|
Имя материала: Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы) Автор: Носко Владимир Петрович 2.6.7. примеры оценивания систем одновременных уравнений.где P - розничная цена свежих фруктов, выраженная в постоянных ценах с использованием индекса розничных цен, Q - потребление свежих фруктов на душу населения, DPI - располагаемый доход на душу населения, дефлированный на индекс потребительских цен (CPI), Weather - климатическая характеристика, отражающая размер потенциальных потерь урожая из-за неблагоприятных погодных условий, Invest - дефлированный на CPI объем на душу населения чистых инвестиций производителей свежих фруктов, отражающий издержки производства. Первое уравнение является уравнением спроса, а второе -уравнением предложения. Всего имеется 30 наблюдений; все переменные выражены в индексной форме с одним и тем же базовым периодом.
Переходя к обозначениям, использованным ранее при рассмотрении систем одновременных уравнений, запишем систему в виде:
где yt1 = а11 yt 2 + #11xt1 + #21xt 2 + ut1, yt2 = a12yt1 + #12xt1 + #22xt3 + #32xt4 + ut2 , yt1 = Pt, yt 2 = Qt, xt1 = 1, xt 2 =
x=
(Weather )t, (Invest)t . Список x= эндогенных переменных: (yt1, yt2). Список экзогенных переменных: (1, xt2, xt3, xt4 ). Полный список переменных, включенных в систему: (yt1, yt2,1, xt2, xt3, xt4). Соответственно, g = 2, K = 4,
f 1 -a. #11 #21 0 0 a12 1 #12 0 #22 #32 J На элементы первого столбца матрицы A помимо нормировочного накладывается два исключающих ограничения a51 = 0, a61 = 0, так что для этого столбца g* = 0, K* = 2, и g* + K* > g — 1, т.е. порядковое условие идентифицируемости выполняется. На элементы второго столбца помимо нормировочного накладывается одно исключающее ограничение a42 = 0 , так что для этого столбца g 2= 0, K2 = 1, и g 2 + K2 = g — 1, т.е. порядковое условие идентифицируемости выполняется. Для проверки выполнения ранговых условий идентифицируемости воспользуемся Замечанием 3 из разд. 2.5. В
При рассмотрении первого уравнения выделяемая матрица сводится к одной строке с двумя элементами: (в22 в32). Ранг этой матрицы равен 1, что совпадает со значением g — 1 = 1, так что первое уравнение идентифицируемо. При рассмотрении второго уравнения выделяемая матрица сводится к одному элементу: (в21). Ранг этой матрицы равен также равен 1, так что и второе уравнение идентифицируемо. Разница только в том, что для первого уравнения g* + K* > g — 1, а для второго g + K2, = g — 1, т.е. первое уравнение сверхидентифицируемо, а второе идентифицируемо точно. Соответственно, для оценивания второго уравнения можно использовать косвенный метод наименьших квадратов, а для оценивания первого уравнения этот метод не годится. Чтобы применить косвенный метод наименьших квадратов, сначала раздельно оценим методом наименьших квадратов уравнения приведенной формы yt1 = П11 + n21Xt 2 + n31Xt 3 + n41Xt 4 + Wt1, yt2 = П12 + П22Xt 2 + П32Xt3 + П42Xt4 + Wt2 .
и приводит к уравнениям: К11 —П12а11 =#l1, К12 —К11а12 = #l2, П"21 П 22^0.1 — #21 , П 22 П 210^12 — 0 , п31 п32а11 = ^ к32 —К31а12 = #22 , к41 к42011 0 , к42 к41а12 #32 ' Поскольку точно идентифицируемо только второе структурное уравнение системы, интерес для применения косвенного метода наименьших квадратов представляют только коэффициенты этого уравнения а2, #12, #22 и #32. Это означает, что из восьми приведенных уравнений достаточно рассмотреть только четыре уравнения, стоящие в правом столбце. Решая эти уравнения, находим: а 2 = к22 / к21 , #12 = П11 — П12 (7Г22І П21 #22 =П31 — П32 (п22І П21 )> #32 = П41 — П42 (П2^ П21 )• Подставляя в правые части оцененные значения коэффициентов nki, находим оценки для коэффициентов второго структурного уравнения. Например, а12 = П22/П21 = 0.581396/L030854 = 0.5639945. В отношении трех остальных коэффициентов получаем: #12 = 88.78386, #22 = -1.128017, #32 = 0.561206.
З а м е ч а н и е В таблицах результатов применения косвенного метода наименьших квадратов обычно не приводятся значения стандартных ошибок коэффициентов, поскольку из-за нелинейности соотношений между коэффициентами структурной и приведенной форм вычисление стандартных ошибок оценок коэффициентов при конечных n затруднительно. В то же время при применении двухшагового метода наименьших квадратов для вычисления этих ошибок имеются соответствующие формулы. Поэтому мы могли бы вычислить искомые стандартные ошибки оценок коэффициентов первого уравнения рассматриваемой системы, используя 2SLS и имея в виду, что в случае точно идентифицируемого уравнения результаты оценивания его коэффициентов методами ILS и 2SLS совпадают. Проблема, однако, в том, что (см., например, [Sawa (1969)]) в этой ситуации у 2SLS оценки не существует конечных выборочных моментов. Соответственно, по сравнению с нормальным распределением, оценки более часто далеко отклоняются от истинных значений параметров, и это затрудняет интерпретацию полученных результатов.
Имея в виду сделанное замечание, применим все же двухшаговый
метод наименьших квадратов для оценивания обоих структурных уравнений. Результаты применения этого метода таковы: Оценки всех коэффициентов кроме постоянной составляющей в первом уравнении имеют высокую статистическую значимость. Отрицательное значение оценки коэффициента при переменной yt2 в первом уравнении согласуется с тем, что первое уравнение является уравнением спроса. Положительное значение оценки при переменной yt1 во втором уравнении согласуется с тем, что второе уравнение является уравнением предложения. Также соответствуют априорным предположениям знаки оцененных коэффициентов при переменных xt2, x,3 и xt4 (увеличение спроса при возрастании дохода, уменьшение предложения при усилении неблагоприятных погодных факторов и увеличение предложения при возрастании инвестиций). Вместе с тем, если обратиться к оцениванию корреляционной матрицы ошибок в структурных уравнениях, то оцененная на "2SLS ry o2SLS основании векторов остатков ui = yi — Zioi ковариационная матрица имеет вид: (20.638675 16.439387Л 16.439387 36.328821, ' Ей соответствует оцененная корреляционная матрица ' 1 0.600370^ ч0.600370 1 , , указывающая на наличие заметной корреляции между ошибками в разных уравнениях. Это означает, что потенциально имеется возможность повысить эффективность оценивания, учитывая такую коррелированность и применяя трехшаговый метод наименьших квадратов или метод максимального правдоподобия с полной информацией. При применении 3SLS получаем: System: FRU Estimation Method: Iterative Three-Stage Least Squares Convergence achieved after: 2 weight matricies, 3 total coef iterations
|
Г
Это дает следующие результаты (в пакете EVIEWS):
Используем теперь соотношение ПГ = В , которое в нашем примере принимает вид