Имя материала: Экономические и финансовые риски: оценка, управление, портфель инвестиций

Автор: Александр Сергеевич Шапкин

6.8. модели определения цен основных активов

6.8.1. Модель теории арбитражного ценообразования

Модель САРМ является равновесной моделью, объясняющей, почему различные ценные бумаги обладают разными ожидаемыми доходностями. Эта модель образования цен на финансовые активы, в частности, утверждает, что ценные бумаги обладают различными доходностями вследствие различных коэффициентов «бета». Однако существует альтернативная модель ценообразования, разработанная Стефаном Россом. Эта теория, известная как теория арбитражного ценообразования (APT), в некотором смысле является менее сложной, чем САРМ.

САРМ-модель требует выполнения большого числа предположений, включая предположения, сделанные Гарри Марковичем^ при разработке базовой стохастической модели, например, о том, что каждый инвестор выбирает свой оптимальный портфель, используя кривые безразличия, учитывающие ожидаемый доход и стандартное отклонение. В то же время модель APT основана на меньшем числе предположений. Главным предположением теории является то, что каждый инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности своего портфеля без увеличения риска. Механизмом, способствующим реализации данной возможности, является арбитражный портфель.

Арбитраж — это получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на одинаковые продукцию или ценные бумаги. Арбитраж, являющийся широко распространенной инвестиционной тактикой, обычно состоит из продажи ценной бумаги по относительно высокой цене и одновременной покупки такой же ценной бумаги (или ее функционального эквивалента) по относительно низкой цене.

Однако, следует понимать, что такая возможность реализуется редко. В самом деле, арбитражер с неограниченной возможностью осуществления «коротких» продаж может немедленно выровнять дисбаланс цен на этих рынках, если профинансирует покупку актива на рынке с низкой ценой за счет его «короткой» продажи на рынке с высокой ценой. Это означает, что возможность безрискового арбитража очень кратковременна.

Арбитражная деятельность является важной составляющей современных эффективных рынков ценных бумаг. Поскольку арбитражные доходы являются безрисковыми по определению, то все инвесторы стремятся получать такие доходы при каждой возможности. Правда, некоторые инвесторы имеют большие ресурсы и наклонности для участия в арбитраже, чем другие. Однако для реализации и исчерпания арбитражных возможностей (вследствие покупок и продаж акций) достаточно меньшего числа инвесторов, чем имеется желающих принять участие в этих операциях.

Менее явная возможность арбитража существует в том случае, если удается сконструировать портфель активов, имеющий идентичный с некоторым другим активом поток доходов, но с меньшей ценой, чем этот актив. Данный вид арбитража основан на фундаментальном принципе теории финансов, носящем название закон единой цены. Его суть состоит в том, что если поток доходов, порождаемый данным активом, совпадает с потоком доходов от искусственно созданного пакета других активов, то стоимости актива и (копирующего) его пакета должны совпадать.

Если обнаруживается различие цен актива и пакета активов с одинаковыми потоками доходов, то инвесторы будут осуществлять с ними арбитражные сделки, что в конечном счете приведет к выравниванию цен и восстановлению равновесия. Наличие рыночного механизма, восстанавливающего равновесие, и предполагается теорией арбитражного ценообразования, при этом считается также, что проведение арбитражной сделки не столкнется с непредусмотренным в ней изменением цен.

Сущность арбитража проявляется при рассмотрении различных цен на определенную ценную бумагу. Однако «почти арбитражные» возможности могут существовать и у похожих ценных бумаг или портфелей. Определить, подходит ли ценная бумага или портфель для арбитражных операций, можно различными способами. Одним из них является анализ общих факторов, которые влияют на курс ценных бумаг.

Факторная модель подразумевает, что ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам ведут себя одинаково, за исключением внефакторного риска. Поэтому ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам должны иметь одинаковые ожидаемые доходности, в противном случае имелись бы «почти арбитражные» возможности. Но как только такие возможности появляются, деятельность инвесторов приводит к их исчезновению. Это — существенное рассуждение, лежащее в основе APT.

В соответствии с APT инвестор исследует возможности формирования арбитражного портфеля для увеличения ожидаемой доходности своего текущего портфеля без увеличения риска.

APT исходит из предположения о связи доходности ценных бумаг с некоторым количеством неизвестных факторов. Предположим, что имеется только один фактор и этим фактором является предсказанный темп роста промышленного производства. В таком случае доходность ценных бумаг определяется в соответствии со следующей однофакторной моделью:

ад = а, + b,F{ + е„ (6.8.1)

где Е(г,) — ставка доходности ценной бумаги і;

F — значение фактора, которым в данном случае является предсказанный темп роста промышленного производства;

ожидаемая доходность актива і;

чувствительность ценной бумаги і к значению фактора (F);

несистематическая доходность ценной бумаги і.

 

При формировании арбитражного портфеля следует соблюсти два условия. Во-первых, это портфель, который не нуждается в дополнительных ресурсах инвестора. Если через Vt обозначить изменение в стоимости ценной бумаги і в портфеле инвестора (а значит, и ее вес в арбитражном портфеле), то это требование^ арбитражному портфелю может быть записано так:

Инвесторы будут формировать также арбитражные портфели, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий уравнениям (6.8.2) и (6.8.3) будет иметь нулевую ожидаемую доходность.

Модель APT утверждает, что доходность актива і как случайная величина выражается следующим образом для двухфактор-ной модели:

£(л,) = а, + bnFi + baF2 + е,. (6.8.4)

Предположим, что инвестор обладает рисковыми акциями трех выводов Т, I, L и одной безрисковой акцией. Ожидаемые доходности и чувствительности к двум факторам, например к состоянию промышленного производства и уровню инфляции, для каждой из бумаг заданы в табл. 6.13.

(6.8.2)

 

Во-вторых, арбитражный портфель не чувствителен ни к какому фактору. Поскольку чувствительность портфеля к фактору является взвешенной средней чувствительностей ценных бумаг портфеля, то это требование арбитражного портфеля в общем виде может быть записано так

 

£v,.A=o,, = i,2,..          (6 8 3)

Здесь by чувствительность і-го фактора наУ-ый, ау'-число факторов.

454

Составляем на основании формул (6.8.2) и (6.8.3) систему уравнений

 

V,+V2+V3+V4 =0,

■ 1,6V, + 0,6V2 + 2V3 + 0,8V4 =0,  (6 8 4)

1,2V, +1,6V2 +1,1V3 +1,8V4 =0.

 

Так как в системе четыре неизвестных, а уравнений три, то имеется бесконечное множество решений. Одно из решений выбираем произвольно. Пусть V = -0,1, тогда в результате решения получим V2 = 0,041, V3 = 0,074, V4 = -0,015.

Полученные доли представляют потенциальный арбитражный портфель. Вычисляем ожидаемую доходность: -0,1 • 9,5 + + 0,041 ■ 13 + 0,074 • 21 - 0,015 • 8,5 = 1,095 > 0. Так как ожидаемая доходность положительная, то найден арбитражный портфель.

Этот арбитражный портфель предполагает покупку акций I и L за счет продажи акций Т и S. Следовательно, деятельность по покупке и продаже повысит курсы акций I и L и понизит курсы акций Т и S. В свою очередь это означает, что ожидаемые доходности акций I и L понизятся, а акций Ти S повысятся.

Инвесторы будут формировать также арбитражные портфели, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий системе (6.8.4), будет иметь нулевую ожидаемую доходность. При этом связь между доходностями и чувствительностями будет линейной

Щ) = Я0 +Ьц +A2bl2. (6.8.5)

Можно считать, что здесь три переменные Е(г,),Ьп, bi2.

Таким образом, для получения портфеля с нулевой ожидаемой доходностью нужно будет найти большое число решений системы (6.8.4) и соответствующих им доходностей, что возможно только с применением стандартных программ.

В рассматриваемом примере одним из равновесных сочетаний являются До = 8,5, Х - 5, Х2 = -2.

В результате четыре рассматриваемые акции имеют следующие равновесные значения ожидаемых доходностей:

Е(гх) = 8,5 + 5 • 1,6 - 2 • 1,2 = 14,1 \%,

Ё(г2) = 8,5 + 5 • 0,6 - 2 • 1,6 = 8,3\%,

£(г3) = 8,5 + 5 • 2 - 2 • 1,1 = 16,3\%,

Ё{г4) = 8,5 + 5 ■ 0,8 - 2 ■ 1,8 = 8,9\%.

Ожидаемые доходности акций I и L упали, тогда как ожидаемые доходности акций Т и S возросли. Изменение спроса и предложения вследствие инвестиций в арбитражные портфели привело к изменениям ожидаемых доходностей в предсказанных направлениях.

Механизм влияния арбитражного портфеля на первоначальный портфель становится ясным из анализа табл. 6.14.

Под термином старый портфель мы подразумеваем портфель, который отвечает эффективному портфелю (табл. 6.10). Соединяем его с арбитражным портфелем и получаем новый портфель с более высокой доходностью, который соответствует эффективному портфелю на рис. 6.22.

Рассмотрим уравнение (6.8.5). Если актив не чувствителен к факторам, то Ьц = bi2 - 0 и Q(r,) = Яо и если существует безрисковьш актив, то С(г,) = г$ = До- Тогда уравнение (6.8.5) принимает вид:

C(r») = rs + ЛФн + X2bi2. (6.8.6)

Теперь рассмотрим хорошо диверсифицированный портфель, имеющий единичную чувствительность к первому фактору и нулевую — ко второму.

Такой портфель называется чистым факторным портфелем, так как он: обладает единичной чувствительностью к единственному фактору; не чувствителен ни к какому другому фактору; имеет нулевой нефакторный риск. А именно b = 1 и Ъ2 - 0. Из Уравнения (6.8.6) следует, что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая е4, равна гд + Яь т.е. е4- г§ - Я]. Тогда уравнение (6.8.6) может быть переписано так

C(/v) = rs + (е4 - rs) Ьц + A2ba. (6.8.7)

В примере табл. 6.13 е4 - rs = 5. Это означает, что е4 = 13,5, так как rg = 8,5. Другими словами, портфель, имеющий единичную чувствительность к предсказанному состоянию промышленного производства (первый фактор) и нулевую чувствительность к предсказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 13,5\%, что на 5\% больше, чем безрисковая 8,5\%-ная ставка.

Наконец, рассмотрим портфель, имеющий нулевую чувствительность к первому фактору и единичную чувствительность ко второму фактору, т.е. Ь = 0 и Ъг - 1. Из уравнения (6.8.5) следует, что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая е2 равна гб + Яг. Поэтому е2 - гв = Яг, а уравнение (6.8.7) может быть переписано так:

Ш = гб + (е4 - гб) ■ Ьп + (ег - г6) ■ Ъа. (6.8.8)

Это есть уравнение ценообразования APT для двухфакторной модели.

В примере табл. 6.13 ег - гб = -2. Это означает, что е2 = 6,5, так как Гб = 8,5. Другими словами, портфель, имеющий нулевую чувствительность к предсказанному состоянию промышленного производства (первый фактор) и единичную чувствительность к предсказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 6,5\%, что на 2\% меньше, чем безрисковая 8,5\%-ная ставка.

Основные преимущества APT перед ЦМРК заключаются в том, что она не делает ограничительных предположений о предпочтениях инвестора относительно риска и доходности, относительно функций распределения доходностей ценных бумаг и не предполагает построения «истинного» рыночного портфеля.

Вместе с тем APT не слишком широко используется инвесторами. Основная причина этого заключается в неопределенности >тносительно факторов, которые систематически влияют на доходы по ценным бумагам.

 

6.8.2. Портфель Тобина

Через несколько лет после исследования Марковича другой крупнейший американский экономист Д. Тобин, также впоследствии лауреат Нобелевской премии заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

В параграфе 6.4.2 был рассмотрен портфель с безрисковым активом и получена связь между ожидаемой доходностью Е(г) и риском сгв виде зависимости (6.4.4)

Е(г) = гб+—£-            о, (6.8.9)

' j

Еп = хогб+ J£jxiEi>

(6.8.10)

 

Изложим решение этой задачи, полученное Тобиным. Пусть й — матрича ковариации рисковых видов ценных бумаг, X - (х,), V = (у,) — вектор-столбцы долей х капитала, вкладываемых в і-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, і = 1,..., п. Пусть также/—и-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей х, есть

х* =     Е(Гр)~гб         QrV-r6I). (68Ш

 

Здесь Q"1 — матрица, обратная к Q. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция транспонирования первого сомножителя в знаменателе це указана, но подразумевается), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, QrV-Г(;Г) — вектор-столбец размерности п. Как видим, этот вектор не зависит от эффективности портфеля Е(гр). Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный этому вектору, также не зависит от Е(гр). Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от Е(гр). Однако сумма компонент вектора X* зависит от Е(гр), а именно, компоненты вектора X* пропорционально увеличиваются с ростом Е(гр), поэтому доля хо безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля Vn = XTQX подставим оптимальный вектор X* из формулы (6.8.11), обозначив знаменатель формулы (6.8.11) через d . Получим:

 

=- {E{r*^f [a-v-r6i)Yd[srv-r6i)h

 

=          -4         (V-r6I)Q QQ (V-r6I) =           p—      ~.

a d

 

Окончательно:

(E(rp)-r6)2 E(rp)-r6

vn        J2         или a„=—^     .

 

Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска

Е(гр) - (гб) = dan или E(rp) = гб + don,

что перекликается с результатами параграфа 6.4.2.

Полученный оптимальный портфель называется портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина — это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг.

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача формирования портфеля максимальной эффективности имеет решение, похожее на решение Тобина в предыдущей постановке.

Оптимальное значение долей х,- рисковых бумаг есть: 4(V-r6l)QrV-r6I)

В матрично-векторной форме задача формирования портфеля максимальной эффективности при наличии на рынке безриско-ых ценных бумаг такова:

х0/"б + VX -» max,

ХаХ = сП2, (6.8.13) Xo + IX= 1.

Для нахождения условного максимума составим функцию Лагранжа

L = ХоГб +VX + Яо(*ШГ- ся2) + Яі(х0 + IX- 1).

Находим частные производные L по X и по х0 и приравниваем их к нулю

 

ЭХ     ' Г гб+Я,=0,

о

І£. = 0, получаем  y+^QX + Я,/ = 0.

дх

Выразим из второго уравнения Я] и подставим в первое, получим V- гб1 = - AqQX, так что

xJr6I-V)Q-1

Л)

Для нахождения Я0 подставим найденное X в равенство XQ.X = сПг, получим

 

Яо Л)

отсюда

^v-r6m-V-r6I) = u2n.

Обозначая -^- = (F-r6/)Q 1(У-гб1), получаем

.  Яо J     d2 '

или —~-~T и окончательно X* = ^-j-(V-r6I), т.е. формулу (6.8.12).

Опять видно, что структура рисковой части оптимального в этом смысле портфеля также не зависит от ограничения на величину риска.

Будем называть полученный оптимальный портфель портфелем Тобина максимальной эффективности.

 

6.8.3. Проблемы оценки риска

Сам Марковиц был озабочен сложностью практической реализации своих идей. Вместе с аспирантом Уильямом Шарпом, который позднее разделил с ним Нобелевскую премию, он разработал метод, позволивший обойти процесс вычисления ковариаций между отдельными ценными бумагами. Он предложил оценивать дисперсию акции или облигации по отношению к рынку в целом, что значительно упростило дело. На этой основе Шарп разработал получившую широкую известность модель оценки долгосрочных финансовых активов (Capital Asset Pricing Model, САРМ, или ценовая модель рынка капитала, ЦМРК), которую мы рассмотрели в параграфе 6.5, позволяющую осуществлять оценку ценных бумаг для случая, когда все инвесторы формируют свои портфели в точном соответствии с рекомендациями Марковица. Эта модель использует коэффициент «бета» для описания среднего отклонения курсов отдельных акций или других ценных бумаг относительно рынка в целом за определенный период.

Другая математическая проблема заключалась в том, что портфели и сами рынки ценных бумаг описывались только двумя числами — ожидаемой доходностью и дисперсией. Зависимость именно от этих двух чисел оправданна, только если доходность ценных бумаг описывается кривой Гаусса. Отклонения от нормальной кривой недопустимы, и множество значений с каждой стороны от среднего должно быть распределено строго симметрично.

Если данные не описываются нормальным распределением, дисперсия не может со 100-процентной степенью точности характеризовать неопределенность портфеля. Ничто не совершенно в 462 реальном мире, и это действительно проблема, но для некоторых инвесторов эта проблема серьезнее, чем для других. Часто данные укладываются в нормальное распределение достаточно точно, чтобы на их основе вычислять риск и принимать решения относительно портфеля. В других случаях несовершенство распределения данных стало поводом для разработки новых стратегий, о которых речь пойдет дальше.

Решающим является вопрос об измерении риска. Как могут инвесторы решить, идти или не идти на риск, пока риск не измерен?

Изменчивость, или дисперсия, интуитивно кажется привлекательной в качестве меры риска. Статистический анализ подтверждает это интуитивное предположение: рост изменчивости, как правило, сопровождается падением курса ценных бумаг. Более того, интуиция подсказывает, что неопределенность должна характеризоваться значительными и быстрыми колебаниями стоимости. Способность к быстрому и значительному росту курса обычно сочетается со столь же выраженной склонностью к его падению.

Однако нет согласия по вопросу о причинах изменчивости, не говоря уже о причинах того, почему величина изменчивости колеблется. Мы наблюдаем изменчивость, когда происходит нечто неожиданное. Пользы от этой тавтологии никакой — никто не знает, как предсказать неожиданное.

С другой стороны, изменчивость беспокоит не всех. Наличие риска означает, что на самом деле случится лишь часть того, что может случиться, -г- к этому и сводится определение изменчивости, — но время остается неопределенным. Вводя элемент времени, мы ослабляем связь между риском и изменчивостью. Время изменяет риск во многих отношениях, а не только его связь с изменчивостью.

Рискованность изменчивого портфеля зависит от того, с чем его сравнивать. Некоторые инвесторы и многие портфельные менеджеры не считают изменчивые портфели рискованными, если мала вероятность того, что их доходность окажется ниже определенного уровня. Этот уровень не обязательно должен быть нулевым. Это может быть подвижная точка отсчета, например необходимый минимум доходности для поддержания платежеспособности пенсионного фонда корпорации, или доходность некоего образцового индекса или портфеля.

Тем не менее измерение риска как вероятности падения курса ниже точки отсчета никоим обрззо,м не отменяет предписания

Марковица для управления портфелями. Доходность остается желательной, а риск нежелательным; ожидаемую доходность нужно максимизировать, сводя риск к минимуму; изменчивость по-прежнему свидетельствует о вероятности убытков. В этих условиях оптимизация мало чем отличается от того, что имел в виду Марковиц. Процесс идет, даже если риск представляется многомерным понятием, которое связано с чувствительностью бумаг к неожиданным изменениям таких важных экономических переменных, как деловая активность, инфляция и процентные ставки, а также колебания рынка, на котором они продаются.

Риск может быть измерен и по-иному, исключительно на основе анализа прошлого опыта. Предположим, инвестор пытается опережать рынок, т.е. старается покупать до начала роста котировок и продавать, пока они не начали падать. Какой процент ошибок он может себе позволить, чтобы при этом зарабатывать больше, чем просто владея купленными ценными бумагами?

Стратегия опережения рынка чревата опасностью упустить момент большого подъема котировок. Измерение риска значительно усложняется, если параметры не стабильны, а изменчивы. Даже сама изменчивость не стоит на месте.

Этим проблема не исчерпывается. Мало кто в течение всей своей жизни не меняет отношения к риску. Мы становимся старше, мудрее, богаче или беднее, и наше понимание риска и степень его неприятия меняются в ту или иную сторону. Так же меняется отношение к риску и у инвесторов, что вызывает значительные изменения в их отношении к будущим доходам от акций и долгосрочных облигаций.

Остроумный подход к такой возможности был предложен учеником, коллегой и соратником Марковица нобелевским лауреатом Уильямом Шарпом. В 1990 году Шарп опубликовал статью [100], в которой проанализировал соотношение между изменением богатства и желанием инвесторов владеть рискованными ценными бумагами. Хотя в соответствии с точкой зрения Бернулли и Джевонса у богатых людей вероятность неприятия риска должна быть большей, чем у других, Шарп высказал гипотезу, что изменения богатства тоже влияют на степень неприятия риска. Рост богатства повышает способность людей переносить потери, но потери эту способность уменьшают. Как следствие этого, увеличение богатства влечет за собой усиление аппетита к риску, а потери ослабляют его. Шарп предполагает, что эти изменения в неприятии риска объясняют, почему подъемы или падения на рынках всегда доходят до крайних пределов, но в конце концов механизм схождения к среднему вступает в свои права, когда контрапунктные инвесторы замечают, что зашли слишком далеко, и приступают к исправлению накопившихся ошибочных оценок.

Несмотря на критику, которой подвергается разработанная Марковичем концепчия формирования портфеля, ее значение трудно переоченить. С 1952 года она закладывается в основу важнейших теоретических построений и растущего числа практических приложений, доминирующих в современном подходе к управлению инвестичиями. В самом деле, неоднородность портфеля стала настоящей религией современных инвесторов. Нападки на Марковича только стимулировали разработку новых кондепчий и новых приложений, которые никогда не смогли бы появиться без его основополагающей идеи.

Однако почти все, созданное на основе достижений Марковица, зависит от того, как относиться к спорному вопросу о разумности инвестора. Необходимы исследования концепции рационального поведения и неприятия риска. Недавними исследованиями установлено, что многие отклонения от установленных норм рационального поведения являются систематическими.

Есть и другая возможность. Можно предположить, что люди сами по себе не являются неразумными, но традиционная модель разумного поведения способна охватывать только часть пути, которым рациональный человек идет к принятию решения. В этом случае проблема заключается скорее в модели рационального поведения, а не в человеке. Если выбор, который делает человек, и логичен, и предсказуем, пусть даже скорее с разными, нежели с постоянными предпочтениями или с предпочтениями, которые не прямо укладываются в нормы рационального поведения, поведение все-таки может быть смоделировано математическими средствами. Логика может следовать различными путями, не только теми, которые определяет традиционная модель.

6.8.4. Модель Блэка

Пусть инвестор ради будущих доходов, желая увеличить свой инвестируемый капитал Р°, находит дополнительную сумму Pg. Тогда при покупке разных активов на суммы Р°,Рп° будем иметь

Р° + ps = ^Р" или, после деления обеих частей этого равенства

Подпись: Epg х, , где Yg - —. Пусть x„+ = - У* тогда получа-ту О

Подпись: Р°
л+1

ем как и раньше ^ xi -1 > но одна из долей средств, вкладываемых і=і

в актив г-го типа, а именно величина х, уже отрицательная.

Ясно, что в более сложных ситуациях отрицательных компонент, отвечающих заемным средствам, может быть больше одной. Доходность портфеля в этом случае вычисляется в виде

рк - р" —р8

En=P°+Ps    ' (6"8Л4>

 

где F* — стоимость актива в конце периода, Р° — стоимость актива в начале периода, Ps — дополнительный (заемный) актив.

На большинстве фондовых бирж Запада действия, которые математически формализуются в виде х,- < 0, допустимы и часто используются. Но ввиду их особой рискованности обычно есть дополнительные ограничения на такие действия, а по некоторым видам ценных бумаг и полный запрет. Портфели, удовлетворяющие условиям данного рынка, называются допустимыми. В модели Блэка допустимы любые портфели, то есть единственное ограни-

че*Ше Y!xi=l-

і

Особенностью модели Блэка является то, что оказывается возможным реализовать любую, сколь угодно большую доходность (но за счет быстро растущего риска!). В самом деле, пусть есть два актива с ожидаемыми доходностями е = 1 и е2 - -1. Для портфеля Хі = 1 + V, Х2 = -V доходность

ЕП = 1 • (1 + V) + (-1) • (-v) = 1 + 2v -> оо при V —> сю.

 

6.8.5. Модель Тобина — Шарпа — Линтнера (ТШЛ)

Эта модель в большей степени относится к структуре рынка, а не к структуре портфеля. Считается, что есть безрисковый актив, доходность которого не зависит от состояния рынка (обычно это — государственные ценные бумаги или вклады в большие бан

ки) оди

ки). Если доходность безрискового актива (пусть он на рынке один, его номер — ноль) гб, то ожидаемая доходность Е(гб) - гб, (р'ІГб) = 0 и cov(/-6, г і) = 0 для всех / Ф 0, последнее означает, что в ковариационной матрице рынка есть нулевая строка и нулевой столбец. Все активы, кроме нулевого, — рисковые, то есть О2{г,)>0для.і = , ...,п.

В данной модели портфель с вектором х = (хо, Хі,..., х„) при хо Ф 1 можно представить в виде линейной комбинации безрискового и рискового портфеля: х = хо^о + (1 - хоХко, где, ео = (1, 0,0,0), это безрисковый портфель, совпадающий с без-

Y (П    *'         Х" I

рисковым активом, а го и>; .•••>■;        — чисто рисковой пор-

i-x0     і-*о ;

тфель.

Например для п = 3 и х = (0,4; 0,2; 0,3; 0,1) разложение будет иметь вид

 

Такое разложение играет важную роль при оценке фиксированных активов.

Рассмотрим рынок двух активов, описываемый вектором ожидаемых доходстей Е-{Е, Е2) и матрицей ковариации

 

( ~2

0, Р0г

рахаг а

 

где р = р2 — коэффициент корреляции доходностей активов, 01, о" 2 — стандартные отклонения.

 

Для модели Блэка, когда допустимы любые значения хі и Хг лишь бы хі + Хг = 1, имеем в двухмерном случае прямую на плоскости х, х2, которая составлена из множества допустимых пар. Удобно представить эту прямую в параметрическом виде: х, = t, х2 = 1 - t, тогда каждый портфель описывается так: х = (/, 1 - і), t — принимает любые вещественные значения (в том числе и отрицательные).

Подпись: (6.8.15)Подпись: (6.8.16)Доходность портфеля

Еп = Eit + E2(l -t) = E2 + (Ei - E2)t,

риск портфеля

2 2

°n = X X ** *;cov(r' ■ rJ1)= ,=і j=

= aft2 + 2pa1cr2t(l-t) + a2(l-t)2 =

= {a2-2pa1a2 +o2)t2 + 2(pclo2 -c)t+c.

Оценкой портфеля называют ряд чисел (сг^х), Е(х)), которую можно изобразить точкой на плоскости с^Ео.

Плоскость (о2, Е) называют критериальной. Меняя портфель, то есть меняя вектор х, получают различные оценки, а для них разные точки на критериальной плоскости. Множество всех оценок (то есть множество пар (о2, Е), а не множество портфелей) допустимых портфелей называют критериальным множеством. Если критериальное множество не сводится к одной точке, то возникает проблема выбора. Пусть П0 — некоторый портфель, а Qo - (су2, Eq) — оценка для По.

Критериальную плоскость можно разделить на четыре квадранта (рис. 6.23). Если какой-то другой портфель Пі имеет оценку в четвертом квандранте, то Пі лучше По, так как Е > Е0 и oi2 < оо2. Если оценка для П! попадает во второй квандрант, то Пі хуже По, так как Ег < Ео н о2 > сг02 (причем для обоих этих

t =

квандрантов хотя бы одно неравенство в приведенных парах неравенств — строгое). Если же оценка Q портфеля П] находится внутри (не на пунктирах рисунка) первого или третьего квандрантов, то имеем два таких портфеля, у которых один показатель лучше, чем у другого, но зато второй — хуже. Из выражения (6.8.15) найдем, что

Еп-Е2

ст2Е1 -алЕ

(6.8.17)

 

а затем после подстановки этого значения / в выражение (6.8.16) получим

Ех -Е2

,с2     Q~i -0~2 с-

+———еп

Критериальное множество (6.8.17) является параболой на плоскости (оя , Еп) (рис. 6.24).

Так как Ол2> 0, то есть такой портфель, у которого риск нулевой. Приравнивая (6.8.17) к нулю, имеем

Нулевой риск (точка (О, Е*) на графике) -г- это, конечно, хорошо, но одна из компонент х* — отрицательная величина, то есть заемные средства. Более того, может быть Е* < 0, так будет либо при 1 > о21о > М2/Ми либо при 1 < а21а < М21М. Подобное устранение риска бессмысленно, поскольку означает гарантированный убыток (рис. 6.25).

В модели Блэка (то есть при наличии заемных средств, что равносильно отрицательности компоненты векторах) может быть случай, когда Е* > 0, причем возможно, что доходность портфеля как понизится, так и повысится по сравнению с доходностями используемых активов (рис. 6.26, 6.27).

Так для случая, изображенного на рис. 6.27, имеем Ех < Е2, сг > <у2, следовательно

Возможно еще одно геометрическое представление для двумерного случая: при использовании стандартного отклонения

о- = /о-2=о2 +(o-j-o2)t  и ЕП=Е2 +(£]-E2)t

получаем параметрическое задание критериального множества на плоскости (о2, Е) (рис. 6.28), которое будет парой лучей с верши-

ной в точке (о2, Е). Таким образом, для р = 1 критериальное множество — парабола на плоскости (о2, Е) или пара лучей на плоскости (о2, Е), минимальная граница совпадает с критериальным множеством, эффективная граница оценок — верхняя ветвь параболы на плоскости (о2, Е) или верхний луч на плоскости (о2, Е). Пусть для модели Блэка р = 0. В этом случае:

 

Еп = Ег + (£i - E2)t, оп2 = ox2t2 + Ог2(1 - t2) > 0.       (6.8.19)

 

Можно опять выразить ї через Еп, подставить в сгя2 и получить зависимость ап от Еп, эта зависимость будет, как в предыдущем случае, квадратичной. Для нахождения min on (теперь

2 do2-! On > 0 строго!) решим уравнение —= 0 :

at

= 2(o2t -о-22(1 -0) = 0 -»t* =    °2 ъє (0; 1),

 

что дает:

 

о2о2

°1 ('*) =   о   +°22,0<о2п (t*) < тт{о 2; о I}

О у Л-О 2

 

и

„ ,^   E,ol + E2ol

En(t*) = -~      Т^Є (£,;£2).

 

Риск портфеля меньше риска каждого из активов, но устранить его полностью нельзя. Как и в предыдущем случае: минимальная граница совпадает с критериальным множеством, эффективная граница — верхняя ветвь параболы на плоскости (о2, Е) (рис. 6.29).

При р = -1 получаем:

Еп =£2+(£, -E2)t,on =|оу-о-2(1-0| . (6.8.20)

Суть этого факта в том, что риск можно полностью устранить без привлечения заемных средств (хь Хг > 0). Минимальная граница опять совпадает с критериальным множеством, эффективные границы — верхние ветви.

Аналогичный анализ возможен для любых значений р. Можно доказать, что при р * ± 1 полностью устранить риск нельзя. При р > 0 вершина параболы Q* лежит вне дуги 6162» при р < 0 — внутри этой дуги.

 

6.8.6. Модель Марковица для двух активов

В данной модели, кроме ограничения xi + х2 = 1, требуется еще выполнение условий хь х2 > 0. Для параметрического представления xi = t, Хг = 1 - t получается условие t є [0; 1], что означает: критериальное множество в модели Марковица представляет часть критериального множества модели Блэка. Возможные ситуации представлены на рис. 6.32 — 6.35.

Если изобразить критериальные множества на плоскости (о2, Е) для разных коэффициентов корреляции р, то получим тре-

Е ' Е*

угольник QQ*Q2, соответствующий крайним значениям р = ±1, который сплошь заполнен частями гипербол, отвечающих остальным значениям р (рис. 6.36).

получается

При коэффициенте корреляции p<min|-^L ^ll

К ' о-, J

портфель с риском меньшим, чем риск каждого из активов. В этом случае портфель обязательно будет лучше, чем портфель, состоящий только из актива с меньшей доходностью. 476

Таким образом, как и в модели Блэка, в модели Марковица наличие отрицательной корреляции между доходностями активов позволяет добиться существенного снижения риска в том смысле, что оптимальный портфель будет лучше одного актива и не хуже другого. Нахождение параметра /*, который задает пропорции инвестиций оптимального портфеля, сводится к решению уравнения da21 dt = 0. Поскольку в модели Марковица требуется неотрицательность вектора х* (t*, 1 - /*), постольку при t* g [0; 1] получается портфель, состоящий из какого-то одного актива.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 |