана с помощью показательной функции: yt = a • Ъ.

Тогда на следующем этапе будет произведена статистическая оценка неизвестных коэффициентов модели, а затем определены сглаженные значения уровней временного ряда путем подстановки соответствующего значения временного параметра t в полученное уравнение (заданное в явном аналитическом виде). Процедуры моделирования, опирающиеся на этот подход, рассматриваются в следующей главе.

При использовании алгоритмического подхода отказываются от ограничительного допущения, свойственного аналитическому. Процедуры этого класса не предполагают описания динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой заданный момент времени t. Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу.

Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед моделированием тренда с помощью процедур, относящихся к аналитическому подходу.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса, и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов:

Определяют длину интервала сглаживания l, включающего в себя l последовательных уровней ряда (l < n). При этом надо иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени взаимопогашаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

Разбивают весь период наблюдения на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

Рассчитывают средние арифметические из уровней ряда, образующих каждый участок.

Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания l в виде нечетного числа: l = 2p + 1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении l все уровни активного участка могут быть представлены

в виде:

 

уг - p, уг - p+1, •••, уг-1, yt, уг+^ K, уг+p-1, уг+p ,

где

Уг  — центральный уровень активного участка;

Уг-p,Уг-pУг-1    — последовательность из p уровней активного участка, предшествующих центральному; УгУг + -1, Уг +      — последовательность из p уровней активного участка, следующих за

центральным.

Тогда скользящая средняя рассчитывается по формуле:

г+p

£ Уг

) _ г=г - p     _ Уг-p + Уг - p+1 + ... + Уг+p -1 + Уг+p        (2 1)

Уг _      _         2p+I    , (21)

где

Уг   — фактическое значение г-го уровня;

Уг   — значение скользящей средней в момент г;

2p + 1 — длина интервала сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний часто требуется использовать четырех- и две-надцатичленные скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетности длины интервала сглаживания. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

1          1      1      V1 1

2          і           :           :           2          і _ і      ^          2          (2.2)

■ Уі-p + Уг-p+1 + - + Уг-1 + Уі + У+1 + - + Уі+p-1 + 2 у+p     2 уг-p +  ^ уг + 2 уг+p

2 p       2 p

Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами

квартальной или месячной динамики можно использовать 4- (2.3)       и 12-членные (2.4)

11

2 Уг-2 + Уг -1 + Уг + Уг+1 + 2 Уг+2

скользящие средние: У( _ —            4          2          ;           (2.3)

11

2Уг-6 + Уг -5 + ... + Уг + ... + Уг+5 +~ Уг+6

У( _ 2  2          .           (2.4)

г 12

В (2.3) каждый активный участок содержит 5 уровней, в (2.4) —13, при этом крайние уровни имеют половинные весовые коэффициенты.

При использовании скользящей средней с длиной активного участка l = 2p + 1 первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, так как для исследователя последние «свежие» данные обладают наибольшей информационной ценностью.

Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда при использовании простой скользящей средней. Для этого необходимо:

. Вычислить средний абсолютный прирост на последнем активном участке

 

yt-p, yt-p+1, к, yt-1,yt, yt+1, k , yt+p-1, yt+p :

 

Ay = У t+p      У t - p

l - 1 '

где

l    — длина активного участка;

yt+p — значение последнего уровня на активном участке;

yt - — значение первого уровня на активном участке;

Ау — средний абсолютный прирост на последнем активном участке.

Получить p сглаженных значений в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению.

Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, то применение простой скользящей средней нецелесообразно.

Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В этих случаях следует обратиться к взвешенной скользящей средней.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |