Имя материала: Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)

Автор: Носко Владимир Петрович

Глава 4. структурные и приведенные формы векторных авторегрессий и моделей коррекции ошибок

 

Здесь мы предполагаем, что читатель знаком с материалом, относящимся к построению и статистическому анализу моделей коррекции ошибок для коинтегрированных временных рядов, изложенным, например, в книге автора [Носко (2004)]. Кратко напомним необходимые для последующего изложения факты.

Пусть мы имеем N временных рядов y1tyNt , каждый из которых является интегрированным порядка 1, так что, в общепринятых обозначениях, yjt~ 1(1), j = 1,...,N. Если существует

такой вектор Д = (Д,..., pN )Т, отличный от нулевого, для которого

ДУи + к + pNym ~ 1(0) - стационарный ряд, то ряды коинтегрированы (в узком смысле); такой вектор Д называется коинтегрирующим вектором. Если при этом

С = Е(Д1 yit + к + eNyNt ^

то тогда можно говорить о долговременном положении равновесия системы в виде

Д1 yit + к + eNyNt = С .

В каждый конкретный момент времени t существует некоторое отклонение системы от этого положения равновесия, характеризующееся величиной

 

Ряд zt, в силу сделанных предположений, является стационарным рядом, имеющим нулевое математическое ожидание, так что он достаточно часто пересекает нулевой уровень, т.е. система колеблется вокруг указанного выше положения равновесия.

Положение, однако, осложняется тем, что у коинтегрированной системы 1(1) рядов может быть несколько линейно независимых коинтегрирующих векторов. Если максимальное количество линейно независимых коинтегрирующих векторов для заданных рядов y1tyNt равно r, то это число r называется рангом коинтеграции. Для коинтегрированной системы, состоящей из N рядов, ранг коинтеграции может принимать значения r = 1,..., N — 1. (Формально, если ряды не коинтегрированы, то r = 0 . Если же имеется r = N линейно независимых коинтегрирующих векторов, то все N рядов стационарны.) Совокупность всех возможных коинтегрирующих векторов для коинтегрированной системы 1(1) рядов образует r -мерное линейное векторное пространство, которое называют коинтеграционным пространством. Любой набор r линейно независимых коинтегрирующих векторов образует базис этого пространства, и если зафиксировать этот набор в качестве базиса, то тогда любой коинтегрирующий вектор является линейной комбинацией векторов, составляющих базис.

Пусть коинтегрированная система 1(1) рядов y1tyNt имеет ранг коинтеграции r и может быть представлена в форме VAR( p +1) - векторной авторегрессии порядка p +1 (VAR -vector autoregression). Тогда существует представление этой VAR в форме ECM (модели коррекции ошибок) p і

+ Z       Ayu_j + ••• + Уш,jAyN,t_j)+£lt ,

j=1

AyN t =Mn +aN1 Z1, t _ 1 + K + aN rZr, t _ 1 + j = 1

где

zlt,k,zrt - стационарные I(0) ряды, соответствующие r линейно независимым коинтегрирующим векторам      • • •, в(г),

(a11,k,aN1 )г,к,(a1r,...,aNrУ - линейно независимые векторы корректирующих коэффициентов (коэффициентов адаптации).

Такую модель коррекции ошибок можно записать в компактном виде как

Ayt =м + ocpTyt_ і + Гі Ayt_i + k + Гр Ayt_p + et где Г1,к,Гр- матрицы размера NXN, а а и в - (NXr)-матрицы полного ранга r . При этом столбцы в(Г),...,в(г) матрицы в являются линейно независимыми коинтегрирующими векторами, а элементы afj матрицы а являются коэффициентами при стационарных линейных комбинациях

Z1,t_1 =в(1)ytZr,t_1 = в(г)yt_1

(представляющих отклонения в момент t _ 1 от r долговременных соотношений между рядами y1t, „., yNt) в правых частях уравнений для Ay1tAyNt. Мы будем говорить о такой модели коррекции ошибок как о модели коррекции ошибок без ограничений (UECM

- unrestricted error correction model).

Представление коинтегрированной VAR в форме модели коррекции ошибок не единственно, поскольку в качестве набора J3(r),...,j3(r)       можно   взять   любой   базис коинтеграционного

пространства. Соответственно, неоднозначность имеется и в отношении матрицы а. В практических задачах на первый план (наряду с определением ранга коинтеграции) выходит идентификация коинтегрирующих векторов, выражающих осмысленные с экономической точки зрения (экономической теории) долговременные связи между рассматриваемыми переменными (например, паритет покупательной способности, спрос на деньги и т.п.). Это, в свою очередь, требует наложения на коинтегрирующие векторы соответствующих идентифицирующих ограничений, позволяющих различать эти векторы, выделяя их из всего множества линейных комбинаций базисных векторов.

Заметим теперь, что в правую часть уравнений стандартной формы VAR включаются только запаздывающие значения переменных y1tyM. Поэтому в правой части ECM, соответствующей такой VAR, оказываются только запаздывающие значения приращений AytAyNt. Между тем в практических исследованиях при рассмотрении оцененной корреляционной матрицы вектора приращений (AyltAyM) часто наблюдаются

достаточно удаленные от нуля значения недиагональных элементов этой матрицы. Последнее указывает на возможную коррелированность приращений, соответствующих одному и тому же моменту времени. Непосредственно учесть такого рода коррелированность можно, переходя к модели структурной VAR (SVAR - structural vector autoregression) и соответствующей ей модели структурной ECM (SECM - structural error correction model).

Рассмотрим  пару  рядов   y1t, y2t,   составляющих векторный

случайный процесс yt =(y1t, y2t J , порождающийся структурной ECM:

 

0 =

в11 в

@21     022 J

 

VY21      Y22 J

« =

 

11

12

V«21     «22 J

 

Подпись: z' 1 -p12 V -p21 1

Vb 2t J

получаем для этой структурной ECM компактное выражение: ФЛ^ = Г* Ay -і + «0Tyt -l +Zt.

Умножая обе части последнего выражения слева на матрицу Ф-1, находим приведенную форму ECM:

Ayt = Г1 Ayt -і +a0Tyt -l ,

где

Г = Ф-1Г; , а = Ф-1«, et = Ф-1 Ct

Но

Ф-1

1

(l -p12p21 )

( 1

Vp21

р12 1

так что, обозначая, 8 = 1 - р2р21, получаем:

Ги =(К1У8,

Г12 = (Я*2 + У8, Г22 = (Г*2 + р21^2 У8,

"II "12 V «21     «22 J

а = — 8

1 {  1       <Pl2 Y«11     «121

\<h1 1

Оц ={aU +^12«21 )/8, «12 =((2 +^12«22 )/8, «21 = («21 + 021^1 )8, «22 = («22 + )/8.

Рассматриваемая структурная ECM не имеет ограничений в том смысле, что в ней не приравниваются нулю:

никакие внедиагональные элементы матрицы Ф1;

никакие элементы матрицы Г*;

никакие элементы вектора а ;

никакие элементы вектора (.

В конкретных же примерах некоторые из перечисленных элементов зануляются. Например, если y1t, y2t ~ 1(1) и коинтегрированы, то

коинтегрирующий вектор единствен. Если это вектор (в11,в21 J, то тогда можно положить (12 = (З22 = 0, О12 = а22 = 0, что уменьшает количество неизвестных коэффициентов.

В общем случае структурная ECM имеет вид:

ФДу = г;дл -1 +...+г; Ayt _ р + a(Tyt _1+£,

где Ф - недиагональная невырожденная квадратная матрица размера N X N . Умножая здесь обе части уравнения на Ф-1, мы приходим к приведенной форме ECM:

Ayt = Г1 Ayt _1 + к + Гр Ayt _ р + apTyt _1 + ,

где

Г}. = Ф^Г*, а = Ф_1а, et = Ф_1 Ct. В   этих  двух   формах   общим   является   только   (вyt _1, т.е.

долговременное соотношение, тогда как коэффициенты адаптации (в приведенной форме ECM) являются функциями от коэффициентов структурной ECM: а = Ф_1а. Последнее приводит к тому, что отсутствие некоторой корректирующей составляющей в одном   из   уравнений   SECM   отнюдь   не   означает,   что эта составляющая будет отсутствовать и в соответствующем уравнении приведенной ECM. Соответственно, коррекция ошибок в одном уравнении SECM может распространяться и на все остальные уравнения приведенной ECM.

 

При рассмотрении вопроса об идентифицируемости параметров структурной ECM естественно выделить отдельно идентификацию коинтегрирующих векторов и идентификацию коэффициентов, связанных с динамической адаптацией, т.е. элементов матриц Ф,Г*Г*,a .   Поскольку   коинтегрирующие   соотношения в

структурной и приведенной ECM одни и те же, можно использовать результаты, касающиеся идентифицируемости коинтегрирующих векторов в приведенной ECM.

Вопрос об идентификации коинтегрирующих векторов естественно возникает при наличии двух и более коинтегрирующих векторов и связан с возможностью различения таких векторов. В процедуре Йохансена, реализованной в пакете EVIEWS, такое различение производится исходя из того, что если ранг коинтеграции равен 1 < r < N, то тогда существует N — r некоинтегрированных между собой (в совокупности) переменных -"общих трендов" (common trends), таких, что добавление к этой совокупности любой из оставшихся r переменных приводит к коинтегрированности пополненного множества из N — r +1 переменных. Это означает, что в качестве линейно независимых коинтегрирующих векторов можно взять любой набор из r векторов вида

Г ви 1

 

Г о ^

 

Г 0 1

0

 

 

 

0

0

5

0

5   * * * 5

 

 

 

 

 

Pr, r +1

V p J

 

V Р2к J

 

 

Конечно, при этом предполагается, что переменные занумерованы так, что "общие тренды" соответствуют переменным с номерами r + N. Выделение из этого множества возможных наборов единственного набора производится в EVIEWS нормализацией каждого из этих векторов, так что  j -й вектор нормализуется

делением всех его элементов на pj, вследствие чего получаем набор из r векторов:

 

Г 1 ^

 

Г 0 ^

 

Г 0 1

0

 

1

 

0

0

5

0

5   * * * 5

1

P,r +1

 

p, r +1

 

Р, r +1

V PN J

 

v P2N J

 

v Pr,N J

Такой набор образует базис r -мерного линейного пространства коинтегрирующих векторов при ранге коинтеграции r .

Проблема, однако, в том, что с точки зрения экономической теории нас могут интересовать коинтегрирующие векторы и какого-то другого вида (являющиеся, конечно, линейными комбинациями векторов, принадлежащих базису). При этом на соответствующие коинтегрирующие векторы накладываются определенные ограничения, вытекающие из экономической теории: невхождение в коинтегрирующую линейную комбинацию тех или иных переменных, равенство некоторых компонент коинтегрирующего вектора или наличие у них противоположных знаков при одинаковой абсолютной величине и т.п. В такой ситуации возникает вопрос о необходимости и достаточности множества накладываемых ограничений для идентификации, т.е. различения коинтегрирующих векторов.

Обычно ограничиваются рассмотрением линейных ограничений, в том числе исключающих появление отдельных переменных в коинтегрирующей линейной комбинации. При этом ограничения могут быть представлены как в явной, так и в неявной форме. Если векторы уже нормализованы, то тогда необходимым условием идентифицируемости r коинтегрирующих векторов является наложение на каждый из r векторов не менее r — 1 линейных ограничений. Об этом условии говорят как о порядковом условии идентифицируемости.

Порядковое условие, вообще говоря, не является достаточным для идентифицируемости, поскольку при его выполнении полученные r векторов могут все же оказаться линейно зависимыми, так что, скажем, вектор  Д   нельзя отличить от

некоторой линейной комбинации векторов Д2,...,Д.. Поэтому, в

принципе, следует производить еще и проверку линейной независимости полученных r векторов. Для этого можно воспользоваться достаточными условиями идентифицируемости, формулируемыми в терминах матриц, участвующих в формировании явной и неявной форм линейных ограничений.

Если на i -й коинтегрирующий вектор накладывается rt линейных ограничений, то их можно записать в двух формах: явной и неявной. Под неявной формой понимается представление этих ограничений в виде:

W = 0,

где R - матрица размера rt х N ранга rt. Ту же самую совокупность ограничений можно представить в явной форме в виде:

P = HA,

где Hr - матрица размера Nx(N — rr) ранга N — rr, A - вектор размера (N — ri )x 1. При этом выполняется соотношение

RH, = о,

т.е. строки матрицы Rt ортогональны столбцам матрицы Hi. Поясним это на примере модели IS/LM, связывающей следующие макроэкономические параметры:

mt = InMt, где Mt - номинальная денежная масса,

inct = GDPt, где GDPt - реальный валовый внутренний продукт,

pt = In Pt, где Pt - дефлятор GDP,

rts - краткосрочная процентная ставка, - долгосрочная процентная ставка. Пусть все эти ряды интегрированные порядка 1, ранг коинтеграции этих   временных   рядов   равен   r = 3   и   в коинтеграционное соотношение приходится включать еще и временной тренд t. Тогда речь идет об идентификации трех коинтегрирующих векторов

 

 

 

 

 

Г в12 ^

 

 

Pi

 

 

 

 

 

 

вз2

, в3 =

взз

 

в42

 

в51

 

в52

 

в53

lP61 J

 

P62 J

 

vP63 j

обеспечивающих стационарность линейных комбинаций

Z1t =Pnmt +p21inCt +P31pt +P41rt  +P51rtb +P61t, Z2t = P12mt + P22inCt + Рз2 pt + P42rt  + P52rtb + /^62^ Z3t = P13mt + P23inCt + Рзз pt + P43rt  + P53rtb + P63t.

Ограничения на коэффициенты этих векторов могут быть получены, например, из следующих соображений.

Если спрос на реальные деньги рассматривается как функция от реального дохода, краткосрочной ставки и тренда, т.е. mt — pt = f (inct, rts, t), то это подразумевает наличие долгосрочной

связи между переменными mt — pt, inct, rts, t без включения в нее переменной rt , так что стационарной является линейная комбинация zlt = [3nmt + jB2inct — Д11pt + Д41г/ + [36lt. Ограничения на вектор в принимают вид: в31 = —j3n, (351 = 0. Эти ограничения можно записать в виде Д Д = 0 (неявная форма), где

Подпись: (1

R =

0 ї 0 0 0 0 1

0   10 0 0   0   0   0 1 или в виде Ді = Hi$i, где

0

—і

Hi =

0 ї 0

 

Азі

VA41 J

 

так что Д1

 

Азі

 

41 J

 

Нетрудно проверить, что R1H1 = 0.

Если дифференциал процентных ставок rts — rb определяется через остальные переменные без включения тренда, т.е. rts — rtb = f1 (mt, inct, pt), то это подразумевает наличие долговременной связи между переменными rts — rtb, mt, inct, pt без включения в нее переменной t , так что стационарной является линейная комбинация z2t = e12mt + e22inct + Д32 pt + Да1г^ —Д42гь . Ограничения на вектор Д2 принимают вид: Д52 =—Д42, Д62 = 0. Эти ограничения можно записать в виде Я2Д2 = 0 (неявная форма), где

(0   0   0   1 1 ^0   0   0   0 0 или в виде Д2 = H 202, где

0 ї 1

Наконец, если долгосрочная процентная ставка rt определяется как функция только от mt, pt и   t, то это подразумевает наличие

Подпись: '63'
Эти

m

и t без

t и rts, так что стационарной

Z3t = ДЩ + Д33 pt +P53rt  + p63t.

долговременной связи между переменными включения в нее переменных inc, является   линейная комбинация

Ограничения на вектор Д3 принимают вид: Д23 = 0, Д43 = 0.

R3 =

(0

0

0 ї

0

Необходимое и достаточное условие идентифицируемости

1 < r < N коинтегрирующих векторов имеет в общем случае довольно сложный вид. Однако при r = 2,3 оно достаточно просто для проверки (см., например, [Patterson (2000)]).

При r = 2 коинтегрирующие векторы Р , Р2 идентифицируемы тогда и только тогда, когда выполняются соотношения:

rank (R1H2 )> 1, rank (R2H1 )> 1. При r = 3 коинтегрирующие векторы Р , Р2, Р3 идентифицируемы тогда и только тогда, когда выполняются соотношения:

rank(RiHj)> 1, i ф j, i, j = 1,2,3, (6 соотношений)

rank (R1 [H2, H3 ]) > 2, rank (R2 [H1, H3 ]) > 2, rank (R3 [Н1, H2 ]) > 2.

 

Проверим выполнение этого условия в только что рассмотренном примере, где r = 3. Имеем:

 

R1H 2

 

R2H1 =

 

R3H1 =

 

Г1

0

0 1

00

Г 0   0 1

Г0

0

000

1 0 0 1

0 ї -1

01

1J

0 ї 0

 

R1H 3

R2H3 =

 

R3H2 =

 

Г1

v 0

Г0

0

01

1J

0 ї 1

0   1 0ї

0 1 0 1

000 Г 0 10 000

Все 6 матриц имеют ранг 2>1, так что первая группа условий выполняется. Далее,

 

(10 10

0   0   0   _ 1

110 001

0 ї

0

 

 

 

 

 

 

 

(1

0

0

0

1

0

0

01 011

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

0

0

0

0

 

 

(0

0

0

1

1

 

_1

0

0

0

0

1

0

011

 

ч 0

0

0

0

0

1J

0

0

1

0

0

0

0

01

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

0

1

011

 

 

 

 

 

 

 

ч0

0

0

1

0

0

0

1 1J

 

(0

0

1

0

0

0

1

01

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

0

0

0

1 1J

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

0

0

0

1

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

0

0

1

0

01

 

1

0

0

0

01

_1

0

0

0

0

0

1

0 11

ч0

0

0

1

0

0 J

0

0

1

0

0

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

0

0

_

1 11

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |