Имя материала: Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)

Автор: Носко Владимир Петрович

2.2.2. модели одновременных уравнений

 

Рассмотрим кейнсианскую модель потребления C =a+pYt + et,

где Ct - реальное потребление на душу населения, Yt - реальный доход на душу населения, и параметр в интерпретируется как склонность к потреблению (норма потребления). Мы могли бы на законных основаниях использовать для оценивания этого параметра метод наименьших квадратов, если бы не одно осложняющее обстоятельство. Если остановиться на модели замкнутой экономики без правительства, то в дополнение к указанному уравнению в этой модели имеется еще и соотношение Y = C + It,

где It - реальные инвестиции на душу населения, что приводит к системе уравнений

 

Yt = Ct + It

о которой говорят как о структурной форме модели.

Выражая из этой системы Ct и Yt через It, получаем приведенную форму модели в виде:

 

t   1 -в   1-в     1-в

а      1   т 1

Y, =              + 1, +      et.

t   1 -в   1-в     1-в Предположим, что   et ~ i.i.d., E(et ) = 0, D(et ) = cr2 > 0 и что для каждого t случайные величины It и et  независимы. Тогда из второго уравнения приведенной формы находим:

1 <J2

C°v(Yt,Є) = — Cov(et,Є) = — Ф 0,

так что в исходном уравнении для Ct объясняющая переменная Yt

коррелирована с ошибкой. При этом для оценки в коэффициента в, получаемой применением метода наименьших квадратов к исходному уравнению, имеем: ,.    а   д   Cov(Y ,є,)

plim р=р+^?У,

где

D{Yt ^(I-^ У! )+°2),

и

а2

p lim в = р + ((-р)

D(It )+о2 '

Поскольку о2 > 0 и в модели Кейнса 0< р< 1, то р переоценивает значение нормы потребления.

Заметим, однако, что получить оценки параметров а и р можно, минуя исходное уравнение и обращаясь только к уравнениям приведенной формы. В каждом из этих двух уравнений объясняющие переменные не коррелированы с ошибкой.

Первое уравнение приведенной формы можно записать в виде:

Ct = а + р It + Є,

где а = а((-в), в = РУУ-в), Є =є/(1 -р), E(et ) = 0, D((~t ) = оЄ =оЄІ(1 - в)2 . Применяя метод наименьших квадратов к этому уравнению, находим оценки коэффициентов а и р и оценку дисперсии оЄ, после чего можно найти оценки для параметров исходного уравнения, используя соотношения

р = р/(1+р), а = а/(1+р), оЄ = о2/(( + р )

Таким образом, структурная форма восстанавливается по первому уравнению приведенной формы. Второе уравнение оказывается в этом плане избыточным. Однако используя одно это уравнение, мы также можем восстановить структурную форму.

Действительно, это уравнение можно записать в виде:

Yt = у + 8 It +є,

где у = 0 = 0/(1 -ft), 8 = V(1 - 0). Применяя метод наименьших квадратов к этому уравнению, находим оценки коэффициентов у и

8 и оценку дисперсии о2є, после чего можно найти оценки для параметров исходного уравнения, используя соотношения

0 = 8-1)18, а = у/8, о! =ец82. Однако при этом возникает вопрос о том, будут ли совпадать результаты    восстановления   параметров    структурной формы, полученные по двум различным уравнениям приведенной формы.

Если обратиться к выражениям для а, ft и о2є через параметры этих уравнений, то нетрудно заметить, что

у/8 = а/(1+р), {8-1)8=0/(1+р), оє/82 = оєі((

так что, зная истинные значения параметров уравнений приведенной формы, мы однозначно восстанавливаем по ним значения параметров структурной формы. Однако это возможно, если мы знаем истинные значения параметров уравнений приведенной формы. Последние же нам не известны, и их приходится оценивать по имеющимся статистическим данным.

Поскольку в правых частях обоих уравнений приведенной формы стоят одни и те же объясняющие переменные, то можно показать, что эффективные оценки коэффициентов этих уравнений получаются применением метода наименьших квадратов к каждому из двух уравнений. Но при этом оценки параметров структурной формы, полученные с использованием оценок коэффициентов для разных уравнений приведенной формы, будут в общем случае отличаться друг от друга. И это связано с тем, что количество параметров приведенной формы больше количества, минимально необходимого для восстановления значений параметров структурной формы.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |