Имя материала: Экономические и финансовые риски: оценка, управление, портфель инвестиций

Автор: Александр Сергеевич Шапкин

4.4. рисковые инвестиционные процессы

 

4.4.1. Инвестиционные риски

Под инвестиционными рисками понимается возможность недополучения запланированной прибыли в ходе реализации инвестиционных проектов. Объектом риска в данном случае выступают имущественные интересы лица — инвестора, вкладывающего в проект в той или иной форме свои средства.

Суть инвестирования заключается во вложении собственного или заемного капитала в определенные виды активов, которые должны обеспечивать в будущем получение прибыли. Инвестиции могут быть долгосрочными и краткосрочными.

Обычно различают финансовые инвестиции, состоящие в приобретении ценных бумах объектов тезаврации, и реальные инвестиции в производственные и непроизводственные объекты. Можно также сказать, что реальные инвестиции — это финансирование капитального строительства и капитальных вложений, направленных на создание основных фондов производственного и непроизводственного назначения.

Инвестиционная деятельность во всех ее формах и видах сопряжена с риском, степень которого усиливается с переходом к рыночным отношениям в экономике. В современных условиях степень риска возрастает по мере нарастания неопределенности, а также в связи с быстрой изменчивостью экономической ситуации в стране в целом и на инвестиционном рынке в частности. Риск увеличивается и с ростом предложения для инвестирования приватизируемых объектов, с появлением новых элементов и финансовых инструментов для инвестирования и т.п.

Выбор варианта вложения денег очень важен, поскольку именно в этот момент определяется ход дальнейших действий инвестора и от него в значительной мере зависит успех в достижении целей. Лучшим вариантом может оказаться не обязательно тот, который просто обеспечивает максимальную доходность: существенную роль могут играть и другие параметры, такие, как риск и условия налогообложения. Например, инвестор, который стремится к получению максимальных годовых дивидендов, купит обыкновенную акцию компаний с самой высокой ожидаемой прибылью. Если фирма, выпустившая эту акцию, обанкротится, то акционер потеряет все вложенные деньги. Чтобы успешно управлять вложениями, крайне важно внимательно выбирать финансовые инструменты, чтобы они соответствовали поставленным целям и характеризовались приемлемыми уровнями доходности, риска и цены.

Индивидуальный инвестор имеет широкий выбор инструментов по степени риска, начиная от ценных государственных бумаг, с которыми связан наименьший риск, и кончая товарами с очень высоким риском. У каждого типа размещения капитала есть базовые характеристики риска, однако в каждом конкретном случае риск определяется конкретными особенностями данного инструмента. Например, хотя принято считать, что вложения в акции сопряжены с более высоким риском, чем вложения в облигации, можно без особых усилий найти облигации с очень высоким риском — большим, чем риск вложения в акции солидных компаний. Инвестиции с низким риском считаются безопасным средством получения определенного дохода, инвестиции с высоким риском, напротив, считаются спекулятивным. Терминами «инвестирование» и «спекуляция» обозначаются два различных подхода к инвестированию. Как уже говорилось, под инвестированием понимается процесс покупки ценных бумаг и других активов, о которых можно с уверенностью сказать, что их стоимость останется стабильной и на них можно будет получить не только положительную величину дохода, но даже предсказуемый доход: спекуляция состоит в осуществлении операций с такими же активами, но в ситуациях, когда их будущая стоимость и уровень ожидаемого дохода весьма надежны. Конечно, при более высокой степени риска от спекуляции ожидается и более высокий доход.

 

4.4.2. Ставки доходности рискованных активов

Чем выше риск неплатежа по инструментам с фиксированным доходом, тем выше процентная ставка по ним, даже если все остальные характеристики остаются неизменными. Если проанализировать разные процентные ставки по облигациям с долларовым номиналом, выпущенные заемщиками, характеризующимися разными степенями риска возможных неплатежей по своим займам, то можно сделать вывод, что долгосрочные облигации Казначейства США имеют самый низкий показатель такого риска, далее идут корпоративные облигации высокого качества, за ними — корпоративные облигации среднего качества. Доходность облигации первого вида составляет 6,21\% в год, второго вида — 7,09\% и третьего вида — 7,56\% (все со сроком погашения больше 10 лет).

Процентные ставки представляют собой обещанные ставки доходности по инструментам с фиксированным доходом, которые по своей сути являются договорными обязательствами эмитента перед их владельцами. Однако не всем активам присуща какая-либо определенная ставка доходности. Например, если вы инвестируете капитал в недвижимость, акции или произведения искусства, вам не гарантируются конкретные выплаты в будущем. Теперь давайте рассмотрим, как измеряются ставки доходности по рискованным активам такого рода.

Если вы инвестировали капитал в какие-либо паевые ценные бумаги, например в обыкновенные акции, то ваш доход на вложенный капитал будет поступать из двух источников. Первый — дивиденды, которые платит в денежной форме акционеру фирма-эмитент данных ценных бумаг. Эти дивидендные выплаты не оговариваются контрактом, и, следовательно, их нельзя назвать процентными. Дивиденды выплачиваются по усмотрению совета директоров фирмы.

Вторым источником дохода от вложенного акционером капитала является прирост рыночного курса акции за время, пока ею владеет акционер. Этот тип дохода называют приростом капитала. Если же акционер несет убытки от падения курса, то тогда говорят о потере капитала. Продолжительность периода владения акциями для определения размера дохода на вложенный капитал может составлять как всего один день, так и несколько десятилетий.

Чтобы проиллюстрировать, как измеряется уровень дохода на инвестированный капитал, предположим, что вы приобрели акции по цене 100 у.е. за одну акцию. Через день курс этих акций поднялся до 101 у.е., и вы их продали. Ваша ставка доходности на вложенный капитал за один день составила 1\%—показатель прироста капитала на одну акцию (1 у.е.), поделенный на цену ее покупки (100 у.е.).

Теперь представьте, что вы владеете приобретенными акциями в течение года. На конец года по акциям начисляются дивиденды в размере 5 у.е. на одну акцию и цена акции становится 105 у.е. Таким образом, доходность на вложенный капитал за один год, г, составит:

цена акции   _ начальная   денежные ") в конце периода цена акции дивиденды!

г = *    —        •

начальная цена акции

 

Для нашего примера мы имеем:

(105-100 + 5) 10\% 100

Обратите внимание, что мы можем представить общую доходность вложенного капитала как сумму следующих компонентов: дивидендного дохода и изменения цены акций:

конечная начальная денежные дивиденды _ цена акции-цена акции

Г   начальная цена акции    начальная цена акции

_      компонент компонент г~ дивидендного дохода изменения цены "

г =5\%+ 5\% = 10\%.

А каким же образом мы можем оценить ставку доходности, если решим не продавать свои акции?

Ответ заключается в следующем: ставка доходности по инвестициям в ценные бумаги (или ставка доходности ценных бумаг) определяется одним и тем же способом независимо от того, продаем мы их или нет. Повышение курса акций на 5 у.е. в той же мере является частью нашего дохода на вложенный капитал, как и дивиденды в размере 5 у.е. Наше решение сохранить у себя акции и не продавать их никоим образом не изменит тот факт, что по истечении года мы могли бы реально продать их по цене 105 у.е. Следовательно, независимо от того, решим ли мы реализовать свой доход в виде прироста капитала, продав ценные бумаги, или реинвестировать его (не продавая), ставка доходности составляет 10\%.

Финансовая система предоставляет определенные возможности получить гарантированную процентную ставку для людей, которые стремятся вкладывать средства в свободные от риска активы. Для этого им необходимо отказаться от определенной час

ти ожидаемого дохода на вложенный капитал. Люди, менее чувствительные к риску, предоставляют тем, кто в большой степени не приемлет риска, возможность получить гарантированную процентную ставку. Однако, эта ставка будет ниже, чем средняя ожидаемая ставка доходности по рискованным активам. Чем выше степень неприятия риска среди населения, тем выше премия за риск и ниже величина безрисковой процентной ставки.

 

4.4.3. Чистая дисконтированная стоимость

В условиях рыночной экономики, особенно в период ее становления, инвестирование развития сопряжено с риском неполучения ожидаемых результатов в установленные (желаемые) сроки.

В связи с этим возникает необходимость количественной оценки степени риска инвестируемых средств с тем, чтобы заранее, еще до осуществления капитальных вложений, потенциальные инвесторы могли иметь ясную картину реальных перспектив получения прибыли и возврата вложенных средств.

Для оценки характеристики инвестиционных проектов важнейшее значение имеет ставка дисконтирования будущих доходов к современному моменту.

Пример 4.14. Предположим, что через три года нам понадобится 1500 у.е. Спрашивается, сколько средств необходимо вложить сейчас, чтобы добиться этого?

Это значение называется текущей ценностью будущей потребности. Стандартная формула (4.11) определяет стоимость будущего вложения, исходя из заданной текущей стоимости Р и коэффициента дисконтирования /':

Р, = Р( + і)'.

Отсюда

Р=   Р'    . (4.29) (1+0'

Так, если известна фиксированная норма прибыли из расчета 8\% годовых, т.е. і = 0,08, то

Итак, сейчас необходимо вложить 1190,74 у.е., чтобы через три года получить 1500 у.е.

Р

В качестве варианта используется понятие чистой дисконтированной стоимости РЧис, которая получается путем вычитания исходного вложения из будущей стоимости, таким образом:

 

(4.30)

(1 + 0'

Понятие текущей стоимости связано с вычислениями с применением дисконтирования. В процессе дисконтирования стоимость денег рассматривается в их движении в обратном направлении во времени.

1500

Пример 4.15. Рассмотрим вложение в 1000 у.е., которое станет 1500 у.е. через пять лет при условии годовой ставки дисконта в 8\%. Имеем по формуле (4.30):

-1000 = 190,74 у.е.

' (1+0,08)"

Таким образом, при условии, что ставка дисконта в 8\% достаточно реальна, вложение все же выгодно, хотя, конечно, желательно было бы рассмотреть и другие варианты вложений с целью установления, является ли полученное значение чистой дисконтированной стоимости оптимальным.

Рассмотрим пример выбора наилучшего варианта инвестирования.

1500

Пример 4.16. Пусть ставка сложного процента 6\% в год. Рассмотрим три варианта единовременного вложения определенной суммы. По первому варианту через три года мы будем иметь 1500 у.е., по второму варианту — 1700 у.е. через пять лет и по третьему варианту —2000 у.е. через семь лет. Эти три варианта нужно сравнить, рассчитав для каждого случая чистую дисконтированную стоимость. Для первого варианта текущая стоимость определяется как :

• = 1259,4у.е.

(1 + 0.06Г

Для второго варианта текущая стоимость равна:

Р = _І500 =u d + 0,08)3

 

Р = -

1700 (1+0,06)5 = 1270,3 у.е.

 

Для третьего варианта текущая стоимость составляет:

 

Р =    2000 7 =1330ДУ.е. (1 + 0,06)7

 

Следовательно, как это видно из полученных результатов, текущая стоимость при третьем варианте выше. Поэтому, исходя из приведенных вычислений, третий вариант вложения кажется более выгодным. Следует отметить, что на практике для определения наилучшего варианта инвестирования приходится учитывать и другие факторы.

Во всех приведенных выше расчетах инвестиционных проектов ставка процента предполагалась неизменной. В действительности такое бывает крайне редко. Поэтому вопрос о выборе подходящей ставки процента становится одним из основных при практической оценке инвестиционного проекта. Только тщательный экономический анализ и прогноз позволит правильно принять ставку в конкретной ситуации. Чем ставка выше, тем в меньшей мере влияют на судьбу проекта отдаленные во времени платежи. Более значительным является тот факт, что будущее вносит элементы неопределенности, а значит риска во всем: в величине будущих доходов и в их реальной ценности, ибо инфляция в будущем — вещь в высшей степени неопределенная. Больший риск значительно обесценивает реальные возможности будущих платежей.

4.4.4. Аннуитет и фонд погашения

Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом.

Например, индивидуальный предприниматель может изъявить желание внести разовую сумму в аннуитет с тем, чтобы по прошествии определенного периода времени ежемесячно получать пенсию. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.

Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью.

Фонд погашения является альтернативным вариантом аннуитета, когда производятся периодические взносы фиксированной суммы денежных средств для достижения конкретной цели в определенный момент времени.

5(1 + /)' -S

(4.31)

Пусть в начальный период вложена разовая сумма Р, если за S принять сумму, прибавленную к сумме вложения или вычтенную из нее в конце каждого года, то накопленная сумма в конце t лет определяется следующей формулой:

SH =/>(! +і)'+

 

Первое слагаемое в этом выражении является накопленной стоимостью от первоначального вложения Р, второе слагаемое служит для вычисления суммы, накопленной от периодических платежей.

Пример 4.17. Первоначальное размещение исходной суммы составило 5000 у.е., после чего в течение пяти лет ежегодно производились регулярные платежи в сумме 500 у.е. При условии годовой процентной ставки в 8\% стоимость вложения в конце этого периода по формуле (4.31) равна:

 

с   500(1 + 0,08) -500

„ = 5000(1 + 0,08)5+  —-f-f  

н          ' 0,08

7346,64 + 2933,30 = 10279,94 у.е.

 

Видно, что исходное вложение в 5000 у.е. за пять лет прирастает до 7346,64 у.е., а ежегодные платежи в сумме 500 у.е. прирастают до итогового значения в 2933,30 у.е. и общая стоимость вложения равна 10279,94 у.е.

Изменим условие примера. При размещении начальной суммы в 5000 у.е. на вклад под 8\% годовых и снятии 500 у.е. в конце каждого года, какая сумма останется на счете через пять лет?

Так как периодический платеж есть величина отрицательная, т.е. S = -500 у.е., то окончательная сумма по формуле (4.31) равна:

s   (-500)(1+0,08)5 -(-500)

SH = 5000(1 + 0,08)5+^         Д   J0g -

= 7346,64 — 2933,30 = 4413,34 у.е.

Первое слагаемое это сумма, которая могла бы быть на счете через пять лет при исходном вложении в 5000 у.е., а второе слагаемое включает изъятие со счета за данный период (5 раз по 500 у.е.), а также потери процентного дохода, вызванные изъятием денег.

Выражение (4.31) можно преобразовать в выражение для периодических платежей S:

 

/(S„-P(l+Q')

5=  a+o'-i  • (432)

Пример 4.18. Инвестиционная компания предлагает аннуитет, при котором первоначальный разовый взнос в сумме 15000 у.е. будет приносить по 2000 у.е. в конце каждого года в течение следующих десяти лет. Установите выгодность этого вложения при условии номинальной ставки процента в 8\%.

Прежде всего определим какова должна быть первоначальная сумма вложения для последующего получения частичных платежей по 2000 у.е. По формуле (4.31) при SH = 0, так как через десять лет вложения закончатся, имеем:

 

О = Р-(1 + 0.08)10 + (-2000)(1 + 0.08)Ш-(-2000) ' 0,08

О = 2,159 Р — 28973,12. Отсюда Р = 13419,69 у.е.

Таким образом, аннуитет стоит разового взноса в сумме 13419,69 у.е., и при условии сохранения ставки процента на заданном уровне представляется неудачным вложением. Если же учесть и другие факторы, например, инфляцию, то ясно, что это рисковое вложение капитала, заранее ведущее к потерям.

4.4.5. Оценка инвестиций

Формулу (4.29) можно представить в обобщенном виде с учетом прибыли на вложение в различные периоды. Так, если исходное вложение Р дает доход Рі в конце первого года, Р2 — в конце второго года и т.д., то общую формулу можно записать в виде:

р_   Рх    ^   Р2 Р3

(1+0* (1 + 0* а+о3+"" (433)

Пример 4.19. Сделано первоначальное вложение в 3000 у.е., которое дает 2000 у.е. в конце первого года, 1400 у.е. в конце второго года и 1000 у.е. в конце третьего года. Внутреннюю норму рентабельности можно вычислить по формуле (4.33):

„„™   2000    1400 1000

3000 =-г—+    -+-

1+<    (1+02 (1+0

Решение этого уравнения на компьютере дает значение і = 0,26. Следовательно, значение внутренней нормы рентабельности равно 26\%, которое и является наилучшей оценкой^днутренней нормы рентабельности.

Пример 4.20. Нужно провести сравнительный анализ различных вариантов инвестиций. Каждый из рассматриваемых проектов требует первоначального вложения капитала в сумме одного млн у.е. Оценки объема прибыли в течение четырех лет представлены в табл. 4.5.

Внутренняя норма рентабельности для проекта А из формулы (4.33) равна:

1+і

400000   300000   350000 500000

1000000 = —— +       - +        -+-

(1 + 0"    (1 + 0 0+0*

Решение этого уравнения дает г = 1,194 или 19,4\%. Для проекта В имеем:

300000   350000   600000 200000

1000000 = ——— +   г-+       г- +      Г

1 + '      (1 + 0      (1 + 0     (1+0 '

Решая это уравнение, получим і = 1,167 или 16,7\%.

Составляем уравнение внутренней нормы рентабельности для проекта С:

, _ 250000 450000 250000 350000

1000000 = ——- +     7г +     г +       -

1+«    (1+0    (1+о    (1+0 '

Из этого уравнения получаем, что /"= 1,112 или 11.2\%. Так как проекте имеет большую внутреннюю рентабельность, равную 19,4\%), то предпочтение следует отдать этому проекту.

 

4.4.6. Рисковые инвестиционные платежи

Если будущие платежи являются рискованными, т.е. они жестко не определены, то инвесторы уменьшают сегодняшнюю оценку будущих доходов, применяя увеличенную ставку дисконтирования. При этом следует разбить проекты на низко рисковые, средне рисковые и высоко рисковые и каждому виду приписать некоторый добавок к обычному коэффициенту дисконтирования, тем больший, чем выше риск.

С целью привлечения инвестиций для предлагаемых проектов фирма должна стремиться к уменьшению этого рискованного добавка. Для этого она должна привлекать к себе доверие потенциальных инвесторов своевременной выплатой дивидендов, соблюдением прав акционеров и др.

Рассмотрим инвестиции в ценные бумаги, т.е. покупку ее в начале периода по цене Р и продажу в конце по цене Р*. Возможные текущие доходы обозначим через D*. В соответствии с формулой (4.29) за возможную оценку курсовой стоимости бумаги в начале периода принимается величина:

 

Р = -^Г- (4-3.4)

Роль процентной ставки і играет безрисковая процентная ставка іо, играющая роль эффективности безрискового вложения. Вместе с тем для инвестора более точной начальной оценкой будущей стоимости является величина будущего ожидаемого дохода, дисконтированная по ставке доходности, которую он прогнозирует в качестве эффективности вклада.

Если средний ожидаемый доход по активу выражается в виде линейной функции от безрисковой ставки дохода /0, ожидаемого

(4-35)

дохода іож по всем бумагам, обращающимся на финансовом рынке (взвешенная доходность), и уровня систематического риска, присущего активу и выражаемого через риск всего рынка и коэффициент Р,„ ценных бумаг вида т относительно рынка, то ставка ожидаемой доходности по активу т определяется как:

к + Рт(}ож— 'о)-

Дисконтируя по этой ставке, получим оценку текущей стоимости:

Р =

(4.36)

М{Рк) + М(Рк) i+'o + ^Cw-'o)

В числителе стоит сумма средних ожидаемых от акции доходов, а в знаменателе — единица плюс ставка доходности на рынке.

Пример 4.21. Финансовый рынок по стоимости состоит из 20\% безрисковых и 80\% рисковых бумаг. Рисковых бумаг четыре типа: первые составляют х1(, часть и для них Р = 0,9, вторые — Ц часть и Pi = 0,7, третьи — 7з часть и fa = 1,1. Найти долю и р четвертых бумаг. Найти эффективности всех рисковых бумаг и среднюю доходность по всему рынку, если эффективность рынка (средняя доходность по рисковым бумагам) 8\%, а безрисковая ставка равна 4\%.

Доля четвертых бумаг равна

4

 

1   1 П

6 + 4 + 3,

Р четвертых бумаг находится из условия, что для рыночного портфеля /3=1. Следовательно,

 

7-0,9 + i-0,7 + f l,l+j-/34=l,

О         4          J 4

 

отсюда /34 = —. Эффективность каждой ценной бумаги равна:

 

іт = к + Рт (іож - іо) = 0,04 + #„(0,08 - 0,04) = 0,04 + 0,04 • Рт.

Тогда і, = 0,04 + 0,04 • 0,9 = 0,076, или 7,6\%; h = 0,04 + 0,04 ■ 0,7 = 0,068, или 6,8\%; «3 = 0,04 + 0,04 • 1,1 = 0,084, или 8,4\%;

209

Подпись: Р А
j4 =0,04 + 0,04- —= 0,089, или 8,9\%. Средняя доходность по всему рынку равна:

0,2 • 4 + 0,8 • 8 = 7,2\%.

При положительной коррелированное™ актива с рынком, чем больше вносимый рынком риск, тем больше ставка доходности, тем меньше современная оценка будущих доходов от акции и, наоборот, при отрицательной коррелированности актива с рынком, чем больше рыночной риск, тем больше современная оценка будущих доходов от актива.

4.4.7. Дисконтирование во времени

В п. 4.2.2. была получена формула:

п

р/=р.е100 =Р.е

которая позволяет определить величину вклада Р, через промежуток времени t, если начальный вклад составляет Р и процентная ставка г, или і -      исчисляется непрерывно.

Рассмотрим теперь обратную задачу для нахождения стоимости аннуитета (регулярных платежей) применительно к непрерывным процентам.

В этом случае платежи зависят от времени, т.е. являются функцией от t, что можно записать как Р = Р(І).

Требуется определить величину вклада Р через Глет. Для решения разобьем Глет на и равных промежутков времени At, как показано на рис. 4.11.

Если поступления непрерывны, то в течение малого промежутка времени At их можно считать постоянными, а их величина от момента времени t,г до ti+i составит приближенно

P(td At.

За время (Г- tj) наращенная сумма, рассчитанная по формуле непрерывных процентов, за счет начисления процентов на взнос P(t,) ■ At станет равной

[Р(/І.)А/]ЄКТ-"),,(Ю-

Теперь, чтобы получить общую величину вклада £ через Глет, остаточно сложить все «малые вклады», а именно

Pt = [р(0Иг-°>/10° +...+ P(f„ )er<J-'»)im ]д/.

Это приближенное равенство станет точным, если промежуток времени At будет становиться сколь угодно малым. В этом случае сумма, стоящая в правой части, превращается в, определенный интеграл.

Окончательная формула имеет вид:

 

P,=foP(t)er(T-')imdt. (4.37)

 

Ранее рассматривалось понятие дисконта, связанное для непрерывных процентов с формулой

Р = РіЄ-ппоо  (4 38)

Эта формула дает возможность определить величину начального вклада Р, если известно, что через t лет он должен составить величину Р„ а непрерывная процентная ставка равна г. Задача аннуитета в этом случае может быть сформулирована так: найти величину начального вклада Р, если регулярные выплаты по этому вкладу должны составлять Р, ежегодно в течение Глет.

Расчетная формула (ее вывод аналогичен аннуитету с платежами) такова:

Вычисляя указанный интеграл методом интегрирования по частям, получаем:

 

Подпись: гт
Р
£ Pte-rtnmdt, (4.39)

 

где г — непрерывная процентная ставка.

 

Для примера вычислим начальный вклад Р, если выплаты должны составлять 100 у.е. в течение 4 лет, а процентная ставка равна 7, т.е.

Р, =100;    7=4;    г = 7\%. Подставляя численные значения в формулу, получаем:

= 100

 

Р = [Т Pte-rtimdt = [0e-1,nmdt = 10ofY007'<fc =

Jo         Jo Jo

L_e-0,07,

-7^(^°'28-^348,88y.e.

0,07

 

Это и есть искомый начальный вклад.

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией Р/(0=Л0 и при удельной норме процентной ставки, равной і, процент начисляется непрерывно. Как и в предыдущем пункте можно показать, что в этом случае дисконтированный доход Р за время Т вычисляется по формуле

г

P = jf(t)e4'dt. (440) о

 

Пример 4.22. Определим дисконтированную сумму Р при ДО = S0(l + ki), где So — начальные капиталовложения, к — ежегодная доля их увеличения. Иными словами, при заданных величинах і и к требуется оценить, что выгоднее: наращивать капиталовложения или вложить их одновременно при непрерывно начисляемой процентной ставке.

Из полученной формулы можно сделать некоторые выводы:

Чем выше процентная ставка і, тем меньше дисконтная сумма Р и, следовательно, выше доход, вычисляемый как разность между суммой ежегодно растущих капиталовложений за Глет и величиной Р. Если рассматривать Р как дисконтный доход, то увеличение процентной ставки і снижает рентабельность помещения капитала.

Увеличение интенсивности ежегодных капиталовложений (к) приводит к увеличению Р.

При неизменных і и к дисконтный цоход растет с увеличением промежутка времени Т (количества лет).

Например, при процентной ставке г = 5\% (г = 0,05) и при ежегодном увеличении капиталовложений на 5\% (к = 0,05) получаем, что за 5 лет дисконтная сумма Р ~ 5So, в то время как сумма ежегодных капиталовложений за этот период составит Ре = 6,25 S0; при к = 0,1 (10\%-ное увеличение ежегодных капиталовложений) и тех же самых / и Г соответственно имеет Р ~ 5,5 So и Ре = 6,5 So, т.е. в первом случае разность Ре — Р,- = 1,25 S0, тогда как во втором случае она снижается до = So-

При аналогичных оценочных расчетах в реальных условиях следует учитывать существенную роль темпа инфляции, который, в первую очередь, определяет приемлемую величину промежутка времени Т. Очевидно, что при высоком уровне инфляции выгодны только краткосрочные капиталовложения, которые гарантируют минимальные значения риска.

Пример 4.23. Определить дисконтируемый доход за три года при процентной ставке 8\%, если первоначальные капиталовложе

Подпись: Ьк=К(іг)-К(іі).
Замечая, что K(t) является первообразной для функции 1(f), и вспоминая формулу, связывающую первообразную с определен¬ным интегралом, можно сразу написать:
Подпись:  ния составили 1 млн у.е., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 0,1 млн у.е.

Решение. Ясно, что капиталовложения задаются функцией fit) = 1 + 0,1 • t. По формуле (4.40) записываем дисконтированную сумму капиталовложений:

0,08,

,.£0tW.eH-*.^t+«*>.-*;+^jCf»--*-

25( 9

і 4+0'01'

3

= 3,05.

о

Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 1 до 1,3 млн у.е. равносильны одновременным первоначальным вложениям 3,05 млн у.е. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.

Пример 4.24. Под строительство завода задан непрерывный денежный поток со скоростью/(0 = -t2 + 20t + 5 (млн у.е.) в течение 8 лет с годовой процентной ставкой, равной 5\%. Найти дисконтированную стоимость этого потока.

 

-0,05/

Р = [-t2 + 20t + 5) • e~0fi5'dt = 20(t2 + 20t + 395)e Jo

= 20(64 +160+395) • e-0,4 - 7900 ■ e° = 398,6.

Дважды провели интегрирование по частям.

Таким образом, начальная сумма капиталовложений равнялась бы 398,6 млн у.е.

Рассмотрим теперь задачу нахождения капитала (основных фондов) по известным чистым инвестициям. Напомним: чистые инвестиции (капиталовложения) — это общие инвестиции, производимые в экономике в течение определенного промежутка времени (чаще всего — года), за вычетом инвестиций на возмещение выходящих из строя основных фондов (капитала). Таким образом, за единицу времени капитал увеличивается на величину чистых инвестиций.

Если капитал обозначить как функцию времени K(t), а чистые инвестиции — /(t), сказанное выше можно записать в виде:

 

т.е. это производная от капитала по времени t.

Часто требуется найти приращение капитала за период с мо мента времени t до t2, т.е. величину

 

вс

(4.40)

н]

AK = K(t2)-K(tl)=l'2I(t)dt

Пусть, например, по заданным чистым инвестициям /(f) = 700(Wf = 7000г"2

нужно определить приращение капитала за три года. Очевидно, что t - 0, t2 = 3.

Непосредственное применение формулы дает:

з       1  Г   з "і3

АК = К(3)-К(0) = f 7000^ = 7000 -t'< Jo З

-7000

= 24248,71.

2^2^

±32 _±02 З З

 

Теперь, оставляя неизменной функцию I{f), задающую инвестиции, попробуем ответить на вопрос: через сколько лет приращение составит 50000, т.е.

ДАТ = 50000.

Обозначая искомый промежуток времени через Т, можно написать

АК

 

или, подставляя численные значения,

 

50000= f 7000/2 dt. Jo

'-г

= 4666,67 Г2.

Мы получили уравнение, которое интересно тем, что неизвестная величина Т— это верхний предел интегрирования. Для решения вычислим определенный интеграл

 

7000 [Tt5А = 7000 Jo

lit ■• іа Теперь уравнение можно записать в виде:

( 3

4666,67 • Т2 =50000.

В данном случае это нелинейное уравнение решается достаточно просто. Разделим обе части на постоянный множитель, что дает:

2

Т2 =10,71. Возводя обе части в степень 2/з

2 2 2

(Г3)3 =10,713,

окончательно получаем

Т = 4,86.

Именно столько лет требуется, чтобы приращение капитала составило 50000.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 |