Имя материала: Статистические методы прогнозирования в экономике

Автор: Т.А. Дуброва

2.2. использование взвешенных скользящих средних

 

При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной:

t+p

 

У = ^   , (2.5)

 

i =t - p

где

wi — весовые коэффициенты.

Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами (wi), а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по прямой (полиному первого порядка), а при сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы более высоких порядков, чаще всего — 2-го или 3-его порядка. Поэтому метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней.

Выравнивание с помощью взвешенной скользящей средней осуществляется следующим образом.

Для каждого активного участка подбирается полином вида

yt = a0 + a1t + a2t2 +... ,

коэффициенты которого оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом начало отсчета (начало координат) переносится в середину активного участка. Например, для длины интервала сглаживания l = 7 рассматриваются моменты времени t: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Тогда сглаженным значением для уровня, стоящего в середине активного участка, будет значение параметра a0 подобранного полинома.

Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, так как они будут одинаковыми для каждого активного участка.

Проиллюстрируем процедуру определения весовых коэффициентов на следующем примере.

Пусть длина интервала сглаживания l = 5, а локальное поведение сглаженного временного ряда внутри каждого активного участка описывается с помощью полинома второго порядка. Перенесем начало координат в середину временного интервала, т. е. будем рассматривать моменты времени: t = -2, -1, 0, 1, 2.

Неизвестные коэффициенты полинома второй степени оцениваются с помощью МНК, т. е. находятся коэффициенты минимизирующие функционал:

2          2 2

Q = S (yt - a0 - a1t - a2t ) == min

t=-2

Находим частные производные и приравниваем их нулю:

 

= 0, j = 0; 1, 2.

 

Отсюда, учитывая, что после переноса начала координат в середину временного интервала Stk = 0 , где k — нечетное число, получим упрощенную систему нормальных

t=-2

уравнений:

2

S yt = 5a0 + 10a2

t=-2

S У = 10a,       ( 2.6)

t = -2

S t2 yt = 10a0 + 34a2

t = -2

Сглаженное значение в центральной точке активного участка определяется коэффициентом а0, который входит в первое и третье уравнения системы (2.6).

Поэтому из уравнений (1) и (3) системы (2.6) определим выражение для коэффициента а0:

a0 = 3j(-3y_2 +12y_1 +17y0 +12y - 3y2)

Таким образом, оценка сглаженного значения в центральной точке активного участка определяется как взвешенная средняя арифметическая из пяти уровней, образующих этот участок (см. (2.5)). Соответствующие весовые коэффициенты равны:

_ _L.12.1I.12.-3

35;35;35;35;35 .

Учитывая симметрию относительно центрального значения, их можно представить с помощью символической записи:

 

a0 =    [- 3; 12; 17] (см. табл. 2.1).

 

Процедура определения весовых коэффициентов носит общий характер. Если для каждого активного участка с длиной интервала сглаживания l = 2 р +1 подбирается полином порядка m , то согласно МНК необходимо минимизировать функционал:

 

Q = І (y _ ao _ at _ к _ amtm)2

t=_ p

При этом весовые коэффициенты, найденные для сглаживания по полиномам четной степени m = 2k, будут неизменными при использовании полиномов степени m = 2k +1 (т.е. для полиномов на единицу большей нечетной степени).

В таблице 2.1 представлены весовые коэффициенты в зависимости от длины интервала сглаживания (при сглаживании по полиному 2-го или 3-го порядка).

 

Таблица 2.1.

Весовые коэффициенты для взвешенной скользящей средней (при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка)

 

 

 

Длина интервала сглаживания

Весовые коэффициенты

5

3-[ _3, + 12,+Г7]

7

2-[ _2, +3, +6, +7]

9

—[_21, +14, +39, +54, +591

— Г_36, +9, +44, +69, +84, +89

—Г_ 11,0, +9, +16, +21 +24, +25 143L    ' '   '     '     '     ' J

11

13

Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, т. к. они могут быть симметрично отражены.

Отметим важные свойства весовых коэффициентов:

Они симметричны относительно центрального уровня.

Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

Проиллюстрируем использование таблицы 2.1 на примере вычисления 5-членной взвешенной скользящей средней. В этом случае центральное значение на каждом активном участке yt-2yt-1, yt, yt+1yt+2 будет оцениваться по формуле:

 

yt = 35 (" 3 yt - 2 + 12yt-1 + 17 yt + 12yt+1 - 3 yt+2 ) ,

где соответствующие весовые коэффициенты уровней -3/35, 12/35, 17/35 взяты из первой строки табл. 2.1

Разработаны специальные приемы, позволяющие восстанавливать потерянные значения временного ряда (краевые значения) при использовании взвешенной скользящей средней. При длине активного участка l = 2p + 1 для восстановления p первых и p последних потерянных уровней анализируемого временного ряда, как правило, используются расчетные значения, полученные с помощью аппроксимирующих полиномов той же степени, что и для сглаживания остальных членов ряда. Причем неизвестные коэффициенты полиномов определяются соответственно по l = 2p + 1 первым и последним уровням временного ряда.

Следует отметить, что процедуры скользящих средних представляют собой важное аналитическое средство, обладая рядом бесспорных достоинств (простота вычисления и интерпретации и др.), однако при этом их использование требует определенного опыта исследователя. На практике скользящие средние широко применяются совместно с кривыми роста, используются при оценивании сезонной составляющей во временных ряда, в процедурах сезонной корректировки. Также они служат важным инструментом исследования в техническом анализе товарных и финансовых рынков.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |