Имя материала: Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)

Автор: Носко Владимир Петрович

2.3. метод инструментальных переменных

Прежде, чем перейти к описанию метода инструментальных переменных, обратимся к обычному методу наименьших квадратов, применяемому к простейшей линейной модели

у, =a + fixl + єг, є,~ i.i.d., Е(є,) = 0, D(e,) = cr2, і = 1,...,n. В этом случае оценка наименьших квадратов для коэффициента в удовлетворяет системе нормальных уравнений

n n i=1 i=1

выражающей ортогональность вектора остатков e = (e1,...,en J , где

ei = yi - a - в xi    -   остаток в і -м наблюдении, векторам

1 = (l,...,lJ и x = (x1,k,xn J. Эти условия ортогональности, записанные в равносильных формах

1    n             1 n

1Z e,1 = 0,  - Z e,x, = 0,

n ,=1             n ,=1

являются выборочными аналогами теоретических соотношений

Соу(є, ,1) = 0, Соу(є,, xt) = 0. В  силу  предположения   Е(єі ) = 0,  первое  из двух последних соотношений выполняется автоматически, а второе можно записать в виде:

Е(є, ■ x,) = 0.

1n

Если   Соу(єі, xt) Ф 0,   то   p lim—Z etxt Ф 0   и соотношение

n—n ,=1

1n

—Zex. = 0 не является эмпирическим аналогом теоретического

n =1

соотношения. Можно было бы попытаться найти какую-то другую переменную zi, для которой выполняется соотношение Cov(ej, zi ) = E(ei ■ zi) = 0, и заменить второе уравнение нормальной системы выборочным аналогом последнего соотношения, т.е. уравнением

n

X (Уг -а-вХі ) Zi =0.

Конечно, решение новой системы отличается от решения исходной системы, и мы временно обозначим получаемые оценки коэффициентов как а* и в*. Эти оценки удовлетворяют соотношениям

X(У, -а'-в x,) = 0,   X(У, -а'-в x,)z, = 0,

i=1 ,=1

из которых находим явное выражение для в*:

n

X(y,- y )zi- z)

в*= —          ,

n

X(x,- x )z,- z)

i=1

которое можно также записать в виде

1 ^

в= ^              n = в+

1n

i=1                n i=1

Здесь

1n

рlim - X(е - е )z - z )=Cov(e, z, )=00,

1n

так что для того, чтобы p lim р* = 0, необходимо выполнение еще

одного условия: Cov(xj, zi )ф 0.

Если для переменной zi выполнены оба условия

Cov^x, zx ) = 0, Cov(xx, zx )Ф 0,

то такую переменную называют инструментальной переменной, или просто инструментом. Наличие такой переменной позволяет получить состоятельную оценку коэффициента р при переменной

xi в ситуации, когда xi коррелирована с  Єі. Инструментальная

переменная является экзогенной переменной, в том смысле, что она определяется вне связи с рассматриваемым уравнением yt = а + р xi + Єі, тогда как переменная xi в рассматриваемом контексте   является   эндогенной   переменной   -   она связана

(коррелирована) с ошибкой в этом уравнении, так что значения xi устанавливаются совместно с Єі. Следуя обычной практике, мы будем     снабжать     оценки    коэффициентов,     полученные с

использованием инструментальных переменных, подстрочным (или

надстрочным) индексом IV: alv, Piv (или аw, рIV ). Здесь IV -аббревиатура от Instrumental Variables (инструментальные переменные). Сам метод получения таких оценок называют методом инструментальных переменных.

Возвратимся к системе, включающей кейнсианскую функцию потребления, т.е. к системе Ct =а + рYt +є ,

независимости этих случайных величин), так что It - экзогенная переменная. Используя второе уравнение приведенной формы,

находим: Cov(Yt,It) = Covl —а+ —!— I +—!— є ,I 1 = —!—d(lW0,

так что переменную It можно использовать в качестве инструмента для получения состоятельной оценки коэффициента в. Это приводит к оценке

£ (а - с)a-I)

= 1=1

£ (at - y )a

I)

=1

Мы можем получить это же выражение для IV-оценки коэффициента   в   следующим  формальным  образом. Возьмем

ковариации обеих частей структурного уравнения Ct = а + в^{ +Є

с It. Это приводит к соотношению:

Cov(Ct, It ) = Cov(a, It )+вСо^¥,, It)+ CovAt, It). При сделанных предположениях оно сводится к равенству

Cov(Ct, It ) = в^А, It), откуда находим:

Cov(Ct, It)

в=

Cov(Yt, It у

Чтобы получить оценку для в по n имеющимся наблюдениям,

заменяем теоретические ковариации в правой части их выборочными аналогами:

 

1

(y-cit-I) £(y -cit-I)

t =1

t =1

1

(y - Y)Ct -I)   £ (y - Y)Ct -I)

t=1

t=1

 

П р и м е р

Рассмотрим статистические данные о следующих макроэкономических показателях экономики США [Gujarati (1995), p.651]:

Cons = расходы на личное потребление, Y = валовый внутренний продукт, I = валовые внутренние частные инвестиции. Все показатели даны в млрд долл. 1987 г.

 

Год

CONS

Y

I

1970

1813.5

2873.9

429.7

1971

1873.7

2955.9

475.7

1972

1978.4

3107.1

532.2

1973

2066.7

3268.6

591.7

1974

2053.8

3248.1

543.0

1975

2097.5

3221.7

437.6

1976

2207.3

3380.8

520.6

1977

2296.6

3533.3

600.4

1978

2391.8

3703.5

664.6

1979

2448.4

3796.8

669.7

1980

2447.1

3776.3

594.4

1981

2476.9

3843.1

631.1

1982

2503.7

3760.3

540.5

1983

2619.4

3906.6

599.5

1984

2746.1

4148.5

757.5

1985

2865.8

4279.8

745.9

1986

2969.1

4404.5

735.1

1987

3052.2

4539.9

749.3

1988

3162.4

4718.6

773.4

 

1989 1990 1991

3223.3 3260.4 3240.8

4838.0 4877.5 4821.0

784.0 739.1 661.1

Оценивание методом наименьших квадратов уравнения Const =а + /Y1 + є(

приводит к следующим результатам: Dependent Variable: CONS Method: Least Squares Sample: 1970 1991 Included observations: 22

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

-301.1158

38.52693

-7.815722

0.0000

Y

_ 0.734314_

0.009844_

74.59484_

0.0000

 

Оценивая уравнения приведенной формы, получаем:

Const = 216.8 + 3.704It +Є,

Yt = 667.4 + 5.104It +Є, так что в принятых ранее обозначениях

а = 216.8, р = 3.704, ~~ = 667.4, 8 = 216.8. Использование оценок коэффициентов первого уравнения приводит к следующим оценкам для    и р :

р=р/(1 + р )= 0.787, а=а/ (1+р )= 46.1.

Если использовать оценки коэффициентов второго уравнения, то получаем:

р = (8 - Г)/8 = 0.995, а = у/8 = 3.1. Различие оказывается весьма существенным.

Вычисляя оценку коэффициента в с привлечением в качестве

инструмента переменной  t , находим: 2 Qt - с )Q -7)

в,v =             = 0.725604 .

2 (i - y )Q-7)

Заметим, что ту же самую оценку для в можно получить, используя двухшаговую процедуру, идея которой состоит в построении искусственной инструментальной переменной Yt, которой можно подменить эндогенную объясняющую переменную Yt в структурном уравнении.

На первом шаге методом наименьших квадратов оценивается модель линейной зависимости эндогенной объясняющей переменной Yt от инструментальной переменной It (она соответствует второму уравнению приведенной системы). Используя полученные оценки Y и S , строим новую переменную

Yt =Y + 8 It,

которая интерпретируется как результат "очистки" переменной Yt от корреляционной связи с £t. Фактически, при этом производится "расщепление" переменной Yt на две составляющие:

Yt=y +(y - Y),

одна из которых затем отбрасывается.

На втором шаге методом наименьших квадратов оценивается модель

Const = a + 0Yt +£t,

в которой прежняя объясняющая переменная Yt заменяется ее очищенным вариантом.

Такой метод оценивания параметров структурного уравнения Const = a + pYt + et называется двухшаговым методом наименьших квадратов, сокращенно 2SLS (two-stage least squares). Оценки d2SLS и J32SLS, получаемые этим методом, удовлетворяют соотношениям

n

2 (Const - a2SLS - P2SLS Yi ) = 0 ,

t=1

n

2 (Const - a2SLS - P2SLS Yt )Jt = ^

t=1

т.е. являются IV-оценками.

 

Использование метода инструментальных переменных в форме 2SLS в нашем примере дает на втором шаге: Dependent Variable: CONS Method: Least Squares Sample: 1970 1991 Included observations: 22

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

-267.4634

352.8290

-0.758054

0.4573

YCLEANED

_ 0.725604_

0.090399_

8.026691_

0.0000

 

З а м е ч а н и е

В связи с использованием метода инструментальных переменных при наличии коррелированности некоторых объясняющих переменных с ошибками, возникают определенные проблемы:

• этот метод может обеспечить только состоятельность получаемых оценок и, при определенных условиях, асимптотическую нормальность этих оценок, но не обеспечивает несмещенность оценок при небольшом количестве наблюдений;

• для применения метода требуется достаточное количество инструментальных переменных, с помощью которых можно было бы "очистить" эндогенные объясняющие переменные; найти такие переменные удается далеко не всегда.

Первое обстоятельство означает, что ориентироваться на оценки, полученные методом инструментальных переменных, можно только при достаточно большом количестве имеющихся наблюдений, так что приведенный нами пример можно рассматривать только как иллюстрацию. Если наблюдений мало, то IV-оценки могут иметь даже большее смещение, чем OLS-оценки.

Второе обстоятельство значительно затрудняет практическое использование метода инструментальных переменных. Из-за этого, например, на практике обычно игнорируется тот факт, что используемые статистические данные содержат ошибки измерений.

Кроме того, исследования показывают, что если выбранные инструментальные переменные являются "слабыми инструментами" (weak instruments), т.е. слабо коррелированы с эндогенными объясняющими переменными, то качество IV-оценок с такими инструментами может быть хуже, чем у OLS-оценок (см., например, [Staiger, Stock (1997)]).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |