Имя материала: Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)

Автор: Носко Владимир Петрович

2.5.  проверка       выполнения условий идентифицируемости структурных уравнений

 

При рассмотрении условий идентифицируемости отдельных структурных  уравнений,   входящих   в   систему одновременных уравнений1, прежде всего предполагается, что переменные, задействованные в системе, подразделяются на три типа:

эндогенные переменные;

экзогенные переменные;

предопределенные переменные.

Значения эндогенных переменных определяются внутри рассматриваемой системы; эндогеннная переменная, входящая в i -е уравнение системы, коррелирована с ошибкой в этом уравнении. Значения экзогенных переменных определяются вне рассматриваемой системы; экзогенные переменные не коррелированы с ошибками во всех уравнениях системы для всех моментов времени. Понятие предопределенной переменной относится к системам, в которых наблюдения производятся в последовательные моменты времени. Значения предопределенных переменных, как и значения эндогенных переменных, определяются внутри системы. Однако значение в момент предопределенной переменной, входящей в i -е уравнение, не должно быть коррелированным со значениями ошибки в этом уравнении, соответствующими моментам t, t +1,... Например, в системе

переменные Qt и Pt - эндогенные, а переменная Qt-1 -предопределенная.

Предполагается, что

•   система состоит из g  уравнений, в каждое из которых

входит хотя бы одна эндогенная переменная;

1 В смысле возможности восстановления коэффициентов структурных уравнений на основании коэффициентов уравнений приведенной формы.

в систему входит g эндогенных переменных;

в систему входит   K   экзогенных и предопределенных переменных;

•   каждое из g уравнений нормировано, так что коэффициент при   одной   из   эндогенных   переменных,   входящих в уравнение, равен 1. (В последнем примере g = 2, K = 1, уравнения нормированы.)

При выводе условий идентифицируемости можно не различать предопределенные и экзогенные переменные, и мы для краткости будем называть их в контексте проблемы идентифицируемости предопределенными переменными.

Если собрать все эндогенные переменные в левых частях структурных уравнений, то систему одновременных уравнений можно записать в виде:

ГиУп +■■■+7giytg = Ai xti +■ ■■+Дп xtK + un,

1 L

 

где t = 1, —, n,  yt1, — , y g   - эндогенные переменные,   xt1, — , xK -

предопределенные переменные,  ut1, —, utg  - случайные ошибки.

Заметим, что в этой записи yjt - коэффициент при j -й эндогенной

переменной в  i -м уравнении, а    pj{ - коэффициент при  j -й

предопределенной переменной в i -м уравнении. (Разумеется, часть коэффициентов в конкретных системах равна нулю.) Заметив, что последнюю запись можно также представить как

уаУи + — + ytg7g1 = хД11 + — + xkPk1 + ut1,

 

yt1 Y1g + — + ytJ№ = XtAg + — + XtKpKg + Utg ,

обозначим:

Гп

г = 1 ; о

 

Б:

hi

(yt1, — ,       ) ,

 

yt =Уа, — ,ytg), xt =(xa,...,xtK), ut =(ua,...,utg). (Последние три вектора здесь удобнее представлять как векторы-строки.) Тогда система записывается в компактном виде:

ytГ = xtБ + ut, t = 1, к, n . Предполагая невырожденность матрицы   Г, так что для этой матрицы существует обратная, умножим обе части последнего уравнения на Г-1; при этом получаем приведенную форму системы:

yt = xtБГ_1 + utг_1 = xtп + wt. Здесь

 

П = БГ-1

n1g

, Г-1 =(w

ьК1    ... КKgj

так что wtj - случайная ошибка в i -м уравнении приведенной формы

в момент t. Выше мы уже фактически использовали представление для получения приведенных форм систем

Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + ut,

Q, = bo + bp + ъ2 r, + v,

это

и

Qt - a1Pt = ao + ut,

Qi -Pt = bo + b2rt + b3St + vt.

Следует заметить, что даже  если векторы   ut =(ut1,...,ug),

i = 1, к, n, взаимно независимы и имеют одинаковое g -мерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей    Е = о21 ,   где    I -   единичная   матрица, векторы wt = (wt1,..., Wg)  могут иметь коррелированные между собой и

неодинаково распределенные компоненты. Однако это не препятствует получению эффективных и несмещенных оценок элементов матрицы П обычным методом наименьших квадратов: достаточно применить этот метод отдельно к каждому уравнению приведенной системы.

 

Поскольку

К і

K1g

П = ВГ 1

Kg J

2 Как мы увидим ниже в этом разделе (см. Замечание 5) коэффициенты структурной формы могут не восстанавливаться однозначно по одним только коэффициентам приведенной формы и в то же время однозначно восстанавливаться при привлечении дополнительной информации в виде ограничений на элементы ковариационной матрицы ошибок в правых частях уравнений структурной формы и использовании элементов ковариационной матрицы ошибок в правых частях уравнений приведенной формы.

то ПГ = В, и мы использовали это соотношение для восстановления коэффициентов структурных уравнений двух последних систем. Вопрос об идентифицируемости структурной формы - это вопрос о возможности однозначного восстановления всех коэффициентов структурной формы, т.е. восстановления матриц Г и В , на основании матрицы П = ВГ-1 . Заметим, что в совокупности матрицы Г и В состоят из g2 + Kg элементов, тогда как в матрице П всего Kg элементов. Это означает, что однозначное восстановление коэффициентов структурной формы по коэффициентам приведенной формы невозможно без использования дополнительной информации в виде невключения в отдельные уравнения тех или иных переменных, нормировки коэффициентов, линейных ограничений на параметры структуры2.

Если нас интересует i -е структурное уравнение, то идентифицируемость этого уравнения означает возможность однозначного восстановления на основании коэффициентов приведенной формы

Г. - i -го столбца матрицы Г, который содержит коэффициенты при эндогенных переменных, входящих в i -е структурное уравнение;

Bi - i -го столбца матрицы В, который содержит коэффициенты при предопределенных переменных, входящих в i -е структурное уравнение.

При этом по-существу достаточно иметь возможность восстановления Г и В,- с точностью до умножения их на один и тот

же числовой множитель: единственность достигается в этом случае указанием правила нормировки, в соответствии с которым коэффициент при определенной эндогенной переменной в i -м структурном уравнении полагается равным 1.

Для дальнейшего удобно использовать матрицу А размера (g + K)х g , составленную из матриц Г и В таким образом, что матрица Г располагается над матрицей B :

А:

Гг 1

В

Коэффициенты при g эндогенных и K предопределенных переменных в i -м структурном уравнении составляют i -й столбец а матрицы А .

Существенным является то обстоятельство, что коэффициенты i -го структурного уравнения не могут быть восстановлены на основании коэффициентов приведенной формы, если в это уравнение входят все (g ) эндогенные и все (K) предопределенные переменные системы.

Поэтому мы будем предполагать далее, что на элементы вектора а помимо нормировочного накладываются еще и некоторые дополнительные однородные линейные ограничения в виде уравнений

ф ,а, = 0,

где Ф;- - матрица размера Ri х (g + K), Ri - количество этих линейных ограничений. Неспецифицированные коэффициенты i -го уравнения определяются по матрице П = ВГ-1 после применения правила нормировки однозначным образом тогда и только тогда, когда выполнено следующее ранговое условие идентифицируемости: rank (Ф, А) = g -1.

(Матрица ФtА имеет Rt строк и g столбцов.)

Пусть А i - матрица, получаемая из матрицы А вычеркиванием ее i -го столбца а, так что А = [а : A t ]. Тогда

rank (Ф і А) = rank (Ф, [а, : А , ]) = rank^ а, : Ф, А,), и поскольку Ф,а = 0, то

rank (Ф t А) = rank(0: Ф t А t) = rank(ф t А t). Но матрица Ф;-А( имеет размер Rt x(g -1), и чтобы ее ранг был равен  g -1 , во всяком случае необходимо, чтобы выполнялось следующее  порядковое условие  идентифицируемости      i -го структурного уравнения:

R ^ g -1.

Предположим, что все линейные ограничения, накладываемые на элементы столбца аі (помимо условия нормировки) являются исключающими ограничениями (т.е. все они состоят в приравнивании определенных элементов  столбца   а   нулю) и

соответствуют исключению из i -го уравнения g* эндогенных и K* предопределенных     переменных.     Тогда     общее количество исключенных переменных равно g* + K*, и необходимое условие идентифицируемости i -го структурного уравнения принимает вид:

|g*+k;> g -1,1

или

Иначе говоря, количество предопределенных переменных в системе, не включенных в i -е структурное уравнение, должно быть не меньше количества эндогенных переменных, включенных в i -е уравнение, уменьшенного на единицу. Если в левой части i -го структурного уравнения находится единственная эндогенная переменная, то (g - gi )-1 есть просто количество эндогенных переменных, включенных в правую часть этого уравнения.

Теперь мы имеем возможность охарактеризовать три ситуации, возникающие при оценивании i -го структурного уравнения:

1.                  rank (ФіА)< g -1 ^   i -е уравнение неидентифицируемо

(недоопределено);

rank (ФiА) = g -1    и    Ri = g -1    ^        i -е уравнение идентифицируемо точно;

rank (ФiА) = g -1    и    Rt > g -1    ^        i -е уравнение сверхидентифицируемо (переопределено).

В ситуации 1 просто не выполнено необходимое условие идентифицируемости. В ситуациях 2 и 3 коэффициенты i -го структурного уравнения однозначно восстанавливаются на основании коэффициентов приведенной системы. Однако эти две ситауции различаются существенным образом, если рассматривать задачу восстановления коэффициентов i -го структурного уравнения на основании оценок коэффициентов приведенной формы, полученных методом наименьших квадратов, примененным к каждому отдельному уравнению приведенной системы и не

учитывающем ограничения на коэффициенты приведенной формы, накладываемые на них соотношением П = ВГ-1 . Если П - оценка матрицы П, полученная таким свободным оцениванием, то в ситуации   2   коэффициенты       i -го   структурного уравнения

восстанавливаются по матрице П однозначным образом, тогда как в ситуации 3 существует несколько вариантов такого восстановления, приводящих к различным результатам.

Заметим,    что        разным    уравнениям    системы могут

соответствовать разные ситуации из трех перечисленных.

 

Пробежимся теперь по уже рассмотренным в этом разделе примерам систем одновременных уравнений.

Первой мы рассмотрели систему

список

предопределенных переменных ограничивается переменной, тождественно равной 1, так что полный список переменных в системе: (Qt,Pt,1). При этом g = 2, K = 1, матрицы Г, В и А имеют вид:

 

 

 

Г 1

1 >

 

 

 

, В = (

а

 

- Ь1)

 

 

Г 1

1 >

 

(г ї

 

=

: - а1

- ь1

 

1B)

ч а0

Ь0 )

 

На столбцы матрицы А не накладывается никаких ограничений

кроме нормировочных, так что g* = g2 = 0 , K* = K2 = 0 , и ни для одного из двух уравнений не  выполнено  порядковое условие

g2 + K* > g -1. Следовательно система не идентифицируема.

Следующий пример:

Qt = а0 + а1 Pt + а2¥і + Ut,

Q, = b + bp + vt,

т. е.

 

[Qt - 61 Pt = b + vt.

Г

В

1)

Здесь список эндогенных переменных тот же: (Qt,Pt). В список предопределенных переменных входят две переменные: (1,Yt). Полный список переменных в системе: (Qt,Pt,1,Yt). При этом g = 2, K = 2, матрицы Г, В и А имеют вид:

а

- b

0

1 1

ча2

A = (а1   а2) =

Подпись: 11	"12		
	а22	=	Гг 1
	СХ32

- а1   - b1 а 2      0 )

На элементы первого столбца матрицы А накладывается только условие нормировки а11 = 1. Поэтому первое уравнение системы неидентифицируемо. На элементы второго столбца помимо нормировочного накладывается одно исключающее ограничение а42 = 0, так что для этого столбца g 2 = 0, K2 = 1, и g22 + K22 = g -1 =1, т.е. порядковое условие идентифицируемости выполняется.

Заметим далее, что ограничение (х42 = 0 можно записать в виде Ф2а2 = 0 , где Ф2 =(0 0 0 1). Тогда

Ф 2 А 2 =

(0 0 0            a0, a2 f ={аг),

гапк(ф 2 А) = гапк(ф 2 А 2) = rank(a2) = 1,

так что       гапк(ф2А) = g — 1    и выполнено ранговое условие

идентифицируемости. Наконец, поскольку g2 + K2 = g — 1, то второе уравнение идентифицируемо точно.

 

Следующая система:

iQt = а0 + aiPt + a2Yt + Ut,

[Q, = b0 + bi Pt + b2 Rt + vt,

т. е.

lQ, — aiP, = a0 + a2Y, + U, ,

[Q, — bi Pt = b0 + b2 Rt + vt. Список эндогенных переменных: (Qt, Pt). Список предопределенных переменных:   (l,Yt,Rt). Полный список переменных в системе: (Qt,Pt,1,Yt,Rt). При этом g = 2, K = 3, матрицы Г,  В и А имеют вид:

 

Г

1

a

 

1J

1 Ї

—b

В

 

0

b0 > 0

2J

2

0 b

 

1

1

 

А:

 

(г 1

 

0

a

a

 

b

 

 

0

a

2

0

0

b

2J

Соответственно, здесь для каждого из столбцов матрицы А помимо нормирующего ограничения имеется по одному исключающему ограничению на экзогенные переменные, так что g1 = g2 = 0, К = К 2 = 1, g* + K* = g -1, и порядковое условие выполнено.

Ограничение а41 = 0 в первом столбце можно записать в виде Ф1а1 = 0, где Ф1 =(0 0 0 0 1). Тогда

ФА =(0 0 0 0 1)(1, -  ъ0,0, ъ2 )т =(ъ2),

rank (Ф1 А) = гапк(Ф1 А1) = rank(b2) = 1, так что    rank (Ф1А) = g — 1  и для первого уравнения выполнено ранговое    условие    идентфицируемости.    Наконец, поскольку g* + К* = g — 1, то первое уравнение идентифицируемо точно.

Ограничение а32 = 0 во втором столбце можно записать в виде Ф2а2 = 0, где Ф2 =(0 0 0 1 0). Тогда

Ф2А2 =(0 0 0 1 0)(1, — а1, а0, а2,0)г =(а2),

rank (Ф2А) = гапк(Ф2А2) = rank(a2) = 1, так что rank (Ф2А)= g —1 и для второго уравнения также выполнено ранговое    условие    идентифицируемости.    Наконец, поскольку g2 + К2 = g — 1, то второе уравнение идентифицируемо точно.

Таким образом в данной системе одновременных уравнений оба уравнения идентифицируемы, причем идентифицируемы точно.

 

Наконец, в системе

Qt = a0+a1pt+ut,

 

т. е.

JQt — a1Pt = a0 + Ut,

Qi — b,P( = b0 + b2 Rt +     + vt,

эндогенные переменные те же, а список предопределенных переменных:  (1, Rt,St). Полный список переменных в системе:

(Qt,Pt,1,Rt,St). При этом g = 2, K = 3, матрицы Г, Б и А имеют вид:

Подпись: 1

Подпись: 1
Г:

 

 

( г,

А=іГ j

1

"a1

2

Ъ

ao 0 0

1

-Ъ1

Ъ0

Ъ

3 j

На элементы второго столбца накладывается только условие нормировки. Поэтому второе уравнение системы неидентифицируемо. На элементы первого столбца помимо условия нормировки накладываются два исключающих ограничения: а41 = 0, а51 = 0 . При этом g* = 0, К = 2, g* + K* = 2 > g -1, так что первое уравнение идентифицируемо. Исключающие ограничения можно записать в форме Ф1а1 = 0, где

Ф1 =

(0   0   0   1   0Л 0   0   0   0 1

Тогда

 

 

Ф1А

 

(0   0   0   1   0Л 0   0   0   0 1

(

1

a1

2

 

0 0

1 Л

Ъ

Ъ0

Ъ

3j

 

( 0   Ъ2 Л 0   Ъз j

Ф1А1 =

(0   0   0 1 0   0   0 0

0 Л

(1, - Ъ1, Ъo,К Ъ3 Ї =

( ъ2 Л

Подпись: (ъ2 Л
V b3 у
rank (Ф1А) = гапк(Ф1А1) = rank!

= 1,

так что rank (Ф1А) = g — 1 и для первого уравнения выполнено ранговое условие идентифицируемости. Поскольку g* + K1 > g — 1, то первое уравнение сверхидентифицируемо.

Приведем теперь пример системы, в которой присутствуют линейные ограничения неисключающего типа (упрощенный вариант модели мультипликатора-акселератора):

Ct = a0 + a1Yt + a2Ct—1 + "fl,

It = bo + b1 (Yt — Yt—1) + "t 2, Yt = C + It,

где Ct - потребление, It - инвестиции, Yt - доход. Подставляя выражение для Yt из последнего тождества во второе уравнение, запишем систему в виде:

|    Ct — a1Yt = a0 + a2Ct—1 + "t^ [— С, +(1 — b X = b0 — bJ—1 + "2.

Список эндогенных переменных: (Ct, Yt). Список предопределенных переменных:    (1, Ct—1, Yt—1).   Полный   список:    (Ct, Yt ,1, Ct—1,Yt—1). Матрица А: ( 1

— a1

— 1 Ї

А

a

0

1 — b1

a

2

b0

0

0

—b1

В первом столбце одно исключающее ограничение а51 = 0, т.е. Ф1а1 = 0, где Ф1 = (0   0   0   0   1). При этом

rank (Ф1А) = гапк(Ф1 А1) = rank(- b1) = 1 = g -1, так что первое уравнение идентифицируемо. Поскольку

g;+к; = 1=g -1,

это уравнение идентифицируемо точно.

Во втором столбце одно исключающее ограничение а42 = 0 и одно неисключающее ограничение а12 +а22 = а52. Эту пару ограничений можно записать в виде Ф2а2 = 0, где

Ф2 =

( 0

1

0 ї

1

Тогда

 

Ф2А

 

 

(0

1

 

0 ї 0

rank (Ф2А) = 1,

так что rank (Ф2А) = g -1 и для второго уравнения также выполнено ранговое условие идентифицируемости. Поскольку же R2 = 2 > g -1, то второе уравнение сверхидентифицируемо.

 

З а м е ч а н и е 1

Константа играет в проблеме идентифицируемости такую же роль, что и остальные предопределенные переменные. Это илюстрирует следующий пример.

 

Мы уже выяснили ранее, что в системе

Qt = a0+a1pt + ut, jo = b0 + bP + vt

оба уравнения неидентифицируемы. Исключим константу из правой части второго уравнения:

lQt = a0 + a1Pt + ut,

[Q, = bp + vt.

Для измененной системы имеем те же списки эндогенных и предопределенных переменных; полный список переменных в системе: (Qt,Pt, 1). При этом g = 2, K = 1, матрица Г не изменяется, а матрицы В и А принимают вид:

На первый столбец матрицы А не накладывается никаких ограничений кроме нормировочных, так что g* = 0, K* = 0, и для первого уравнения не выполнено порядковое условие g* + K* > g -1. Следовательно первое уравнение не идентифицируемо. Однако на второй столбец на этот раз накладывается исключающее ограничение а32 = 0, т.е. Ф 2а2 = 0, где Ф 2 =(0   0 1).

При этом

rank (Ф 2А) = rank(a0   0) = гапк(Ф2 А1) = (a0) = 1 = g -1, так что второе уравнение идентифицируемо. Поскольку

g;+ к 2= 1 = g -1,

это уравнение идентифицируемо точно.

З а м е ч а н и е 2

Критерий идентифицируемости дает один и тот же результат в

отношении    i -го    стохастического    структурного уравнения

(содержащего случайные ошибки в правой части) независимо от

того, рассматривается полная система вместе с тождествами или

система, в которой тождества учтены и исключены. Это илюстрирует следующий пример.

При исследовании вопроса об идентифицируемости модели Qd = a0 + a1P + ut,

- Qs = bo + biP+vt, Qs = Qd

и различных ее расширений мы, исключая (и учитывая) тождество,

сводили эти модели к системам без тождеств, так что в правых

частях всех уравнений преобразованных систем присутствовали случайные ошибки. Поступая, например, таким образом с системой трех уравнений

Qd = a0 + aiPt + a2Yt + Ut,

<Qst = bo + bp + vt,

t

t

мы проверяли условия идентифицируемости системы двух уравнений, полученных на основании этой системы:

и обнаружили, что первое уравнение системы неидентифицируемо, а второе идентифицируемо точно.

Попоробуем проверить условия идентифицируемости непосредственно в рамках исходной системы трех уравнений, так что   g = 3. Для этой системы список эндогенных переменных

полнее, чем у преобразованной системы:  Qf, Qf,Pt), тогда как

список предопределенных переменных (l, Yt) не изменяется. Полный список содержит теперь 5 переменных: Qf, Qst, Pt ,1, Yt). Перенесем все эндогенные переменные в левые части уравнений:

= a0 + a2Yt + ut,

 

Qf - q:=o,

Матрица А имеет вид:

0

 

А

( 1 0

a

a

V «2 0 1

- bi

b0

0 1 Ї

-1 0 0 0

На элементы первого столбца накладывается исключающее

:0, т.е. Ф1#1 = 0, где Ф1 =(0   1   0   0   0). При

#21

ограничение этом

rank (Ф1А) = rank(0  1  -1) = 1 < g -1 = 2, так что первое    уравнение неидентифицируемо. На элементы второго столбца накладывается А^2 = 2 исключающих ограничения:

:0 и #52 = 0, т.е. Ф2#2 = 0, где

 

Ф2 =

(1

0

000 000

0 Ї

1

При этом

Подпись: 1
Подпись: V «2(

rank (Ф2А) = rank!

1 ї

0

2=g-1,

так что

второе

уравнение    идентифицируемо, причем

идентифицируемо точно, поскольку g 2 + А^2 = 2 = g -1. Результаты в отношении каждого из двух стохастических уравнений оказались одинаковыми для систем из трех и из двух уравнений.

 

До сих пор мы рассматривали только возможность восстановления коэффициентов структурных уравнений по коэффициентам приведенной формы. Однако идентифицируемость i -го стохастического структурного уравнения строго говоря означает не только идентифицируемость коэффициентов этого уравнения, но и идентифицируемость дисперсии случайной составляющей в этом уравнении. Идентифицируемость системы структурных уравнений в целом (на основании приведенной формы системы) означает не только идентифицируемость всех коэффициентов системы, но и идентифицируемость ковариационной матрицы случайных ошибок, входящих в правые части уравнений системы. При этом при восстановлении коэффициентов и ковариационной матрицы ошибок в структурной форме используются не только коэффициенты приведенной формы, но и ковариационная матрица ошибок в приведенной форме.

Обратимся опять к общей форме системы:

 

ytY = xtB + ut, t =      n,

где

gl

 

Г :

 

ig

Ги   ••• Y

gg j

в=1 m

An

 

Kg j

yt ={ytl,•■■,ytg),  xt =(xtl,•■■,XK), ut =(Ut1,K,ug) и предполагается невырожденность матрицы Г . Приведенная форма

системы:

 

yt = xtвГ_1 + utГ_1 = xtn+wt,

где

 

П = ВГ 1

n1g

 

w

= ut Г-1 =(wt 1,..., wg ).

Kg J

Пусть

 

E(ut ) = 0 , Cov(uTut) = (fov(utl,   J = I = {(Jj),

Cov(uJus) = (Cov(uti, usj)) = 0 для t Ф s .

так что ошибки не коррелированы по времени, но для одного и того же момента времени ошибки в разных уравнениях могут быть коррелированными   между   собой.    Тогда    E (wt ) = 0    и для

ковариационной     матрицы      Q = ((0у ) = Cov(wTtwt )=(Cov(wtl, ))

вектора wt ошибок в приведенном уравнении имеем:

Q = Cov(wt) = Cov(utГ-1) = (Г-1) I (Г-1),

так что

I = Гт.

Следовательно, если структурная система идентифицируема

(коэффициенты         структурной  системы однозначно

восстанавливаются по коэффициентам приведенной формы), то тогда, восстановив по коэффициентам приведенной формы матрицу Г , можно, используя эти восстановленные коэффициенты и матрицу Q, восстановить ковариационную матрицу I.

Если структурная форма не восстанавливается целиком, а возможно лишь восстановление некоторых ее уравнений, то тогда для полной идентификации i -го стохастического структурного уравнения надо восстановить все его коэффициенты и дисперсию случайной составляющей этого уравнения. Пусть нас интересует,

y1g

например, первое уравнение системы. Представим тогда матрицу Г в виде

(у                  у  Л        (У Л    (у         " Л

/11      ■■■     fig        /11       /12 ■■■

у

у

Г =   :    O    :    = [у : Г ], где у =   :     Г =    : O

gg j

Дисперсия случайной составляющей в первом структурном уравнении равна с11 =у[0.у1, так что для ее восстановления по приведенной форме достаточно предварительно восстановить только коэффициенты первого уравнения. Аналогично, если нас интересует i -е стохастическое структурное уравнение, то дисперсия случайной составляющей в этом структурном уравнении равна аи = уУQ у , где у - i -й столбец матрицы Г, и для восстановления <Уй достаточно предварительно восстановить коэффициенты i -го уравнения.

В качестве примера рассмотрим опять структурную систему

{Qt = a0 + a1Pt + a2Yt + Ut,

la=ь0+bp+vt.

у2

Мы установили ранее, что в этой системе коэффициенты первого уравнения неидентифицируемы, а коэффициенты второго идентифицируемы точно. Для этой системы

a

( 1    1 Л       ( 1 Л

Г

- b

1 j

I - b1 j

так что (поскольку ковариационные матрицы симметричны)

®2.

С02

22 jV

-b

1j

= а>11 - 2b1a12 + b^a2:

Оценив наряду с коэффициентами приведенной формы элементы ковариационной матрицы ошибок приведенной формы, можно получить оценку для коэффициента b1, а через нее - и оценку для

D(vt).

З а м е ч а н и е 3

 

Если посмотреть на все примеры, в которых на уравнения накладывались только исключающие ограничения, то нетрудно заметить, что проверку рангового условия идентифицируемости i -го стохастического структурного уравнения по-существу можно проводить следующим образом.

Составляется таблица, в заголовке которой перечисляются эндогенные и предопределенные переменные, задействованные в системе, а в i -й строке находятся коэффициенты при этих переменных в левой и правой частях i -го уравнения (как они есть, без переносов в левую часть). Например, для системы

(Qt = а0 + ai Pt + a    + ut,

Qi = b0 + bi Pt + b2 Rt + vt такая таблица принимает вид:

 

i

a

 

1

 

Rt

1

1

 

 

a2

0

2         1             b0 b0

0

b2

Для исследования i -го уравнения достаточно рассмотреть матрицу, образованную теми столбцами таблицы, элементы которых, стоящие в i -й строке, равны нулю, и всеми строками таблицы кроме i -й. В рассматриваемом примере при исследовании 1-го уравнения такая матрица состоит из единственного элемента b2, а при исследовании 2-го уравнения - из единственного элемента a2 . В обоих случаях ранг выделенной матрицы равен 1, и поскольку g — 1 = 1, оба уравнения идентифицируемы.

Подпись: Для системы
Для второго уравнения нет ни исключающих, ни других линейных ограничений - только нормирующее ограничение, так что второе уравнение нединтифицируемо. На коэффициенты первого уравнения помимо нормирующего накладываются только исключающие ограничения. Выделяемая матрица сводится к одной строке с двумя элементами: (b2 b3). Ранг этой матрицы равен 1, так что g -1 = 1 и первое уравнение идентифицируемо.

 

З а м е ч а н и е 4

В реальных ситуациях если порядковое условие выполнено, то, как правило, выполняется и ранговое условие. Приводимые в литературе контрпримеры носят явно искусственный характер. В качестве такого контрпримера выступает, например, система трех стохастических структурных уравнений

a11yt1 + a12 yt 2 + a13 yt 3 = a14 Xt1 + a15 Xt 2 + Ut1, j a21yt1 + a22yt2 + a23yt3 = a24Xt1 + a25Xt2 + Ut2, _ a31yt1 + a32 yt 2 + a33 yt3 = a34 Xt1 + a35 Xt 2 + Ut3,

в которой на коэффициенты первого уравнения накладываются линейные   ограничения      a14 = 0,   a12 = a13.   Эти ограничения записываются в стандартной форме как        = 0 , где (0   0    0   1   0^ 1   V0  1  -10  0 у так что

Подпись: 24Подпись: 24Подпись: 34Подпись: aПодпись: aПодпись: aПодпись: a

Ф1 Л:

14

V a12 a13

a22 a23

34

a32     a33 j

 

a

( 0 0

a22 a23

a32     a33 j

Ранговое условие не выполняется, если строки этой матрицы пропорциональны. Последнее может осуществляться

если на уравнения системы накладываются одинаковые ограничения;

если переменная xt1 не входит в систему;

если коэффициенты при yt 2 и yt3 равны во всех уравнениях.

 

З а м е ч а н и е 5

До сих пор мы не предполагали никаких ограничений на ковариационную матрицу Е вектора ошибок в структурной форме. Между тем введение ограничений на структуру этой матрицы в некоторых ситуациях может помочь идентификации уравнений, которые без таких ограничений неидентифицируемы. В качестве примера рассмотрим систему

[Qt = a1Pt + a2Qt-1 + Щи Pt = b1Qt-1 + ut 2.

Здесь Pt и Qt - эндогенные переменные, а единственной предопределенной переменной является Qt-1. При этом

(1 1Ї

Г:

0

a

так что соотношение ПГ

(1 1Ї

В = (a2     Ь1 ), П = (П11      П12 ),

(п11     П12)

= В принимает вид:

0

- a.

(a2     Ь1 ),

откуда

(л-ц - an   Пц )=(a2   61), т.е.

a2 =п, - a1n.

b1 =П11

Таким образом, единственный коэффициент второго уравнения восстанавливается по матрице П однозначно, а для восстановления двух коэффициентов первого уравнения имеется только одно уравнение, и первое уравнение оказывается неидентифицируемым.

Вспомним, однако соотношение между ковариационными матрицами ошибок в приведенной и структурной формах:

I = ГтQT . В нашем примере оно принимает вид:

Подпись: <*112

V^21     °22 J

(1 1

- a

0

V

J°21

 

О22 JV"

1

а

1 ї

0

 

_ щ1 - 2а1щ2 + а1а>22   щ1 - а1ю2

 

Если предположить дополнительно, что <У12 =о21 = 0, т.е. ошибки в разных  уравнениях   не   коррелированы   между   собой,   то из последнего соотношения получаем: щ1 - а1о21 = 0,

так что

коэффициент

а

первого   структурного уравнения

Подпись: а1 = °и! О21Подпись: матрице Q: коэффициентПодпись: После этого структурного

a

восстанавливается по восстанавливается и

первого

уравнения: а2 =п11 - а1п12. Тем самым оказывается идентифицируемым все первое уравнение структурной формы.

 

З а м е ч а н и е 6

Рассмотренная в Замечании 5 система

Qt = ар+а2<2- + u^

Pt = b1Qt-1 + Ut 2

Подпись: 0Подпись: принадлежит классупри выполнении условия <J12 = <J21 рекурсивных систем. Благодаря последовательному определению переменных в таких системах при переходе от уравнения к уравнению в правых частях каждого из уравнений системы не оказывается переменных, значения которых коррелированы со значением ошибки в этом уравнении при одном и том же t . Во втором уравнении рассматриваемой системы Cov(Qt-1, ut 2 ) = 0, т. к. значение Qt-1 определяется ранее момента t . В правой части первого уравнения Cov(Qt-1, ut1) = 0 по той же причине и

Cov(Pt,ut1 ) = Cov(b1Qt-1 + ut2 ) = b1Cov(Qt-1, ut1 )+ Cov(ut2,ut1 ) = 0,

так что при выполнении условия <т12 = <т21 = 0 переменная Pt не является эндогенной. Если же <т12 Ф 0, то Pt становится эндогенной переменной, а система перестает быть рекурсивной.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |