Имя материала: Институт экономики переходного периода

Автор: Носко Владимир Петрович

2.3. числовые характеристики случайных величин и их свойства

Случайные величины, с которыми мы имеем дело в данном курсе, полностью определяются заданием их функции плотности, указывающей на зоны более вероятных и менее вероятных значений случайной величины. Часто, однако, интересуются более сжатыми характеристиками распределений случайных величин, выраженными отдельными числами. К таким характеристикам, в первую очередь, относятся математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Пусть случайная величина X имеет функцию плотности p(x). График функции p(x) ограничивает вместе с осью абсцисс Ox полосу переменной ширины. Если рассматривать эту полосу как материальный объект определенной (постоянной) толщины, изготовленный из однородного материала и имеющий массу, равную единице, то абсцисса центра тяжести этого материального объекта называется математическим ожиданием (expectation) случайной величины X, обозначается E (X) и вычисляется по формуле

со

E(X) = Jx p(x)dx .

—со

Если график функции плотности симметричен относительно оси ординат (так что p(x) — четная функция), то E (X) = 0.

Довольно часто о E(X) говорят как о среднем значении случайной величиныX. Это связано с тем, что если X1,...,Xn — независимые копии случайной величины X (т. е. случайные величины X1,..., Xn независимы в совокупности и имеют

то же распределение, что и X), то тогда при больших n для наблюдаемых    значений    x1,..., xn     случайных величин

X1,..., Xn имеет место приближенное равенство

Подпись:  тем более точное, чем больше значение n. Иными словами, с увеличением n значение E(X) сколь угодно точно приближается значением среднеарифметического наблюдаемых величин x1,..., xn.

Обратимся опять к упомянутому ранее гауссовскому (нормальному) распределению с функцией плотности

и пусть случайная величина X1 имеет такое распределение с а - 1, а случайная величина X2 имеет такое распределение с а - 2 . Сравним графики соответствующих функций плотности (сплошной линией представлен график функции плотности

случайной величины X1):

Поскольку в обоих случаях графики симметричны относи-

тельно нуля, то         

т. е. математические ожидания случайных величин Xj и

X2 совпадают. Однако, распределение случайной величины

X2 более рассредоточено, и это означает, что для любого

a > 0   

P{|X| > a}< P{X2 > a] .

При этом говорят, что распределение случайной величи-

ны X2 имеет более тяжелые (heavy), или более длинные

(long) хвосты (tails). Соответственно,        

P{|X| < a} = - P§XX > a] > 1- P{|X2| > a] = P§X2 < a} .

В рассмотренном случае в качестве числовой характеристики степени рассредоточенное™ распределения можно было бы принять параметр а: чем больше значение этого параметра, тем более рассредоточено распределение. В общем случае, сравнивать степени рассредоточенное™ распределений случайных величин можно, привлекая для этой цели понятие дисперсии.

Дисперсией (variance) случайной величины X называют число

E (X,) = E (X 2) = 0 ,

D(X) = E(X - E(X))2

равное математическому ожиданию квадрата отклонения

случайной величины X от ее математического ожидания E(X) .

1 Зная функцию плотности p(x) случайной величины X, дис-

персию этой случайной величины можно вычислить по фор-

муле   

D(X) = j"(x - E(X))2 p(x)dx .

—OJ

Таким образом, математическое ожидание E(X) можно интерпретировать как взвешенное среднее возможных значений x случайной величины X, с весами, пропорциональными p(x), а дисперсию D(X)— как взвешенное среднее (с теми же весами) квадратов отклонений возможных значений x случайной величины X от ее математического ожидания.

Если случайная величина X имеет нормальное распределение с функцией плотности

p(x)

 

то для нее

E(X) = ц , D(X) = а7

Таким образом, случайная величина, имеющая нормальное распределение, полностью определяется (в отношении ее распределения) заданием значений ее математического ожидания и дисперсии.

В литературе по эконометрике математическое ожидание случайной величины X обозначают иногда символом M(X), а для дисперсии случайной величины X используют также обозначения Var(X) и V(X).

В связи с частым использованием нормально распределенных случайных величин в дальнейшем изложении, мы будем обозначать нормальное распределение, имеющее математическое ожидание іл и дисперсию а2, символом N(//, а2). Вслу-чае, когда /и = 0, сг2 - 1, говорят о стандартном нормальном распределении N(0,1) . Имеются весьма подробные таблицы значений функции распределения и функции плотности стандартного нормального распределения.

Для дальнейшего нам, в первую очередь, понадобятся следующие простые свойства математического ожидания и дисперсии.

Если a - некоторая постоянная, отличная от нуля, а X - некоторая случайная величина, то тогда сумма X + a и произведение aX также являются случайными величинами; при этом,

E (X + a) = E (X) + a E(aX) - aE ( X)

D( X + a) = D( X) D(aX) - a2D(X).

Два свойства, касающиеся математического ожидания, непосредственно следуют из определения математического ожидания. При выводе первого из них учитываем, что по самому определению функции плотности распределения,

J p( x )dx

1

Из этих двух свойств математического ожидания легко получаем указанные два свойства дисперсии. Действительно,

D(X + a) = E((X + a)- E(X + a))2

= E(X + a - E(X) - a)2 = E(X - E(X))2 = D(X) , D(aX) = E(aX - E(aX))2 = E(aX - aE(X))2

= E[a2(X- E(X))2) = a2E(X - E(X))2 = a2D(X) .

Таким образом, изменение случайной величины на некоторую постоянную вызывает такое же изменение математического ожидания, но не отражается на дисперсии. Изменение случайной величины в a раз приводит к такому же изменению математического ожидания и изменяет значение дисперсии в a2 раз.

с фиксированными x^...,xn и взаимно независимыми га-уссовскими ошибкамиєх,...,єп, мы имеем:

єі ~ n(0,<j2 ) =^> Yi =a + /3xt +st ~ N(a + /3 xi ,a2).

Соответственно,      

E(є і) = 0, D(e і) = a2; E(Y) ^a + Pxt , D(s .) = a2. Заметим, наконец, что если Z^..., Zn — случайные величины и Z - Z1 +...+Zn, то

E (Z ) = E (Zx)+...+E (Zn)

и если случайные величины Z^..., Zn попарно некоррели-

рованы, т. е.  

Cov{Zj, Zk ) = E((Zj - E(Zj))(Zk - E (Zk ))) = 0,

то тогда         

D(Z ) = D(ZX)+...+D(Zn).

В применении к последней линейной модели наблюдений это означает, что рассматриваемая как случайная величина

оценка наименьших квадратов /?, которую мы представили ра-

нее в виде     

Р =Zc.Y, ,

i=1

В применении к линейной модели наблюдений |у.. =а + р xi +st ,   i = 1,...,n,

где

С. = Wj - w ,

 

T,ixJ -x )2

так что Cj'...'cn — фиксированные величины, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием

e ф) = £ cE y )

 

и дисперсией

D{fi) = £ с2 D(Y ) .

            i=i       

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 |