Имя материала: Эконометрика Книга первая Часть 2

Автор: Носко Владимир Петрович

Раздел 10 процедуры для различения гс- и /)5-рядов тема 10.1        критерии дики-фуллера

Здесь и далее случайные величины и их реализации будем обозначать строчными буквами.

Прежде чем двигаться дальше, обратим внимание на одно важное обстоятельство, которое иногда является причиной недоразумений при практическом толковании полученных результатов.

Рассмотрим ГС-ряд

xt=a + J3t + axXt_x +єп   |ах \< 1.

Относительно какого именно линейного тренда этот ряд является стационарным? Пусть у + St — искомый тренд, ayt — детрендированный ряд, так что у, = xt - у- St, nyt является стационарным процессом авторегрессии

 

Подставив выражения для>>, nyt- в последнее соотношение, найдем

xt - у - St = axxt_x -y-S(t-1)) + st,

xt =(y-axy + axS) + S(l-ax)t + axxt_x +6t,

так что a= y-axy+axSn$ = S(l - ax), откуда получаем

8 = _J_            a-ax{a + P)

-ax (-axf

Таким образом, ряд xt является стационарным относительно линейного тренда

а-ах{а + Р) |   J3 f (l-*i)2 "

В частности, при р = О и а ф О процесс стационарен и имеет математическое ожидание

а

1-а,

Если ах = 1, то последнее представление невозможно, и надо исходить непосредственно из определения ряда хг В этом случае

xt=a + /3t + xt_x + £t =

= (a + pt + et) + (a + P(t-l) + et_x) + ... + (a + p + ex) + x0 =

Подпись: pY^pПодпись: a + -= xQ +

t + ^t  +(ЄХ +Є2 + ... + £,).

 

При a = J3 = О имеем простое случайное блуждание

Xt =Xt_x+ Єп     Xt =Х0+(Є1+£2+ ... + £,).

При а * 0, р = 0 имеем

х, =яг + jcm +      х, = х0 + at + (ex +є2 + ... + £,), т.е. случайное блуждание вокруг детерминированного линейного тренда х0 + at. Наконец, при а ф 0, 0

х, = а + fit + х,ч +       х, = х0 +

/ + М +(^i +£2 + ... + £,),

 

так что исходный ряд xt представляет случайное блуждание вокруг детерми-

нированного квадратичного тренда х0 +

 

2

Р 2

t+—r.

2

Таким образом, в модели

xt=a + /3t + axxt_x + єп

если а* 0, /?= 0, то:

при ах < 1 у ряда х, тренда нет;

при ах = 1 ряд х, имеет стохастический тренд    и линейный тренд

х0 + а/;

если     0, то:

..і         -    -     а-аЛа + Р)     Р ,

при I а j I < 1 ряд х, имеет линейный тренд         -—+ —— ^;

(1-^) 1-^

•  при ах = 1 ряд х, имеет стохастический тренд и квадратичный

тренд jc0 +

Я      Р 2

а + — + —t.

2) 2

Ниже приводятся смоделированные реализации, порожденные моделью

х,=а + f3t + axxt_x + є, при различных наборах значений параметров а, Д ах

ST_1: а, = 0.8, а = 0, Д=0 (рис. 10.1). ST2: а1 = 0.8, а = 0.2, Д=0 (рис. 10.2). ST_3: О! = 0.8, а = 0.16, Д=0.04 (рис. 10.4). WALKJ: а, = 1, а = 0, /3=0 (рис. 10.3). WALKJ2: а, = 1, а = 0.2, Д=0 (рис. 10.5). WALK3: ах = , а = 0.2, Д=0.1 (рис. 10.7).

Кроме того, приводится смоделированная реализация, порожденная моделью

xt = а + J3t + yt2 + axxt_x + st:

•  ST_4: a, = 0.8, a = 0.12, Д=0.13, /=0.01 (рис. 10.6).

Сравнение графиков ST_1, ST2, WALKl между собой и сравнение графиков в парах ST3 — WALK2, ST_4 — WALK3 показывает, сколь трудно различить визуально реализации процессов с единичным корнем от реализаций, соответствующих стационарным или стационарным относительно детерминированного тренда процессам.

Перейдем теперь к формальным статистическим критериям наличия (или отсутствия) единичного корня.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t Рис. 10.3

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t Рис. 10.5

РИС 10.6

Критерии Дики — Фуллера

Предположим, что истинная модель, порождающая данные (процесс порождения данных, DGP — data generating process), имеет вид:

DGP: xt = axxt_x +єп

где st — гауссовский белый шум;

ах — неизвестный параметр (1 < ах < 1), который мы оцениваем в рамках статистической модели

SM: xt = axxt_x +єп   t = 1,Т.

Поскольку при сделанных предположениях ряд xt стационарен, то, как отмечалось в разд. 8 (тема 8.1), оценка наименьших квадратов для неизвестного коэффициента ах является асимптотически нормальной, так что можно пользоваться стандартными методами регрессионного анализа, имея в виду их асимптотическую обоснованность. Естественно, возникает вопрос о том, сохраняется ли такое положение и в нестационарном случае.

В 1958 г. Уайт опубликовал работу (White, 1958), которая привела впоследствии к полному пересмотру методологии эконометрического анализа статистических данных, представляемых в виде временных рядов. Уайт впервые обнаружил, что если истинная модель, порождающая данные, имеет вид:

DGP xt =xt_x +єп  t = 1,2,Г, х0=0,

(случайное блуждание, выходящее из нуля), т.е. ах = 1, то распределение (центрированной и нормированной) оценки наименьших квадратов для ах не сближается с нормальным даже при неограниченном возрастании количества наблюдений. Иначе говоря, в такой ситуации оценка наименьших квадратов ах не является асимптотически нормальной.

Последнее означает, в частности, что в рамках указанной статистической модели нельзя проверить нулевую гипотезу

Н0:ах = 1,

основываясь, как обычно, на критических или Р-значениях /-статистики, вычисляемых согласно распределению Стьюдента (даже в асимптотическом плане!). В действительности имеет место следующий факт. Если ах = 1, то при Г—» оо

i{F(i)]2-i}

 

\[W(r)fdr

о

где W(r) — стандартное броуновское движение (standard Brownian motion), и сходимость понимается как сходимость распределения случайной величины, стоящей слева, к распределению случайной величины, стоящей справа.

Процесс W(r) является непрерывным аналогом дискретного случайного блуждания

xt = xt_x + st.

Это процесс, для которого:

W[0) = 0;

приращения (W(r2) - W(rx))9      (W(rk) - W(rk_x)) независимы в совокупности, если 0 < гх < г2 < ... < rk9 W(s) - W(r) ~N(09 s -г) приs > г;

реализации W(r) непрерывны с вероятностью 1.

Из определения, в частности, следует, что W(X) = W()- W(G) ~ 7V(0, 1), так что [^(1)]2 ~ ^2(1). Отсюда вытекает, что при больших Т

Р{а{ < 1} = Р{аг -1 <0}«Р{[W(l)f -1<о}=р{^2(1)<і}= 0.68.

Таким образом, если DGP — простое случайное блуждание (без сноса), DGP: xt =xt_{ + et9 то оценивание SM: xt = axxt_x + et дает значение ax < 1 примерно в 2/з случаев.

Критические значения распределения статистики Т(ах - 1) при гипотезе ах = 1 для конечных Г находятся методом статистических испытаний (Монте-Карло), впервые это было сделано Фуллером (Fuller, 1976). Соответствующие таблицы построены в предположении, что et ~ N(0, а2), єІ9 єт — независимые случайные величины и х0 = 0. Однако следует заметить: хотя значение х0 не влияет на асимптотическое распределение Т(ах - 1), оно влияет на распределение Т(ах - 1) при малых выборках.

Критерий, основанный на статистике Т(ах - 1), отвергает гипотезу Я0: ах - 1 в пользу альтернативной гипотезы НА: ах < 1 на 5\%-м уровне значимости при значениях Т(ах - 1), меньших Т(ах - 1)крит, или при значениях аХ9 меньших я1крит, указанных в табл. 10.1.

Таблица 10.1

Как видно из табл. 10.1, при небольших значениях Г гипотеза Я0 отвергается лишь для значений ах, намного меньших 1. Чувствительность критерия возрастает только при весьма большом количестве наблюдений. Это приводит к тому, что при небольших Г отвергнуть гипотезу Я0: ах = 1 в пользу альтернативной гипотезы НА: ах < 1 довольно трудно, даже если ах существенно меньше 1.

Более привычным было бы, конечно, использование для проверки гипотезы Н0: ах = 1 противНА: ах< отношения

а] —   . . t = —1— (/-отношение, /-ratio, /-статистика),

s(ax)

где s(ax) — оцененная стандартная ошибка оценки ах.

Однако, поскольку при ах = 1 уже и сама оценка ах не имеет нормального распределения, то и это отношение не имеет /-распределения Стьюдента. Критические значения этой /-статистики при Т —> оо и некоторых конечных значениях Г также впервые были приведены в работе Фуллера (Fuller, 1976). Гипотеза Я0: ах- 1 отвергается в пользу альтернативной гипотезы НА: ах < 1 при больших отрицательных значениях указанной статистики. Сравним 5\%-е критические значения, указанные Фуллером, с 5\%-ми критическими значениями обычного одностороннего /-критерия, вычисляемыми по распределению Стьюдента t(T- 1) с (Г- 1) степенями свободы (табл. 10.2).

Таблица 10.2

В числе прочего выше была приведена смоделированная реализация процесса случайного блуждания без сноса xt = xt_x + st (WALKX). Оценим по этой реализации статистическую модель xt = axxt_x + єп используя первые 50 наблюдений (табл. 10.3).

0.970831-1 ЛО_

Значение указанного выше /-отношения равно = -0.816 и пре-

0.035729

вышает критическое значение -1.95. Поэтому гипотеза о наличии единичного корня не может быть отвергнута на 5\%-м уровне значимости. Это согласуется с полученной оценкой 0.970831 коэффициента а19 значительно превышающей критический уровень 0.846.

В то же время если возьмем смоделированную реализацию STI стационарного ряда xt = 0.Sxt_x + st (имеющего нулевое математическое ожидание) и оценим по этой реализации статистическую модель xt = axxt_x + єп используя первые 50 наблюдений, то получим результаты, приведенные в табл. 10.4.

Интересующее нас /-отношение равно -2.314 < -1.95, что приводит к отвержению гипотезы единичного корня. Это согласуется с тем, что оцененное значение ах здесь равно 0.791 и значимо отличается от 1.

Обратимся теперь к смоделированной реализации STJ2 стационарного AR(1) процесса xt = 0.2 + 0.8jc,_! + st (математическое ожидание которого равно 1). Среднеарифметическое первых 50 значений ряда равно 0.596. Поэтому даже если не знать, как этот ряд моделировался, все же можно сказать, что если этот ряд стационарный, то он имеет, скорее, ненулевое математическое ожидание. Но тогда альтернативой для гипотезы Н0: xt = xt_x + et (наличие единичного корня) должна быть гипотеза НА: xt - а + axxt_х + єп ах < 1, а Ф 0.

Поэтому в качестве статистической берем теперь модель

SM:x, = a + axxt_x + єг

Предельное распределение статистики Т(ах - 1) не только не является нормальным, но и отличается от распределения этой же статистики при оценивании SM с а = 0, при Т = 25 Р{ах < 1} = 0.95. В табл. 10.5 приведены критические значения для этого случая.

Анализ в рамках статистической модели SM: xt = а + axxt_x + st ряда WALK_ (по первым 50 наблюдениям) дает значение:

ґ = -2.143>/крит=-2.92,

так что гипотеза о том, что мы имеем дело с реализацией случайного блуждания xt =xt_x + єп не отвергается.

Анализ в рамках этой же статистической модели ряда ST2 дает (при Т = 50) значение t = -2.245, так что гипотеза единичного корня не отвергается, несмотря на то что моделировалась реализация стационарного процесса. Последнее связано, конечно, с тем, что оцененное значение ах = 0.794 выше критического уровня 0.734.

 

Замечание 10.1.1. Если проанализируем в рамках все той же SM:

xt = а + axxt_ х + є, ряд STI (с а = 0), то получим

ах = 0.785 > ах крит = 0.734, t = -2.298 > tKpm = -2.92,

так что гипотеза единичного корня для STI не отвергается. В то же время, как показано ранее, если ряд STI анализируется в рамках статистической модели SM: xt = axxt_x + єп то гипотеза единичного корня отвергается.

Этот пример иллюстрирует то обстоятельство, что при добавлении в статистическую модель излишних объясняющих переменных (в том числе константы) мощность критерия снижается, и отвергнуть гипотезу единичного корня становится трудно, даже если она неверна. Поэтому важно выбирать статистическую модель «без излишеств», включая в нее только такие составляющие, которые соответствуют поведению наблюдаемого временного ряда.

 

Посмотрим теперь на реализацию ST_3 процесса

xt = 0.16 + 0.04/ + 0.8xt_x + єп

стационарного относительно линейного тренда 0.2/ (рис. 10.8). Эта реализация похожа на реализацию WALKJ2 (рис. 10.9) случайного блуждания со сносом 0.2

xt - 0.2 + xt_x + er

Отсюда возникает проблема различения подобных процессов, и в связи с этим рассматривается задача проверки гипотезы

Н0: xt = а + xt_ х + єп а Ф 0, (случайное блуждание со сносом)

в рамках статистической модели

SM: jc, = а + J3t + alxt_l + єг

Фуллер затабулировал процентные точки распределений оценки ах и /-статистики для проверки гипотезы ах = 1 в такой ситуации.

Если DGP: xt = а + xt_x + є{ с а * 0, то 5\%-е критические значения статистики Т{ах - 1) и указанной /-статистики для этого случая приведены в табл. 10.6.

Проанализируем в рамках статистической модели SM: xt = а + /?/ + axxt_ х + st смоделированные реализации (опять берем Т= 50).

Для WALK 2 имеем ах = 0.858 > а1крит = 0.604, / = -2.027 > t^m = -3.50, так что гипотеза единичного корня не отвергается.

Для ST3 имеем ах = 0.733 > а1крш = 0.604, t = -2.687 > /крит = -3.50.

Здесь значения ах и t ближе к критическим, чем у WALKJ2, но все же значительно их превышают, так что гипотеза единичного корня не отвергается и в этом случае.

Строго говоря, при реализациях, подобных ST3, не надо исключать возможность того, что DGP — случайное блуждание без сноса. Так что следовало бы знать также распределения ах и t в статистической модели

SM: xt = а + fit + axxt_x + et

в предположении, что

DGP: xt =xt_x + єг

Исследование этих распределений показало, что они совпадают с распределениями ах и /, полученными в предположении

DGP: xt = а + xt_x + єп аФ 0,

так что при использовании статистической модели

SM:x, = а + pt + axxt_x + st

одни и те же таблицы распределений ах и t годятся и при DGP: xt = xt_x + єп и при DGP: xt = а + xt_ х + et, а Ф 0.

Проанализируем в рамках статистической модели SM: xt = а + pt + axxt_ х + st реализацию DGP: xt - xt_x + єп представленную рядом WALK_. Оценивая эту статистическую модель, получаем (как и при DGP: xt = 0.2 + xt_x + st) ах = 0.858 > а1крит = 0.604, t = -2.027 > /крит = -3.50, так что гипотеза единичного корня не отвергается.

Отметим, наконец, замечательный результат Маккиннона (MacKinnon, 1991), который нашел простую приближенную формулу для вычисления критических значений /-статистик в критериях Фуллера. Он показал, что если 'кРит(А Т) — критическое значение /-статистики по Фуллеру, соответствующее уровню значимости р и количеству наблюдений Г, то

^т(Р,Т)*р„+рхг1+р2г

где До, Д, Д2 — некоторые коэффициенты, зависящие отр и от того, какое из трех распределений Фуллера рассматривается.

Маккиннон привел таблицу этих коэффициентов для р = 0.01, 0.05, 0.10.

 

ПРИМЕР 10.1.1

В разд. 9 (тема 9.1) были проанализированы статистические данные об объеме потребительских расходов на товары кратковременного пользования и услуги в Великобритании за период с I квартала 1974 г. по IV квартал 1985 г. Этот ряд был идентифицирован как процесс авторегрессии первого порядка относительно линейного тренда:

Xt-47962.75 -315.1909/ = 0.884803(^_, -47962.75 -315.1909(/- 1)) + єп

или

Xt = 5804.037 + 36.30898 / + 0.884803Х,_ х + ег

Там же было отмечено, что, несмотря на то что при полученной точечной оценке 0.884803 коэффициента при Xt_x построенная модель формально оказывается стационарной относительно детерминированного линейного тренда (т.е. детрендированный процесс следует стационарной AR(1) модели), нельзя с достаточной степенью уверенности гарантировать, что истинная модель порождения наблюдений также стационарна относительно линейного тренда. Рассмотрим эту проблему с точки зрения критериев единичного корня.

Поскольку исследуемый ряд обладает выраженным линейным трендом, будем действовать в рамках статистической модели

SM:x, = а + pt + axxt_x + єг

Проверим гипотезу Н0: xt = а + xt_x + єп пользуясь статистическим пакетом EViews, в котором используется приведенная выше формула Маккиннона (критические значения для отвержения гипотезы единичного корня, вычислены по формулам Маккиннона):

Test Statistic   -1.425277       1 \% Critical Value -4.1630

5\% Critical Value   -3.5066 10\% Critical Value   -3.1828

В соответствии с этими результатами гипотеза Н0 не отвергается. Но если считать, что она выполнена, тогда в конечном счете следует оценивать не модель xt = а + pt + axxt_x + єп а модель xt = а + xt_x + єг Оценивание последней в форме Axt - а + £t дает следующий результат (табл. 10.7).

Это соответствует модели случайного блуждания со сносом

xt = 236.8958 + xt_x +єгШ

 

Все рассмотренные варианты проверки гипотезы о наличии единичного корня в рамках статистических моделей:

SM: xt = axxt_x + st,

SM: xt = a + axxt_x + st,

SM: xt = a + flt + axxt_x + st

основывались на распределениях оценки наименьших квадратов коэффициента ах и /-статистики для проверки гипотезы ах = 1 при соответствующих предположениях о процессе порождения данных:

DGP: xt =xt_x + st (случайное блуждание),

DGP: xt = а + xt_x + st (случайное блуждание со сносом).

В то же время, например, если SM: xt = а + axxt_ х + єп то гипотеза xt = xt_ х + st равносильна гипотезе

Н0: а-0, ах = 1.

Если бы мы находились в рамках классической модели линейной регрессии, то проверяли бы подобную гипотезу с использованием F-статистики

RSS0-RSS

ф -       2         

1        RSS '

(Г-1)-2

которая в классическом варианте имеет при гипотезе Н0 F-распределение Фишера F(2, Г - 3) с двумя и (Г - 3) степенями свободы. Поскольку, однако, мы имеем дело при гипотезе Н0 с нестационарным процессом, то, вообще говоря, не следует ожидать, что распределение статистики Фх при гипотезе Н0 будет иметь (хотя бы асимптотически) распределение F(2, Т - 3). Этот вопрос был исследован Дики и Фуллером (Dickey, Fuller, 1981). Они построили таблицы распределения статистики Фх при гипотезе Н0: а = 0, ах = 1. В табл. 10.8 приведены 5\%-е критические значения статистики Ф1? рассчи-

тайные Дики и Фуллером, а также (для сравнения) 5\%-е критические значения FKpm9 рассчитанные по распределению F(2, п - 3) (см., также {Hamilton, 1994, табл. В.7 Case 2) и (Enders, 1995, табл. С)).

 

ПРИМЕР 10.1.2

Возьмем для примера опять ряды WALK_ (случайное блуждание без сноса), ST2 (стационарный процесс AR(1) с ненулевым математическим ожиданием), ST_l (стационарный процесс AR(1) с нулевым математическим ожиданием) — по 50 наблюдений для каждого ряда.

Оценивая SM: xt = а + axxt_x + et для ряда WALK_, получаем ах = -0.579, ах = 0.850, RSS = 48.0335. В модели с ограничениями а = 0, ах - 1 имеем xt = xt_ х, так что

RSS0 = j^(xt-xt_x)2 =52.7939,

t = 2

52.7939-48.0335

Ф, =    48 0335           =          ^^ ~~* гипотеза    не отвергается.

50-1-2

Для ST2 : а = 0.181, а, = 0.777, RSS = 52.6618. В модели с ограничениями а = 0, ах = 1 имеем RSS0 = 59.0547,

59.0547-52.6618

Ф} =               ^          = 2.853 < 4.86 —» гипотеза Я0 не отвергается.

52.6618

50-1-2

Для ST_ : а = -0.042, ах = 0.785, RSS = 52.7007. В модели с ограничениями а = 0, ах = 1 имеем       = 58.0671,

Ф} = 2.662 < 4.86 -> гипотеза Я0 не отвергается.

Таким образом, для всех трех рядов статистические выводы, сделанные на основании /-статистик для коэффициента аь совпали со статистическими выводами, сделанными на основании F-статистики. ■

 

В рамках статистической модели

SM: xt - а + J3t + axxt_x + et гипотеза DGP: xt = xt_ x + st соответствует гипотезе

H0:a=p = 09 ax = l, а гипотеза DGP: xt - a + xt_ x + et — гипотезе

Я0:/?=0, ax = L

F-статистика для первого случая имеет обозначение Ф2, 5\%-е критические значения приведены в табл. 10.9 (см. также (Enders, 1995, табл. С)).

Таблица 10.9

F-статистика для второго случая имеет обозначение Ф3, 5\%-е критические значения приведены в табл. 10.10 (см. также {Hamilton, 1994, табл. В.7 Case 4) и (Enders, 1995, табл. С)).

Таблица 10.10

ПРИМЕР 10.1.3

Рассмотрим ряды WALK_ (случайное блуждание без сноса), WALK^2 (случайное блуждание со сносом), ST_3 (процесс AR(1), стационарный относительно линейного тренда). Оценим статистическую модель

SM: xt = а + J3t + axxt_x + st

для каждого из этих рядов и проверим для них

гипотезу Я0: а = /? = 0, ах = 1, опираясь на статистику Ф2;

гипотезу Я0: J3 = 0, ах - 1, опираясь на статистику Ф3.

Гипотеза Я0: а-/?= 0, ах = 1

WALKJ: а = -0.854, 0 = 0.012, ах = 0.858, RSS = 46.7158. В модели с ограничениями RSS0 = 52.7939,

Ф2 = 1.995 < 5.13 -> гипотеза Н0 не отвергается.

WALK_2: а = -0.711, $ = 0.040, = 0.858, RSS = 46.7158. В модели с ограничениями RSS0 = 52.7939,

Ф2 опять равно 1.995 < 5.13 —> гипотеза Я0 не отвергается. STJ: а = -0.345, (3 = 0.070, аг = 0.733, RSS = 50.3928,

Ф2 = 1.207 < 5.13 -> гипотеза Я0 не отвергается. Гипотеза Н0: /3 = 0, ах = I

WALKX: ЛИ = 46.7158. В модели с ограничениями RSS0 = 52.7282,

Ф3 = 1.973 < 6.73 -> гипотеза Я0 не отвергается. WALKJ2: Ф3 опять равно 1.973 —» гипотеза Я0 не отвергается. ST_3: RSS = 50.3928, Ф3 = 0.711    гипотеза Я0 не отвергается.■

 

Рассмотренные примеры указывают на то, что и с помощью формальных статистических критериев бывает практически невозможно при небольшом количестве наблюдений отличить реализации процессов с единичным корнем и без наличия такового. Это связано с весьма низкой мощностью соответствующих критериев при умеренном количестве наблюдений и «близких» альтернативах. Скажем, достаточная мощность критерия Ф} достигается только при ах < 0.8, а также если а близко к 1 или а > 1. Мощности критериев Ф2 и Ф3 еще ниже. Эти замечания относятся и к критериям, основанным на /-статистиках и на статистике Т(ах - 1).

Все это приводит к «презумпции наличия единичного корня» в случае, когда в качестве нулевой берется именно гипотеза единичного корня.

В связи с этим многие авторы уделили внимание задаче проверки нулевой гипотезы стационарности (стационарности относительно детерминированного тренда) против альтернативной гипотезы единичного корня. В дальнейшем рассмотрим этот вопрос подробнее, а сейчас отметим только, что при таком подходе наблюдается похожая картина. Критерии стационарности имеют низкую мощность, вследствие этого возникает уже «презумпция отсутствия единичного корня». Поэтому отложим пока знакомство с такими критериями и вернемся к рассмотрению ситуации, когда основной (нулевой) является гипотеза наличия единичного корня.

Полученные выше результаты проверки гипотезы единичного корня для смоделированных реализаций стационарных процессов представляются крайне пессимистическими — при использовании первых 50 наблюдений эта гипотеза не отвергается:

для STI и STJ2 в паре:

DGP: xt = xt_x + єп SM: xt = a + alxt_l + st

для ST3 в паре:

DGP: xt = a + xt_x + st (или DGP: xt = xt_x + £,), SM: xt = a + pt + axxt_x + ev

Проследим, что дает проверка гипотезы единичного корня в этих же связках, но при использовании большего количества наблюдений. Для этого возьмем теперь Т= 100. Сравним полученные результаты (в последней строке табл. 10.11 использованы 10\%-е критические значения). Последняя серия результатов показывает, что при увеличении количества наблюдений мощность критериев Дики — Фуллера возрастает.

Расширенные критерии Дики — Фуллера

Обратимся опять к статистическим данным о величине валового национального продукта (GNP) в США за период с I квартала 1947 г. по IV квартал 1961 г. В разд. 9 мы идентифицировали этот ряд как процесс авторегрессии второго порядка:

Xt -217.740-5.222/ = 1.380(^-217.740-5.222(^-1))-

- 0.630(Х,_2 - 217.740 - 5.222(/ - 2)) + et,

или

Xt = 55.017 + 1.304/ + 1.380ЛГМ - 0.630X,_2 + et.

Как проверить гипотезу о наличии единичного корня в модели авторегрессии, порождающей этот ряд? Ведь в рассмотренных выше критериях Дики — Фуллера проверка такой гипотезы велась в рамках моделей авторегрессии первого порядка. Выход из этого положения оказался достаточно простым.

Рассмотрим статистическую модель

SM: xt = а + fit + axxt_х + a2xt_2 + ... + apxt_p + st.

Путем чисто алгебраических преобразований ее можно преобразовать к виду:

xt=a + fit + pxt_x + (вхАх,_х +... + 6p_xAxt_p+x ) + єп (10.1)

где

p = ax + a2+... + ap,   6j=-(aJ+x + ... + ap).

(В примере с GNP такое преобразование дает

Xt = 55.017+ 1.304f + 1.380JrM -0.630^M +0.630^M -0.630Jf,_2 +st = = 55.017 +1.304/ + 0.750ЛГМ +0.630AXM +*,.)

Если исходить из того, что уравнение a(z) = 0 может иметь только один корень z = 1, а остальные (р - 1) корней лежат за пределами единичного круга, то наличие единичного корня равносильно тому, что ах + а2 + ... + ар = 1, т.е. р = 1 (см., например, (Hamilton, 1994, р. 517)). Таким образом, гипотеза о существовании единичного корня у процесса AR(p) сводится в этом случае к гипотезе Н0: р = 1 в преобразованном соотношении (10.1). Для проверки этой гипотезы можно пользоваться теми же таблицами Фуллера, только на этот раз используются значения статистики Т(рх - 1) и /-отношения для проверки гипотезы /7=1, полученные при оценивании расширенной (augmented) статистической модели (10.1) (с fi и а, равными или не равными нулю). Соответствующие /-статистики обозначают обычно ADF (augmented Dickey-Fuller) в отличие от статистики DF, получаемой для модели AR(1).

Для того чтобы не вычислять самим каждый раз значение /-статистики для гипотезы р=9 можно преобразовать (10.1) к виду

Axt=a + J3t + cpxt_x + (вх Axt_x +... + вр_х Axt_p+X ) + єп     (10.2)

где q> = р- 1, так что гипотеза Н0: р- 1 в выражении (10.1) равносильна гипотезе Н0: (р-0в выражении (10.2).

В качестве альтернативной кН0: р = I в выражении (10.1) выступает гипотеза НА: р < 1. При переходе от уравнения (10.1) к (10.2) она преобразуется в гипотезу НА: (р < 0.

При этом значение /-статистики для проверки гипотезы Н0: р= 1 в выражении (10.1) численно равно значению /-статистики для проверки гипотезы Я0: ср= 0 в выражении (10.2).

 

ПРИМЕР 10.1.4

Для ряда GNP оценивание модели

Axt - а л- fit л- cpxt_x + 0xAxt_x + st

(обычным методом наименьших квадратов) приводит к результатам, приведенным в табл. 10.12 (критические значения для отвержения гипотезы единичного корня вычислены по формулам Маккиннона).

Гипотеза единичного корня отвергается: значение /-статистики для проверки гипотезы Н0: ср = 0 оказывается ниже 5\%-го критического значения, вычисленного по формуле Маккиннона, и близко к 1\%-му критическому значению. ■

В связи с последним примером следует особо отметить, что использование расширенной модели предполагает, что количество запаздывающих разностей, включенных в правую часть, исчерпывает временную зависимость, так что st — независимые случайные величины. В то же время не следует включать в правую часть излишних запаздывающих разностей, так как это снижает мощность критериев из-за оценивания дополнительных параметров и уменьшения используемого количества наблюдений.

Для определения надлежащей глубины запаздываний следует начать с относительно большого порядка р = р*9 а затем опираться на то обстоятельство, что хотя при наличии единичного корня распределения оценки ф и Г-ста-тистики для проверки гипотезы ср = 0 нестандартны, распределения оценок коэффициентов в19 вр_х все же являются асимптотически нормальными. Поэтому можно сначала проверить гипотезу о том, что вр*_х = 0, используя обычную ^-статистику и критические точки соответствующего ^-распределения Стьюдента. Если эта гипотеза не отклоняется, то проверяем гипотезу 0р*_х = в*_2 - 0, используя F-критерий и процентные точки F-распределения Фишера, и т.д. После этого производится обычная диагностика адекватности подобранной модели.

 

ПРИМЕР 10.1.5

Продолжим предыдущий пример. Если взять первоначально р* = 5, то получим следующие результаты (табл. 10.13) (критические значения для отвержения гипотезы единичного корня вычислены по формулам Маккиннона).

Поскольку здесь t = -2.873575 > -3.1744, то гипотеза единичного корня не отвергается даже при выборе 10\%-го уровня значимости. В то же время статистически незначимыми оказываются коэффициенты при трех последних запаздывающих разностях. Р-значение F-статистики критерия для гипотезы о занулении этих трех коэффициентов равно 0.44. Поэтому можно обойтись без трех последних запаздывающих разностей, а такую модель мы только что оценивали, и в ней гипотеза единичного корня была отвергнута. ■

 

Критерии Дики — Фуллера фактически предполагают, что наблюдаемый ряд описывается моделью авторегрессии конечного порядка (возможно, с поправкой на детерминированный тренд). Как поступать в случае, когда ряд xt имеет тип ARMA(p, q)cq>07

Пусть xt ~ АЮЛА(р, q), так что a(L)xt = b(L)st, где a(L), b(L) — полиномы порядков р и q, и пусть оператор b(L) обратим, так что процесс можно представить в виде процесса авторегрессии бесконечного порядка

c(L)xt = st,

где c(L)X: =^l = + c]L + c7L2 +...

В этом случае представление (10.2) с конечным числом запаздываний в правой части заменяется бесконечным представлением

Axt = а + (3t + (pxt_x +(<91Дх,_1 +62Axt_2 + ...) + £,. (10.3)

Однако все коэффициенты последнего невозможно оценить по конечному количеству наблюдений. Как выйти из этого положения?

В работе (Said, Dickey, 1984, p. 599—607) было показано, что процесс ARIMA(p, 1, q) с неизвестными р и q можно достаточно хорошо аппроксимировать некоторым процессом ARI(p*, 1) с р* < л/т . Это дает возможность ограничиться в правой части выражения (10.3) конечным числом запаздывающих разностей.

 

Краткий обзор критериев Дики — Фуллера

Под критерием Дики — Фуллера в действительности понимается группа критериев, объединенных одной идеей, предложенных и изученных в работах (Dickey, 1976), (Fuller, 1976), (Dickey, Fuller, 1979), (Dickey, Fuller, 1981). В критериях Дики — Фуллера проверяемой (нулевой) является гипотеза о том, что исследуемый ряд xt принадлежит классу DS (^-гипотеза); альтернативная гипотеза — исследуемый ряд принадлежит классу TS (Г^-гипотеза). Критерий Дики — Фуллера фактически предполагает, что наблюдаемый ряд описывается моделью авторегрессии первого порядка (возможно, с поправкой на линейный тренд). Критические значения зависят от того, какая статистаческая модель оценивается и какая вероятностная модель в действительности порождает наблюдаемые значения. При этом рассматриваются следующие три пары моделей.

Если ряд xt имеет детерминированный линейный тренд (наряду с которым может иметь место и стохастический тренд), то в такой ситуации берется пара

SM: Axt = a + fit+ cpxt_ х + st, t = 2,T,

DGP: Axt = a+st, / = 2,..., Г, a*0.

В обоих случаях st — независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием.

Методом наименьших квадратов оцениваются параметры данной SM и вычисляется значение обычной /-статистики /^ для проверки гипотезы Н0: <р= 0. Полученное значение сравнивается с критическим уровнем t^, рассчитанным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порождается данной моделью DGP (случайное блуждание со сносом), /^-гипотеза отвергается, если /^ < tKpm. Критические уровни, соответствующие выбранным уровням значимости, можно взять из таблиц, приведенных в (Fuller, 1976), (Fuller, 1996), если ряд наблюдается на интервалах длины Т= 25, 50, 100, 250, 500. Если количество наблюдений Т другое, можно вычислить приближенные критические значения, используя формулы, приведенные в (MacKinnon, 1991).

Если ряд xt не имеет детерминированного тренда (но может иметь стохастический тренд) и имеет ненулевое математическое ожидание, то берется пара

SM: Axt = а+ (pxt_x + st, t = 2,...,T,

DGP: Axt = єп t = 2,Г.

Методом наименьших квадратов оцениваются параметры данной SM и вычисляется значение /-статистики /^ для проверки гипотезы Я0: <р = 0. Полученное значение сравнивается с критическим уровнем ^крит? рассчитанным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порождается данной моделью DGP (случайное блуждание без сноса), ^-гипотеза отвергается, если t9 < t^^. Критические уровни, соответствующие выбранным уровням значимости, можно взять из таблиц, приведенных в (Fuller, 1976), (Fuller, 1996), если ряд наблюдается на интервалах длины Т = 25, 50, 100, 250, 500. Если количество наблюдений Т другое, можно вычислить приближенные критические значения, используя формулы, приведенные в (MacKinnon, 1991).

3. Наконец, если ряд xt не имеет детерминированного тренда (но может иметь стохастический тренд) и имеет нулевое математическое ожидание, то берется пара

SM: Axt = <pxt_x + 8t> t = 2,Т,

DGP: Axt = st, t = 2,Т.

Методом наименьших квадратов оцениваются параметры данной SM и вычисляется значение /-статистики t9 для проверки гипотезы Н0: ср = 0. Полученное значение сравнивается с критическим уровнем /крит, рассчитанным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порождается данной моделью DGP (случайное блуждание без сноса). ZXS-гипотеза отвергается, если < f . Критические уровни, соответствующие выбранным уровням значимости, можно взять из таблиц, приведенных в (Fuller, 1976), (Fuller, 1996), если ряд наблюдается на интервалах длины Т = 25, 50, 100, 250, 500. Если количество наблюдений Т другое, можно вычислить приближенные критические значения, используя формулы, приведенные в (MacKinnon, 1991).

Неправильный выбор оцениваемой статистической модели может существенно отразиться на мощности критерия Дики — Фуллера. Например, если наблюдаемый ряд порождается моделью случайного блуждания со сносом, а статистические выводы производятся на основании результатов оценивания статистической модели без включения в ее правую часть трендовой составляющей, то тогда мощность критерия, основанная на статистике t^, стремится к нулю с возрастанием количества наблюдений (см. (Perron, 1988)). В то же время оцениваемая статистическая модель не должна быть избыточной, поскольку это также ведет к уменьшению мощности критерия.

Формализованная процедура использования критериев Дики — Фуллера с последовательной проверкой возможности редукции статистической модели приведена в (Dolado, Jenkinson, Sosvilla-Rivero, 1990), см. также (Enders, 1995). Эта процедура (в изложении (Enders, 1995, р. 251—260)) будет рассмотрена ниже. Если наблюдаемый ряд описывается моделью авторегрессии a(L)xt = st более высокого (но конечного) порядкар, уравнение a(z) = 0 имеет не более одного единичного корня и не имеет корней внутри единичного круга, то можно воспользоваться расширенным (augmented) критерием Дики — Фуллера. В каждой из трех рассмотренных выше ситуаций достаточно дополнить правые части оцениваемых статистических моделей запаздывающими разностями Axt_j,j = 1, /7-1, так что оцениваются расширенные статистические модели:

р-

1) SM: Axt = а + fit + cpxt_x + Х^^-у +st>  t = P + U---9T;

7 = 1

SM: Axt = а + (pxt_x +      Axt_j + єп  t = р +1,..Т;

7=1

SM: Ajc, =^jc,_! + ^б^Дх;,^/ = /7 + 1,...,Г.

7 = 1

Полученные при оценивании расширенных статистических моделей значения /-статистик / для проверки гипотезы Н0: = О сравниваются с теми же критическими значениями /крит, что и для нерасширенных моделей, ^-гипотеза отвергается, если /^ < /крит.

Расширенный критерий Дики — Фуллера может применяться и тогда, когда ряд xt описывается смешанной моделью авторегрессии — скользящего среднего. Как было указано в {Said, Dickey, 1984), если ряд наблюдений хх, хт порождается моделью ARIMA(/?, 1, q) с q > 0, то можно его аппроксимировать моделью ARI(/7*, 1) = ARIMA(p*, 1, 0) ср* < \[т и применять процедуру Дики — Фуллера к этой модели.

Однако даже если ряд наблюдений хх, хт действительно порождается моделью авторегрессии AR(p) конечного порядка р, то значение р обычно неизвестно, и его приходится оценивать на основании имеющихся наблюдений, а такое предварительное оценивание влияет на характеристики критерия. Поэтому при анализе данных приходится сначала выбирать значение Р = Рт*к достаточно большим, чтобы оно было не меньше истинного порядка р0 авторегрессионной модели, описывающей ряд, или порядка р* аппроксимирующей авторегрессионной модели, а затем пытаться понизить используемое значение р, апеллируя к наблюдениям.

Такое понижение может осуществляться, например, путем последовательной редукции расширенной модели за счет исключения из нее незначимых (на 10\%-м уровне) запаздывающих разностей (С^-стратегия перехода от общего к частному) или путем сравнения (оцененных) полной и редуцированных моделей с различными р < /?тах по информационному критерию Шварца (SIQ. В работах (Hall, 1994) и (Ng, Perron, 1995) показано, что если /?тах > р0, то в пределе (при Т —» go) SIC выбирает правильный порядок модели, а стратегия GS выбирает модель с р>р0, при этом факт определения порядка модели на основании имеющихся данных не влияет на асимптотическое распределение статистики Дики — Фуллера. Таблицы критических значений для конечных значений Т, учитывающие порядок модели, приведены в (Cheung, Lay, 1995).

При практической реализации указанных двух подходов (GS и SIC), когда есть лишь ограниченное количество наблюдений, эти две процедуры могут приводить к совершенно разным выводам относительно необходимого количества запаздываний в правой части статистической модели, оцениваемой в рамках расширенного критерия Дики — Фуллера. Так, при анализе динамики валового внутреннего продукта (GDP) США по годовым данным на периоде с 1870 по 1994 г. (см. (Murray, Nelson, 2000)), выбрав ртак = 8, авторы получили при использовании С^-стратегии значение р - 6, тогда как по SIC было выбрано значение р = 1. В подобных конфликтных ситуациях для контроля можно ориентироваться также на достижение некоррелированности по LM-критерию остатков от оцененной модели (см. (Holden, Регтап, 1994)). Заметим, однако, что в статье (Taylor, 2000) автор приходит к выводам, отличающимся от выводов Ng и Perron: при конечных выборках расширенные критерии Дики — Фуллера очень чувствительны и к форме детерминистских переменных, и к принятой структуре запаздываний. Это, в свою очередь, ведет к отклонениям от номинальных уровней значимости критериев Дики — Фуллера.

 

Многовариантная процедура проверки гипотезы единичного корня

Доладо и др. (Dolado, Jenkinson, Sosvilla-Rivero, 1990) предложили многовариантную процедуру проверки гипотезы единичного корня с использованием критерия Дики — Фуллера, при которой последовательно перебираются различные комбинации оцениваемой статистической модели (SM) и процесса порождения данных (DGP). Объясним суть этой процедуры (в изложении (Enders, 1995)), считая для простоты, что рассматриваемый ряд порождается моделью AR(1), быть может, с поправкой на линейный тренд.

На шаге 1 многовариантной процедуры оценивается статистическая модель, допускающая наличие тренда, содержащая в правой части уравнения константу и трендовую составляющую:

SM: Axt = а + fit + (pxt_x +єп  t = 2,...,T,

и при использовании таблицы критических значений предполагается, что данные порождаются моделью

DGP: Axt=a + st,  t = 2,...,T.

Это естественная пара: реализация с видимым трендом (сносом). Критерий принадлежности ряда классу DS формулируется как критерий единичного корня (UR — Unit Root) в авторегрессионном представлении ряда. Проверяемой в рамках данной статистической модели является гипотеза Н0: <р = 0, альтернативная гипотеза НЛ: ср < 0. Получаемое в результате оценивания такой расширенной модели значение /-статистики критерия Дики — Фуллера сравнивается с критическим значением, соответствующим предположению, что данные порождаются моделью случайного блуждания со сносом. Это критическое значение не зависит от того, а = 0 или а * 0.

Если гипотеза Н0: ср = 0 отвергается этим критерием, то гипотеза о наличии единичного корня тем самым отвергается окончательно. Дело в том, что если Н0: ср- 0 отвергнута при

DGP: Axt = а + st (с а - 0 или а * 0), то она тем более будет отвергнута при

DGP: Axt = а + J3t+ єп J3*0, так как в последнем случае значение f     выше (используется нормальное приближение).

Шаг 2. Если на шаге 1 гипотеза Н0: ср= 0 не была отвергнута, то возможны две причины:

действительно, (р=0;

(р*0,но гипотеза Н0: ср = 0 не была отвергнута из-за того, что исходили из DGP с Р = 0, тогда как в действительности имел место

DGP: Дх, = а + fit + єп /?*0.

В связи с последней возможностью на шаге 2 производится проверка гипотезы Н0: /?= 0 в рамках статистической модели

SM: Дх, = а + fit +      х + еп

но с

DGP: Axt = a + j3t + sn /2*0.

Критические значения соответствующей /-статистики (ТрТ — в обозначениях Дики — Фуллера) указаны в (Dickey, Fuller, 1981). В табл. 10.14 приведены 5\%-е критические значения для |/| в случае двустороннего критерия и для t в случае одностороннего критерия.

Если гипотеза Н0: /3=0 здесь не отвергнута, то это означает, что на 1-м шаге гипотеза ср = 0 не была отвергнута не из-за использования критических значений, соответствующих DGP с J3= 0.

Если же гипотеза Н0: /В = 0 оказалась отвергнутой, то следует повторить проверку гипотезы ср = 0 в рамках статистической модели

SM: Дх, = а + fit + cpxt_ х + st,

но уже опираясь на

DGP: Дх, = a + pt+sn /3* 0.

Соответствующая /-статистика имеет (при /? * 0) асимптотически нормальное yV(0, 1) распределение. Для конечных Г можно обратиться к таблицам в (Kwiatkowski, Schmidt, 1990). И теперь уже, если гипотеза ср - 0 будет отвергнута, то отвергнута окончательно. Если же она не отвергнута, принимаем модель

Дх, = а + J3t + єп J3*0.

Шаг 3. Попадаем на шаг 3, не отвергнув гипотезу единичного корня в рамках статистической модели

SM: Дх, = а + fit + (pxt_x + єг

Возможно, что это связано с пониженной мощностью критериев из-за включения в модель лишней объясняющей переменной /. В связи с этим на шаге 3 переходим к модели

SM: Дх, = а+ (pxt_{ + st

без трендовой составляющей и проверяем гипотезу ср = 0 (против ср < 0) в рамках этой SM. Критические значения соответствующей /-статистики берем опять у Фуллера (ситуация 2). Они получены в предположении, что

DGP: Дх, = £г

И опять если гипотеза Н0: ср - 0 отвергается, то отвергается окончательно (по тем же причинам, что и на шаге 1).

Шаг 4. Если на шаге 3 гипотеза ср = 0 не отвергается, то выясняется причастность к этому включения в SM сноса а. С этой целью производится проверка гипотезы а = 0 в рамках статистической модели

SM: Дх, = а+ (pxt_x + st,

но с

DGP: Дх, = єг

Критические значения соответствующей /-статистики (тац — в обозначениях Дики — Фуллера) указаны в (Dickey, Fuller, 1981). В табл. 10.15 приведены 5\%-е критические значения для | /1 в случае двустороннего критерия и для / в случае одностороннего критерия.

Если при этом гипотеза а = 0 не отвергается, тогда не считаем, что неотвержение ср - 0 на предыдущем этапе было связано с опорой на DGP с а = 0.

Если же гипотеза а = 0 оказалась отвергнутой, то производится повторная проверка гипотезы Я0: ср- 0 в рамках

SM: Дх, = а + (pxt_x + єп

но с опорой на

DGP: Axt = a+et с а*0.

В этом случае /-статистика для а = 0 опять асимптотически нормальна, и, опираясь на ее значение, либо отвергаем гипотезу Я0: ср = 0 окончательно, либо принимаем модель

Axt = а + st с а * 0.

Следует только помнить о том, что при конечных Т при значениях а, близких к нулю, распределение этой статистики ближе к распределению, указанному Фуллером для случая а = 0, чем к нормальному распределению.

Шаг 5. Наконец, если и на шаге 4 гипотеза Я0: ср - 0 не была отвергнута, остается последняя возможность сделать это в рамках статистической модели

SM: Axt = (pxt_x + єг

Критические значения /-статистики для Я0: ср - 0 находятся по таблицам Фуллера (случай 1). И теперь уже каждое из двух возможных решений — окончательное:

Я0: (р- 0 отвергается -> единичного корня нет;

Я0:     0 не отвергается —> Ах, = £,

(точнее Ах, = #jAx,_! + ... + Op_xAxt_p+x + б^).

^ Замечание 10.1.2. Построенный алгоритм отнюдь не лишен недостатков. Помимо того что здесь не контролируется уровень значимости критерия проверки гипотезы единичного корня, возникают сложности и с интерпретацией результатов, что будет видно из последующих примеров.

Процедуру Доладо схематически можно представить в виде дерева решений, приведенного нарис. 10.10.

Оценивается модель 1

I

Я0: ср - 0        ► отвергается

I

не отвергается

I

Я0: fi - 0 при условии (р = 0           ► отвергается

I

не отвергается

 

 

Axt = a + fit + (pxt_x

отвергается

I

Я0: ср = 0 при условии /3 * 0

I

не отвергается

 

Подпись: К 7=i ;Оценивается модель 2

I

Я0: ср = 0       ► отвергается

і

не отвергается

I

Я0: а - 0 при условии (р- 0  ► отвергается

I

не отвергается

Axt = a + fit

Axt = a + (pxt_x

і

отвергается

і

Я0: <p=0 при условии or* 0

і

не отвергается

 

р-1

Подпись: Ах, = а
Подпись: {
Axt = <pxt_x
Оценивается модель 3

і

Я0: ср = 0       ► отвергается

I

 

 

p-i

+ ІЗ^-7

v   7 = 1

не отвергается

I

 

U=i

 

 

Рис. 10.10

В представленной схеме модели пронумерованы следующим образом:

р-

модель 1: Дх, =а + /3t + q>xt_

 

р-

модель 2: Дх, = а + <pxt_x

^ 7-і

p-i

модель 3: Дх, = (pxt_x

 

Приведем пример использования процедуры Доладо.

 

ПРИМЕР 10.1.6

Обратимся к данным о совокупном годовом располагаемом доходе в США за период с 1959 по 1985 г. (в млрд долл., в ценах 1982 г.). График этого ряда приведен на рис. 10.11.

С учетом изложенного ранее здесь очевидна необходимость различения модели случайного блуждания со сносом и процесса, стационарного относительно линейного тренда. Последуем процедуре Доладо.

Шаг 1. Оцениваем статистическую модель

SM: Дх, = а + J3t + <pxt_x + 0xAxt_x + ... + 0p_xAxt_p+x + єг

Сравнение по критерию Шварца указывает в пользу исключения из правой части запаздывающих разностей, так что останавливаемся на модели

SM: Дх, = а + fit + (pxt.x + єг

Оцененная модель (Т= 26):

Дх, = 461.338 + 25.857/ - 0.448х,_! + et;

/-статистика для проверки гипотезы Я0: ср- 0 равна / = -2.640. Критическое (5\%-е) значение выбирается при

DGP: Дх, = а + єп а * 0,

и равно f = -3.59 (для Т= 26). Наблюдаемое значение /^ больше /крит -» Гипотеза единичного корня не отвергается.

Шаг 2. Статистическая модель та же, но в качестве DGP рассматривается

DGP: Дх, = a + fit+et.

Проверяемая гипотеза

НО:0 = О.

Статистика критерия ТрТ = 2.680. Критическое (5\%-е) значение одностороннего критерия (НА: Р > 0) равно 2.85 -> гипотеза Н0: 0 = 0 не отвергается.

Шаг 3. Оцениваем модель

SM: Дх, = а+ <pxt_x + st

в качестве DGP рассматривается

DGP: Дх, = ег

Проверяется гипотеза Я0: ср = 0. Оцененная модель: Дх, = 47.069 + + 0.00522х,_! + et; /-статистика /^ = 0.335. Критическое (5\%-е) значение *крит = -2.98 —> гипотеза единичного корня не отвергается.

Шаг 4. Оцениваем модель

SM: Дх, = а+ (pxt_x + єп

в качестве DGP рассматривается

DGP: Дх, = еп Я0: а=0.

Оцененная модель: Дх, = 47.069 + 0.00522х,_1-ь et; /-статистика ta = 1.682 < < /крит =2.61 —> гипотеза Я0: а = 0 не отвергается.

Шаг 5. Оцениваем модель

SM: Дх, = cpxt_x + єп

в качестве DGP рассматривается

DGP: Дх, = £„ Я0: ср= 0.

Оцененная модель: Дх, = 0.03070х,_! + et /-статистика /^ = 7.987 > = = -1.95 —> гипотеза Я0: ср=0не отвергается —> окончательная модель:

X, = Х,_ j Н~ £, .И

Интерпретация. Если мы соглашаемся с несомненной тенденцией возрастания совокупного располагаемого дохода с течением времени (по крайней мере, в США), то принятую на последнем шаге модель вряд ли можно считать удовлетворительной: случайное блуждание без сноса должно со временем обнаружить убывание значений ряда.

Возможной причиной этого является неотклонение гипотезы Н0: Р = О на шаге 2 (заметим, что там разница между наблюдаемым и критическим значениями /-статистики была довольно небольшой: rfir = 2.680, /крит = 2.85.) Если возвратиться к шагу 2 и изменить решение в пользу отклонения гипотезы Н0: /?= 0, так что тогда     0, то гипотеза Н0: <р=0 проверяется в рамках пары

SM: Ах, = а + fit + <pxt_ { + st,

DGP: Axt = a + j3t + en /3*0.

В таком случае статистика /^ имеет асимптотически нормальное N(0, 1) распределение, 5\%-е критическое значение одностороннего критерия приближенно равно: /крит = -1.645. У нас же наблюдаемое значение /^ = -2.640 (см. шаг 1), так что гипотеза единичного корня отвергается, и мы имеем дело с процессом, стационарным относительно линейного тренда:

Ах, = 461.338 + 25.857/- 0.448х,_! + st.

 

Некоторые другие сочетания DGP и SM

Рассмотрим следующий естественный вопрос: что будет, если оцениваем

SM: х, = a + axxt_x + єп а процессом порождения данных является

DGP: xt = а + х,_ { + єп а ф 0 (случайное блуждание со сносом)?

В этом случае при больших / возникающий в DGP детерминированный

t

тренд «забивает» стохастическую составляющую ^єі9 и поведение пере-

/=і

менной х,_! в SM похоже «в целом» на поведение детерминированной переменной a(t - 1). Как результат, распределения оценок для а иах оказываются асимптотически нормальными. Но тогда, в принципе, можно было бы в качестве приближения использовать стандартную технику статистического анализа, т.е. использовать критические значения /-отношения, взятые из таблиц распределения Стьюдента. Однако если а^О близко к нулю, то при конечных Т распределение /-отношения ближе к распределению, указанному Фуллером для случая а=0, чем к нормальному распределению.

ПРИМЕР 10.1.7

Для смоделированной реализации WALKJ2 случайного блу

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |