Имя материала: Экономические и финансовые риски: оценка, управление, портфель инвестиций

Автор: Александр Сергеевич Шапкин

6.7. построение портфелей при минимизации риска

6.7.1. Постановка задачи

ЦМРК (САРМ) предполагает, что только систематический риск каждого отдельного актива важен при построении портфеля. Однако модель, первоначально разработанная Марковицем и до сих пор широко применяемая, использует общий риск каждого отдельного актива. Следовательно, при построении портфелей и определении общего риска портфеля должны рассматриваться ковариации в каждой паре потенциальных для портфеля активов.

Известно, что когда доходы по рискованному активу являются случайными переменными, доходы по портфелю — это взвешенная по стоимости средняя доходов по отдельным активам, т.е.

I »

E(rn) = ^V,ri (6.7.1)

i=i

Однако среднее квадратическое отклонение портфеля не равно взвешенной по стоимости средней из средних квадратических отклонений отдельных ценных бумаг, потому что должна быть учтена ковариация в каждой паре активов. Для иллюстрации это-

•п

го среднее квадратическое отклонение портфеля из двух активов

 

■■ Vv,2or,2 + V22al + 2VxV2(pl2ala2) (6.7.2)

среднее квадратическое отклонение портфеля,

веса активов 1 и 2 в портфеле;

Pl2 0"i И 0~2 (Р12С4О2)

дисперсии доходов по активам 1 и 2;

корреляция доходов по активам 1 и 2;

средние квадратические отклонения доходов по 1 и 2;

ковариации доходов по активам 1 и 2.

Выражение (6.7.2) может быть обобщено

(6.7.3)

 

1=1      1=1 j=l. i*j

 

где Gij — ковариация в портфеле в парах активов.

..а

( 2

°1 °Ї2

а2Ха

1л ■с2п

І Для портфеля активов с 1 по и это может быть записано в матричной форме как

(6.7.4)

o2n=(VxV2...Vn)

апХап2 ...ап

Каждый элемент — дисперсия в дисперсионно-ковариацион-ой матрице умножен дважды на соответствующий ему вес актива, поэтому веса, связанные с дисперсиями, имеют возведенное в квадрат влияние, т.е. Р,-2. Каждая ковариация умножается один раз на вес каждого актива из пары активов и существуют две ковариации для каждой возможной пары, т.е. 2covF,P}.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг. Естественно, что целью инвестора является такое вложение денег, которое сохраняет его капитал, а по возможности и наращивает его.

• Обозначим через х„ і = 1, п долю капитала, потраченную на покупку ценных бумаг і-го вида. Рассуждения о долях эквивалентны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть Ej — доходность в процентах годовых ценных бумаг /-го вида в расчете на одну денежную единицу. Тогда доходность портфеля равна

п

£я (6.7.5)

 

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли формулой (6.7.5).

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть е„ а, — средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т.е. е,- = М[Е,] — математическое ожидание доходности и rt = Jv^. где V,-,- — вариация или дисперсия /-й доходности. Будем называть еи соответственно эффективностью и риском 1-й ценной бумаги. Через Vy обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг г'-го иу'-го видов (или корреляционный момент K,j).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля есть

М[ЕП] = XjM[£,]+... + xnM[En ] = £х,е,,

і

обозначим его через ец. Дисперсия доходности портфеля есть

 

и

Так же, как для ценных бумаг, назовем еп эффективностью портфеля, а величину ап =^D[En] —риском портфеля гп. Обычно дисперсия доходности портфеля называется его вариацией Dn=o2n.

Итак, эффективность и риск портфеля выражены через эффективности составляющих его ценных бумаг и их совместные ковариации.

Пусть портфель наполовину (по стоимости) состоит из бумаг первого вида с доходностью 14\% годовых и из бумаг второго вида с доходностью 8\% годовых. Какова эффективность портфеля?

Оба термина — доходность и эффективность »~ специально упомянуты вместе. Имеем 0,5 - 14 + 0,5 -8=11\% годовых.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако поскольку «нельзя поймать двух зайцев сразу», необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском (этот выбор в конечном счете определяется отношением ЛПР к эффективности и риску).

Рассмотрим два портфеля ценных бумаг. Так как портфель оценивается по двум характеристикам — эффективности и риску, то между портфелями есть отношение доминирования. Скажем, что 1-й портфель с эффективнстью е и риском г доминирует 2-й с ег, Г2 если е > е2, и г < Г2, и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые портфели назовем оптимальными по Парето, такие портфели называют еще эффективными. Конечно, инвестор должен остановить свой выбор только на эффективных портфелях.

Если рассмотреть какое-нибудь множество портфелей и нанести их характеристики — риск Гц и эффективность еп на плоскость риск — доходность, то типичное множество эффективных портфелей выглядит, как кривая DAC на рис. 6.16.

Рис. 6.16

Не расположенный к риску инвестор действует в соответствии с теоремой Неймана — Монгенштерна [54], составляя портфель

таким образом, чтобы максимизировать математическое ожидание полезности дохода (6.7.1) или (6.7.5). По общему свойству задач условной оптимизации следует, что с расширением выбора (6.7.1) (при росте ri) шансы на более высокий уровень ожидаемой полезности увеличиваются.

Любой инвестор заинтересован в уменьшении риска портфеля при поддержании его эффективности на определенном уровне.

Пусть в портфеле собрано к различных видов ценных бумаг. Рассмотрим дисперсию портфеля

 

Разобьем слагаемые на две группы:

 

В первой группе слагаемых к, а во второй — к(к - 1). Предположим для простоты, что стоимость портфеля распределена равными долями по этим видам ценных бумаг, т.е. все х{ = і. Тогда по формулам для дисперсии имеем

 

,6'7'6)

 

Величина       может быть названа средней дисперсией цен-

I

ных бумаг, входящих в портфель, а величина X k(k-l) ~ их сРед" ней ковариацей. Поэтому предыдущую формулу можно выразить словами: дисперсия портфеля равна — средней дисперсии плюс

1-І к

 

средней ковариаций. Это и есть эффект диверсификации портфеля: с ростом числа входящих в портфель ценных бумаг в 422

его дисперсии (и риске) вклад средней дисперсии (среднего риска) становится все меньше, зато все больше — вклад средней ковариаций. Так что если входящие в портфель ценные бумаги мало кор-релированы друг с другом, то дисперсия портфеля уменьшается с ростом числа входящих в портфель бумаг.

В реальности, однако, практически все ценные бумаги, обращающиеся на рынке, испытывают воздействие общеэкономических факторов и изменяются под их воздействием. Это приводит к тому, что их взаимная корреляция является вполне заметной величиной. Эта взаимная корреляция обусловливает так называемый рыночный, или систематический, риск портфеля, его также называют недиверсифицируемым риском. Систематический риск •— это минимальный уровень риска портфеля, которого можно достичь при диверсификации с большим количеством произвольно выбранных активов. Иными словами, систематический риск порождается общими рыночными и экономическими условиями, и этот риск не может быть полностью диверсифицирован.

Конечно, в силу особенностей работы эмитентов ценных бумаг каждая конкретная ценная бумага испытывает свои колебания эффективности, иногда совершенно не связанные с общерыночными. Эти колебания обусловливают так называемый индивидуальный, или несистематический, риск ценной бумаги. Его также называют диверсифицируемым, уникальным, остаточным или специфическим риском.

Снижение несистематического риска портфеля при помощи диверсификации можно проиллюстрировать графически. На рис. 6.17 показано, что уже для портфеля из 20 случайно подобранных активов (в данном случае обыкновенных акций), риск можно почти полностью диверсифицировать. Существенно, что оставшийся риск представляет собой систематический, или рыночный, риск.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: общий риск актива измеряется вариацией его доходности. При этом он делится на систематический и несистематический компоненты.

Диверсификация портфеля может почти полностью устранить влияние на риск всего портфеля индивидуального риска отдельных ценных бумаг, но она не в силах устранить рыночный риск всего портфеля.

Рассмотрим более конкретно упрощенные примеры влияния корреляции разных ценных бумаг. Предположим сначала, что

ценные бумаги различных видов ведут себя независимо, они не-коррелированы, т.е. atJ = 0, если і Ф j. Тогда Dn = ^ xfuf и

* Предположим, инвестор имеет возможность составить портфель из четырех видов некоррелированных ценных бумаг, эффективности и риски которых даны в таблице.

 

Предположим далее, что деньги вложены равными долями, т.е. х, =- для всех i = Un. Тогда еп =        — средняя ожидаемая

эффективность портфеля, и риск портфеля равен гп =

Пусть Y2 =шахо-,2, тогда гя <-^.

л/и

Отсюда вывод: если ценные бумаги некоррелированы, то при росте числа их видов п в портфеле риск портфеля ограничен и стремится К 0 ПрИ П —» оо.

Анализ составления портфеля из нескольких видов некоррелированных ценных бумаг позволяет сделать ряд важных выводов.

/12       3 4

е,         2          4          8 12

о-,-       1          2          4 6

Рассмотрим несколько вариантов составления портфеля из этих бумаг равными долями. Напомним, что эффективность портфеля есть среднее арифметическое эффективностей, а риск в дан-

2      2 2 2     г,  +г, +... + г-

ном случае г = -і        ±          а~.

п

' В табл. 6.7 сведены результаты расчетов эффективности е и риска г для портфелей, образованных из различного сочетания ценных бумаг.

і Как видим, при составлении портфеля из все большего числа ценных бумаг риск растет весьма незначительно, а эффективность растет быстро.

к Однако, как указано выше, полная некоррелированность ценных бумаг по существу невозможна.

При полной прямой корреляции диверсификация портфеля не дает никакого эффекта — риск портфеля равен среднему арифметическому рисков составляющих его ценных бумаг и не стремится к нулю при росте числа видов ценных бумаг.

► Положительная корреляция между эффективностями двух ценных бумаг имеет место, когда курс обеих определяется одним и тем же внешним фактором, причем изменение этого фактора действует на обе бумаги в одну и ту же сторону. Диверсификация портфеля путем покупки обеих бумаг бесполезна — риск портфеля от этого не уменьшится.

При полной обратной корреляции возможно такое распределение вложений между различными видами ценных бумаг, что риск полностью отсутствует.

Полная обратная корреляция довольно редкое явление и обычно она очевидна.

Суммирая записанные выше отдельные элементы формализации, придем в общем случае к следующей оптимизационной задаче, которую решает инвестор: максимизировать доходность портфеля

п

Еп=^х,Е(, (6.7.7) сведя риск (дисперсию) портфеля

п п

 

1=1 ;=1

к минимальному значению и выполняя естественное условие

п

5>.=1- (6-7.9)

«=1

Если инвестор только покупает ценные бумаги, то добавляется условие неотрицательности х, > 0.

Для инвестора, который готов участвовать в операциях типа коротких продаж, что равносильно взятию в долг суммы (-х,) под случайную ставку г„ неизвестные х, могут быть любого знака. Подобное заимствование сводится к тому, что инвестор продает акции, которых у него нет и которые он обещает поставить на оговоренную дату. При этом он назначает цену продажи, исходя из оценки будущего курса.

На дату поставки инвестор приобретает акции на реальном рынке и закрывает свои обязательства. Из-за возможного несоответствия цены приобретения ожиданиям инвестора вся операция сопряжена с риском процентной ставки г,- учитываемой в модели характеристиками е,-, о;2.

Мы здесь не даем схемы коротких продаж, т.е. продаж ценных бумаг, которых в данный момент нет, рекомендуя обратиться к специальной литературе. Для нас важно только то, что если некоторые переменные Xj окажутся отрицательными, то это будет означать, что по данным позициям следует участвовать в подобных операциях.

Очевидно, что точка (хь ... х„), доставляющая максимум полезности U (е, а), принадлежит множеству таких допустимых точек задачи (6.7.7) — (6.7.9), которые не могут быть улучшены сразу по двум критериям — ей ст. В теории многокритериальной оптимизации такие решения называются Парето-оптимальными, или эффективными.

Чтобы пояснить смысл этого понятия, представим себе контур, соединяющий точки с координатами е, а, вычисленными для допустимых точек некоторого «условного» множествах (рис. 6.18).

Множеству эффективных точек соответствует восходящая дуга АВ: для любой посторонней точки, например С, можно построить улучшающую ее точку (*) в том смысле, что либо е* > е, а* = а (точка С), либо е* - е, а* < а (точка С2), либо е* > е, о* <а (точка Сз), а для «своих» точек этого сделать нельзя.

В связи с этим ясно, что поиск оптимального по критерию полезности U (е, а) портфеля можно проводить в два этапа: вначале, решая задачу (6.7.7) — (6.7.9), найти множество эффективных портфелей, а затем из этого множества отобрать портфель с максимальным уровнем полезности. Очевидно, что это может быть сделано с помощью множества эффективных точек.

Функция полезности U (е, а) и оптимальность по Парето будут подробно рассмотрены в следующей главе.

На данном этапе достаточно лишь знать, что у инвестора имеется некоторая функция полезности U (е, о), с помощью которой он может анализировать варианты, причем предпочтение отдается варианту с большим значением этой функции.

 

6.7.2. Построение границ эффективности портфеля

Известно, что если коэффициент корреляции в парах активов меньше чем 1,0, то диверсификация может улучшить взаимосвязь между ожидаемым риском портфеля и ожидаемым доходом по портфелю. Это происходит потому, что, если переменная доходности является линейной функцией средней доходности, то фактор риска представляет собой квадратическую функцию дисперсии доходов по ценным бумагам. Степень улучшения портфеля зависит от весов, которые каждый из активов имеет в портфеле, и от корреляции этих активов.

Лучший способ продемонстрировать это — пример с двумя активами. Рассмотрим данные табл. 6.8 — различные средние квадратические отклонения портфеля, составленного из двух рискованных активов, при допущениях, что корреляция pi?2 равна 0,6 или 0,9 и что доли каждого актива в портфеле меняются на 10\%. Рис. 6.19 — это диаграмма границ эффективности, относящихся к портфелям, построенным с учетом предположенных ріг = 0,60 и ріг = 0,90. Актив 1 имеет ожидаемый доход 8\% со средним квадратическим отклонением 12\%, а актив 2 — ожидаемый доход 12\% со средним квадратическим отклонением 16\%.

Средние квадратические отклонения портфеля вычисляются по формуле (6.7.2).

Для предположенной степени корреляции среднее квадрати-ческое отклонение рассчитано для некоторых различных портфелей, которые могут быть построены из этих двух активов и нанесены на диаграмму (рис. 6.19).

Сначала рассмотрим данные в столбце табл. 6.8 для ри = 0,6 и график на рис. 6.19 для рп = 0,6, отражающие выгоды от диверсификации для случая, когда активы умеренно коррелированны. Данные и график, обозначенные рг = 0,9, показывают, что диверсификация имеет благотворное влияние на соотношение риск-доход, даже когда активы высоко, но не полностью коррелированны. Заметьте, что в обоих случаях граница эффективности вогнута. Чем больше степень вогнутости, тем больше выгоды от диверсификации. Учтите, однако, что не все точки на границе эффективны, а эффективна только верхняя часть каждой вогнутой границы (обозначенных АВ на рис. 6.19).

Верхняя часть каждой из линий А В представляет границу эффективности возможных портфелей, так как на границе невозможно достичь большего дохода без несения большего риска. Выше линии находится область недостижимых комбинаций риска и дохода из-за ограниченности характеристик ценных бумаг 1 и 2. Ниже линии находятся худшие комбинации риска и дохода, которые могут быть улучшены просто перемещением в любую точку на линии АВ. Это достигается продажей существующих активов и покупкой 1 и/или 2. Например, портфель С располагается на нижней части границы, помеченной рп = 0,6. Инвестор может повысить свою полезность продажей этого портфеля и покупкой комбинации 1 и 2, представленной любой из точек на границе эффективности. Например, перемещаясь в точку D, инвестор несет тот же уровень риска, но получает более высокий доход, чем в С.

Нужно отметить, что не существует единственного наилучшего портфеля. Жирные линии указывают на многие «эффективные портфели». Граница эффективна, потому что невозможно повысить доход без увеличения риска или снизить риск без снижения дохода. Возможная комбинация риска и дохода будет зависеть от целевой функции (функция полезности для инвестора).

Однако давая в реальности обычно менее чем полностью коррелированные доходы по отдельным активам, теория предполагает, что наиболее диверсифицированным и, следовательно, приносящим наилучший доход на единицу риска, будет портфель, который содержит все рискованные активы. Это должны помнить инвестиционные менеджеры, поскольку их портфели обычно ограничены до содержания только денежных средств, облигаций и обычных акций.

6.7.3. Задача оптимизации портфеля

Теперь, понимая взаимосвязь между риском и доходом и влияние ковариации, мы можем определить задачу оптимизации портфеля. Задача оптимизации портфеля заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска оптимально соответствовали целям инвесторов. Предположим, что цель инвестора состоит в минимизации риска портфеля, где риск измеряется дисперсией портфеля.

На практике инвестор обычно устанавливает ограничения относительно способа, по которому может быть построен портфель. Например, целевой функцией может быть минимизация риска, но при каком-то минимальном уровне дохода, а также при ограничениях на минимальные и максимальные доли, которые могут быть инвестированы в каждый актив. Как поступать с этими ограничениями — объясним позже.

Сейчас же проиллюстрируем портфельную задачу, рассмотрев оптимизацию при ограничениях для случая портфеля из трех активов.

Требования инвестора обычно ограничивают процесс выбора. Например, инвестор может потребовать минимизации риска при ожидаемом доходе не менее или равном данному уровню.

Портфельная задача, таким образом состоит в минимизации дисперсии портфеля при каком-то минимальном уровне дохода. Из (6.7.4) видно, что дисперсия портфеля an может быть выра-

—т

жена через произведение транспонированного вектора V, т.е. V , дисперсионно-ковариационной матрицы Q и вектора V, т.е. V. Следовательно, поставленная задача является задачей квадрати-ческого программирования и может быть записана следующим образом.

Минимизировать функцию

Z = o-2=VrQV (6.7.10)

при ограничениях

fv,+v2+v3 =1

У,Е(г,) + V2E(r,) + V3E(r3) > Епр (г),         (6 7 г t)

V, >0,V2>0,V3 >0,

где ЕПр{г) — это минимальный приемлемый уровень дохода.

Рассмотрим некоторый портфель акций, которые находятся на денежном счете и полностью оплачены, т.е. они куплены не за счет кредита. Отметим, что входные данные для нахождения эффективного портфеля это прибыли, которые мы ожидаем по данной акции, и дисперсия, которая ожидается от этих прибылей. Прибыли по акциям определяются как дивиденды, ожидаемые за определенный период времени, плюс повышение рыночной стоимости акций (или минус уменьшение) за этот же период, выраженные в процентах.

Предположим, что мы имеем три актива — 1, 2 и 3 с ожидаемыми доходами 0,14,0,16,0,10 соответственно. Известна дисперсионно-ковариационная матрица Q:

( 0,0002     0,00006   - 0,00008") 0,00006     0,0003    - 0,00004 -0,00008  - 0,00004 0,0001

Нужно найти пропорции V, для инвестирования в каждый актив, чтобы получить требуемый доход 13\% при минимальной дисперсии.

Составляем дисперсию (целевую функцию)

Уз

V 3 J

( 0,0002     0,00006   - 0,00008 Z = (V)V2Vi)  0,00006     0,0003 -0,00004 [-0,00008 - 0,00004 0,0001

Если имеем задачу математического программирования: минимизировать функцию

z=jvu v2,.:., vn)

при ограничениях

(Pi(yl,V2,...,Vn) = 0, і = Гп, то функция Лагранжа имеет вид

п

L(V, ,..Уп, Я,А„) = /(V,V2Vn) І £ Х,<р, (V,, V2..... V„).

/=і

 

Для нашего случая функция Лагранжа запишется как

 

ВД, V2, V3 Я,, Я2) = 0,0002V,2 + 0,0003V22 + 0,0001V32 +

+ 0,00012V, V2 - 0,00016V,V3 -0,00008V2V3 +^(V, + V2 +V3 -1) +

+ A2(0,14V, +0,16V2 +0,1V3 -0,13). (6.7.14)

Находим частные производные этой функции по V, V2, V3, Яь Я2 и приравниваем их к нулю

Подпись: (6.7.12)= V2o + V22cj +V?o2 + 2Vn cov,2+2F,3 cov,3+2F23 cov23 = = 0,0002F,2 +0,0003F22 +0,0001F32 + 0,00012F,F2 -0,00016F,F3 --0,00008F2F3.

Таким образом, наша задача формулируется следующим образом: минимизировать целевую функцию

 

Z = 0,0002F,2 +0,0003V22 +0.0001F2 +0,00012К,К2 --0,00016F,F3 -0,00008F2F3

 

при ограничениях

— = 0,0004V, +0,00012V2 -0,00016V3 +\%i +l,2X2 =0, dV,

0,0006V2 + 0,00012V, -0,00008V3      +1,4X2 =0,

9V2

^- = 0,0002V3 -0,00016V, -0,00008V2      +X2 =0, oV3

9L (6.7.15) |L = V,+V2+V3-1 = 0,

^ = 0,14V, +0,16V2 +0,1V3 -0,13 = 0.

OK 2

V,+V2 + V3 =1,

0,14V, +0,16V2 +0,1V3 =0,13,

V, >0,V2>0,V3>0.

 

 

(6.7.13)

Исключаем V3 из 4-го и 5-го уравнений системы, найдем 4V, + 6V2 = 3.

 

Исключаем Ai из 1-го и 3-го уравнений системы и исключаем Лі из 2-го и 3-го уравнений системы, получаем:

0,00028 Vi - 0,00048 V2 - 0,00008 V3 - 0,2А2 = 0, 0,00028 V + 0,00668 V2 - 0,00028 V3 + 0,4A2 = 0.

Из этих двух уравнений исключаем переменную А2, находим 0,00084 Vi - 0,00028 V2 - 0,00044 V3 = 0.

Подставляя сюда V3 = 1 - V - V2, имеем Z2VX +4V2= 11.

Из системы

'4V,+6V2 =3, ' 32V, + 4V2=11

 

находим, что V = 0,307; V2 = 0,295 и, следовательно, V3 = =l-Vi-V2 = 0,398.

При этом определяем, что Ai = 0,000432 и А2 = -0,000439.

Таким образом, минимальные риски (дисперсия) соответствуют портфелю, в котором имеются 30,7\% активов 1-го вида, 29,5\% активов 2-го вида и 39,8\% активов 3-го вида.

Пакет линейного программирования позволяет быстро решать системы вида (6.7.15).

Рассмотрим четыре потенциальные инвестиции, три из которых — в акции, а одна — в сберегательный счет с процентной ставкой 8,5\% в год. Отметим, что продолжительность периода инвестирования равна одному году (табл. 6.9).

Ожидаемая прибыль — это то же самое, что и потенциальная прибыль, а дисперсия (или стандартное отклонение) ожидаемых прибылей — то же самое, что и потенциальный риск. Отметим, что данная модель двумерная. Мы может сказать, что модель представлена правым верхним квадрантом декартовой системы координат (рис. 6.20), где по вертикали откладывается ожидаемая прибыль, а по горизонтали откладывается ожидаемая дисперсия, или стандартное отклонение прибылей, или риск.

 

1.4 т-

 

1,3--

JQ

л

1.2

ID

о_ с

к го £

ф го ч

* о

1,1

 

0       0,1        0,2       0,3      0,4    0,5      0,6 0,7

Риск

Рис. 6.20. Правый верхний квадрант декартовой системы координат

Есть и другие аспекты потенциального риска, такие как потенциальный риск (вероятность) катастрофического убытка, который мы не рассматриваем отдельно от дисперсии прибылей. Оптимальный портфель отвечает зависимостям (6.6.10) — (6.6.11) в классическом варианте. Маркович также утверждал, что портфель, полученный из этой задачи, оптимален только в том случае, если полезность, т.е. «удовлетворение» инвестора, является лишь функцией ожидаемой прибыли и дисперсии ожидаемой прибыли. Маркович указал, что инвестор может использовать и более высокие моменты распределения, а не только первые два Е(г) и г, например асимметрию и эксцесс ожидаемых прибылей.

Потенциальный риск — очень емкое понятие, он является функцией гораздо большего числа переменных и включает более высокие моменты распределений. Тем не менее мы будем определять потенциальный риск как дисперсию ожидаемых прибылей. Не следует, однако, полагать, что этим риск полностью определен. Риск намного шире, и его реальная природа плохо поддается количественной оценке.

Первое, что должен сделать инвестор, это придать количественный смысл своим предположениям относительно ожидаемых прибылей и дисперсий прибылей рассматриваемых ценных бумаг на определенном временном горизонте (периоде удержания). Эти параметры можно получить эмпирически. Инвестор может рассмотреть прошлую историю ценных бумаг и рассчитать прибыли и их дисперсии за определенные периоды. Как уже было отмечено, термин «прибыли» означает не только дивиденды по ценной бумаге, но и любые повышения стоимости ценной бумаги (в процентах). Дисперсия является статистической дисперсией процентных прибылей. Для определения ожидаемой прибыли в период удержания можно использовать линейную регрессию по прошлым прибылям. Дисперсия как входной параметр определяется путем расчета дисперсии каждой прошлой точки данных на основе ее спрогнозированного значения (а не на основе линии регрессии, рассчитанной для прогнозирования следующей ожидаемой прибыли). Вместо того чтобы определять эти значения эмпирическим способом, инвестор может оценить значения будущих прибылей и дисперсий. Возможно, наилучшим способом нахождения параметров является комбинация обоих подходов. Инвестору следует использовать эмпирический подход (т.е. использовать исторические данные), затем, если это необходимо, можно учесть прогноз относительно будущих значений ожидаемых прибылей и дисперсий.

Следующими параметрами, которые должен знать инвестор для использования данного метода, являются коэффициенты линейной корреляции прибылей. Эти параметры можно получить эмпирически, путем оценки или с помощью комбинации обоих подходов.

При определении коэффициентов корреляции важно использовать точки данных того же временного периода, который был использован для определения ожидаемых прибылей и дисперсий. Другими словами, если мы используем годовые данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на годовой основе), следует использовать годовые данные и при определении коэффициентов корреляции. Если мы используем дневные данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на дневной основе), тогда нам следует использовать дневные данные для определения коэффициентов корреляции.

Вернемся к нашим четырем инвестициям — Т, I, L и к сберегательному счету (S). Ниже приведена таблица их коэффициентов линейной корреляции

 

 

Т

/

L

S

т

1

-0,15

0,05

0

I

-0,15

1

0,25

0

L

0,05

0,25

1

0

 

Используя метод п. 6.2, вычисляем дисперсионно-ковариационную матрицу Q. Отметим еще раз, что ковариация ценной бумаги самой к себе является дисперсией, так как коэффициент линейной корреляции ценной бумаги самой к себе равен 1.

 

Т          I        L            S

0,1       -0,0237            0,01     0

-0,0237     0,25            0,079   0

0,01        0,079            0,4       0

0           0         0          0

 

Составляем целевую функцию (дисперсию)

0V*i 1

0,4 0

0,079 0

0,01 0

 

' 0,1       -0,0237 0,01 -0,0237     0,25      0,079 0

Z = (V1V2V3V4)

= Vx2a + V22o2 + V2c + 1Vn cov,2+2Vn cov,3+2V23 cov23 = = 0,1F,2 +0,25-F22 + 0,4F32 -0,0474F,K2 +0,02F,F3 +0,158F2F3.

Тогда задача формулируется следующим образом: минимизировать целевую функцию

 

Z = 0,1 ■ V,2 + 0,25 V22 + 0,4V32 - 0,0474V, V2 +

+ 0,02V, V3 + 0,158 ■ V2V3            (6-7-l6)

при ограничениях

V,+V2 + V3+V4=l,

0,095V, +0,13V2 +0,21V3 +0,085V4 =E,     (6 ? 1?)

V, >0,V2 >0,V3 >0,V4 >0.    1 ' ' }

Здесь через E мы обозначили требуемый доход. Функцию Лагранжа зададим в виде

ЦV,,V2,V3,V4,A,,A2) = 0,1V,2 + 0,25V22 + 0,4V32 --0,0474V,V2 +0,02V,V3 + 0,158V2V3 + A,(V, +V2 +V3 +V4 -1) + +A2 (0,095V, +0,13V2 +0,21V3 + 0,085V4 -E).

Находим частные производные этой функции по Vx, V2, V3, Va, М, fa ^приравниваем их к нулю

 

— = 0,2V, - 0,0474V2 + 0,02V3 + x , + 0,095x 2 = 0,

^- = 0;5V2 -0,0474V, +0,158V3 +x , +0,13x 2 = 0, 3L

^-= 0,8V3 + 0,02 V,+0,158 V2+x ,+0,21x 2=0, 9L

■^- = x ,+0,085x 2 =0,

3L (6-7"lg) = V,+V2+V3+V4-1 = 0,

Эх ,

= 0,095V, + 0,13V2 + 0,21 V3 + 0,085V4 - E = 0

Ox 2

 

Тогда проблема минимизации Z при данном Е для рассматриваемого портфеля может быть решена с помощью системы линейных алгебраических уравнений (6.7.18) с применением ЭВМ.

Так как порядок системы (6.7.18) небольшой, то решим ее в конечном виде.

Исключая V/i из пятого и шестого уравнений системы, найдем: 0,015 Vx + 0,045 V2 + 0,Ц5F3 + 0,085 - Е = 0 (а)

Из первого и второго уравнений исключаем Х и из второго и третьего исключаем Я], получаем:

0,2474 V - 0,5474 V2 - 0,138 V3 - 0,035Д2 = 0, -0,0674 Vi + 0,342 V2 - 0,642 V3 - 0,08A2 = 0.

Из этих двух уравнений исключаем Я2.

0,022151 • Vx - 0,055762К2 + 0,01143 V3 = 0.

Из этого уравнения с помощью уравнения (а) исключаем V3

259730 • Vx - 748460 • V2 - 97155 + 1143000 • Е = 0. (b)

Из первого и четвертого уравнений системы, второго и четвертого уравнений и третьего и четвертого уравнений исключаем Ai, получаем три уравнения:

0,2Vx - 0,0474V2 + 0,02V3 + 0,01А2 = 0, -0,0474 Vx + 0,05 V2 + 0,15SV3 + 0,045A2 = 0, 0,02F, + 0,158 V2 + 0,8 V3 + 0,125A2 = 0,

в которых из первого и второго, второго и третьего исключаем А2, находим

0,009474 Vx - 0,007133 V2 - 0,00068 V3 = 0, ^ -0,006825 Vx + 0,05539 V2 - 0,01625 V3 = 0.

Из этих двух уравнений исключаем V3

158593 F, - 153576 V2 = 0.

Из этого уравнения и уравнения (Ь) находим, что

Vx =2,221 Е- 0,188,

(а)

V2 = 2,30 -£-0,195.

Подставляя решения (d) в уравнение (с), найдем

 

К3 = 6,9 -£-0,582. (е)

Из последнего уравнения системы (6.7.18), подставляя в нее выражения (d) и (е), найдем, что

У4 = -11,427 ■£ + 1,965. (f)

Подставляя решения (d), (е) и (Л в (6.7.16), получим значение целевой функции (дисперсии, риска)

Z,™,, = 23,919 • £2 - 4,039 • Е + 0,156.

Таким образом, минимальный риск

'•mm =-у/23,919£2-4,039-£ + 0,156 (6.7.19)

при требуемом доходе Е будет отвечать оптимальному портфелю составленному из акций Т, L, I, S соответственно в долях

Vi =2,227 -£-0,188,

V2 = 2,30 £-0,195,

' (6.7.20) V3 = 6,90 -£-0,582,

V4 = -11,427 ■£ + 1,965.

Пусть ожидаемая отдача (доход) Е = 14. Тогда Vx = 0,1238, V2 = 0,127, V3 = 0,384, V4 = 0,3652, дисперсия Dmm = о2тЫ = 0,05935, a <*плп = гтЫ = 0,2436 = 24,36\% .

Первые четыре значения, от Vx до V4, дают нам веса, т.е. доли инвестируемых средств, для получения оптимального портфеля с 14\%-ой ожидаемой прибылью. Нам следует инвестировать 12,38\% в Т, 12,7\% в /, 38,4\% в L и 36,52\% в сберегательный счет. Если мы хотим инвестировать 50000 долларов, то получим:

 

Акция

Процент

(*50000=)сумма инвестиций

Т

0,1238

$6190

I

0,127

$6350

L

0,384

$19200

Сберегательный счет

0,3652

$18260

Таким образом, в I мы бы инвестировали 6350 доллара. Теперь допустим, что / котируется по цене 20 долларов за акцию, т.е. следует купить 317,5 акции (6350/20). На самом деле мы не можем купить дробное число акций, поэтому купим либо 317, либо 318 акций. Следует также отметить, что небольшой лот из 17 или 18 акций, остающийся после покупки первых 300 акций, будет стоить дороже. Нестандартные, малые лоты обычно стоят несколько дороже, поэтому мы переплатим за 17 или 18 акций, а это коснется ожидаемой прибыли по нашей позиции в / и в свою очередь затронет оптимальную комбинацию портфеля.

В некоторых случаях следует ограничиться только стандартным лотом (в нашем случае — это 300 акций). Как видите, необходимо учитывать некоторый коэффициент ухудшения. Мы можем определить оптимальный портфель с точностью до дробной части акции, но реальная торговля все равно внесет свои коррективы.

Естественно, чем больше наш счет, тем ближе будет реальный портфель к теоретическому. Допустим, вместо 50000 долларов мы оперируем пятью миллионами долларов. Мы хотим инвестировать 12,7\%о в / (если речь идет только об этих четырех инвестиционных альтернативах) и поэтому будем инвестировать 5000000 • 0.127 = $635000. При цене 20 долларов за акцию мы бы купили 635000/20 = 31750 акций. Когда для инвестирования у нас есть только 50000 долларов, мы купим 300 акций вместо оптимального количества 317,5 и таким образом отклонимся от оптимального значения примерно на 5,8\%).

Составим табл. 6.10, в которой приведем для различных значений Е веса акций в портфеле и соответствующий им риск.

Так как при Е = 0,18 значение V4 в формуле (6.7.20) будет отрицательным, то систему (6.7.18) нужно изменить, исключив четвертое уравнение и положив V4 = 0. Тогда решение новой системы имеет вид:

Vt = 1,537 -7,826г, F2=0,416-1,249£, К3= 0,953+9,075£,

г4=о,

''min = V35,781£2-8,128£+0,517 . (6.7.21)

При Е = 0,20 значение V < 0 и тогда систему (6.7.18) нужно изменить, исключив четвертое и первое уравнения системы и положив V - V4 = 0. После этого решение новой системы имеет вид:

V2 = 2,625-12,5£, К3= 1,625 +12,5г,

rmin = г/76,875£2-24,263£ + 2,105. (6.7.22)

На рис. 6.21 приведен график требуемой доходности от минимального риска Е(гт^), из которого видно, что при изменении риска от 0,25 и больше зависимость E(rmQ практически является линейной.

6.7.4. Сравнение методов оптимизации портфелей

Исследуем портфель составленный в предыдущем п. 6.7.3 с помощью симплексного метода изложенного в п. 6.6.

Для выбранных доходностей £' = 0,14и£' = 0,18 были составлены оптимальные портфели (табл. 6.10)

Исходя из формулы (6.5.3) определим коэффициенты (3 для акций Т, I, L.

При Е = 0,14 акции Г, I, L, S входили в состав оптимального портфеля в долях Vi = 0,124, V2 = 0,127, V3 = 0,384, V4 = 0,365 при этом crmin = 0,2436.

Тогда ковариация между доходностью j-й ценной бумаги и доходностью рыночного портфеля определяется как

0,1       -0,0237            0,01     0"|

0,0237     0,25 0,079   0

0,01     0,079     0,4     0

0          0          0          0

а = V£i = (о1я, о2я, о-зя, о4П ) =

( 0,124 V 0,127 0,384 0,365

= 0,9968;

= (0,01323; 0,05915; 0,1649; 0) Коэффициенты «бета» равны:

0,01323    п „„,, а 0,05915

= 0,223; В2

(0,2436)'

(0,2436)2 0,1649

= 2,779, В4 =0.

(0,2436)2

Формулируем задачу линейного программирования: максимизировать функцию

Z = 0,095 V{ + 0,13V2 + 0,21 V3 + 0,085 V4

при ограничениях

 

0,223\% +0,997V2 +2,779V3 <рп,

v,+v2+v3+v4=i,

(6.7.23)

0<V, <1, 0<V2£1, 0<V3<n, 0<V, ul.

 

Здесь величина «бета» портфеля обозначена через ft/. При уровне доходности Е = 0,18 акции компаний Г, /, L, S входят в портфель в долях

Vi = 0,128, V2 = 0,191, V3 = 0,681, V4 = 0 при этом amin = 0,4615.

Коэффициенты «бета» в этом случае равны:

А = 0,071; ft = 0,4625; ft = 1,356; ft = 0.

Аналогично (6.7.23) запишем задачу линейного программирования

Z = 0,095 VX + 0,13 V2 + 0,21 V3 + 0,085 V4 -> max при ограничениях

 

0,071V, +0,462V2 +1,356V3 <pn, V,+V2+V,+V4=l, 0<Vj <1, 0<V, <1,

o<v3<i, (6-7-24)

0<V4<1.

 

Результаты решения задач (6.7.23) и (6.7.24) для различных Вп сведены в табл. 6.11. Решения проведены с использованием стандартных программ на ЭВМ.

Из табл. 6.11 видно, что с ростом риска rmin растет прибыль и с ростом «бета» портфеля растет величина максимального дохода Етах. 444

 

 

 

Vx

V2

 

v4

 

0,2436

0,8

0,773

0

0,227

0

0,128

 

1,0

0,695

0

0,305

0

0,132

 

1,3

0,578

0

0,422

0

0,144

0,4615

1,05

0,238

0

0,762

0

0,183

 

1,3

0,044

0

0,956

0

0,205

 

1,7

0

0

1,0

0

0,21

 

Далее рассмотрим пример составления оптимального портфеля ценных бумаг с применением ЦМРК (САРМ).

Ранее было отмечено, что существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, которые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Марковица представляет собой изогнутую линию, что предполагает наличие бесконечного числа точек на ней. Это означает, что существует бесконечное количество эффективных портфелей. Как может быть использован подход Марковица, если инвестору необходимо определить структуру каждого из бесконечного числа эффективных портфелей. Марковиц видел эти потенциальные проблемы и внес основной вклад в их преодоление, представив метод их решения. Он включает в себя алгоритм квад-ратического программирования, известный как метод критических линий.

Рассмотрим портфель из четырех акций (табл. 6.9), для которых известны коэффициенты линейной корреляции и ковариационная матрица Q. Прежде всего составляем портфель из трех рискованных акций компаний Т, I, L.

Для нахождения эффективного множества определяем количество «угловых» портфелей, которые связаны с ценными бумагами и полностью описывают эффективное множество. «Угловой» портфель — это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных «угловых» портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя «угловыми» портфелями. Данное Утверждение можно проиллюстрировать примером.

Подпись:

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 |