Имя материала: Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)

Автор: Носко Владимир Петрович

2.6.7. примеры оценивания систем одновременных уравнений.

где

P - розничная цена свежих фруктов, выраженная в постоянных ценах с использованием индекса розничных цен,

Q - потребление свежих фруктов на душу населения,

DPI - располагаемый доход на душу населения, дефлированный на индекс потребительских цен (CPI),

Weather - климатическая характеристика, отражающая размер потенциальных потерь урожая из-за неблагоприятных погодных условий,

Invest - дефлированный на CPI объем на душу населения чистых инвестиций    производителей    свежих    фруктов, отражающий

издержки производства.

Первое уравнение является уравнением спроса, а второе -уравнением предложения.

Всего имеется 30 наблюдений; все переменные выражены в индексной форме с одним и тем же базовым периодом.

 

Price (P)

Quantity (Q)

DPI

Weather

Invest

1

108.9

127.4

97.6

99.1

142.9

2

100.6

105.1

98.2

98.9

123.8

3

109.7

76.7

99.8

110.8

111.9

4

111.6

93.8

100.5

108.2

121.4

5

109.8

88.3

96.6

108.7

92.9

6

104.4

78.4

88.9

100.6

97.6

7

89.6

89.6

84.6

70.9

64.3

8

117.2

75.3

96.4

110.5

78.6

9

109.3

109.1

104.4

92.5

109.5

10

114.9

121.3

110.7

89.3

128.6

11

112.0

106.3

99.1

90.3

95.8

12

112.9

129.1

105.6

95.2

130.9

13

121.0

118.6

116.8

98.6

125.7

14

112.8

94.3

105.3

105.7

109.8

15

102.9

81.0

85.6

107.8

88.4

16

86.0

104.9

84.8

80.4

96.9

17

95.7

94.6

89.8

90.7

90.8

18

104.9

102.9

93.2

88.9

101.7

19

114.0

110.6

105.9

96.9

110.8

20

121.9

111.7

110.8

101.9

117.9

21

127.2

117.6

115.3

104.9

134.8

22

128.3

125.1

120.6

103.6

140.2

23

125.0

87.4

105.7

106.2

78.3

24

117.1

84.6

103.5

100.8

94.7

25

122.7

107.8

110.6

110.5

135.9

26

111.6

120.7

109.3

86.7

126.8

27

114.1

102.8

99.5

93.8

90.5

28

110.4

99.2

105.9

99.9

134.8

29

109.2

107.1

102.7

104

123.8

30

108.9

127.4

97.6

99.1

142.9

 

Переходя к обозначениям, использованным ранее при рассмотрении систем одновременных уравнений, запишем систему в виде:

Подпись: :(DPI )t,

 

где

yt1 = а11 yt 2 + #11xt1 + #21xt 2 + ut1, yt2 = a12yt1 + #12xt1 + #22xt3 + #32xt4 + ut2 , yt1 = Pt,      yt 2 = Qt,      xt1 = 1,      xt 2 =

 

x=

 

 

(Weather )t,

(Invest)t . Список

x=

эндогенных

переменных:  (yt1, yt2). Список

экзогенных переменных: (1, xt2, xt3, xt4 ). Полный список переменных, включенных в систему: (yt1, yt2,1, xt2, xt3, xt4). Соответственно, g = 2, K = 4,

Г

f

1

-a.

#11

#21

0 0

a12

1

#12 0

#22

#32 J

На элементы первого столбца матрицы A помимо нормировочного накладывается два исключающих ограничения a51 = 0, a61 = 0, так

что для этого столбца g* = 0, K* = 2, и g* + K* > g — 1, т.е. порядковое условие идентифицируемости выполняется. На элементы второго столбца помимо нормировочного накладывается одно исключающее ограничение a42 = 0 , так что для этого столбца

g 2= 0, K2 = 1, и g 2 + K2 = g — 1, т.е. порядковое условие идентифицируемости выполняется.

Для проверки выполнения ранговых условий идентифицируемости воспользуемся Замечанием 3 из разд. 2.5. В

 

i

yt1

yt 2

1

xt 2

xt 3

xt 4

1

1

 

#11

#21

0

0

2

a12

1

#12

0

#22

#32

При рассмотрении первого уравнения выделяемая матрица сводится к одной строке с двумя элементами: (в22 в32). Ранг этой матрицы равен 1, что совпадает со значением g — 1 = 1, так что первое уравнение идентифицируемо. При рассмотрении второго уравнения выделяемая матрица сводится к одному элементу: (в21). Ранг этой матрицы равен также равен 1, так что и второе уравнение идентифицируемо. Разница только в том, что для первого уравнения g* + K* > g — 1, а для второго g + K2, = g — 1, т.е. первое уравнение сверхидентифицируемо, а второе идентифицируемо точно. Соответственно, для оценивания второго уравнения можно использовать косвенный метод наименьших квадратов, а для оценивания первого уравнения этот метод не годится.

Чтобы применить косвенный метод наименьших квадратов, сначала раздельно оценим методом наименьших квадратов уравнения приведенной формы

yt1 = П11 + n21Xt 2 + n31Xt 3 + n41Xt 4 + Wt1, yt2 = П12 + П22Xt 2 + П32Xt3 + П42Xt4 + Wt2 .

Это дает следующие результаты (в пакете EVIEWS):

Используем теперь соотношение ПГ = В , которое в нашем примере принимает вид

 

 

/(-12

 

 

 

 

А

#12 )

к21

к22

(

1

— a ^

12

 

 

0

к31

к32

V

 

1 J

 

0

#22

Vk41

к42 J

 

 

 

 

v 0

#32 j

и приводит к уравнениям:

К11 —П12а11            =#l1,    К12 —К11а12 = #l2,

П"21     П 22^0.1        — #21 ,           П 22     П 210^12 — 0 ,

п31     п32а11 = ^       к32 —К31а12 = #22 ,

к41     к42011      0 ,   к42     к41а12      #32 '

Поскольку точно идентифицируемо только второе структурное уравнение системы, интерес для применения косвенного метода наименьших квадратов представляют только коэффициенты этого уравнения а2, #12, #22 и #32. Это означает, что из восьми приведенных уравнений достаточно рассмотреть только четыре уравнения, стоящие в правом столбце. Решая эти уравнения, находим:

а 2 = к22 / к21 ,

#12 = П11 — П12 (7Г22І П21 #22 =П31 — П32 (п22І П21 )> #32 = П41 — П42 (П2^ П21 )•

Подставляя в правые части оцененные значения коэффициентов nki,

находим оценки для коэффициентов второго структурного

уравнения. Например,

а12 = П22/П21 = 0.581396/L030854 = 0.5639945. В отношении трех

остальных   коэффициентов получаем:

#12 = 88.78386, #22 = -1.128017, #32 = 0.561206.

 

З а м е ч а н и е

В таблицах результатов применения косвенного метода наименьших квадратов обычно не приводятся значения стандартных ошибок коэффициентов, поскольку из-за нелинейности соотношений между коэффициентами структурной и приведенной форм вычисление стандартных ошибок оценок коэффициентов при конечных n затруднительно. В то же время при применении двухшагового метода наименьших квадратов для вычисления этих ошибок имеются соответствующие формулы. Поэтому мы могли бы вычислить искомые стандартные ошибки оценок коэффициентов первого уравнения рассматриваемой системы, используя 2SLS и имея в виду, что в случае точно идентифицируемого уравнения результаты оценивания его коэффициентов методами ILS и 2SLS совпадают. Проблема, однако, в том, что (см., например, [Sawa (1969)]) в этой ситуации у 2SLS оценки не существует конечных выборочных моментов. Соответственно, по сравнению с нормальным распределением, оценки более часто далеко отклоняются от истинных значений параметров, и это затрудняет интерпретацию полученных результатов.

 

Имея в виду сделанное замечание, применим все же двухшаговый метод наименьших квадратов для оценивания обоих

структурных уравнений. Результаты применения этого метода таковы:

Оценки всех коэффициентов кроме постоянной составляющей в первом уравнении имеют высокую статистическую значимость. Отрицательное значение оценки коэффициента при переменной yt2 в первом уравнении согласуется с тем, что первое уравнение является уравнением спроса. Положительное значение оценки при переменной yt1 во втором уравнении согласуется с тем, что второе уравнение является уравнением предложения. Также соответствуют априорным предположениям знаки оцененных коэффициентов при переменных xt2, x,3 и xt4 (увеличение спроса при возрастании дохода, уменьшение предложения при усилении неблагоприятных погодных факторов и увеличение предложения при возрастании инвестиций).

Вместе с тем, если обратиться к оцениванию корреляционной матрицы ошибок в структурных уравнениях, то оцененная на

"2SLS           ry o2SLS

основании векторов остатков ui = yi — Zioi ковариационная матрица имеет вид:

(20.638675   16.439387Л 16.439387   36.328821, ' Ей соответствует оцененная корреляционная матрица

'     1 0.600370^

ч0.600370        1     , ,

указывающая на наличие заметной корреляции между ошибками в разных уравнениях. Это означает, что потенциально имеется возможность повысить эффективность оценивания, учитывая такую коррелированность и применяя трехшаговый метод наименьших квадратов или метод максимального правдоподобия с полной информацией.

При применении 3SLS получаем: System: FRU

Estimation Method: Iterative Three-Stage Least Squares

Convergence achieved after: 2 weight matricies, 3 total coef iterations       

 

 

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |