Имя материала: Эконометрика : учебное пособие в схемах и таблицах

Автор: С. А. Орехов

Тема 4 система одновременных уравнений план лекции

Виды систем уравнений в эконометрике. Структурная и приведенная формы модели.

Задача идентификации уравнений системы. Необходимое и достаточное условие идентифицируемости.

Косвенный метод наименьших квадратов.

Двухшаговый метод наименьших квадратов.

Примеры систем одновременных уравнений.

 

Системы уравнений в эконометрике

Для изучения комплексных экономических явлений средствами эконометрики, как правило, применяют не отдельные уравнения регрессии, а системы уравнений. Это объясняется следующим.

Во-первых, описывая явление с помощью взаимосвязанных переменных, приходится учитывать, что изменение одной неременной влечет за собой изменение других. При рассмотрении же отдельного регрессионного уравнения часто предполагают, что объясняющие переменные можно изменять независимо одну от другой.

Во-вторых, взаимодействие переменных нередко затрудняет однозначную их классификацию при построении модели: одну и ту же переменную можно определить как объясняющую (фактор) и как объясняемую (результат).

Системы уравнений в эконометрике подразделяют на виды: независимых уравнений, рекурсивных уравнений и взаимозависимых (совместных) уравнений.

Третий вид, а именно системы совместных уравнений, представляет наибольший практический интерес. Такие системы эффективны в экоиометрических исследованиях и наиболее широко применяются в макроэкономике. В силу этою под системой экопометрических уравнений обычно понимают систему совместных уравнений. Систему совместных (взаимозависимых) уравнений по-другому называют системой одновременных уравнений, указывая на го, что одни и те же переменные системы рассматриваются одновременно как объясняемые в одном уравнении и как объясняющие — в остальных уравнениях.

 

Виды систем эконометрических уравнений

Система независимых уравнений

Система рекурсивных уравнений

Система одновременных уравнений

 

Каждый результативный признак (объясняемая переменная) v(, где

j = In,

является функцией одной и той же совокупности факторов (объясняющих неременных) х, где

/ - 1, /77 .

Набор факторов в каждом уравнении системы может варьировать и кшиси-мости от изучаемою явления

Результативный признак v. где

j = п-

одного уравнения системы в каждом последующем уравнении является фактором наряду с одной и той же совокупностью факторов .v. где

Результативный признак у, где

j = In,

одного уравнения системы входит во все другие уравнения системы в качестве фактора наряду с одной и той же совокупностью факторов X.. где

 

 

Систему независимых или рекурсивных уравнений решают с помощью МНК. Для решения системы одновременных уравнений требуются другие, отличные от МНК методы. Их применение обусловливается тем, что результативный признак одного уравнения системы в другом уравнении этой системы используется в качестве фактора и будет коррелировать с соответствующей ошибкой.

Модели системы одновременных уравнений и их составляющие

 

Система одновременных уравнении

В виде структурной формы модели

В виде приведенной формы модели

 

Основными составляющими обеих форм записи являются эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные (у) определяются внутри модели и являются зависимыми переменными. Экзогенные переменные (х) определяются вне системы и являются независимыми переменными. Предполагается, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибкой в соответствующем уравнении.

Структурная форма модели

)

У = cw + ьпУг + *!з>'з + ••• + Ьпу„ + апх] + ... + аи,хт + е,, Уг = Cjo + Ь2У + Ь2]у3 + ... + Ь2„у„ + о:,Х| + ... + а2„хт + е2,

 

У и = с'»о + Ь„іУі + КгУг + - + *„,,-! Л-1 +        + - + <>„тхт + є„

 

Содержание параметров структурной формулы модели

 

Параметр (структурный коэффициент модели)

Содержание параметра

с(1, где і = ,п

Свободный член уравнения модели

ft,,, гле / =      j -

Коэффициент при эндогенной переменной

ац, где / = 1,/?, j = 1,ш

Коэффициент при экзогенной переменной

є, (' = /,«) является случайной составляющей (ошибкой) /-го уравнения структурной формы модели.

Если  в структурной  форме  модели  переменные  V. И X

(/' =      j = 1,/н) являются отклонениями от среднего уровня J' и

х соответственно, то в каждом уравнении системы свободный

член не записывается.

 

ВАЖНО!

Структурная форма модели отражает реальный экономический объект или явление и показывает, как изменение любой экзогенной переменной определяет значения эндогенной переменной

 

Наряду с регрессионными уравнениями в модели могут быть записаны и тождества. Таким образом, структурные уравнения модели разделятся на два класса.

 

Классы структурных уравнений модели

 

 

Структурные уравнения модели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поведенческие уравнения

 

Тождества

 

 

 

 

Описывают взаимодействие между экзогенными и эндогенными переменными

 

Устанавливают соотношение между эндогенными переменными, не содержат случайных составляющих и структурных коэффициентов модели

 

Применение систем одновременных уравнений

Применение систем одновременных уравнений проходит во взаимосвязи с экономической теорией. В настоящее время наиболее разработаны следующие направления: исследование спроса и предложения, макроэкономическое моделирование механизмов функционирования экономики на примере конкретной страны, анализ функций издержек и производственных функций.

Модели спроса и предложения — классические примеры систем одновременных уравнений. Выбор переменных, оценка параметров уравнений системы отображают степень взаимного влияния признаков модели.

 

Модель 1. Предложение и спрос на рынке.

Уи =с,о + Ьиу3, +е,; уь = с20 +b23yir + є2;

Уи = Ут

(1)

(2) (3)

где уи — спрос на товар в момент времени Г,

уь — предложение количества товара в момент ?;

yit — цена, по которой заключаются сделки в момент /.

Все переменные системы уи, у21, у3! эндогенные в силу экономического содержания модели. Величины спрос-предложение и цена определяются одновременно. Так как уи = у21, то (1) = (2). Выполним преобразования: с10 + ЬІіУ}І + є, = с20 + Z>23y3f + є,,

(о,з - Ь2і)уь = с20 - с|0 + є2 - є„ у3, = с2о   с10 + £2   Єї _ Последнее

(а, - о„)

равенство подтверждает зависимый характер цены.

Для того чтобы модель 1 была эконометрически значимой, необходимо ввести предопределенные (экзогенные и лаговые эндогенные) переменные. Например, в уравнение спроса (1) ввести экзогенную переменную хи — доход на душу населения в момент времени t, и в уравнение предложения (2) — эндогенную лаговую переменную узм — цену товара в момент (t — 1). Получим модель 2 спроса и предложения кейнсианского типа.

 

Модель 2. Предложение и спрос кейнсианского типа.

Уи =сю +bi3yJt+ailxu + el, Уь = с2о + b2iyit + а2ъУ\<- + є2, Уи =У21>

(1) (2) (3)

где уи — спрос на товар в момент времени /; уь — предложение товара в момент /;

 

— цена товара в момент /;

 

— цена товара в момент (/ —

 

— доход в момент t

 

— текущий период;

(/-1)

— предыдущий период.

В модели три эндогенные переменные (уи, уь, у3/) и две предопределенные переменные (xlf и >',,_,).

Структурная форма модели может быть преобразована в приведенную форму.

 

Приведенная форма модели

 

 

У

- ао + а 1х

 

. + cx,mxm +п„

Уг

= ОС jo + СХ21Х|

+ .

■ + «2, А + Л2>

 

Уп

= ап0 + ап1х

+ .

■• + ®-птХт     Лл •

 

 

Содержание параметров приведенной формы модели

 

Параметр (коэффициент приведенной формы модели)

Содержание параметра

аю, где / = ТТй

Свободный член уравнения системы

а,у) где / = 1,и, j -,т

Коэффициент при предопределенной переменной является функцией коэффициентов структурной формы модели

Лі (/ = /,«) — случайная составляющая (ошибка) ('-го уравнения приведенной формы модели.

Под предопределенной переменной системы одновременных Уравнений понимают экзогенные и лаговые (за предыдущие мо-Менты времени) эндогенные переменные этой системы.

Причины, по которым наряду со структурной формой модели строят ее приведенную форму

 

Оценки параметров структурной формы модели, найденные с помощью МНК. являются смещенными и несостоятельными (нарушаются предпосылки МНК) в силу того, что эндогенные переменные, как правило, коррелируют со случайным отклонением

 

Независимость уравнений в приведенной форме модели позволяет определять состоятельные оценки ее параметров с помощью МНК

 

Параметры (коэффициенты) приведенной формы модели связаны с параметрами ее структурной формы

 

Решение проблемы идентификации

Переход от приведенной формы модели к ее структурной форме связан с решением проблемы идентификации.

 

Понятие идентификации

Идентификация

— это v УС1анов-:|СНие соответствия между приве-

денной и структурной формами модели

 

Единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели и составляет задачу идентификации. В зависимости от условий определения структурных коэффициентов модели по приведенным коэффициентам любая структурная модель может быть отнесена к одному из трех классов: идентифицируемая, неидентифицируемая и сверхидентифици-руемая.

Классы структурных моделей с точки зрения задачи идентификации

у

Идентифицируемая

            2         

Неидентифи-цируемая

            і          

Сверхидентифи ицруемая

 

^           j          

Все структурные коэффициенты однозначно определяются через приведенные коэффициенты

            Y         

Структурные коэффициенты невозможно найти по приведенным коэффициентам

            ±         

Структурные коэффициенты, выраженные через приведенные коэффициенты, имеют два и более числовых значений

 

Установление неидентифицируемости (сверхидентифицируемости) модели

В идентифицируемой модели количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково. Если структурных коэффициентов больше (меньше), чем приведенных, то модель соответственно неидентифицируема (сверхидентифицируема).

Идентифицируемая модем

Идентифицируемо каждое уравнение системы

 

Сверхидентифицируемая модель

Сверхидентифицируемо хотя бы одно уравнение системы

 

Проверка структурной модели на идентифицируемость позволяет установить степень возможности оценивания коэффициентов структурных уравнений по коэффициентам приведенных уравнений.

Необходимое и достаточное условие идентифицируемости уравнения системы

 

Необходимое условие — п =р + 1

Достаточное условие — Д* * 0, rang М*= п - 1

Уравнение модели идентифицируемо, если количество (/г) эндогенных переменных этого уравнения на единицу больше количества (р) предопределенных переменных системы, не входящих в данное уравнение

Если определитель (Д*) матрицы коэффициентов (Л/*) при переменных системы, не входящих в данное уравнение, не равен нулю п количество эндогенных переменных системы без единицы равно рангу этой матрицы, то уравнение м одел и иле и ти ф и цируемо

Если выполнимо условие:

п < р + 1, то уравнение сверхидентифицируемо;

п > р + 1, то уравнение неидентифицируемо.

Проверка структурноіі модели на идентифицируемость позволяет установить степень возможности опенки коэффициентов структурных уравнений по коэффициентам приведенных уравнений.

Проверим, например, идентифицированы ли уравнения (1) и (2) модели 2 предложения и спроса кейнсианского типа.

Уи =<і<. +*|я>'з, +аихи +с,; (I) ■ ;, =     + brjM + а2,гч,_, + е,; (2)

где уи

У},

V,,

У: ,-

Х„ 1

(/ - I)

Уи = Ун- (3)

спрос на товар и момент времени к предложение товара в момент /; цена товара в момент Л цена товар;] в момент (/ — I); доход в момент /; текущий период; предыдущий период.

 

 

 

Уравнения

Переменные

эндогенные

предопределенные

Уи

Уі,

 

Уу.і-і

 

(I)

-1

0

1 тг—

0

«И

(2)

0

 

 

0

(3)

- 1

1

0      j 0

0

Уравнение (1):

а)         п = 2 , р — 1. Выполняется необходимое условие иденти-

фикации: 2=1 + 1.

б)         А" — матрица коэффициентов при переменных системы,

(-1 ап

не входящих в уравнение. А =

ф і  ■ rang = 2 (ранг равен

количеству эндогенных переменных модели минус один). А' = = — а1У * 0. Достаточное условие идентифицируемости также выполняется. Можно сделать вывод о том, что уравнение (1) идентифицируемое.

 

Уравнение (2):

а)         п = 2 , р - 1. Выполняется необходимое условие иденти-

фикации: 2=1 + 1.

б)         А' — матрица коэффициентов при переменных системы.

не входящих в уравнение. А =

1-Х  а, ^

0

rang = 2 (ранг равен

количеству эндогенных переменных модели минус один). А* -= —аи * 0. Достаточное условие идентифицируемости также выполняется. Можно сделать вывод о том, что уравнение (2) идентифицируемое.

Таким образом, система одновременных уравнений идентифицируемая в силу идентифицируемости уравнений (1) и (2). Для оценки параметров системы можно применять как косвенный МНК, гак и двухшаговый МЫ К.

Приведенная форма модели имеет вид

 

У, = аи> + а,,л-„ +а,2>'з.,-1 +Лп О) у2, = а2(1 + а21л-„ + а22 >'з.м + ч2; (2) у,, = ач„ + а31х„ + av_yit_x + п3. (3)

Применив соответствующие статистические данные, можно с помощью косвенного МНК найти несмещенные и состоятельные °Ценки структурной формы, тем самым смоделировав реаіьную экономическую ситуацию изучения спроса-предложения с учетом ■Дохода в текущий период и цены товара в предыдущий период.

 

ВАЖНО!

Каждое уравнение системы оценивают тогда и только тогда, когда установлена его идентифицируемость

 

Отметим, что идентификация не применяется для тождеств модели.

Рассмотрим модель 3 предложения и спроса на деньги с точки зрения ее эконометрической разрешимости.

Модель 3. Предложение денег и спрос на деньги.

Уи = сш + ЬпУъ +аихи +е,; Уь =с1й+Ьгхуи+£ъ

 

(1) (2)

Уравнение (1):

а) п = 2, Р= О, п > Р+ 1.

Уравнение неидентифицируемое, следовательно, неиденти-фицируема вся система.

В этом случае изменяют модель так, чтобы она, с одной стороны, содержала основные эндогенные и экзогенные переменные, которые определяют спрос и предложение на деньги, с другой — была эконометрически разрешима.

 

Методы решения систем одновременных уравнений

Для получения качественных оценок параметров системы одновременных уравнений пользуются специальными методами. Выбор метода определяется условиями системы. Существенла также относительная простота алгоритма самого метода. В настоящее время классическими для решения систем одновременных уравнений являются косвенный МНК и двухшаго-вый МНК.

 

Косвенный метод наименьших квадратов

Косвенный МНК основан на получении состоятельных и несмещенных оценок параметров структурной формы модели по оценкам параметров приведенной формы. Последние являются состоятельными и несмещенными в силу применения к каждому уравнению приведенной формы МНК.

 

Алгоритм применения косвенного метода наименьших квадратов

 

Оценить параметры системы одновременных уравнении, которая задана структурной формой модели

 

1. Структурная форма модели преобразуется в приведённую форму

 

2. С помощью МНК оцениваются параметры приведённой формы

 

3. Приведённая форма преобразуется в структурную форму

 

Несмещённые и состоятельные оценки параметров структурной формы получены

Пример 4.1. Оценим параметры идентифицируемой структурной модели на основе условных исходных данных. Модель:

 

Уг = с2о +Ь2Уі +а22х2+е2.

где } и у2 — эндогенные переменные системы;

Х| и х, — экзогенные переменные этой системы;

Воспользуемся данными, приведенными в табл. А.

I. От структурной формы перейдем к приведенной форме модели:

У = аю +ац*і +а,2х2 +п,; (1) у2 = а20 + а2|х, +а22х2 + ц2. (2)

II. Применяем МНК для оценки а-коэффициентов в уравнениях (1) и (2) модели.

Определяем а|0, ап, и а,,, решив систему нормальных уравнений:

 

■ Х>№ = аю^хг+а\Ъххг+аг^ЪхЬ X>'i = aio" + aiiX-xi + аігХ*2-

Составим табл. Б.

"221 = 32а10 + 164аи + 218а|2: • 327 = 48а10 +218ап + 354а|2; 40 = 8а10 + 32аи + 48а|2.

Решаем систему, получаем а|0 = 1,59, ап = 0,53 и ар = 0,38. Уравнение (1) приведенной формы модели принимает вид

ух = 1,59 + 0,53х, + 0,38х2 + г,,.

Определяем a2IJ, а,, и a,2, решая систему нормальных уравнений:

Xw =«2oZxi +aiLx +a22Xxi-v2;

• X УіХ2 = «20 X Х2 + а21 X *1 Х1 + а22 X Х2 і

Х/2 = a2o" + a.2iXxi +a22XA"2-

 

Эконометрика в схемах и таблицах

С помощью данных табл. А и Б записываем систему и решаем ее:

133 = 32а20 + 164а2, + 218а2 204 = 48а20 + 218а2, + 354а 40 = 8а 20 + 32а2| + 48а22.

Получаем а2(| = 9,09, аи = -0,50 и а2, = -0,35. Уравнение (2) приведенной формы модели принимает вид

у2 = 9,09 - 0,50л-, - 0,35х2 + лг

Записываем приведенную форму модели:

Подпись:  (3) (4)

Отметим, что а-коэффициенты приведенной формы модели несложно определить с помощью электронной таблицы EXCEL (команда «Сервис -> Анализ данных —> Регрессия»).

III. От приведенной формы переходим к структурной форме модели. Из уравнения (4) выражаем

х2 = (9,09 - 0,50л-, - у2) : 0,35 и подставляем правую часть этого равенства в (3):

Подпись:
или

у,= 11,46 - ,09у2 - 0,01л", + є,. Из уравнения (3) выражаем

л, = (у, - 0,38х2 - 1,59) : 0,53 и подставляем правую часть этого равенства в (4):

Подпись:

 

или

у, = 10,59 - 0,94у, + 0,01л2 + е2. Структурная форма модели имеет вид:

Ы = 11,46-1,09у2 -0,01*, +е,;

 

ВАЖНО!

Область применения косвенного МНК ограничивается идентифицируемыми системами одновременных уравнении

 

Двухшаговый метод наименьших квадратов

Двухшаговый МНК применяется как для идентифицируемых, так и для сверхидентифицируемых систем одновременных уравнений. В этом смысле метод является общим по отношению к косвенному МНК.

Алгоритм применения двухшагового метода наименьших квадратов

/   Оценить параметры сверхидентифииируемой системы одновременных /

/           уравнений, которая задана структурной формой модели /

 

Структург форма модели преобразуеп в приведенную форму

МНК

2. С помощью оцениваются параметры риведенной формы

 

3. В правой части снерхидеїинфицируемого уравнения структурной модели выбираются эндогенные переменные и рассчитываются их теоретические значения __по соответствующим приведенным^ уравнениям

 

4. С помощью МНК "на основе фактических значений предопределенных" _и теоретических значений эндогенных переменных оцениваются ^параметры сверхидентифицируемого уравнения^ струкіурной модели

 

Несмещенные и сосіояіельньїе оценки параметров структурной формы

получены

Пример 4.2. Оценим параметры сверхидентифицируемой структурной модели, используя условные исходные данные. Модель:

[>', = с,0 + bny2 +fl,,jf, +е,; (1) у2 = с20 + Ь21у{ + а22х2 + я2,х3 + е2, (2)

где у, и у,     — эндогенные переменные;

хр х, и х, — экзогенные переменные этой системы.

Воспользуемся данными, приведенными в табл. А.

В предложенной модели уравнение (1) сверхидентифициру-емое, так как для него выполняется условие п < р + 1; п — количество эндогенных переменных этого уравнения; р — количество предопределенных переменных системы, не входящих в уравнение (1). Уравнение (2) системы точно идентифицируемое, так как для него выполняется необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

1. От структурной формы переходим к приведенной форме модели:

у, = ГЛ|П + anx, + а12х2 + ct13x3 + и,;

У2 ~ а2() + а21Х1 + а22Х2 + а23Х3 + 42

(3) (4)

 

II. Применяем МНК для оценки а-коэффипиентов в приведенных уравнениях (3) и (4).

Определяем а|0, аи и а,, с помощью электронной таблицы EXCEL (команда «Сервис —> Анализ данных -> Регрессия»).

Получаем уравнение

У] = 1,06 + 0,38л-, + 0,04х2 + 0,5 Ц + є,. Анштогично определяем а20, а,, и а22. Записываем уравнение у, = 8.70 + 0,6 їх, + 0,60x2 + 0,37х3 + е2.

Приведенная форма модели имеет вид:

.у, = 1,06 + 0, 38л-, + 0,04х2 + 0,5 їх, + л,; у2 = 8,70 - 0,61 х, - 0,60х2 + 0,37х3 + ц2 •

 

(5) (6)

 

III. На основе приведенной формы модели по уравнению (6)

Определяем Теоретические ЗНачеНИЯ ЭНДОГеННОЙ Переменной _)',.

Составляем табл. Б.

IV. К сверхидентифицированному структурному уравнению

У =сю +ьпУ'2 +йп*1 +£|

применяем МНК и получаем значения коэффициентов сш = 4,34, в„ = -0.66, Ь12 = -0,20. Уравнение примет вид

у. = 4,34 - 0,20у2 - 0,66х, + є,.

Вычисляем коэффициенты структурного точно идентифицированного уравнения

 

С помощью косвенного МНК определяем коэффициенты следующим образом. Обращаемся к приведенной форме модели:

у, = 1,06 + 0,38х, +0,04x2+0,51*3 + 111; (7) у2 = 8,70 - 0,61а-, -0,60х2+0,37х3+ л2. (8)

 

Из уравнения (7) выражаем

 

х, =(у, -1,06-0,04х2 -0,51х3):0,38

 

и подставляем правую часть этого равенства в уравнение (8):

 

q 7п  п 61 у ~ 1,06-0,04х,-0,51х3

у2 = 8,70-0,61—!           ^           ~-0,60х2 +0,37х3.

Ползаем структурное точно идентифицируемое уравнение у2 = 10,40 - 1,61у, - 0,54х2 + 1,19х3 + е2. (9)

Заметим, что такое же уравнение можно получить и двух-шаговым МНК с помощью электронной таблицы EXCEL (команда «Сервис     Анализ данных -» Регрессия»). Для этого основе приведенной формы модели по уравнению (7) определяем теоретические значения эндогенной переменной у.

Составляем табл. В.

По версии EXCEL структурное точно идентифицируемое уравнение имеет вид

у2 = 10,39 - 1,60у, - 0,54х2 + 1,19х3 + є,. (10)

Сравнение уравнений (9) и (10) отражает истинность значений параметров уравнения (4) структурной формы модели.

Таким образом, несмещенные и состоятельные оценки параметров данной системы структурных уравнений получены. Модель имеет вид

 

ух = 4,34 - 0,20у2 - 0,66х, + є, (tf2 = 0,40);

у2 = 10,40-1,6 ly, -0,54х2 + 1,19*з + є2 {it2 =0,77).

Двухшаговый МНК обладает свойствами, благодаря которым его практическая эффективность остается достаточно высокой. Сформулируем эти свойства:

для двухшагового МНК достаточно оперировать экзогенными и предопределенными переменными модели;

эффективность двухшагового МНК определяется высоким коэффициентом детерминации R2 приведенных уравнений модели. В том случае, когда R- низкий, расчетные значения эндогенной переменной слабо аппроксимируют ее фактические значения.

 

Тесты

Системами эконометрических уравнений являются:

а)         системы одновременных уравнений;

б)         системы рекурсивных уравнений;

в)         системы нормальных уравнений;

г)          системы независимых уравнений.

Система одновременных уравнений отличается от других видов эконометрических систем тем, что в ней:

а)         эндогенная переменная одного уравнения находится в дру-

гом уравнении системы в качестве фактора;

б)         одни и те же эндогенные переменные системы в одних урав-

нениях находятся в левой части, а в других уравнениях — в

правой части;

в)         каждая эндогенная переменная является функцией одной

и той же совокупности экзогенных переменных.

3.         МНК позволяет получить состоятельные и несмещенные

оценки параметров системы:

а)         рекурсивных уравнений;

б)         одновременных уравнений;

в)         независимых уравнений.

4.         Экзогенные переменные модели характеризуются тем, что они:

а)         датируются предыдущими моментами времени;

б)         являются независимыми и определяются вне системы;

в)         являются зависимыми и определяются внутри системы.

Выберите аналог понятия «эндогенная переменная»:

а)         результат;

б)         фактор;

в)         зависимая переменная, определяемая внутри системы;

г)          предопределенная переменная.

Для данной приведенной формы модели

У = аю + апх| +а12х2

' Уг = а20 + а21Х1 + а22*2 +

Уз = а10 + а3|х, +а32х, +т)3 укажите соответствующую ей структурную форму:

 

У

=

со + ЬіУз + *\>

 

Уі

=

с2ь+Ь2У +а22х2

+ е.2;

Уз

=

сзо+азЛ + аззх3

+ е3.

У

=

ст +ьзУъ +£р

 

Уі

=

^20     @2Х £2>

 

Уі

=

У +У2 +х2 +£з-

 

У

=

CI0 +*12>'2 + а11*1

+ £|;

Уг

=

с2() + Ь13у3 + а21х

+е2;

Уз

 

сзо+ьзУ + азх

+ е3.

7. Если структурные коэффициенты модели выражены через приведенные коэффициенты и имеют более одного числового значения, то такая модель:

а)         сверхидентифицируемая;

б)         неидентифицируемая;

в)         идентифи і їм руемая.

Количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково в модели:

а)         сверхидентифицируемой;

б)         неидентифицируемой;

в)         идентифицируемой.

Изучите взаимосвязь переменных в системе одновременных уравнений:

 

'У., = СЮ +Ь14У4,, +£|2Л,г-1 + ен (О

У 2,t = с2о + Ь1ъУъ., + Ь2іУі,<- + є2; (2)

Найдите предопределенные переменные (1), эндогенные переменные (2), экзогенные переменные (3), лаговые эндогенные переменные (4) среди совокупностей:

а)         инвестиции в период (? — 1); расходы на потребление в

период (t - 1);

б)         денежная масса в период г; расходы государства в пе-

риод t;

в)         расходы на потребление в период t; инвестиции в период

процентная ставка в период t; совокупный доход в пери-

од t;

г)          денежная масса в период г; инвестиции в период (t — 1);

расходы государства в период V, расходы на потребление в

период (t - 1).

Подпись:

 

10. В структурной модели (см. тест 9) не требует проверки на идентификацию равенство, описывающее зависимость:

а)         расходов на потребление в период / от совокупного дохода

в период / и расходов на потребление в период (t — 1);

б)         инвестиций в период t от процентной ставки в этот же

период и от инвестиций в период {і — I);

в)         совокупного дохода в период / от расходов государства, рас-

ходов на потребление и инвестиций в такой же период г, г) процентной ставки в период / от совокупного дохода и

денежной массы в такой же период t. Ответ обоснуйте.

П. Проверили на идентифицируемость одно из уравнений модели:

(1) (2) (3) (4)

Получили, что в этом уравнении находятся две эндогенные переменные (я = 2) и отсутствуют три предопределенные переменные (р = 3), т.е. п < р + 1. Достаточное условие идентификации для уравнения выполняется: определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, которых нет в этом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы равен трем. Таким образом, сверхидентифицируемым является:

а)         уравнение (1);

б)         уравнение (2);

в)         уравнение (3):

г) уравнения (1)—(3) модели.

12.        Определите, для какого уравнения структурной модели

-V| = с,о +ьіУї + Ен (•) • ^2 = <20 +агХ (2) У-, = ЬпУі + fl:.:x2 + Є,. (3)

 

выполняется необходимое условие идентифицируемости:

а)         уравнение (1); я = 2 (у, и у, — эндогенные переменные

в уравнении); р = 2 (х] и д — экзогенные переменные,

которых нет в уравнении);

б)         уравнение (2); п = 1 (у2 — эндогенная переменная в

уравнении); р = (х2 — экзогенная переменная, которой

нет в уравнении);

в)         уравнение (3); п = 2 (у2 и у3 — эндогенные переменные

в уравнении); р = 1 (х, — экзогенная переменная, кото-

рой нет в уравнении)?

13.        Доказано, что система одновременных уравнений

 

У = со +ьпУі +fln*i + апх2 +Є|І (0 , у2 = с20 + b2iyt + д2|х, + а23х3 + є,; (2)

Уі = с30 + *3|>'і + КУі + fl32*2 + Єз- (3)

идентифицируемая. Определите, какое обоснование идентифицируемости проведено для второго уравнения системы:

а) необходимое условие выполняется: п - 3(ур у,, у,); р = 2(хг х3), значит, п = р + 1.

Достаточное условие выполняется:

 

(3)

*.

Х,