Имя материала: Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)

Автор: Носко Владимир Петрович

3.3. случайные эффекты

 

Запишем модель

yt =a+Pxu + u,t,  г = І*--^ t = l"^ T , соответствующую гипотезе H1 , в равносильном виде:

yit =M + ai +ex,t + u,t,

N

где                2] a = 0     (при    таком    условии    ai называют

i=1

дифференциальными эффектами). В ряде ситуаций N субъектов, для которых имеются статистические данные, рассматриваются как случайная выборка из некоторой более широкой совокупности (популяции), и исследователя интересуют не конкретные субъекты, попавшие в выборку, а обезличенные субъекты, имеющие заданные характеристики. Соответственно, в таких ситуациях предполагается, что a являются случайными величинами, и мы говорим тогда о модели

у и =M + a+ex и + uu как о модели со случайными эффектами (random effects). В такой модели  a   уже не интерпретируются как значения некоторых фиксированных параметров и не подлежат оцениванию. Вместо этого оцениваются параметры распределения случайных величин

a.

Обозначая vit = a + uit, получаем другую запись такой модели:

уи =M + ex,t + (щ + uit ) = М + Д xit + у* . В такой форме модели ошибка vjt состоит из двух компонент a и ujt. Как и в модели с фиксированными эффектами, случайные эффекты ai также отражают наличие у субъектов исследования

некоторых индивидуальных характеристик, не изменяющихся со временем  в  процессе  наблюдений,  которые  трудно  или даже невозможно наблюдать или измерить. Однако теперь значения этих характеристик встраиваются в состав случайной ошибки, как это делается в классической модели регрессии, в которой наличие случайных    ошибок    интерпретируется    как недостаточность включенных в  модель  объясняющих переменных для полного объяснения изменений объясняемой переменной. К прежним предположениям о том , что uit~ i.i.d.N(0,a2), i = 1,...,N, t = 1,...,T, и E(xjtuJs) = 0 для любых i, j = 1,...,N, t,s = 1,...,T ,

добавим также следующие предположения: E(at) = 0 (так что и E(vu ) = 0),

(это   означает,   что   последовательность   значений a1,k,aN

представляет случайную выборку из распределения N (о, стЦ2)),

Е(хиа}) = 0,i, j =      N, t =      T ,

(так что E(xuVjS) = 0, и в модели со случайными ошибками vu

переменная х является экзогенной переменной). Если предположить еще, что

Е(ииаг)=00,

то тогда условная относительно хй дисперсия случайной величины уй равна

D(yuxlt) = D(vitxit) = D(vit) = D(a, + uit ) = a2a + a2. Таким    образом,    дисперсия     yit     складывается    из двух некоррелированных компонент;  их     называют компонентами дисперсии, а саму модель называют

моделью компонент дисперсии;

однофакторной моделью компонент дисперсии;

стандартной моделью со случайными эффектами (RE модель - random effects model).

В векторной форме эта модель имеет вид yi = [exi ]S+vt,

где

 

 

 

 

 

(1"

 

л il

 

(Vi1 ]

yi =

yi 2

, e =

1

 

xi 2

 

 

{ yiT J

 

 

 

{ xiT J

 

 

Заметим, что

ы         ы         °a +     если t = s,

I   aa, если t Ф s,

ковариационная матрица

так что случайные величины vit и vs коррелированы даже если некоррелированы   ошибки   u it, случайного вектора vt имеет вид

V = E(v,vJ        It +ОІ eeT . Например, при T = 3

V

*u + *a *a

*a                  *u + *a

2 2

і ^-2

При этом

2

Corr{vu ,vls ) = -

2 a—r = p   для всех t Ф s

(предположение равной коррелированности в модели компонент дисперсии).

 

Оценивание

В RE-модели оценка

N T

^H(xit - xi )yit - yi)

PCV = NT

 

i =1t =1

остается несмещенной и состоятельной оценкой для р . Однако она

перестает быть эффективной оценкой (BLUE), как это было в модели с фиксированными эффектами, поскольку не учитывает коррелированность vjt во времени для субъекта i.

Мы можем ожидать, что обобщенная оценка наименьших квадратов (GLS-оценка), учитывающая такую коррелированность,

будет   более эффективной. Заметим, что GLS-оценка для 8 имеет

вид

V-1 =

1

Подпись: 2

 

N T

л      §§(x't -x Wit -у )

= i=1  t =1

N T

 

i =1t =1

где

1     NT         1 NT

Г = NT § § y;' r = NT § § 4.

Это выражение можно представить в виде где

T

§ ((i - x її, - У)

Дь = 1 1          - "межгрупповая" оценка (между-

 

i =1

оценка, between-group estimate), соответствующая регрессии средних значений у на константу и средние значения xi, т.е.

yi =Ju + exi +v~i

("модель для групповых средних"), и игнорирующая внутригрупповую изменчивость,

N

 

i =1

w =——       .

§§(xit -X)) + 4>§ft -x))

i=1t=1 i=1 Таким образом,  обобщенная оценка наименьших квадратов eGLS в RE-модели учитывает и внутригрупповую и межгрупповую изменчивость. Она является взвешенным средним "межгрупповой" оценки Дь (учитывающей только межгрупповую изменчивость) и

"внутригрупповой" оценки pCV (учитывающей только внутригрупповую изменчивость), а w измеряет вес, придаваемый межгрупповой изменчивости. При сделанных предположениях обе

оценки /Зь и /3CV состоятельны, так что состоятельна и сама J3GLS . Если T — оо, то Ч — 0, w — 0 и

Pgls — Pcv ,

так что при больших T оценки для в, получаемые в рамках моделей фиксированных и случайных эффектов, эквивалентны.

Если о2а — 0, то Ч — 1 и V = e(vivt )=alIt + 02аeeT —>оIt . Соответственно, при этом GLS-оценка переходит в OLS-оценку, т.е.

N T

^^{хи -xЇУи -y)

1^GLS —     N    T      = в

 

i=1 t=1

(в пределе нет никаких эффектов). Заметим далее, что

d(Pgls ) = —

°1

 

i=1 t=1          i =1

В то же время

П(всу )=       aU         

N T

ZZfe- xi)2

i=1 t=1

Поскольку Ч > 0, то из двух последних соотношений следует, что

d(0gls )< d(0cv ), т.е. GLS-оценка эффективнее. Она эффективнее оценки pCV именно потому,  что   использует  как  информацию  о внутригрупповой изменчивости, так и информацию о межгрупповой изменчивости.

Чтобы реализовать эту GLS, т.е. получить доступную GLS-оценку (FGLS - feasible GLS, или EGLS - estimated GLS), надо подставить в выражения для *Р (и в) подходящие оценки для сг2 и

<*1 + Тої

Оценить о2и можно, используя внутригрупповые остатки

ІУи - Уі )-Pcv(xit - xi )>

полученные при оценивании модели, скорректированной на индивидуальные средние:

 

О2 = j=u=^

N(X - і)- 1

(в знаменателе число степеней свободы равно количеству наблюдений NT минус количество оцениваемых параметров N +1).

Оценить дисперсию Оа случайных эффектов оа = D(ai) можно, заметив, что при оценивании модели yi = f + в xt + vi, приводящей к межгрупповой оценке

Т

Z (xi- x )yi- y)

вb =

_ i =1

b

Z (xi- x )2

i =1

дисперсия

остатка для i -й группы равна

D{yl -ft ь - в)=ои2/ T + a2a

Состоятельной оценкой для о21Т + О2а является

N I-               " - V

N — 2

i =1

Поэтому состоятельной оценкой для о2а служит

а                    N — 2

N

 

а2 + Tol = T —

N—2

является состоятельной оценкой для а"2 + To2a. Эти две оценки используют межгрупповые остатки. Они являются также оценками максимального правдоподобия соответствующих дисперсий.

Следует только отметить, что, особенно при небольших значениях N и T , значение вычисленной указанным образом оценки дисперсии о2а может оказаться отрицательным.

 

З а м е ч а н и е

Внутригруповую и GLS-оценки можно получить в пакете STATA, используя команду xtreg (с опциями fe или re).

 

Как мы уже отмечали выше, J3GLS можно представить в виде

Pols = wPb + (1 — w)Pcv , так что j3GLS является линейной комбинацией "внутри" и "между" оценок. Эта линейная комбинация оптимальна. Поэтому, например, оценка fiOLS, также являющаяся линейной комбинацией этих

двух оценок (при У = 1), хотя и состоятельна, но менее эффективна.

Критерий Бройша-Пагана для индивидуальных эффектов.

Это критерий для проверки в рамках RE-модели (со стандартными предположениями) гипотезы

H0.a1a = 0 (сведение к модели пула). Идея критерия основана на тождестве

N ( T        Л2       NT N

i =1 =1

i =1 s*t

из которого следует , что

2

ZIZ'

i

ZZusuit

i =1

i =1 s&

ZZu2 ZZu2

i =1  =1         i =1 =1

При отсутствии автокоррелированности случайных ошибок ий правая часть последнего равенства мала. Поэтому статистику критерия можно основывать на выражении, стоящем в левой части, в которое вместо ненаблюдаемых значений  ий подставляются

остатки uit, полученные при OLS-оценивании модели пула. Против гипотезы H0 говорят "слишком большие" значения

Г

N ( T

 

i =1 { t=1

N T

Y

 

 

— 1

2

EE" I

i =1 =1

Статистика критерия Бройша-Пагана

Подпись: 2 Подпись: 2(T -1) Подпись: 1¬
Подпись: -1
Подпись: NT
Подпись: BP

Подпись: 2

при гипотезе h0 имеет асимптотическое распределение X ()• Соответственно, гипотеза H0 отвергается, если наблюдаемое значение статистики BP превышает критическое значение, рассчитанное по распределению X ()•

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |