Имя материала: Эконометрика : учебное пособие в схемах и таблицах

Автор: С. А. Орехов

Основные свойства экспоненциального тренда

 

Абсолютные изменения уровней тренда пропорциональны самим уровням

 

Экспонента экстремумов не имеет: при к > I тренд стремится к +°°. при к < 1 тренд стремится к О

 

Уровни тренда представляют собой геометрическую прогрессию: уровень периода с номером t > т есть (а - к1")

 

При к > 1 тренд отражает неравномерно ускоряющийся рост уровней, при к < 1 тренд отражает неравномерно замедляющееся уменьшение уровней

 

Экспонента не имеет постоянных производных любого порядка по времени (постоянен только цепной темп изменения)

 

Логарифмический тренд

Уравнение логарифмического тренда применяют в том случае, когда изучаемый процесс приводит к замедлению роста показателя, но при этом рост не прекращается, а стремится к какому-нибудь ограниченному пределу. В этом случае ни гиперболическая форма тренда, ни парабола с отрицательным ускорением не подходят. Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа (номера периодов (). но рост логарифмов не ограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, можно найти такую скорость снижения абсолютных изменений, которая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.

Логарифмический тренд выражается следующей формулой.

Уравнение

к

логарифма

г

(логарифмиче-

            і

ский тренд)

У

 

У, = а„ + а, 1п/

 

Логарифмический тренд обладает следующими свойствами:

 

Основные свойства логарифмического тренда

 

Если а] > О, то уровни возрастают, но с замедлением, а если а, < 0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением

 

Абсолютные изменения уровней по модулю всегда уменьшаются со временем

 

Величины ускорения абсолютных изменений имеют знак, противоположный знаку самих абсолютных изменений, а по модулю постепенно уменьшаются

 

Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100\% при

 

Логарифмический тренд, как и гиперболический, отражает постепенно затухающий процесс изменений. Однако эти тренды имеют существенное различие.

 

ВАЖНО!

Затухание по гиперболе происходит быстро при приближении к конечному пределу, а при логарифмическом тренде затухающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее

 

 

Логистический тренд

Логистическая форма тренда используется для описания процессов, при которых изучаемый показатель проходит полный Цикл развития, начиная от нулевого уровня, сначала медленно, но с ускорением возрастая; затем ускорение становится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду; далее, в завершающей части цикла, рост замедляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.

Если диапазон изменения уровней от 0 до 1, то уравнение логистического тренда имеет вид (1). Если диапазон изменения уровней ограничен не нулем, а любыми значениями, определяемыми в зависимости от существа задачи, обозначаемыми vmjv и у mm' 10 формула логистического тренда примет вид (2).

Подпись:

 

Уравнение логистического тренда

При разных значениях параметров логистического уравнения (а0 и а{) будут получаться разные виды трендов.

Распознавание типов трендов

Для правильного выбора типа тренда, который наилучшим образом отражает тенденцию фактического ряда уровней, используют несколько методов распознавания типов тренда. Приведем основные, наиболее распространенные методы.

Методы распознавания типа тренда

 

Графический метод

Проверка статистических гипотез о типе тренда

Для математической формулировки гипотезы:

чтобы снизить искажающее тренд влияние колебаний, проводят сглаживание ряда уровней (скользящая средняя);

по ряду сглаженных уровней вычисляют цепные абсолютные изменения Д; =>'/+| — у1 (для параболы — ускорения, для экспоненты — темпы роста);

ряд разбивают на несколько равных или примерно равных подпериодов и по каждому вычисляют среднюю величину параметра, постоянство которого подтверждает выдвинутую гипотезу о типе тренда: средний абсолютный прирост — для прямой, среднее ускорение — для параболы, средний темп — для экспоненты;

методом дисперсионного анализа при многих средних значениях проверяемого параметра или по f-критерию при двух значениях проверяют существенность различия средних значений параметра в разных подпериодах исходного ряда. Если нельзя отклонить гипотезу о несущественности различий средних величин параметра в разных подпериодах, то принимают гипотезу о соответствующем типе тренда. Если различия средних признают существенными, гипотеза о данном типе тренда отвергается и выдвигается следующая гипотеза в порядке усложнения: после отклонения прямой линии — об экспоненте; после отклонения экспоненты — о параболе; при отклонении параболы — о других типах линий

Следует выполнять правила построения графика: точное соблюдение масштаба как по величине уровней ряда, так и по времени. Временные интервалы откладывают на оси абсцисс, величины уровней — по оси ординат. По каждой оси нужно установить такой масштаб, чтобы ширина графика была примерно в 1,5 раза больше его высоты. Если уровни ряда на всем протяжении периода много больше нуля и между собой различаются не более чем на 20—30\%, то следует обозначить перерыв на оси ординат, увеличить масштаб так, чтобы меньший из уровней ненамного превышал разрыв оси. Если уровни ряда различаются в десятки, сотни и тысячи раз, ось ординат следует разметить в логарифмическом масштабе, чтобы равные отрезки означали различие уровней в одинаковое число раз

Понятие сезонных колебаний и сезонной составляющей

повторяющиеся в каждом временном периоде колебания, связанные с изменением времени года

 

Такие изменения непосредственно могут быть связаны с колебаниями других факторов, например в летний период потребление прохладительных напитков зависит от температуры. Взаимосвязь может быть обусловлена опосредованными (вторичными) факторами: политическими, экономическими, социальными, например война на Ближнем Востоке и российские цены на нефть; сезонный рост доходов населения к концу года (выплата премий, «тринадцатой» зарплаты), увеличение цен на сахар в период летних заготовок.

Если в течение года имеется только одно повышение (снижение) уровня за несколько лет, то говорят об одном сезонном цикле; если в течение периода наблюдают несколько минимумов и максимумов, то статистическую модель сезонной колеблемости выбирают согласно полученному циклическому процессу.

Отметим, что временной ряд не всегда содержит сезонную (циклическую) составляющую. Проверку на наличие или отсутствие сезонных колебаний проводят с помощью какого-либо критерия (дисперсионного, гармонического) или визуально при построении графика.

При подтверждении наличия сезонного процесса выделяется сезонная составляющая. Значения сезонной компоненты рассчитывают методом скользящей средней и построением аддитивной или мультипликативной модели.

 

 

ВАЖНО!

Аддитивную модель yt = и: + v; + є; применяют в том случае, когда амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется.

Если происходят существенные сезонные изменения, то используют' мультипликативную модель

у, =   'v,'е,

 

Сезонные и циклические колебания выявляют с помощью специфических методов: регрессионных, спектр&тьных и итерационных. Один из методов — построение сезонной волны и расчет индексов сезонности.

Если ряд динамики имеет длительный период (15—25 лет), то сезонные колебания выявляют либо с учетом единой качественной особенности периода (ряд сначала делят на качественно однородные периоды), либо согласно методике многократного скользящего выравнивания.

 

ВАЖНО!

Моделирование циклических колебаний осуществляется по методике, аналогичной методике моделирования сезонной составляющей

 

 

Методы выявления сезонной компоненты

Подпись: —\
— это )

Индекс

сезонности

— это

 

относительный показатель, который используют для расчета сезонной составляющей. При исчислении индексов применяют разные методы, выбор которых зависит от характера общей тенденции временного ряда

 

 

ВАЖНО!

Расчет индексов сезонности применим лишь тогда, когда тренд исключен из динамического ряда или имеет постоянный уровень

 

 

Методы расчета индексов сезонности

 

Случай 1. Ряд динамики не имеет ярко выраженной тенденции развития

 

Случай 2. Ряд динамики имеет тренд (нестационарный ряд динамики)

 

Случай 3. Необходимо получить устойчивую тенденцию сезонных колебаний

Каждый из используемых методов имеет ряд особенностей.

Если ряд динамики не имеет ярко выраженной тенденции развития, то индексы сезонности исчисляют непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания

 

Для расчета индексов сезонности необходимо иметь данные по периодам не менее чем за три года. Сущность метода заключается в расчете средних по одноименным периодам у, и для всего анализируемого ряда общий средний уровень ряда у . По этим данным определяют индекс сезонности:

 

/s =4-100.

у

В качестве среднего уровня ряда может быть использована также средняя арифметическая взвешенная, мода или другая структурная средняя. Их применяют для временных рядов за достаточно длительный период времени или для элиминирования случайной составляющей.

Пример 5.7. Имеются следующие данные о курсе евро за 2003—2005 гг. на ММВБ в Российской Федерации (табл. Г).

г

Определим индекс сезонности (при условии, что ряд не имеет ярко выраженной тенденции развития).

Для расчета сезонной составляющей необходимо рассчитать среднемесячные значения за три года:

 

.     31.82 + 28,89 + 28,01    ~п „ ,

■ за январь у0             29,57 (руб.)

 

31,71 + 28,51 + 28.00    -п ,. ,

■ за февраль уи =       :— = 29,41 (руб.) и t.i

 

Затем рассчитывают среднегодовое значение:

 

_   31,82 + 231,71 + ... + 28,8    ~ -0 ,   Л ч

У =       z,         = 29,28 (руб.).

36

 

По полученным данным определяют индекс сезонности:

 

/s = — ■ 100 = 100-101 (\%) и т.д.

s    у 29,28

 

Полученные результаты представлены в таблице Д.

 

Таблица Л

Расчет индекса сезонности курса евро на ММВБ

 

 

 

 

Месяц

Год

Среднее месячное значение, руб

Индекс сезонности,

\%

2003

2004

2005

Январь

31,82

28,89

28,01

29,57

101,99

Февраль

31,71

28,51

28,00

29,41

100,44

Март

31,45

28,53

27,63

29.20

99,73

Апрель

31,21

28,67

27,81

29,23

99,83

Май

30,91

28,98

27,95

29,28

100,00

Июнь

30,47

29,03

28,5

29,33

100,17

Июль

30,36

29,08

28,69

29,38

100,34

Август

30,35

29.21

28,48

29,35

100,24

Сентябрь

30,6

29,22

28,38

29,40

100,41

Октябрь

30,16

29,09

28,56

29,27

99,97

Ноябрь

29.81

28.64

28,76

29,07

99,28

Декабрь

29,43

28,24

28,8

28,82

98,43

В среднем

30,69

28,84

28,30

29,28

Среднее значение индекса сезонности составляет 100,07, а не 100\%. Если разница существенна, то в дальнейших расчетах следует откорректировать индексы на пропорциональную величину.

 

Сезонная волна

Средние значения можно представить на линейной диаграмме, которая является графическим изображением сезонной волны (рис. 5.4).

 

Понятие сезонной волны

Сезонная волна

графическое изображение полученных

индексов сезонности

 

Индекс сезонности, \%

101.5 101

100.5 100

99.5

99 98,5 98

 

Л г /6

 

Повышенный спрос

 

Месяцы

Рис. 5.4. Сезонная волна курса евро на ММВБ в Российской Федерации за 2003—2005 гг.

Сезонную компоненту также можно изобразить на круговой диаграмме (рис. 5.5).

Таким образом, наиболее высокий спрос на евро отмечался в январе — феврале и июне — сентябре, т.е. в месяцах с высокими доходами и значительным потреблением. Низкий спрос на валюту наблюдался в марте — апреле и октябре — декабре.

 

 

Случай 2

Если ряд динамики имеет тренд (нестационарный ряд динамики), то порядок расчета включает в себя этапы:

определения по внутригодовым уровням ряда (месячным, квартачьным) за несколько лет расчетных (выровненных) уровней по методикам скользящей средней или аналитического выравнивания (У,);

определения относительной величины фактических значений уровней ряда (у) и выровненных (расчетных) значений (у ).

усреднения полученных показателей сезонности за весь исследуемый период.

 

X*-ioo

 

 

Для элиминирования сезонной составляющей в аддитивной и мультипликативной моделях выровненные и скорректированные уровни ряда динамики вычитают из исходных значений ряда

 

Пример 5.8. Имеются следующие данные об экспорте Российской Федерацией нефтепродуктов за 2003—2006 гг. по данным Федеральной таможенной службы России (ФТС России) (табл. Е).

Таблица Е

 

г

 

Определим сезоную компоненту и ее интенсивность, построим аддитивную модель с учетом сезонной компоненты и устраним ее с помощью аналитического выравнивания.

Расчетные данные (млн т)

Для определения сезонной составляющей воспользуемся методом скользящей средней (табл. Ж).

 

Так как полученные значения скользящей средней находятся в четном ряду, методику следует дополнить центрированием ряда:

V, =1М±1М = ,9,6 (млн т)

'1 2

19,9 + 20,0

у2 =      = 20,0 (млн т) и т.д.

 

Необходимым условием является симметричность сезонных снижений и сезонных повышений признака по отношению к началу и концу базы сравнения (рис. 5.6).

Экспорт, млн т

26 -

25

24

2 з

22

21 -I

2(1

19

111       IV         I           II          III         IV         1          II          III         IV         I II

кпаріал кааргал ккаріал кваріаа кварки кнартал кнараал кваріал квартал кпартал ккартал ккаріал 2002      2002      2003     2(ЮЗ      2003      2003      2004      20(14      2004     2004      2005 2005

Квартал года

Рис. 5.6. Динамика центрированной скользящей средней экспорта нефтепродуктов

Однако симметричность в данном показателе не соблюдается, поэтому полученная модель может быть использована с некоторыми ограничениями (табл. 3).

С I квартала no 111 квартал наблюдается повышение экспорта, а тв III квартале каждого периода по IV квартал — снижение показателя. Однако центрированная средняя показывает только тенденцию повышения.

По полученным данным необходимо определить отклонение сезонной компоненты (см. табл. Ж).

Д>', = 21,1 - 19,6 = 1,5 (млн т)

Ау2 = 18,5 - 20,0 = -1,5 (млн т) и т.д.

Определим индексы сезонности по данным отклонений сезонной компоненты (табл. И).

Средняя оценка для /-й составляющей рассчитывается по формуле

-    -2 900

Ді = —~— = -0,967 (млн т) и т.д.

Для корректировки сезонной компоненты рассчитаем корректирующий коэффициент:

„   (-0,967 + 0,667 + 1,267-0,867) _ 0,1000

л —      —         — U,Uz5.

4 4

Скорректированная сезонная компонента составит разность между ее средней оценкой для і-м составляющей и рассчитанным корректирующим коэффициентом:

за 1 квартал: v, = -0,967 - 0,025 = - 0,99167;

за 11 квартал: v, = 0,667 - 0,025 = 0,64167 и т.д. (табл. Н и К). Сумма значений сезонной компоненты должна быть равна

нулю:

-0,99167 + 0,64167 + 1,24167 - 0,89167 = 0.

Для элиминирования влияния сезонной составляющей на тренд рассчитаем разность между yt и vt, затем тренд Ц (табл. К).

Определим компоненту модели экспорта нефтепродуктов. Для этого с помощью инструмента табличного редактора EXCEL (команда «Вставка —> Диаграмма —> Добавить линию тренда»). На полученном рис. 5.7 представлено уравнение yt = 17,67 — 0,573/. Коэффициент достоверности аппроксимации R2 составил 0,919.

Подставив в полученное уравнение значения t =, 16, найдем уровни тренда Ut (гр. 5 табл. 3). Затем — значения, полученные по аддитивной модели Ut + Vr (гр. 6 табл. К).

На рис. 5.7 ряд 1 показывает выровненные уровни U — V/. ряд 2 показывает аддитивные показатели (Ut + F); линейный тренд — теоретические значения экспорта нефтепродуктов в Российской Федерации.

Рассчитаем случайную ошибку є, = у — (и+ V) (гр. 7 табл. К). Для оценки качества модели и уровня существенности колебаний определим сумму є/. Относительно среднего уровня ряда

(360,7/16 = 22,5) его величина составит      j-^^^j- ^0 = 0,721,

т.е. аддитивная модель объясняет 99,279\% общей вариации уровней временного ряда экспорта нефтепродуктов в Российской Федерации.

Среднее квадратическое отклонение является обобщающим абсолютным показателем, характеризующим силу сезонных колебаний:

 

-2

^,(^/   У)       135 75

—-— = 5,83 (млн т нефтепродуктов).

 

Среднее квадратическое отклонение сезонности экспорта нефтепродуктов достаточно существенно. Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:

V = °-100 =----100 = 25,91 \%. л' 22,5

Таким образом, вариация сезонности экспорта нефтепродуктов в Российской Федерации незначительна.

Надежность установленного тренда и сезонность можно проверить сравнительной оценкой фактических и табличных значений (при значимости а и степенях свободы) по критерию Стьюдента. Фактические значения получают соотношением среднего квадрата (дисперсии) случайных колебаний к средней ошибке средне-квартального прироста по случайной составляющей.

Таким образом, аддитивная модель сезонных колебаний может быть использована при постоянстве колебаний абсолютных величин признака на протяжении изучаемого периода. В большинстве случаев ее применяют при отсутствии тренда (слабом тренде) и небольшой длительности изучаемых периодов времени.

Пример 5.9. Имеются следующие данные о прожиточном минимуме в Белгородской области за 2003—2006 гг. по кварталам (табл. J1).

Нужно построить мультипликативную модель временного ряда.

Построим график поквартальных значений прожиточного минимума в Белгородской области (рис. 5.8).

Прожиточный минимум, руб.

3100 -

2900 -

2700 -

2500

2300 -

2100 -

1900

1700

^ с£

1500

<V        -fr5 ^

*г *г ^    ^'^'^ ^ J~ ^ ^ ^'^'^

 

Периоды

Рис. 5.8. Динамика величины прожиточного минимума в Белгородской области, руб.

 

На рис. 5.8 заметна тенденция возрастания прожиточного минимума и наличие сезонных колебаний признака. В зимне-весенний периоды величина прожиточного минимума несколько возрастает. Поскольку показатель имеет приблизительно одинаковое повышение и амплитуда сезонных колебаний повыг

 

щается равномерно, целесообразно построение мультипликативной модели:

У, =    - v, * Е,-

Определим компоненты мультипликативной модели. Так как полученные значения скользящей средней находятся в четном ряду, то методику следует дополнить центрированием временного ряда:

1706.0+ 1753,5  _. .   R .

У =      - = 1729,75 (руб.);

 

1753,5 + 1807,5 „ , к.

у2 =      — = 1780,50 (руб.) и т. д.

Полученные расчетные значения представлены в табл. М.

Определим итоговые значения за 4 квартала в каждом году (гр. 3 табл. М) и скользящую среднюю (гр. 4 табл. М). Расчет центрированной скользящей средней представлен в гр. 5 таблицы М.

Рассчитаем абсолютное отклонение сезонной составляющей как разность фактических и центрированных значений (гр. 7 табл. М).

Определим относительное отклонение фактических уровней прожиточного минимума от центрированных скользящих средних (гр. 6 табл. М).

По полученным данным необходимо определить отклонение сезонной компоненты (табл. Н). Методика расчетов детально представлена в примере 5.7 табл. И.

Таблица Н

Определим индексы сезонности по данным отклонений сезонной компоненты и скорректированные значения сезонной компоненты (табл. Н). Корректирующий коэффициент равен:

к _ (1,018 + 0,981+0,960 + 1,018) = 3,976 _ т 4 4

Скорректированная сезонная компонента в мультипликативной модели составит произведение ее средней оценки для і-й составляющей и рассчитанного корректирующего коэффициента:

за 1 квартал: v, = 1,018 0,994 = 1,012;

за II квартал: v2 = 0,981 0,994 = 0,975 и т.д. (табл. Н). Сумма значений скорректированной сезонной компоненты

Должна быть равна 4:

1,012 + 0,975 + 0,954 + 1,012 = 3,953 = 4.

Для элиминирования влияния сезонной составляющей на тренд определим разность между yt и v( , затем тренд Ur Рассчитаем в таблице О средние значения по соответствующим кварталам. Найдем скорректированную сезонную компоненту Vf

В гр. 4 табл. О определим относительную величину сравнения фактических (исходных) уровней прожиточного минимума со значением скорректированной сезонной компоненты Vr.

 

В I квартале 2003 г. уш -        = 1652,344 руб. и т.д.

Рассчитаем выровненные значения уг мультипликативной модели (гр. 5 табл. О). Параметры линейного тренда рассчитаем с помощью инструмента табличного редактора EXCEL (команда «Вставка Диаграмма Добавить линию тренда»). На полученном рис. 5.9 представлено уравнение г, = 1460 + 86,45 /. Коэффициент достоверности аппроксимации R1 составил 0,956.

Подставляя в это уравнение значения / = 1...16, определяем у, (гр. 5 габл. О).

График полученных значений >■;, значений у: • Vt и фактических значений приведен на рис. 5.9.

Уровни ряда по мультипликативной модели определяют перемножением V', и Vt (гр. 6 табл. О).

Ошибку є, в мультипликативной модели определяют по формуле

 

у, ■ v,

Полученные значения нужно записать в гр. 7 табл. О.

Сумма квадратов абсолютных ошибок е," составит 256,639 (гр. 9 табл. О). Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней прожиточного минимума от среднего значения равна 2 657 826,94 (гр. 10 габл. О).

Доля объясненной дисперсии составит

,^63^^ 2 657 826,94

Таким образом, доля необъясненной дисперсии уровней временного ряда составит 0,009\%. Мультипликативная модель объясняет 99.0\% общей вариации изменения прожиточного минимума за четыре года.

 

Таблица О

Расчетные данные       , fi

 

 

Год

Квартал

Величина прожиточного минимума

Скорректированная

сезонная компонента

(у)

у,/ у,

у,

у,-К

ь, = у,/

(у, ■ v)

г, = у, ~

-(у,-у)

 

іу-у)2

А

1

2

3

4

5

6

1

8

9

10

2003

1

1692

1,024

1 652,344

1 546,551

1 583,668

1.068

108,332

1,141

252 946,13

11

1743

0,987

1 765,957

1 633,002

1 611,773

1,081

131,227

1,169