Имя материала: Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)

Автор: Носко Владимир Петрович

3.6. автокоррелированные ошибки

 

Во всех рассмотренных выше ситуациях предполагалось, что случайные составляющие u t - взаимно независимые случайные

величины, имеющие одинаковое распределение N(0, сг2) ■ Между тем, вполне возможно, что для i -го субъекта последовательные ошибки uг1,uг2,к,uiT не являются независимыми, а следуют, скажем, стационарному процессу авторегрессии первого порядка с нулевым средним.

Точнее говоря, пусть мы имеем дело с моделью

yt =М + а+рx,t + u,t , j = І--N, t = 1,K,T ,

в которой

u tt =Pu,,t-1 + £u,

где p|< 1, а случайные величины єл,єі2,...,єІТ являются гауссовскими инновациями, так что они взаимно независимы и имеют одинаковое распределение N(0, <т2) и, кроме того, еи не зависит от значений ui t-k, k > 1. Общий для всех субъектов коэффициент р можно оценить различными способами. При этом в большинстве случаев сначала переходят к модели, скорректированной на групповые средние:

y,t - У , = вix,t - x j )+{U,t - иг ),

т. е.

~,t = в ~t + U,t,

а затем поступают по-разному.

Можно, например, оценить (методом наименьших квадратов) последнюю  модель   без  учета  автокоррелированности ошибок,

получить последовательность остатков ~ 1, ~2, ..., u T , вычислить

значение статистики Дарбина-Уотсона

22 К- u j,t-1

d =J=LJ=2   

 

и, используя приближенное соотношение р = 1 - d/2, получить оценку рdw = 1 - dj2 ■

Можно поступить иначе: получив последовательность остатков U~i1,ucf2,...,~iT, использовать оценку наименьших квадратов, получаемую при оценивании уравнения регрессии

ий =PUi,t—і +Vit.

Искомая оценка вычисляется по формуле:

N T

 

NT

 

і =1   t=1

[В пакете Stata8 эта оценка обозначена как рtScorr.]

После получения оценки для р производится преобразование

переменных, призванное получить модель с независимыми ошибками. Наконец, в рамках преобразованной модели производится обычный анализ на фиксированные или случайные эффекты.

 

П р и м е р

В примере с тремя предприятиями для модели с фиксированными эффектами получаем следующие результаты.

 

При использовании DW-оценки:

. xtregar y x, fe rhotype(dw) lbi -

FE (within) regression with AR(1) disturbances

Number of obs = 27

R-sq:

within = 0.9569          

between = 0.1111      

overall = 0.9252         

F(1,23) = 510.54, Prob > F = 0.0000 corr(a_i, Xb) = -0.1625

У

Coe£

Std^ Err

t

P>t

x

1Л05796

■0489398

22^60

0^000

cons

-L317209

■6964634

-189

0^071

 

rho ar

■170171

sigmaa

L423608

sigmau

L773845

rhofov

■3917622          (доля   дисперсии, соответствующей индивидуальным эффектам a i)

 

F test that all alfa_i=0:           

F(2,23)= 3^82, Prob > F = 0^0370    

modified Bhargava et al Durbin-Watson = L664958 Baltagi-Wu LBI = L8196862

Оценка коэффициента p по сравнению со значением 1Л02192,

полученным ранее без учета возможной автокоррелированности

ошибок, практически не изменилась ■ И это согласуется со значением

статистики      Дарбина-Уотсона^      Вывод      об отсутствии

индивидуальных эффектов также не изменяется ■

При использовании tecorr-оценки:

■ xtregar y x, fe rhotype(tscorr)

FE (within) regression with AR(1) disturbances

Number of obs = 27   

R-sq: within = 0^9540

between = 0Л111       

overall = 0^9252

F(2,23) = 4.66, Prob > F = 0.0199

Оцененное

значение

коэффициента

автокорреляции p на этот раз почти в два раза меньше. Оценка коэффициента практически не изменилась.

3.7. Двухфакторные (двунаправленные) модели 3.7.1. Фиксированные эффекты

Здесь мы рассматриваем модель, в которую помимо индивидуальных эффектов а включаются также и временные эффекты Л(:

yt =м+а ++[xu+u,t, i =    N, t = 1,k,t,

N T

где   Zuai = 0, = 0, так что ai и At - "дифференциальные

i =1               t =1

эффекты". При этом и аі и At интерпретируются как неизвестные

постоянные. Обозначая

1N

yt =— Z yit   и т.д. (средние по субъектам),

N  i =1

yi =—Z yt    и т.д. (средние по времени),

1 NT

У =               2Х Уи (среднее по всем наблюдениям),

получаем:

{yrt - Уг ~ yt + У ) = (X,t - Xi - Xt + X )fi + {Xrt - Ur - Ut + U ) •

Оценка наименьших квадратов для коэффициента в в этом уравнении (двухфакторная внутригрупповая оценка) имеет вид

N T

YjYj (yit - Уг - yt + У ){х - Хг - Xt + x ) W

'CV               N T

i =1 t =1 Wxy

=                    =

W

SEX* - Хг - Xt + x )2 xx

i =1   t =1

На основании соотношений

{У, - У) = аг + {Хг - x )в + (Ui - U) ,

{у - у ) = Л + {xt - x )в+(Ut - ЇЇ) можно получить оценки для а и At:

аг ={Уг - У)-ficV {Хг - x),

Л ={yt -У)-ficv {Xt -x).

 

Для оценивания двунаправленной модели с фиксированными эффектами в пакете Stata применяется процедура xtreg, fe с включением дамми-переменных для временных периодов.

 

П р и м е р

(объяснение размеров заработной платы, продолжение) Fixed-effects (within) regression

R-sq:

within = 0.1808

between = 0.0005

overall = 0.0638

F(11,3804) = 76.30,   Prob > F = 0.0000

коэффициенты при тех же переменных что и в однонаправленной модели с фиксированными эффектами.

 

sigma_a .40078197

sigma_u .3509988

rho .56593121 (fraction of variance due to a_i)

 

F test that all a_i=0:   

F(544, 3804) =    7.97        Prob > F = 0.0000           

. test Y81=Y82=Y83=Y84=Y85=Y86=0

(Здесь Y81 - дамми-переменная, равная 1 в 1981 г. и равная 0 в остальные годы; аналогично определяются Y82,...,Y86.)

F(6, 3804) = 1.96

Prob > F = 0.0680

Результаты последнего теста не выявляют значимого влияния временных эффектов.

 

3.7.2. Случайные эффекты

 

В этой двухфакторной модели yu =ii + ax+Xt + рxu + uu, j =      N, t = T предполагается, что а и Л - случайные величины и что E (а)= Е(Л, ) = E (uu ) = 0,

Е (аа, )== К"™ .' = Л

[ 0, если j Ф j,

Е(Л,Л,) = К если ' = '•

[ 0, если t Ф s,

Е(ultu)S ) = К если j= j и t = ^ [0, в противном случае,

Е(аЛ )= 0 , E(auuи )= 0, E(&tuи )= 0 > Е (axu ) = Е {xu ) = Е (u А ) = 0.

Определим vu = a +At + u jt ■ Тогда D(vit ) = D(yitxit ) = a2a + а2л + a2, так что ошибка состоит из трех компонент. При этом

 

\<jx, если t = S,j Ф j,

 

D(vit)

, если i = j, t Ф s,

Corr{vit,v. ) =

, если t = s, i Ф j,

1,      если t = s, i = j, I   0,     если t Ф s, i Ф j. "Межсубъектная" оценка определяется как

 

Рь

Y (x'- x  - y у

i =1

N '

Y -x )2

i =1

B

Bx

а "межвременная" оценка определяется как

 

T

Y (xt- x у- у )

bt

 

t =

GLS-оценка равна

Pols = <*>iPcv + ®2ры + ®з fibt ■.

где

Wx,

W

                      xx

 

a>2 =

Wxx+Ф lixACxx tx:

Фі Bxx s    щ =ФФ£^ 5

 

Ф22 =

°l + No2,

 

Иначе говоря, GLS-оценка является взвешенным средним одной "внутри"- и двух "между"-оценок, с весами, отражающими источники изменчивости.

 

•   Если а2а = <j = 0 (так что все at и Xt равны нулю), то

 

Pols    t     W      T    B      T    C      W  + B   + C

xx        xx     xx        xx           xx        xx        xx        xx xx

N T

ZH(x't -x)yit -У)

= 1 =1 tN=1   T           = pOLS  (как для пула).

ZZta- x )2

i =1   t =1

•   При T — °° и N — °° имеем ф22 — 0 и ф32 — 0 , и

Pols = Pcv    (как   для   модели   с фиксированными эффектами).

 

Можно также комбинировать фиксированные временные эффекты и случайные индивидуальные эффекты в рамках процедуры xtreg, re с включением dummy-переменных для временных периодов.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |