Имя материала: Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)

Автор: Носко Владимир Петрович

2.6.6. проверка правильности спецификации системы одновременных уравнений

 

Мы уже говорили выше (Замечание 3 в разд. 2.6.2) о возможности проверки адекватности i -го структурного уравнения,

опираясь на остатки u2SLS = yi — ZiS2SLS, полученные в результате применения двухшагового метода наименьших квадратов к этому уравнению, в отношении таких стандартных предположений как линейность уравнения, нормальность, гомоскедастичность и некоррелированность ошибок.

Между тем не менее важным является вопрос о правильности подразделения включенных в систему переменных на эндогенные и экзогенные      переменные,      произведенного     на основании

соответствующих экономических и логических представлений о связях между переменными. Еще одна проблема спецификации структурных уравнений состоит в том, что сверхидентифицируемость i -го уравнения системы

У, = Y,a, + Xtet + иг = + иг может быть просто следствием того, что на коэффициенты этого уравнения наложены ограничения, которых в действительности нет. Например, из i -го уравнения могут быть ошибочно исключены некоторые предопределенные переменные, включенные в другие уравнения системы. Хотелось бы иметь какой-то статистический инструментарий, позволяющий ответить на такие вопросы. Ряд статистических критериев, служащих этой цели, использует следующую идею Хаусмана [Hausman (1978)].

Пусть для (p X1) -вектора параметров в имеются две различные

оценки в и в , причем оценка в состоятельна и при гипотезе H0 и при альтернативной гипотезе HA, а оценка в состоятельна и асимптотически эффективна при гипотезе H0 , но не является состоятельной при гипотезе HA . Рассмотрим разность этих двух

оценок q = в — в . Поскольку при гипотезе H0 обе оценки состоятельны, т. е. сходятся по вероятности к истинному значению в,   то   их   разность   q   сходится   по   вероятности   к нулю.

Следовательно, если гипотеза H0 верна, то мы не ожидаем больших отклонений значения q от нуля, и наличие таковых может трактоваться как указание на невыполнение гипотезы H0 .

 

Критерий Хаусмана для проверки правильности спецификации  системы  одновременных уравнений ([Hausman

(1978)]) использует в качестве в трехшаговую оценку наименьших

квадратов, а в качестве в - двухшаговую оценку наименьших квадратов.  Если  все  структурные  уравнения специфицированы правильно, то 3SLS состоятельна и эффективна; если же хотя бы одно из уравнений специфицировано неправильно, то 3SLS перестает быть состоятельной оценкой.

Однако, как было отмечено в [Spencer, Berk (1981)], для применения этого критерия необходима спецификация всех структурных уравнений системы, тогда как на практике чаще представляет интерес правильность спецификации какого-то отдельного структурного уравнения. В таком случае речь идет о проверке правильности спецификации i -го структурного уравнения при ограниченной информации об остальной части системы (как при построении LIML оценки).

Статистика критерия Хаусмана определяется как

H = nqT [asCov(q)]~l q ,

где     asCov(q)     -    состоятельная    оценка асимптотической

ковариационной матрицы    asCov(q)  разности q = 0 — 0 , и при

выполнении  достаточно   общих  условий  гипотезе   H0 имеет

асимптотическое распределение хи-квадрат. Некоторые трудности при использовании этой статистики вызывает то обстоятельство, что

компоненты вектора q = 0 — 0 в общем случае линейно зависимы, вследствие чего матрица asCov(q^) может быть вырожденной и не иметь обратной в обычном смысле. В связи с этим, в формуле для статистики H следует использовать не обычную обратную матрицу, а так называемую обобщенную обратную матрицу.

Указанные трудности можно обойти, используя различные асимптотически эквивалентные версии критерия Хаусмана, основанные на оценивании тех или иных уравнений регрессии. В таких вариантах этого критерия дело сводится к проверке значимости оцененных коэффициентов соответствующих уравнений.

Версия критерия Хаусмана, приведенная в [Davidson, MacKinnon (1993)] и называемая там критерием Дарбина-Ву-Хаусмана (Durbin-Wu-Hausman test), состоит в следующем.

Пусть yt = Ya + Xi0i + u = Zi8i + ut, X - матрица значений инструментальных переменных, Yi - матрица значений тех объясняющих переменных в i -м уравнении, которые не входят в состав инструментальных переменных и не являются линейными комбинациями последних. Гипотеза H0: в i -м уравнении отсутствует проблема эндогенности, т.е. все объясняющие переменные в составе Yi не коррелированы с ui. Иначе говоря, это гипотеза экзогенности (предопределенности) переменных, входящих в состав Yt. Если эта гипотеза выполнена, то оценивание i -го уравнения можно производить обычным методом наименьших квадратов (OLS). В противном случае надо применять метод инструментальных переменных.

Сначала производится OLS оценивание уравнений регрессии объясняющих переменных, входящих в состав Yi , на инструментальные переменные:

Y = X Пі + W

и вычисляются прогнозные значения Yi этих переменных. Затем эти прогнозные значения добавляются в качестве дополнительных объясняющих переменных в правую часть i -го уравнения, что приводит к расширенному уравнению

У г = Zi^t + Yt Ї+Лг ,

производится OLS оценивание расширенного уравнения и проверяется гипотеза H0: ї = 0. Для проверки этой гипотезы используется обычный F -критерий, хотя, вообще говоря, он является в этой ситуации только приближенным критерием.

Вместо Y в расширенном уравнении можно использовать остатки Wi = Yi — Yi, т.е. оценивать уравнение и проверять гипотезу H0: у = 0 в рамках этого уравнения. В любом случае отклонение гипотезы H0 трактуется как наличие проблемы эндогенности, вызывающей несостоятельность OLS оценок параметров    -го структурного уравнения.

 

Еще один вариант критерия Хаусмана для проверки той же гипотезы состоит в следующем.

Наряду с остатками Wi = Yi — Yi, определенными выше, рассмотрим остатки ui, получаемые при оценивании i -го уравнения обычным методом наименьших квадратов (OLS). Пусть R2- коэффициент детерминации, получаемый при OLS оценивании уравнения иi = ZiSi + Wi у+Е,{. Тогда при выполнении гипотезы экзогенности статистика nR2 имеет асимптотическое (при п — °°) распределение X2 (gi), где gi - количество переменных в составе Yi. Эта гипотеза отвергается при nR2 >X—a(gi), где (x - выбранный уровень значимости критерия.

Можно указать и некоторые другие варианты реализации критерия Хаусмана для проверки гипотезы об отсутствии проблемы эндогенности в i -м уравнении. Но как бы там ни было, прежде чем производить проверку тех или иных переменных, включенных в структурное уравнение, на эндогенность, рекомендуется предварительно провести проверку пригодности самих выбранных инструментов. Такую проверку можно провести в том случае, когда количество имеющихся инструментов превышает их необходимое количество, и сделать это можно, используя, например, J-статистику, предложенную в работе [Godfrey, Hutton (1994)].

Пусть для очистки эндогенных переменных, входящих в правую часть i -го уравнения системы

у, = Yx, + Хгвг + иг = ZXSX + иг используется уравнение

Y = X Пі + W,

где X - матрица значений инструментальных переменных.

Применив к -му уравнению двухшаговый метод наименьших квадратов, получим 2SLS-остатки в виде

"2SLS           ry ?2SLS

 

После   этого   оценим   линейную   модель   регрессии   ut на

переменные, входящие в состав X. Пусть R2 - полученное при этом значение коэффициента детерминации. Указанная J -статистика равна J = nR2 и имеет асимптотическое (при n — °°) распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным разности между количеством переменных в составе X и количеством объясняющих переменных в первом уравнении.

Гипотеза пригодности выбранного множества инструментов отвергается при значениях J -статистики, превышающих критическое значение, рассчитанное по указанному хи-квадрат распределению (т.е. при значениях J -статистики, для которых P -значение оказывается меньше заданного уровня значимости). Если это происходит, то тогда нет смысла заниматься IV оцениванием коэффициентов рассматриваемого уравнения с выбранным множеством инструментов, поскольку в этом случае или сами эти инструменты непригодны или уравнение неправильно специфицировано.

Если указанная гипотеза не отвергается J -критерием, то тогда переходят ко второму шагу, на котором используется критерий Хаусмана (в том или ином его варианте) для проверки переменных в і -м уравнении системы на эндогенность/экзогенность.

В работе [Godfrey, Hutton (1994)] показано, что статистики, используемые в такой двухступенчатой процедуре, асимптотически независимы, так что вероятность ошибочного решения в этой процедуре приближенно равна 1 — (1 — aJ )(1 — aH ) = где aJ - уровень значимости J -критерия, а aH - уровень значимости критерия Хаусмана, используемого на втором шаге.

З а м е ч а н и е 8

Отклонение нулевой гипотезы при применении критериев экзогенности означает только, что проблема эндогенности существует. Однако степень влияния обнаруженной эндогенности на смещение обычных оценок наименьших квадратов остается при этом неизвестной. Вместе с тем, мощность критериев типа Хаусмана становится довольно низкой, если инструменты слабо коррелированы с эндогенными переменными. И это означает, что

нулевая  гипотеза экзогенности  может  быть  не   отвергнута, а

смещение OLS оценок в то же время велико. Поэтому во многих практических исследованиях авторы сообщают и результаты ГУ-оценивания и результаты OLS-оценивания.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |