Имя материала: Экономические и финансовые риски: оценка, управление, портфель инвестиций

Автор: Александр Сергеевич Шапкин

2.5. оптимальность по парето

Как уже отмечалось, анализ решений при многих критериях в значительной степени сводится к организации в той или иной форме взаимодействия с ЛПР, которое одно только и может разрешить проблему соизмерения различных критериев. Тем не менее, существует довольно ограниченная область, в которой применение сугубо формального анализа без обращения к ЛПР оказывается весьма полезным. Речь идет о выделении так называемого множества эффективных, или оптимальных по Парето, альтернатив.

Легко понять, что альтернатива, не являющаяся эффективной, ни при каких условиях не может рассматриваться в качестве решения задачи. Ведь для неэффективной альтернативы существует другая, превосходящая ее по всем критериям. Отсюда вытекает —важнейший критерий рациональности процесса разработки решения: выбираемый вариант должен быть эффективным.

Эффективной считается такая альтернатива, для которой не существует другой допустимой, не уступающей ей по всем критериям и хотя бы по одному критерию превосходящей ее.

Как же отыскивать эффективные решения? Главное здесь состоит в том, что после того, как сформулированы критерии, задача отыскания множества эффективных решений на заданном множестве альтернатив является, хоть и сложной, но вполне формальной задачей, не требующей для своего решая обращения к ЛПР. Во многих случаях множество эффективных альтернатив можно отыскать, решая задачу с интегральным критерием оптимальности, представляющим собой сумму отдельных, частных критериев с переменными весами. При этом не имеет значения, какие веса брать для начала процесса. Все равно перебираются с каким-то заданным шагом все возможные комбинации на отрезке от О до 1. После того, как выделено множество эффективных альтернатив, ЛПР может выбрать одну из них, но строить из них комбинации, даже в тех случаях, когда такая комбинированная альтернатива имеет смысл, нельзя. Она может оказаться неэффективной и не может рассматриваться в качестве решения задачи.

Мы же отмечали, говоря о различных алгоритмах решения многокритериальных задач, что они фактически отличаются друг от друга формой вопросов, задаваемых ЛПР. Очень часто пытаются сформулировать эти вопросы таким образом, чтобы ЛПР указало относительные веса (коэффициенты важности или значимости) отдельных критериев, а затем строят так называемую свертку критериев, т.е. за интегральный показатель качества альтернативы принимают сумму отдельных критериев с коэффициентами важности.

Такая методика используется настолько часто, что иногда начинает восприниматься как единственно возможная. К ее достоинствам, помимо простоты, следует отнести то, что получаемая при таком подходе альтернатива заведомо будет эффективной. Однако применение этой схемы основано на дополнительных предположениях, которые не всегда оправданы. С математической точки зрения такая сумма частных критериев с коэффициентами важности есть не что иное, как аддитивная функция ценности. Для того, чтобы такая логическая конструкция правильно отражала систему предпочтений ЛПР, необходимо (на этот счет доказаны соответствующие теоремы), чтобы используемые для оценки альтернатив критерии обладали свойством взаимной независимости по предпочтению.

В пункте (2.3.3) были рассмотрены матрица платежеспособного спроса Е (табл.2.4) и ее матрица рисков R (табл.2.5) решения является случайной величиной R, с рядом распределения:

Подпись: ( 0

'49300 197200 197200 197200 -60 148900 297800 297800 1140  98400 196800 393600

,R =

 

0     100600 196400

49360 48300 0 95800 50440 98800 101000 0

 

 

га

ГЦ

 

 

Р.

Л

Pi

 

Рп

 

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности Pj того, что реальная ситуация развивается по варианту j. Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Тогда решение можно принимать, в частности, по правилу максимизации среднего ожидаемого дохода.

Пример. Прибыль, получаемая компанией при реализации 1-го решения, является случайной величиной Е( с рядом распределения:

 

Е

Єй

Єі2

 

 

Pi

Pi

Pi

...

Pn

Математическое ожидание M[E,] и есть средняя ожидаемая

прибыль, обозначаемая также Et. Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальную среднюю ожидаемую прибыль.

Предположим, что в рассматриваемом примере вероятности

1  1  1 1 „

равны: Тогда

0   4  4 3

 

ЁГ = 49300 • - +197200 • - +197200 • - +197200- - = 172500,

6          4          4 3

Y\% = -60 ~+148900 • j+297800 ~ + 297800 ~ = 2109311,

"Щ = - J.140 • - + 98400 • - +196800 • і + 393600 • 4 = 204810.

6          4          4 3

             2

Максимальная средняя ожидаемая прибыль равна Е2 = 210931—

и соответствует стратегии компании Р2.

Далее рассмотрим выбор решения по правилу минимизации среднего ожидаемого риска. Риск компании при реализации 1-го

Математическое ожидание M[Rt] и есть средний ожидаемый

риск, обозначаемый также Rt. Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях для матрицы рисков R. Получаем:

 

}Г = о-- + 0-- + 100600-- + 196400~ = 9061б|,

1          6     4   4          З 3

Y2 = 49360 • - + 48300 - | + 0- | + 9580о4 = 52235,

2          6          4     4 3

~р~ = 50440 ■-+98800 •-+101000 ■- + 0 ~ - 65023 .

1          6          4          4     3 3

 

Минимальный средний ожидаемый риск равен R2 =52235 и соответствует стратегии компании Р2.

Отличие частичной (вероятностной) неопределенности от полной неопределенности очень существенно. Как указывалось выше, принятие решений, исходя из критериев оптимальности, нельзя считать окончательным, самым лучшим. Это лишь некоторые предварительные соображения. Далее пытаются получить дополнительную информацию о возможностях того или иного варианта решения, о его вероятности, что уже предполагает повторяемость рассматриваемой схемы принятия решений: то ли это было в прошлом, то ли это будет в будущем.

Итак, в рассмотренном примере была получена оптимизационная двухкритериальная задача по выбору наилучшего решения, так как каждое решение имеет две характеристики — среднюю ожидаемую прибыль и средний ожидаемый риск.

Существует несколько способов постановки таких оптимизационных задач. Рассмотрим один из них в общем виде.

Пусть О — некоторое множество операций. Каждая операция «о» имеет две числовые характеристики Е (о) и R (о) (например, эффективность и риск) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции, желательно, чтобы Е было больше, a R меньше.

Будем говорить, что операция а доминирует операцию в, и обозначать а>в, если Е(а) > Е(в) и R(a) > R(e) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а называется доминирующей, а операция в — доминируемой. Ясно, что ни при каком разумном выборе наилучшей операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето.

На множестве Парето каждая из характеристик Е, R — однозначная функция другой, т.е. по характеристике Е можно определить характеристику R и наоборот.

Применительно к матричным играм распределение называется Парето — оптимальным, если положение ни одного из игроков нельзя улучшить, не ухудшая при этом положение его партнера.

Продолжим анализ рассматриваемого примера. Каждое решение (/?,,£,) отметим как точку на плоскости (Рис.2.1), получили

три точки. Чем выше точка (Л,, ), тем более доходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. В рассматриваемом примере множество Парето состоит только из одной второй операции.

Е

200000-170000-

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для операции £ с характеристиками (R, Е) дает одно число, по которому и определяют

 

2 •

• 3

• 1

 

її          1          1          1          ►

О      50000      75000      100000 R

Рис. 2.1. Множество операций

лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула имеет вид: /(Е) = 2£-Я. Тогда имеем:

/(£,) = 2 ■ 172550 - 906161 = 2544831, /(£2) = 2 ■ 2109311 - 52235 = 3696281,

f(E3 ) = 2 • 204810 - 650231 = 3445961.

Отсюда видно, что стратегия Е2 — лучшая.

Взвешивающая формула выражает отношение лица, принимающего решение к доходу и риску. Если ЛПР применяет только что рассмотренную формулу, то он согласен на увеличение риска операции на две единицы, если доход операции при этом увеличивается не менее, чем на одну единицу. Следует отметить, что эта формула может передать отношение ЛПР к доходу и риску лишь приблизительно.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 |