Имя материала: Эконометрика Книга первая Часть 2

Автор: Носко Владимир Петрович

Тема 10.2 обзор некоторых других процедур

 

Критерий Филлипса — Перрона

Этот критерий, предложенный в (Phillips, Perron, 1988), сводит проверку гипотезы о принадлежности ряда xt классу DS к проверке гипотезы Н0: ср = 0 в рамках статистической модели

SM: Дх, = а + fit + (pxt_x +ип  t = 2,...,T,

где, как и в критерии Дики — Фуллера, параметры а и /? могут быть взяты равными нулю. Однако, в отличие от критерия Дики — Фуллера, случайные составляющие ut с нулевыми математическими ожиданиями могут быть автокоррелированными (с достаточно быстрым убыванием автокорреляционной функции), иметь различные дисперсии (гетероскедастичность) и необязательно нормальные распределения (но такие, что Ещб < С < оо для некото

рого 8 > 2). Тем самым, в отличие от критерия Дики — Фуллера, к рассмотрению допускается более широкий класс временных рядов.

и{ + ... + ит

Критерий Филлипса — Перрона основывается на /-статистике для проверки гипотезы Я0: <р= 0 в рамках указанной статистической модели, но использует вариант этой статистики Z„ скорректированный на возможную авто-коррелированность и гетероскедастичность ряда иг При вычислении статистики Z, приходится оценивать так называемую долговременную (long-run) дисперсию ряда ut, которая определяется как

2

= limT'E

г->оо

Ґщ + ... + иг л

Я2 = ИтТ-Уаг

г->оо

Если и* — остатки от оцененной (методом наименьших квадратов) статистической модели Дх, = а + 0t + <pxt_x + ut, t = 2, Т, то в качестве оценки (Я2)* для Я2 можно взять оценку Ньюи — Веста (Newey, West, 1994):

(л2у=г;+2^

1-

J

1 + 1

 

где у*=Т 1 ^щи* . —у-я выборочная автоковариация ряда иг

t=j+i

Если и /, и Т стремятся к бесконечности, но так, что

/

.1/4

->0, то (Я2)*

состоятельная оценка для Я2 (см. (Phillips, 1987)) и асимптотические распределения статистики Z, совпадают с соответствующими асимптотическими распределениями статистики f в критерии Дики — Фуллера. Поскольку реально имеем лишь конечное число наблюдений, встает вопрос о выборе количества используемых лагов / в оценке Ньюи — Веста (параметр / называют шириной окна — window size). Этот вопрос достаточно важен, так как недостаточная ширина окна ведет к отклонениям от номинального размера критерия (уровня значимости). В то же время увеличение ширины окна для избежания отклонений от номинального размера критерия ведет к снижению мощности критерия. Таким образом, выбор какой-то конкретной ширины окна является компромиссом между этими двумя противоположными тенденциями.

Несмотря на многочисленность исследований в этом направлении (сюда относятся, например, работы (Phillips, Perron, 1988), (Schwert, 1989)), какое-либо простое правило выбора значения / так и не было установлено.

Часто при выборе этого параметра пользуются рекомендациями (Schwert,

1989), полагая /:

( т Y/4~

К                     , где выражение в квадратных скобках [а] — це-

V100 )

лая часть числа а, зі К полагается равным 4 для квартальных и 12 — для месячных данных. Другое правило выбора значения /, реализованное, в част-

Подпись:  ности, в пакете EViews, состоит в выборе значения 1=4

Uooj

(Newey,

West, 1994). Некоторые авторы рекомендуют не опираться только лишь на длину ряда, а учитывать при выборе / количество значимых автокорреляций ряда.

Критические значения для статистики Z, берутся из тех же таблиц (Fuller, 1976) или вычисляются по формулам (MacKinnon, 1991).

Заметим также: если ряд xt представляется моделью IMA(1, q), то значение q и следует использовать в качестве параметра / в оценке Ньюи — Веста. Если при этом q = , так что Ах, = et + bxst_x, то при Ьх > 0 критерий Филлип-са — Перрона имеет более высокую мощность, чем критерий Дики — Фуллера, при одновременном уменьшении вероятности ошибки первого рода. В то же время при Ьх < 0 высокая мощность критерия Филлипса — Перрона достигается за счет значительного возрастания ошибки первого рода, так что этот критерий не рекомендуется применять при Ьх < 0 (он будет слишком часто ошибочно отвергать гипотезу о принадлежности ряда классу DS).

 

ПРИМЕР 10.2.1

В рассмотренном ранее примере с GNP оценивание модели

Дх, = а + J3t+ <pxt_x + вх Axt_, + st привело к следующему результату:

ADF Test Statistic   -4.117782

1\% Critical Value 5\% Critical Value 10\% Critical Value

-4.1219 -3.4875 -3.1718

Гипотеза единичного корня отвергается: значение /-статистики для проверки гипотезы Н0: ср = 0 оказывается ниже 5\%-го критического значения, вычисленного по формуле Маккиннона, и близко к 1\%-му критическому значению.

В то же время если взять первоначально AR модель с ртах = 5, получим (табл. 10.18).

Поскольку здесь / = -2.873575 > -3.1744, гипотеза единичного корня не отвергается даже при выборе 10\%-го уровня значимости. В то же время статистически незначимыми оказываются коэффициенты при трех последних запаздывающих разностях. Р-значение F-статистики критерия для гипотезы о занулении этих трех коэффициентов равно 0.44. Поэтому можно обойтись без трех последних запаздывающих разностей, а такая модель только что была рассмотрена, и в ней гипотеза единичного корня была отвергнута.

Посмотрим, что дает здесь применение критерия Филлипса — Перрона. Использование рекомендации (Newey, West, 1994) по выбору ширины окна

дает значение / =

Г Т Л2/9"

Применение критерия Филлипса — Перрона

—      = 3 и результаты, приведенные в табл. 10.19.

Статистические выводы, полученные при применении критерия Филлипса — Перрона с шириной окна, выбранной в соответствии с рекомендациями (Newey, West, 1994), противоположны выводам, полученным при применении расширенного критерия Дики — Фуллера с включением в правую часть одной запаздывающей разности.■

 

ПРИМЕР 10.2.2

Сравним результаты применения критериев Дики — Фуллера и Филлипса — Перрона на реализациях ST_, ST2, ST3 (табл. 10.20). Для ST_l и ST2 — в паре:

DGP: xt =xt_i + st,

SM: xt = a + axxt_x + st

для STJS — в паре:

DGP: xt = a + xt_x + et (или DGP: xt = xt_x + st),

SM: xt = a + J3t + axxt_x + єг

Для статистик этих критериев используем обозначения DF и РР(1) соответственно, где / — ширина окна, используемая при построении статистики Филлипса — Перрона и выбираемая в соответствии с рекомендациями (Newey, West, 1994).

Статистические выводы, полученные с применением статистик DF и РР, здесь совпадают и указывают на возрастание мощности критериев при увеличении количества наблюдений. ■

Критерий Лейбурна

В работе (Leybourne, 1995) предлагается вычислять значения статистики критерия Дики — Фуллера (DF) для исходного ряда xt и для ряда, получаемого из исходного обращением времени (т.е. перестановкой наблюдений в обратном порядке), затем взять максимум из двух полученных значений (DFm^). Лейбурн изучил асимптотическое распределение статистики DFmax и построил таблицы критических значений при Т = 25, 50, 100, 200, 400 для моделей с (линейным) трендом и без тренда. Таблицы получены моделированием в предположении независимости и одинаковой распределенности ошибок (инноваций). Однако автор утверждает, что ими можно пользоваться и в рамках расширенного варианта критерия Дики — Фуллера. Критерий Лейбурна обладает несколько большей мощностью по сравнению с критерием Дики — Фуллера.

 

ПРИМЕР 10.2.3

При анализе стационарного ряда ST3 по 100 наблюдениям было получено значение статистики Дики — Фуллера DF = -3.207. Для обращенного ряда значение статистики Дики — Фуллера равно -3.352. Максимум из этих двух значений, равный -3.207, остается выше 5\%-го критического уровня -3.45, рассчитываемого по таблицам Фуллера. Однако 5\%-й критический уровень для максимума приблизительно равен (по Лейбурну) -3.15, и это дает возможность отвергнуть гипотезу единичного корня для ряда ST_3 уже на 5\%-м уровне. ■

 

Критерий Шмидта — Филлипса

В работе (Schmidt, Phillips, 1992) авторы строят критерий для проверки гипотезы DS (в форме гипотезы единичного корня) в рамках модели

xt = у/+ \%t + wt,

где wt = pwt_ х + 8t, t = 2,Т.

Это удобно тем, что здесь в любом случае (/? = 1 или Р Ф 1) параметр у/ представляет уровень, а параметр £ — тренд. При этом распределения статистик критерия и при нулевой (DS), и при альтернативной (TS) гипотезах не зависят от мешающих параметров у/, \% и сте. Асимптотические распределения выводятся при тех же условиях, что и в критерии Филлипса — Перрона, и при ширине окна / порядка Г1/2. Вместо линейного тренда в модели можно использовать полиномиальный тренд. Более полное описание этого критерия и таблицу критических значений можно найти в (Maddala, Kim, 1998, p. 85). Здесь ограничимся рассмотрением примера его применения.

ПРИМЕР 10.2.4

Опять обратившись к анализу ряда ST3 по 100 наблюдениям, найдем значение статистики критерия Шмидта — Филлипса, оно равно -3.12. В то же время 5\%-е критическое значение равно -3.06. Это дает возможность отвергнуть гипотезу единичного корня на 5\%-м уровне.■

 

Критерий DF-GLS

Этот критерий, асимптотически более мощный, чем критерий Дики — Фуллера, был предложен в работе (Elliott, Rothenberg, Stock, 1996). Критерий DF-GLS проверяет (см. (Maddala, Кіт, 1998)) нулевую гипотезу а0 = 0 в модели

&yf = aQy? + ах АуІ_ { + ... + apAydt_p + error,

rjxeyf—«локально детрендированный» ряд (подробнее см. в указанной работе).

 

ПРИМЕР 10.2.5

Продолжая предыдущий пример, вычислим статистику критерия DF-GLS. Ее значение равно -3.246, что меньше 5\%-го критического уровня -2.89. Гипотеза единичного корня отвергается на 5\%-м уровне, причем более уверенно, чем в случаях критериев Лейбурна и Шмидта — Филлипса. ■

 

Критерий Квятковского — Филлипса — Шмидта — Шина

(KPSS)

Этот критерий, предложенный в работе (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin, 1992), в качестве нулевой опирается на гипотезу TS. Рассмотрение осуществляется в рамках модели:

ря    _ Детерминированный + Стохастический + Стационарная

~          тренд  тренд ошибка

Стохастический тренд представляется случайным блужданием, и нулевая гипотеза предполагает, что дисперсия инноваций, порождающих это случайное блуждание, равна нулю. Альтернативная гипотеза соответствует предположению о том, что эта дисперсия отлична от нуля, так что анализируемый ряд принадлежит классу £>£-рядов. В такой формулировке предложенный критерии является LM-критерием для проверки указанной нулевой гипотезы.

Как и в критерии Филлипса — Перрона, требования на ошибки здесь менее строгие, чем в критерии Дики — Фуллера. Однако при применении данного критерия возникает проблема выбора ширины окна / в оценке Ньюи — Веста, поскольку значения статистики критерия довольно чувствительны к значению /. Авторы в указанной статье рассматривают варианты выбора ширины окна, следуя рекомендациям Шверта (Schwert, 1989).

Подробное описание критерия KPSS вместе с таблицей критических значений можно найти в (Maddala, Кіт, 1998, p. 120—122).

 

ПРИМЕР 10.2.6

При анализе ряда ST_3 по 100 наблюдениям значение статистики критерия KPSS с 1 = 3 равно 0.157. В рамках этого критерия нулевая гипотеза о том, что имеет место Г^-ряд, отвергается, если наблюдаемое значение статистики критерия превышает критический уровень. По таблицам, предусматривающим наличие линейного тренда, находим: 5\%-й критический уровень равен 0.146, так что ГЯ-гипотеза отвергается в пользу £>£-гипотезы. Такой вывод противоречит статистическим выводам, полученным при применении критериев Лейбурна, Шмидта — Филлипса и DF-GLS, он иллюстрирует трудности с различением TS- и Л^-рядов, имеющих похожие реализации. ■

 

Процедура Кохрейна (отношение дисперсий)

Эта процедура, предложенная в работе (Cochrane, 1998), основана на изучении характера поведения отношения дисперсий (VR — variance ratio):

Если xt — случайное блуждание, то VRk = 1, а если xt — процесс, стационарный относительно линейного тренда (или просто стационарный), то VRk —» 0 при к —» оо.

При работе с реальными данными дисперсии заменяют их состоятельны-

Т

ми оценками, полученное отношение умножают еще на                     для дости-

Т-к + 1

жения несмещенности полученной оценки для VRk. Затем строят график значений полученных оценок для VRk при различных к = 1, К, и по поведению этого графика делают выводы о принадлежности ряда классу TS или DS, имея в виду различия графиков для этих двух классов временных рядов.

где rj — значение на лаге j автокорреляционной функции ряда разностей

^эсj ~~~~  j   •

Другой вариант работы с реальными данными состоит в использовании равносильного представления статистики отношения дисперсий VRk:

ПРИМЕР 10.2.7

Обратимся опять к реализации ST3 ряда, стационарного относительно линейного тренда, по которой оказалось затруднительным вынести определенное решение относительно принадлежности к классу или DS модели, порождающей эту реализацию. Привлечем к решению этого вопроса процедуру Кохрейна. Поведение отношения дисперсий показано на рис. 10.12 и говорит в пользу Г^-гипотезы.

Для сравнения приведем аналогичный график отношения дисперсий для реализации WALKJ2 случайного блуждания со сносом (рис. 10.13). Поведение отношения дисперсий указывает на то, что WALKJ2 порождается DS моделью. ■

 

Коррекция сезонности

В рассмотренных процедурах не затрагивался вопрос о коррекции сезонного поведения ряда, которое не снимается ни введением в модель линейного тренда, ни путем дифференцирования ряда. Разумеется, данные, поступающие в распоряжение исследователя, уже могли быть подвергнуты сезонной коррекции соответствующими статистическими агентствами. Более того, во многих странах сырые (не скорректированные на сезонность) данные просто недоступны. В то же время при анализе данных, подвергшихся сезонному сглаживанию с использованием фильтров или специфических методик правительственных агентств, существенно больше шансов классифицировать исследуемый ряд как DS (см., например, (Ghysels, Perron, 1992)), чем при анализе сырых данных. Поэтому некоторые авторы (Davidson, MacKinnon, 1993) рекомендуют по возможности избегать использования сезонно-сгла-женных данных. Более предпочтительным является использование сырых данных и устранение из них сезонности путем оценивания регрессии сырого ряда на сезонные фиктивные (dummy) переменные DI, D12 (если данные месячные) или D1, D4 (если данные квартальные). Остатки от оцененной регрессии образуют очищенный ряд, к которому можно применять изложенные выше методы. Теоретическое оправдание такого подхода при применении критерия Дики — Фуллера дано в (Dickey, Bell, Miller, 1986), где показано, что асимптотическое распределение статистики t не изменяется при исключении из ряда детерминированных сезонных компонент.

 

Протяженность ряда и мощность критерия

Следует иметь в виду, что мощность критериев единичного корня зависит в первую очередь от фактической протяженности ряда во времени, а не от частоты, с которой производятся наблюдения. Соответственно, если имеются значения ряда за десятилетний период, мы не получаем выигрыша в мощности, анализируя месячные данные, а не квартальные или годовые. Результаты исследований в этом направлении можно найти, например, в (Shiller, Perron, 19S5) и (Perron, 19896).

 

Проблема согласованности статистических выводов при различении 7S- и DS-гипотез

При решении задачи отнесения рассматриваемого ряда к классу TS или DS двумя статистическими критериями, один из которых в качестве нулевой использует гипотезу TS, а другой — гипотезу DS, возможны 4 ситуации, (табл. 10.21).

Эти ситуации интерпретируются следующим образом:

исход 2 — в пользу DS модели;

исход 3 — в пользу TS модели;

исход 1 — невозможность принять решение из-за низкой мощности обоих критериев;

исход 4 — процесс порождения данных (DGP) не сводится к допускаемым используемыми критериями TS- и DS-моделям.

Наличие нескольких единичных корней

После появления работ (Fuller, 1976) и (Dickey, Fuller, 1981) было проведено довольно много практических исследований экономических временных рядов с целью решения вопроса о наличии или об отсутствии единичных корней в моделях процессов, порождающих эти ряды.

При этом обычно сначала рассматривался сам временной ряд и проводилась проверка его на нестационарность с использованием критериев Дики — Фуллера. Если гипотеза единичного корня не отвергалась, то после этого переходили к рассмотрению ряда разностей и проверяли гипотезу единичного корня для этого ряда, применяя к ряду разностей процедуру Дики — Фуллера.

Если при анализе ряда разностей гипотеза единичного корня отвергалась, принималось решение о том, что исходный ряд — интегрированный порядка 1. В противном случае переходили к рассмотрению ряда вторых разностей и для него проверяли гипотезу единичного корня. Обычно на этом шаге гипотеза единичного корня отвергалась и исходный ряд определялся как интегрированный порядка 2.

Более поздние исследования показали, что такого рода последовательные процедуры не обладают заявленными уровнями значимости, имеют тенденцию к занижению действительного количества единичных корней. В таком несоответствии нет ничего удивительного: критерии Дики — Фуллера основаны на предположении, что если единичный корень и имеется, то он единственный. Положение здесь похоже на другие ситуации, когда последовательная проверка гипотез идет не от общего к частному, а от частного к общему.

В связи с этим для ситуаций, когда предполагаемая модель авторегрессии для анализируемого ряда может иметь порядок р выше первого,> 1, в работе (Dickey, Pantula, 1987) была предложена процедура последовательной проверки гипотез о количестве единичных корней характеристического уравнения, построенная по принципу «от общего к частному». Сначала проверяется гипотеза о том, что все р корней характеристического многочлена единичные, при ее отвержении проверяется гипотеза о наличии (р - 1) единичных корней и т.д.

Поясним смысл этой процедуры на примере процесса авторегрессии AR(2)

a(L)xt = et,

т.е.

(1 - axL - a2L2)xt = єп или (1 - aL)( 1 - bL)xt = єп где а = —, b = — ,azx,z2 — корни уравнения a(z) = 0.

 

При этом предполагаем, что процесс не носит взрывного характера, так что zx и z2 > 1, а значит, а и  < 1.

Раскрывая скобки и перенося все составляющие, кроме х„ в правую часть уравнения, получаем:

xt = (а + b)xt_x - abxt_2 + єг

Вычтем из обеих частей xt_ х:

Axt = (а + b - )xt_x - abxt_2 + єг

Из обеих частей полученного равенства вычтем Axt_ х:

A2xt = Axt - Axt_x = -Axt_x + (a + b - )xt_x - abxt_2 + £t = = (a + b - 2)xt_x + (1 - ab)xt_2 + er

Выделим в правой части первую разность:

A2xt = (a + b- 2)xt_x + [-(ab - X)xt_2 + (ab - )xt_x] - (ab - )xt_x + et = = (a + b - ab - )xt_x + (ab - )Axt_x + st9

так что

A2xt = (a- 1)(1 - b)xt_x + (дй - 1)Лх,_! + £"r

Это базовое соотношение позволяет идентифицировать ситуации, когда имеются 2 единичных корня, когда имеется 1 единичный корень и когда единичных корней нет:

если а = Ъ - 1 (два единичных корня), то A2xt = st

если а = 1, Ъ < 1 (один единичный корень), то

A2xt -(b - )Axt_x + єп или A2jc, = (pAxt_x + et с ^ < 0;

если a < 1 и b < 1 (нет единичных корней), то

A2xt = y/xt_х + (pAxt_х + st с ^<0 и ^<0.

Соответственно процедура, предложенная Дики и Пантулой, такова. Если допускаем наличие двух единичных корней, то сначала оцениваем статистическую модель

A2xt = а+ g>Axt_x + ut

и сравниваем значение /-статистики для коэффициента ср с критическим значением соответствующей статистики Дики — Фуллера (случай 1 или 2 — в зависимости от того, будем исходить из а - 0 или а Ф 0). Здесь ut — либо просто процесс белого шума, либо он включает еще и запаздывающие значения второй разности A2xt_x,..., A2xt_p+X.

Если гипотеза о наличии двух единичных корней (<р = 0) отвергается, то следует оценить статистическую модель

A2xt = y/xt_x + q>Axt_x + ut

и проверить гипотезу у/ = 0 против альтернативы у/ < 0. Отклонение этой гипотезы означает признание того, что у ряда xt нет единичных корней, а ее неотклонение — того, что х, ~1(1).

 

ПРИМЕР 10.2.8

Рассмотрим смоделированные реализации трех моделей AR(2) с различным количеством единичных корней (рис. 10.14 — 10.16). Посмотрим, что дает применение процедуры Дики — Пантулы в этой ситуации.

На первом шаге для каждого ряда оцениваем статистическую модель

SM: Д2х, = а+ (pAxt_x + et

и проверяем гипотезу ср - 0 против альтернативы ср < 0. (Анализ рядов остатков для обеих оцененных моделей указывает на отсутствие необходимости включать в правую часть статистической модели запаздывающих значений второй разности.) Для ряда ROOT2 используем критические значения Фуллера, соответствующие случаю 2 (а Ф 0), ориентируясь на наличие у реализации видимого квадратичного тренда. Для Т = 100 критическое 5\%-е значение статистики Дики — Фуллера равно -2.89. Вычисленное

значение /-статистики равно -1.64, гипотеза о наличии двух единичных корней не отвергается. Для рядов ROOT0 и ROOT1 используем критические значения Фуллера, соответствующие случаю 1 (а = 0), принимая во внимание отсутствие у реализаций видимого квадратичного тренда. В этом случае для Г= 100 критическое 5\%-е значение статистики Дики — Фуллера равно -1.95. Вычисленные значения /-статистик равны -7.83 для ряда ROOT0 и -5.50 для ряда ROOT1, в обоих случаях гипотеза о наличии двух единичных корней отвергается.

Исходя из этого следующий шаг процедуры выполняется только для рядов ROOT0 и ROOT1. Для этих рядов оцениваем статистическую модель

SM: Д2х, = y/xt_x + cpAxt_] + et

и проверяем гипотезу у/ = 0 против альтернативы у/ < 0. Значения соответствующей /-статистики равны -3.89 для ряда ROOT0 и -1.63 для ряда ROOT1, так что гипотеза у/ = 0 отвергается для ряда ROOT0 и не отвергается для ряда ROOT1.

Заметим теперь, что в модели DGP для ряда ROOT2 действительно было два единичных корня, в модели DGP для ряда ROOT1 — один единичный корень, а в модели DGP для ряда ROOT0 не было ни одного единичного корня:

DGP для ROOT0: х, = l.lxt_{ - 0.3х,_2 + et,

или (1 - 0.6Z/)(1 - 0.5L)xt = et

DGP для ROOT1: xt = l.5xt_x - 0.5jc,_2 + et,

или (1 -L)( -0.5L)xt = et;

DGP для ROOT2: xt = 2xt_x -xt_2 + st, или (1 -L)2xt = etM

 

Более подробно с проблемами, возникающими при проверке гипотез, связанных с наличием нескольких единичных корней, можно ознакомиться, например, в {Patterson, 2000).

 

Критерий Перрона

Предложенная в (Perron, 1989а) процедура проверки нулевой гипотезы о принадлежности ряда классу DS обобщает процедуру Дики — Фуллера на ситуации, когда на периоде наблюдений имеются структурные изменения модели в некоторый момент времени Тв в форме либо сдвига уровня (модель «краха»), либо изменения наклона тренда (модель «изменения роста»), либо сочетания этих двух изменений. Важность такого обобщения связана со следующим обстоятельством: если DS-критерий не допускает возможности изменения структуры модели, тогда как такое изменение в действительности имеет место, то он имеет очень низкую мощность, т.е. практически всегда не отвергает DS-гипотезу (см., например, (Engle, Granger, 1991)).

Последнее можно лучше всего проиллюстрировать на примере работы Нельсона и Плоссера (Nelson, Plosser, 1982), в которой был проведен статистический анализ 13 основных макроэкономических рядов США по годовым данным за достаточно длинные периоды (от 62 до 111 лет) и квартального ряда GNP, относящегося к периоду после Второй мировой войны (1948— 1987 гг.). Все ряды, за исключением ряда процентных ставок, были взяты в логарифмах.

Для этих рядов гипотеза единичного корня проверялась в связке:

SM: Дх, = а + fit + (pxt_x + ип

где ut — стационарный процесс AR(k),

DGP: Axt = а + и, (с а = 0 или а Ф 0),

и использовались критические значения Фуллера для этой ситуации. При этом Нельсон и Плоссер обнаружили, что для 13 из 14 рядов гипотеза единичного корня не отвергается. Единственным исключением оказался ряд логарифмов уровней занятости.

Полученные Нельсоном и Плоссером результаты сформировали устойчивое мнение о том, что макроэкономические ряды, обнаруживающие тренд, скорее всего, могут моделироваться как £>£-ряды. В то же время, как было показано на примерах, критерии Дики — Фуллера имеют не очень высокую мощность, и последнее может являться причиной неотвержения гипотезы единичного корня^для указанных 14 рядов. Вместе с тем надо учесть и следующее обстоятельство, на которое обратил внимание Перрон (Perron, 1989а).

Рассмотрим для примера график ряда GNP для периода с I квартала 1958 г. по IV квартал 1979 г. (рис. 10.17).

В качестве альтернативы процессу случайного блуждания (со сносом или без сноса) критерий Дики — Фуллера предлагает процесс, стационарный относительно линейного тренда. Однако при просмотре приведенного графика возникает впечатление, что линейный тренд ряда имеет различный наклон на подпериодах до 1974 г. и после 1974 г.

Если непосредственно оценивать линейный тренд на всем периоде 1958:1 —1979:4, то угловой коэффициент тренда оценивается как 19.086. При оценивании на подпериоде 1958:1 —1973:4 угловой коэффициент тренда оценивается как 19.852. В то же время при оценивании на подпериоде 1975:1 —1979:4 угловой коэффициент тренда оценивается как 31.995. Это заставляет усомниться в адекватности выбора в качестве альтернативы случайному блужданию процесса, стационарного относительно именно линейного тренда. Скорее, надо было бы использовать в качестве альтернативы процесс, стационарный относительно ломаной с узлом в районе 1975 г.

В связи с процедурами, допускающими излом траекторий, следует обратить особое внимание на различие между моделями внезапного и постепенного излома.

В течение нескольких лет в этом вопросе была некоторая путаница, так что даже сам автор первоначальной процедуры, допускающей изломы разных видов (Perron, 1989а), ошибочно интерпретировал оцененные им модели и критические значения, полученные путем статистического моделирования.

Пусть z, — стационарный процесс авторегрессии первого порядка с нулевым математическим ожиданием:

zt = axzt_x +єп

и ряд>>, определяется как

yt =f(t)+zn

где ДО = 0 при t < Тв и ДО = р Ф 0 при / > Тв.

Поскольку E(zt) = 0, то E(yt) = 0 при t < Тв и E(yt) = р при t > Тв. Таким образом, при переходе через дату излома Тв ряд yt сразу начинает осциллировать вокруг уровня р (вместо осцилляции вокруг нулевого уровня до этого перехода).

Рассмотрим теперь другую модель, в которой функция скачка «встроена» в уравнение AR(1) дяяуг Пусть

yt=f(t) + axyt_x +et9 ах<,

где ДО = 0 при / < Тв и ДО = р (1 - ах) при / > Тв, р * 0.

До момента Тв ряд yt осциллирует вокруг нулевого уровня. Как будут вести себя траектории такого ряда^ после перехода через дату излома Тв1 Для ответа на этот вопрос удобно записать:

Уг = <*Уг- + (Я0 +      = аУг- + vr

Тогда для t=TB + h имеем:

Утв+и = УІВ+" +'l>>V* =УІв+к +Г1>,* (At-k) + et_k) =

k=0 k=0

TB+h-l

УТов+" + I ast_k

/7-1

+ £>1V(l-tf1)-

k = 0

* = 0

Первое слагаемое в правой части (выражение в квадратных скобках) соответствует модели с E(yt) = 0. Вторая сумма при h —» оо имеет предел

/7-1

lim XflfM1"flfi) = ^/-

* = 0

В этой модели после момента t=TB процесс yt лишь постепенно выходит

на новый уровень //, вокруг которого начинает происходить осцилляция траектории ряда.

Поскольку во второй модели значения f(t) обрабатываются аналогично инновациям st (влияние обоих здесь убывает геометрически), вторую модель называют моделью инновационного выброса {innovation outlier). В то время как первая модель называется моделью аддитивного выброса (additive outlier).

Аналогично можно рассматривать пары моделей (аддитивная — инновационная), допускающие изменение наклона тренда без изменения уровня ряда или допускающие и изменение наклона тренда, и изменение уровня ряда.

Ниже приводятся графики, иллюстрирующие подобные ситуации:

сдвиг среднего уровня ряда — рис. 10.18;

сдвиг реализации без изменения наклона тренда — рис. 10.19;

сдвиг реализации с изменением наклона тренда — рис. 10.20;

изменение наклона тренда без сдвига реализации (сегментированный тренд) — рис. 10.21.

Трем различным формам изменения структуры модели Перрон (Perron, 1989а) сопоставляет три различные пары гипотез:

модель «краха»:

Я0 : xt = с + dDTBt + xt_x + et фЯ-ряд), НА: xt=c + 0DUt +fit + et (ГС-ряд);

модель «изменения роста»:

Я0: xt=c + 0DUt+ xt_x + et CDS-ряд), НЛ: xt=c + 0t + yDTSt + є, (ГС-ряд);

модель, допускающая наличие обоих эффектов:

Я0: xt = с + dDUt + rfDTB, + xt_x + г>,    (£>£-ряд),

НА xt=c + 6DUt +fit + SDTt + et  (ГС-ряд).

Здесь

с — постоянная;

Ґ1   для / = Г, +1, DTBt= в

[О  в противном случае;

І

1 для t>TR, О  для t<TB

[t-TR   для t>TR, DTSt=     в в |0        для t<TB

[t для t>TR, [О  для t<TB

st ~ ARMA(p, q) (значения pnq могут быть неизвестными).

Перрон предложил следующую процедуру проверки нулевых гипотез в рамках моделей А, В и С. Пусть et — ряд остатков, полученных при оценивании методом наименьших квадратов:

статистической модели

xt=c + dDUt+ pt + st —в ситуации А; статистической модели

xt=c + pt + yDTSt+st —в ситуации В; статистической модели

х, = с + 0DUt +pt + SDTt +et — в ситуации С.

На основании этого ряда остатков методом наименьших квадратов оценивается коэффициент а в модели

et = aet_x + vt

или (если последовательность v, в этой модели автокоррелирована) в расширенной модели

к

et=aet_x + YjcAet-j+vf

 

Значение к выбирается, как и в расширенном критерии Дики — Фуллера, таким образом, чтобы в последовательности v, не обнаруживалась автокорре-лированность. Пусть ta — /-статистика для проверки гипотезы а = 1 в соот-

Т

ветствующем уравнении; Т— длина ряда xt; ^ ~ ~^Г> где    — момент (дата)

изменения структуры.

Перрон указал асимптотические (при Т -» оо) распределения статистики ta при нулевых гипотезах в моделях А, В и С, а также (полученные методом статистического моделирования) критические уровни /крит для статистики ta, соответствующие различным уровням значимости. Эти распределения и их

Т

процентные точки зависят от значения отношения Л = —, т.е. от того, в ка-

Т

кой части периода наблюдений происходит изменение структуры. При этом предполагается, что момент Тв определяется экзогенным образом — в том смысле, что он не выбирается на основании визуального исследования графика ряда, а связывается с моментом известного масштабного изменения экономической обстановки, существенно отражающегося на поведении рассматриваемого ряда.

Гипотеза единичного корня отвергается, если наблюдаемое значение статистики ta оказывается ниже критического уровня, т.е. если ta < /крит.

Проблема, однако, в том, что Перрон неправильно интерпретировал свои результаты. Действительно, получив ряды остатков еп Перрон, по существу, предполагает, что тем самым он детрендирует ряд xt и что в качестве тренда выступает:

функция

f(t) = c + 0DUt+j3t — в ситуации А,

функция

f(t) = c + (3t + yDTSt — в ситуации В,

функция

f(t) = c + eDUt+ pt + SDTt —в ситуации С.

Однако это может быть верным только в случае, когда st — белый шум. Если же последовательность st автокоррелирована, так что st ~ ARMA(p, q), р2 + q2 > О, мы имеем дело с инновационным выбросом, а в таком случае указанные функции /(/) вовсе не являются трендами, относительно которых ста-ционарен-рассматриваемый ряд xt (если он является Г^-рядом).

Итак, если р2 + q2 > О, то рассмотренные Перроном модели соответствуют инновационным, а не аддитивным выбросам. Но если это так, то следует ориентироваться на другую /-статистику ta, а именно на /-статистику для проверки гипотезы а = 1

в модели

xt=c + 6DUt + fit + а,ч+ et — в ситуации А,

в модели

xt=c + /?/ + yDTSt + axt_x +є, — в ситуации В,

в модели

xt = с + 0DUt +0t + SDTt + axt_x +st — в ситуации С.

Если внимательно посмотреть на доказательство основного результата статьи (Perron, 1989а), то можно заметить, что в действительности Перрон в этом доказательстве опирается на статистики ta, полученные именно для последних трех моделей. Таким образом, асимптотические распределения и критические значения для статистик ta, приведенные Перроном, верны для моделей с инновационными выбросами. На это обстоятельство было указано позднее в работе (Perron, Vogelsang, 1993). В этой же работе описано, как следует действовать в моделях с аддитивными выбросами.

В случаях А и С достаточно взять статистику ta для проверки гипотезы а = 1 в модели

к к 7=0 j=0

и использовать для нее те же критические значения t^^, которые указаны в таблицах Перрона (Perron, 1989а).

Для случая В (сегментированный тренд) приведены новые таблицы критических значений статистики ta для проверки гипотезы а = 1 в модели

к 7 = 1

где et — ряд остатков, полученных при оценивании методом наименьших квадратов статистической модели

xt=c + pt + yDTSt +єг

Возвратимся теперь к обсуждению статьи {Perron, 1989а).

Проведя ревизию результатов Нельсона — Плоссера для 14 рядов с допущением структурных изменений модели и экзогенным выбором даты излома, Перрон получил совершенно другие результаты. Теперь уже гипотеза единичного корня была отвергнута для 11 из 14 рядов, т.е. результаты получились практически прямо противоположными результатам Нельсона — Плоссера. Это обстоятельство обсудим чуть позже, а сейчас приведем пример применения процедуры Перрона к одному из основных российских макроэкономических рядов.

 

ПРИМЕР 10.2.9

В качестве примера использования процедуры Перрона с экзогенной датой излома рассмотрим проверку гипотезы о наличии единичного корня в авторегрессионном представлении модели, порождающей ряд xt = Ml, где Ml — денежный агрегат, представляющий все денежные средства в экономике Российской Федерации, которые могут быть использованы как средство платежа. Здесь используем месячные данные за период 1995:06—2000:07 в номинальных величинах. График рядаД = Ml показан на рис. 10.22.

х

При анализе этого ряда на наличие единичного корня с использованием критериев Дики — Фуллера и Филлипса — Перрона (см. (Эконометрический анализ динамических рядов.., 2001)) гипотеза единичного корня не была отвергнута, что может быть связано с неудачным выбором альтернативных гипотез. График ряда позволяет предположить, что более подходящей может оказаться модель с изломом тренда в конце 1998 г. — начале 1999 г., связанным с финансово-экономическим кризисом 1998 г.

Если предполагать, что излом тренда выражается в изменении его наклона после августа 1998 г., то можно обратиться к статистической процедуре проверки гипотезы единичного корня, предложенной в упомянутой выше работе Перрона и соответствующей одномоментному (внезапному) изменению наклона тренда (АО модель — модель с аддитивным выбросом).

Согласно этой процедуре если Тв — момент скачка, то сначала следует оценить статистическую модель

xt = ju + /3t+ yDTSt + ut,

в которой переменная DTSt равна t - Тв для t > Тв и равна 0 для всех других значений t. В результате оценивания этой модели получаем ряд остатков ег Затем оценивается модель регрессии et на et_x и запаздывающие разности Aet_x,...,Aet_p:

р

et=aet_x+^CjAet_j+st; y=i

полученное при этом значение /-статистики для проверки гипотезы Н0: а = 1 сравнивается с критическим значением из таблицы, приведенной в статье (Perron, Vogelsang, 1993, p. 249). В правую часть оцениваемой статистической модели следует включать достаточное количество запаздывающих разностей, чтобы исключить автокоррелированность ошибок в расширенной модели.

В нашем случае Тв = 42, что соответствует 1998:08. В правую часть уравнения для остатков приходится дополнительно включать 12 запаздывающих разностей, так как иначе (при 11 разностях) получаем Р-значение критерия Бройша — Годфри (с AR(1) альтернативой), равное 0.0002 и указывающее на автокоррелированность остатков. Для повышения мощности критерия, используя стратегию GS («от общего к частному») и критерий Шварца SIC, осуществим редукцию модели, последовательно исключая из нее запаздывающие разности со статистически незначимыми (на 10\%-м уровне значимости) коэффициентами. Результаты такой последовательной редукции приведены в табл. 10.22.

В первой графе табл. 10.22 указаны порядки запаздывания разностей, последовательно исключаемых из правой части оцениваемой статистической модели. Запаздывающая разность исключается из уравнения, если коэффициент при этой разности признается статистически незначимым на 10\%-м уровне значимости.

Во второй графе приведены значения информационного критерия Шварца (SIC), соответствующие редуцированным моделям.

В третьей графе приведены Р-значения (P-values) LM-критерия автокоррелированности ошибок Бройша — Годфри. Цифры, предваряющие эти Р-значения, указывают на допускаемый (при альтернативе) порядок авторегрессионной модели для ошибок в редуцированном уравнении.

В четвертой графе приведены Р-значения критерия Уайта (White) для выявления гетероскедастичности ошибок.

В пятой графе приведены Р-значения критерия Харке — Бера для проверки нормальности распределения ошибок.

В последней графе таблицы приведены значения ^-статистики (расширенного) критерия Перрона, получаемой при оценивании соответствующей редуцированной (или полной) модели.

При редукции модели методом «от общего к частному» (с 10\%-м уровнем значимости) из расширенной модели с 12 запаздывающими разностями последовательно удаляются разности, запаздывающие на 8, 11, 10, 9 единиц времени (месяцев). Это приводит к модели, содержащей в правой части разности, запаздывающие на 1—7 и 12 месяцев; результаты оценивания этой модели приведены в строке таблицы, отмеченной звездочкой. Если продолжать редукцию, отбрасывая запаздывающие разности с коэффициентами, статистически незначимыми на 10\%-м уровне, то остановка происходит на модели, результаты для которой находятся в строке, отмеченной двумя звездочками. Критерий Шварца выбирает модель, результаты оценивания которой приведены в последней графе таблицы.

Поскольку отклонения от нормальности, некоррелированности и гомоске-дастичности могут отражаться на критических значениях статистики критерия, в этом отношении предпочтительнее модель, результаты для которой приведены в строке, отмеченной звездочкой.

Асимптотические критические значения статистики критерия Перрона зависят от положения момента излома на интервале наблюдений через параметр Я

 

Т

где Тв — момент, непосредственно после которого происходит излом тренда; Т — количество наблюдений.

В нашем случае Я = 42/62 = 0.667. Соответствующее 5\%-е критическое значение (при сделанном предположении о внезапном изменении наклона тренда) заключено между значениями -3.94 (для Я = 0.6) и -3.89 (для Я = 0.7). Гипотеза единичного корня не отвергается ни в полной модели и ни в одной из редуцированных моделей.

Отметим также, что момент излома тренда 1998:08 был выбран на основании уже имеющейся информации об августовском кризисе 1998 г. и визуального обращения к графику ряда Ml. Между тем выбор даты излома тренда на основании анализа графика ряда влияет на критические значения /-статистики критерия единичного корня. ■

 

Обобщенная процедура Перрона

Анализируя результаты Перрона в отношении 14 макроэкономических рядов США, некоторые авторы задались вопросом о влиянии метода датировки на критические значения соответствующих статистик. В работе Зивота и Эндрюса (Zivot, Andrews, 1992), которая уже была процитирована в разд. 9 (тема 9.2), обращается внимание на то, что при рассмотрении послевоенного GNP в качестве даты структурного сдвига Перрон взял II квартал 1973 г. (что соответствует мировому топливо-энергетическому кризису). И это можно было бы считать экзогенным выбором, поскольку решение принималось международной организацией (ОПЕК). Однако в послевоенный период имели место и такие крупные события, как снижение налогов (1964 г.), война во Вьетнаме (1965—1974 гг.), финансовое разрегулирование в 1980-е гг. Тем не менее Перрон взял за точку сдвига именно 1973 г., обращаясь предварительно к поведению ряда GNP. А если это так, то нарушается принцип, согласно которому статистические гипотезы формулируются до любого (даже визуального) анализа данных, на основании которых принимается решение об отклонении или неотклонении нулевой гипотезы. С этой точки зрения, критерий Перрона, предложенный в работе (Perron, 1989а), является условным, при условии, что точка смены режима известна.

Вместо условного критерия Перрона, в котором точка смены режима известна, Зивот и Эндрюс предложили использовать безусловный критерий (относящийся к инновационным выбросам), в котором датировка точки смены режима производится в «автоматическом режиме», путем перебора всех возможных вариантов датировки и вычисления для каждого варианта датировки /-статистики ta для проверки гипотезы Н0: а = 1; в качестве оцененной даты берется дата, для которой значение ta оказывается минимальным (/min). К чему это приводит?

Возьмем для примера ряд, представляющий занятость (1890—1970 гг.). Этот ряд исследуется в (Zivot, Andrews, 1992) в рамках модели А (см. выше модели А, В, С), но только без включения в правую часть переменной DTBt. Перрон для всех рядов, кроме послевоенного GNP, определил в качестве точки смены режима 1929 г. (Великая депрессия). Для ряда занятости значение ta

для этого года равно ta = -4.95, Тв = 40, Я = 40/81 = 0.49. При таком Я критическое (5\%-е) значение для ta приближенно равно -3.76, так что гипотеза единичного корня отвергается. В то же время, выполняя указанный перебор, Зивот и Эндрюс получили ту же дату (1929 г.), так что /min = -4.95. Значение /-статистики не изменилось. Однако распределение статистики /min отличается от распределения статистики ta для фиксированного года: 5\%-е критическое значение для /min равно -5.26. Поскольку /min = -4.95 > -5.26, гипотеза единичного корня (Н0: а = 1) теперь не отвергается.

Аналогичный анализ для остальных рядов из работы Нельсона и Плоссера приводит к следующим результатам. Гипотеза единичного корня не отвергается для 11 из 14 рядов (исключение составляют реальный и номинальный GNP (годовые данные) и промышленное производство (1860—1970)). И это объясняется консервативностью критических значений при эндогенной датировке (путем перебора): при заданном значении Я последние существенно ниже критических значений, соответствующих экзогенной датировке.

Следует, впрочем, заметить, что при оценивании уравнений для номинального GNP, номинальной заработной платы и биржевого курса обыкновенных акций ряды остатков имели слишком большие значения коэффициента пико-образности — куртозиса (kurtosis): 5.68, 4.658, 4.324, говорящие не в пользу предположения о нормальности инноваций, при котором были получены критические значения статистики /min. (Куртозис распределения определяется как отношение четвертого центрального момента распределения к квадрату дисперсии. Для нормального распределения значение куртозиса равно З1.)

 

В отечественной литературе в качестве характеристики пикообразности распределения чаще используется коэффициент эксцесса k (k = куртозис - 3), равный 0 для нормального распределения. Ориентируемся здесь на куртозис из-за того, что в распечатках результатов, получаемых при применении пакета статистического анализа Econometric Views, приводятся именно значения (оцененного) куртозиса.

При перемоделировании критических значений с использованием (вместо нормального) распределения Стьюдента с подходящими числами степеней свободы для этих трех рядов получены следующие 5\%-е критические значения: -5.86, -5.81 и -5.86 (против -5.38, -5.33 и -5.63 соответственно). Значения статистики tmin для этих рядов равны: -5.82, -5.30 и -5.61, что, в общем, практически не изменяет статистических выводов.

Наконец, если предположить, что распределение инноваций имеет настолько тяжелые «хвосты», что D(st) = oo, то критические значения статистики tm[n уменьшаются столь значительно, что отвергнуть гипотезу единичного корня на 5\%-м уровне значимости становится невозможным ни для одного ряда.

Перрон вернулся к проблеме проверки гипотезы единичного корня в работе (Perron, 1997). Развивая результаты Зивота и Эндрюса, он исследовал зависимость критических значений статистики tmin от выбора количества запаздывающих разностей, включаемых в правые части оцениваемых уравнений. При этом Перрон работал с моделями А и С, содержащими в правых частях (в отличие от Зивота и Эндрюса) переменную DTBt. Напомним, что

Ґ1 для t = TR +1, [О  для t*TB+l.

Методика, разработанная в (Perron, 1997), реализована в виде процедуры PERRON97 в пакете статистического анализа RATS. При этом рассматриваются модели:

— с инновационным выбросом, изменяющим постоянную;

— с инновационным выбросом, изменяющим и постоянную, и наклон

тренда;

АО — с аддитивным выбросом, изменяющим только наклон тренда.

Предусмотрены три метода оптимального выбора даты излома:

UR      — по минимуму /-статистики критерия для проверки гипотезы

а=1;

STUDABS — по максимуму абсолютной величины /-статистики критерия для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента при переменной, отвечающей за изменение константы (в модели 101) или за изменение наклона тренда (в модели 102);

STUD — по минимуму /-статистики критерия для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента при переменной, отвечающей за изменение константы (в модели 101) или за изменение наклона тренда (в модели 102).

При практической реализации критерия обычно несколько ограничивают интервал возможных дат излома, чтобы исключить слишком ранние или слишком поздние даты излома.

ПРИМЕР 10.2.10 (продолжение примера 10.2.9 с рядом Ml)

Для учета влияния датировки при проверке гипотезы единичного корня в моделях, допускающих структурное изменение, воспользуемся процедурой PERRON97 из пакета статистического анализа RATS, реализующей методику, приведенную в (Perron, 1997). Исходя из предыдущих результатов, максимальное запаздывание разностей, включаемых в правую часть оцениваемых уравнений, ограничим тринадцатью.

Сначала рассмотрим модель, допускающую сдвиг траектории и изменение наклона тренда в форме инновационного выброса (10). Результаты применения процедуры PERRON97 для этой модели приведены в табл. 10.23.

Здесь

DUt = для t > Тв и DUt = 0 для всех других значений t; D(Tb)t = 1 для t = Тв + 1 и D(Tb)t = 0 для всех других значений V, DT= t для t > Тв и DTt = 0 для всех других значений t, (М1{1}), = М1,_,.

Заметим: при постулировании инновационного выброса оценивание регрессионной модели при каждой испытываемой дате производится в один этап — в правую часть регрессионной модели в качестве объясняющих включаются сразу все 6 переменных: CONST, DU, D(Tb), TIME, DT и запаздывающая на один шаг переменная Ml {1}.

Процедура PERRON97 определяет в этом случае дату излома как 1999:07, если выбор даты излома осуществляется по минимуму /-статистики критерия единичного корня ta=l, взятому по всем возможным моментам излома. При

этом ta=l = -3.341, что выше 5\%-го критического уровня -5.59, и гипотеза единичного корня не отвергается. Наибольшее запаздывание разностей, включаемых в правую часть уравнений, выбирается равным 12 в рамках применения процедуры GS для редукции модели с 10\%-м уровнем значимости.

Если выбор даты излома осуществляется по максимуму абсолютной величины /-статистики для коэффициента d при переменной DTt, отвечающей за изменение наклона тренда, то выбирается 1998:04. При этом ta=l = -0.547, что выше 5\%-го критического значения -5.33, гипотеза единичного корня не отвергается. (Наибольшее запаздывание разностей здесь уменьшается до 11.) Наконец, если выбор даты излома тренда осуществляется по минимуму /-статистики критерия для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента при переменной DT, отвечающей за изменение наклона тренда, то выбирается опять 1998:04 с тем же выводом о неотвержении гипотезы единичного корня (Ш-гипотезы).

Рассмотрим теперь модель, допускающую только изменение наклона тренда (без сдвига траектории) в форме аддитивного выброса (АО). Результаты применения процедуры PERRON97 для этой модели приведены в табл. 10.24.

Заметим: при постулировании аддитивного выброса оценивание регрессионной модели при каждой испытываемой дате производится в два этапа. На первом шаге в правую часть регрессионной модели в качестве объясняющих включаются только переменные CONST, TIME, DT, в результате оценивания этой модели получаем ряд остатков ег На втором шаге оценивается модель регресии et на et_x и запаздывающие разности Aet_x,ket_p.

Датировка момента излома осуществляется по минимуму статистики ta=l для проверки гипотезы о равенстве 1 коэффициента при et_ х в последней модели. При этом дата излома определяется как 1999:02, ta=l = -3.594 (используются 12 запаздывающих разностей), 5\%-е критическое значение равно -4.83, так что [/Л-гипотеза не отвергается и в этом случае.

Заметим, что распределение ошибок в последней ситуации отличается от нормального: оцененный коэффициент пикообразности распределения — куртозис — превышает на 1.626 значение куртозиса нормального распределения, равного 3. Как следует из (Zivot, Andrews, 1992) (это было отмечено ранее), в таких ситуациях критические уровни сдвигаются в сторону больших отрицательных значений, так что если использовать скорректированные на ненормальность критические уровни, то [/Л-гипотеза тем более не будет отвергнута.

Приведем для полноты итоги анализа ряда Ml на интервале с 1995:06 по 2000:07, проведенного в работе (Эконометрический анализ динамических рядов.., 2001). Результаты применения различных процедур сведены в табл. 10.25.

Статистические выводы, полученные при применении всех перечисленных в таблице процедур, согласуются между собой: нулевая DS-гипотеза не отвергается, тогда как нулевая TS-гипотеза отвергается', поведение отношения дисперсий Кохрейна также говорит в пользу ^-гипотезы. ■

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Какие критерии, помимо критериев Дики — Фуллера, используются для различения TS- и AS-рядов?

Как влияет на свойства критериев единичного корня наличие у ряда выраженной сезонности?

Как влияет протяженность ряда на мощность критерия?

В чем состоит проблема согласованности статистических выводов при различении TS и DS-гипотез?

Как проверяется гипотеза единичного корня в ситуации, когда ряд может иметь несколько единичных корней?

Чем различаются модели с внезапным и постепенным изломом (аддитивным и инновационным выбросом)?

Какие варианты поведения рядов при наличии структурного сдвига рассматриваются при различении TS- и DS-рядов?

Как производится датировка момента излома в критерии Перрона?

Как производится датировка момента излома в критерии Зивота — Эндрюса?

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |