Имя материала: Эконометрика Книга вторая Часть 3

Автор: Носко Владимир Петрович

Тема 3.5 динамические модели

 

Динамическая модель: несостоятельность «внутри»-оценки

Ранее была рассмотрена двунаправленная модель, в которую помимо индивидуальных эффектов at включались также временные эффекты Л,:

 

уи =ju + at+At +[5xit +uin   / = 1,...,#,   f = 1,...,Г.

При этом индивидуальные эффекты at оставались постоянными во времени, а временные эффекты Л, не изменялись от субъекта к субъекту. Между тем довольно часто панельные данные используются для оценивания связей, которые имеют динамический характер. В таких ситуациях естественно рассматривать модели, содержащие в правых частях уравнений запаздывающие значения объясняемой переменной; в простейшем случае таковой является динамическая модель

У и = ГУ и t- +ai+u»>   1 = I • • • > N>   t = l9...9T9

в которой / < 1, uit - Lid. N(0, сг„2) — инновации (так что E(uit yijt_k) = 0 для к > 0). Будем предполагать, что значения yit наблюдаются для / = 0, 1, Т. «Внутри»-оценка (ковариационная оценка) для у имеет вид:

N Т

Ц(Л-Й(Дм-Лгі)

_ /=1 t=         

Усу -      N т

Ц(Дм-Д-і)2

где

В соответствии с определением модели,

 

У і = 7 Z (ГДм + <*/ + w*) = УУи-х +   + и / >

7 г=1

1 т

где и, = —Zw/" так что

 

У it - У і = Г( Д ,-1 - Уі,-1) + (U it - U)

 

/=і /=і

NT

ZZovi-д-і)2

/=1 г=1

 

Такая оценка существует, если знаменатель дроби в правой части последнего выражения отличен от нуля.

Можно показать (см., например, (Hsiao С, 2003, р. 72)), что предел по вероятности числителя дроби в правой части последнего выражения равен:

i   N т

р lim   Z Z ("к - їїі ) (дм - Д-і)=

i= t=

j     N f T         T          T ^

=p Іш   Z Z ua д м - и, Z Дм - д-і Z w*+т їїі д-

00 7V7 /=iU=i /=і /=i

7V->oo ДГ f

1 * cr = ^i™T7Z(-^,-i) = -^

1=1

Т--Ту + у

а предел по вероятности знаменателя этой дроби равен:

NT -2

^1 (r-i)-W

Г Г2(1-/)2

Отсюда вытекает, что если не только N -> оо, но и Т -» оо, то первый предел по вероятности стремится к нулю, а второй — к отличному от нуля значению

 

1-у

так что р lim ycv = у,и ycv является состоятельной оценкой параметра у

N-+cc

Если же значение Г фиксированное, тогда первый предел не равен нулю и р lim ycv   у, так что оценка ycv несостоятельна.

N-+cc

Асимптотическое смещение оценки уСу является следствием «внутри»-преобразования, выметающего индивидуальные эффекты at из каждого наблюдения, что порождает корреляцию между остатками (uit - ut) в преобразованной модели и объясняющей переменной (yut_x -Уі,-)- Когда Г велико, эта корреляция близка к нулю. Для малых значений Т смещение отрицательно, если у > О, и не стремится к нулю при у^> 0. Поскольку в типичной панели Т мало, возникающее смещение трудно игнорировать. Например, для Т = 2

+ у

асимптотическое смещение равно  . На рис. 3.6 показано, как асимпто-

тическое смещение оценки ycv изменяется с ростом Г.

 

Получение состоятельной оценки: обобщенный метод моментов

«Внутри»-оценка остается несостоятельной при малых Т и когда в правую часть уравнения модели добавляются экзогенные объясняющие переменные.

Для преодоления этой проблемы можно воспользоваться другим преобразованием, выметающим ц: вместо вычитания средних по времени перейти к первым разностям временных рядов для каждого субъекта. При этом получаем:

Л t ~ у і, t- = г (у і, t- -      ) + (utt - ui. /-і )>   / = 1,...,       t = 2,Г,

или где обозначено:

ДД t = Д t ~ Дм >   Аип = uu ~ ui, t-x •

Здесь

Cov(Ay/eM, Дміг) = Соу(дм - д,_2, uit -ui\%t_x) = -Cov(yit_x, uit_x)*Q.

Поэтому 015-оценка для у в преобразованном («продифференцированном») уравнении оказывается несостоятельной, даже если Т —> оо. Однако к преобразованному уравнению можно применить метод инструментальных переменных. Для этого достаточно заметить, что если взять переменную

 

Cov(yu ,_2, Aw/Y) = Cov(д ,_2, uit - uit t_x) = 0,

Cov{yit_2, Ayu.x) = Cov(yit_2, yit_x -д,_2) * 0,

а это означает, что данная переменная может использоваться в качестве инструмента для Ayit_x = уи- д ,_2, и это приводит к оценке:

ы т

 

'iv ~  n т

Ц(Д/-ГДг-2)Д/-2

/=1/ = 2

Необходимое условие состоятельности этой оценки:

J       # г

 

при Г—> оо или/и 7V—> оо.

В качестве инструмента для Ay/W_! = .y/f/-i ~Уі9І-2 вместо д,_2 можно использовать, например, разность (д,_2 - Д ,_3), что приводит к другой оценке:

n т

Z Z (Д / " Д /-і XД /-2 - Д /-з)

- _ / = 1 ; = 3 Уiv -  n т

Z Е<Д/-1 - Д/-2>(Д/-2 - Д/-з)

/=1t=3

для состоятельности которой необходимо, чтобы

j       n т

р lim    У У (и,., -и,, ,)(у,, 9 -V,, -») = 0.

 

Состоятельность обеих оценок гарантируется отсутствием автокоррелиро-ванности и,,.

Заметим теперь, что

| NT

 

j NT

p lim    У У (uit - U: ,_i)(v, ,_2 ->> - з) =

^^oo N(T-2)J^X^3      ' '

= £[(«Г«/,м)(Л,г-2-Л,г-з)] = 0'

Это условия на моменты совместных распределений пар случайных величин (uit - ии_хуи_2 и (uit - uit_x (уи_2 -д,_3). Если оба эти условия ортогональности, моментные условия (orthogonality conditions, moment conditions) выполняются, то применение сразу двух инструментов приводит к повышению эффективности оценок (используется большее количество информации). Заметим, что можно найти и другие подходящие инструменты. Например, каждая из переменныхуи-2-], У = О» U ••• удовлетворяет условиям

E[(uit-uit_x)yit_2_j] = ^

Е[(уи-х-уи-2)Уи-2-М^

так что для Ayit_x =yUt_x -Д,_2 и эти переменные годятся в качестве инструментов.

С учетом того, что у нас / = 2, ..., Г, можно, следуя работе Ареллано и Бонда (Arellano, Bond, 1991), создать список инструментов, поступая следующим образом.

Предположим, что Т- 2, так что имеем только уравнения

У и 2 ~ У и і = У^Уи і " У и о) + (w/2 " Ч і)'   * = Ъ—>М. В силу сказанного выше в качестве инструмента для Ауих =уих -До годится переменная д0.

Если Т= 3, так что для каждого і = 1,TV имеем 2 уравнения:

Уі,2 -Уіл=У{Уіл -Л.о) + (И/2 ~иіЛ

У і, з - У и 2 = ГІУі, 2-Уі,) + ("із - «/, 2 I то в качестве инструмента для Ayu =укх -д0 опять годится переменная д0, а в качестве инструмента для Ау/2 = У иг ~ Уі, — как До» так и Ді- Соответственно соотношение

Е[(иі2-ип)уі0] = 0

рассматривается как моментное условие для / = 2, а для t = 3 имеем пару моментных условий:

Е [(ui3 - ui2 )yiX ] = О,   Е [(ui3 - и,.2)yi0 ] = 0.

Если Т = 4, то для / = 2 и / = 3 годятся те же условия, что и в случае / = 3, а для t = 4 — три моментных условия:

Е[(иі4-иі3)уі0] = 0,

Е[(иі4-иі3)уп] = 09

Е[(иІА-иІЗ)уі2] = 0.

T(T-l)

Всю эту совокупность          —- моментных условии можно использовать

в рамках обобщенного метода моментов (GMM — Generalized Method of Moments).

Для произвольного Г определим (Г- 1) х 1-вектор:

 

Дм,- =

і, Г-1

Т(Т-)

и (Г-1)х           матрицу:

 

О [Уіо,Уп]

 

о

о о

 

0 [Ут—>Уі,т-г

Каждая строка матрицы Z, содержит инструменты, подходящие для соответствующего момента времени. В этих обозначениях указанная совокупна -1)

ность               моментных условии записывается в виде:

 

E[Z[Aui] = 0.

Если определить еще

Уа-Уп

Уп-Ую

 

Уі,т-Уі,т-

Дг-і-Дг-2

то последнее соотношение записывается также в виде:

£[Zf (Ад;.-ГДд _,)] = ().

В отличие от метода наименьших квадратов, количество моментных условий здесь больше числа условий, необходимых для определения с их помощью значения у так что использование разных условий приводит к различным оценкам. Следовательно, нет возможности получить значение у при котором выполняются все указанные моментные условия. Вместо этого приходится ограничиваться требованием в каком-то смысле «наилучшего» приближения ко всем моментным условиям сразу. Чтобы использовать всю совокупность моментных условий, в GMM минимизируется квадратичная форма от выборочных аналогов моментных условий:

 

000 =

где WN — симметричная положительно определенная взвешивающая матрица. Искомый минимум достигается при значении, равном

-1

Ygmm —

2>[_,Z, WN ^ZfAy,

2>[-iZ, WN ^ZfAy,

1=1

/=1

Это и есть GMM-оценка параметра у. Свойства этой оценки зависят от выбора взвешивающей матрицы WN. При положительной определенности матрицы WN — в частности, для единичной матрицы WN = IN — GMM-оценка состоятельна.

Однако желательно выбирать матрицу WN таким образом, чтобы GMM-оценка была по возможности наиболее эффективной, — о такой матрице говорят как об оптимальной взвешивающей матрице (optimal weighting matrix). Такая матрица должна удовлетворять условию:

р lim WN =(Cov(ZfAW/))-1 =[£(Z/rAi*|.(Ai*/)rZ/)]-1.

jV->oo

Если на ковариационную матрицу вектора ошибок наблюдений для /-го субъекта не накладывается никаких ограничений, можно поступить следующим образом.

Сначала полагаем WN = IN и производим GMM-оценивание коэффициента у в модели Ад, = yAyit_x + Auit с такой взвешивающей матрицей, определяя предварительную оценку у{Х) для у. При этом получаем остатки

СО)/

 

и составляем из них векторы

Aui2

Аи. =

Айит

Искомая матрица определяется после этого соотношением

( і n

N м )

Если и,., ~ i.i.d., то положение значительно упрощается. В этом случае

 

 

(2

-1

0 ..

. 0

 

 

-1

2

-1 ..

. 0

0

Е(Аиі(Аиі)Т) = ст2С = ст2

0

-1

2 ..

. 0

0

 

0

0

0 ..

. 2

-1

 

 

0

0 ..

. -1

2,

и поэтому не требуется предварительного оценивания у. Оптимальная матрица определяется соотношением

 

-YZ,rGZ,.

 

и GMM-оценивание производится за один шаг.

В общем случае GMM-оценка yGMM имеет асимптотически нормальное распределение с ковариационной матрицей

р lim

jV->oo

^7І>.-^z](l-tz!Aui(AuifZi I Wz/Ay,..,

 

Если м„ ~ i.i.d, то средняя составляющая редуцируется к

Ґ Л   N Vі

lYZ,rGZ,.

 

Рассмотрим теперь динамическую модель с экзогенными переменными:

У а = ГУи-і + ХІР + ai + и»>  * = і,/ = і,.г. Здесь дифференцирование приводит к модели

Ду., = уДу. м + Ьхр + Лмй.

Если предполагать, что все /? объясняющих переменных, входящих в состав вектора xit9 строго экзогенны — в том смысле, что они не коррелированы с каждым uis9 тогда

E(xit Auis) = О для всех s9

так что в указанные ранее списки инструментов для каждого момента (периода) времени можно добавить хП9 xiT. Тогда для момента t список инструментов принимает вид: [у/0, уП9 уи_2> хп-> •••> хіт- Такой список может быть весьма длинным, если р и Т не очень малы. В то же время при строгой экзогенности xit имеем также:

E(Axit Auit) = О для каждого t,

так что Axit могут выступать в качестве инструментов для самих себя. При

таком подходе список инструментов для момента t имеет вид: [yz0, yil9

yi>t-2>            Д^ії]- Этот список существенно короче, если панель достаточно

длинна.

Предположим теперь, что переменные в xit не являются строго экзогенными, но являются предешерминированными — в том смысле, что

E(xit uis) = О для всех s > t.

В этом случае уже не все хП9 xiT годятся в качестве инструментов для продифференцированного уравнения в момент а только хП9 xiи соответственно накладываются моментные условия

Е(хи t4 Auit) = 0 для j = 11.

Разумеется, если в состав хп входят как строго эндогенные, так и преде-терминированные переменные, то списки инструментов соответствующим образом корректируются.

 

і/ Замечание 3.5.1. Указанная выше «оптимальная» взвешивающая матрица является оптимальной в отношении выбранного множества инструментов. В то же время возникает вопрос об «оптимальном» выборе самих инструментов.

Привлечение большего количества инструментов подразумевает получение более эффективных оценок. Однако здесь возникают две опасности:

некоторые из переменных, привлеченных в качестве инструментов, в действительности могут быть коррелированными с ошибками; для предотвращения таких ситуаций необходимо проверять гипотезу о выполнении соответствующих условий ортогональности;

оценки коэффициентов могут иметь значительное смещение вследствие оценивания взвешивающей матрицы WN.

Проверка гипотез о правильности спецификации динамической модели

ПРИМЕР 3.5.1

Вернемся к приведенным ранее данным об объемах инвестиций у и прибыли х трех предприятий (N = 3) за десятилетний период (Г = 10) и рассмотрим на этот раз динамическую модель первого порядка

У it =jU + (*i+ Г У і, t-i + A xit + 02xi, t-i +uit>   / = 1, 2,3,   t = 2,..., 10.

Дифференцирование приводит к модели для разностей:

Ayit = yAyit_x + A Ax/Y + P2Axit_x + Аиіп   і = 1, 2,3,   Г = 3,..., 10.

В программе xtabond в пакете Stata 8 в качестве инструментов используются переменные, указанные в табл. 3.43, а также Ахі3 + ... + Дх/10 и Axi2 + ... + Ах/9.

Это дает всего 38 (36 + 2) моментных условий. Поскольку модель в разностях содержит 3 неизвестных коэффициента, для оценивания этих коэффициентов достаточно использовать только 3 моментных условия, а остальные 35 (38 - 3) условий — избыточные. Их можно было бы не использовать, но это снизило бы эффективность получаемых оценок. ■

 

Вместе с тем наличие избыточных условий позволяет проверять адекватность сделанных в отношении модели предположений. Точнее говоря, возникает возможность проверки гипотезы Н0 о том, что избыточные условия (выведенные на основании исходных предположений о рассматриваемой модели) действительно выполняются. Для проверки этой гипотезы используется статистика Саргана (Sargan statistic):

S = NQ(eGMM),

где 0GMM    — GMM-оценка вектора коэффициентов в модели (в нашем примере в= (у, А, PiY) Q0gmm) — значение при в - всмм квадратичной формы, минимизируемой в методе GMM.

Если гипотеза Н0 справедлива, то статистика Саргана имеет асимптотическое (при N оо) распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным количеству избыточных моментных условий (в нашем примере оно равно 35).

Приведем теперь (табл. 3.44) результаты применения программы xtabond при использовании взвешивающей матрицы

і N

wopt -

 

(так что оценивание производится за один шаг).

Результаты применения критерия Саргана говорят в пользу гипотезы о выполнении избыточных предположений. В то же время коэффициенты при запаздывающей разности значений объясняемой переменной и запаздывающей разности объясняющей переменной статистически незначимы, что возвращает нас к статической модели регрессии.

В программе xtabond пакета Stata8 используется еще один критерий проверки адекватности модели. Он основан на следующем обстоятельстве. Если ошибки ип,     uiT взаимно независимы, то:

соседние разности Awzl, Auit_x коррелированы, так как

Corr(AuinAuit_x) = Corr(uit-uit_x,uit_x-uUt_2) = -<j2u

отстоящие на большее количество периодов времени разности Аип, Auit_s, s = 2, 3,     напротив, не являются коррелированными.

Соответственно для дополнительной проверки адекватности оцененной модели проверяется наличие автокоррелированности первого порядка и отсутствие автокоррелированности второго порядка. Результаты такой проверки для только что оцененной модели выглядят следующим образом:

Arellano-Bond test that average autocovariance in residuals of order 1 is 0:

H0: no autocorrelation z = -2.56,    Pr>z = 0.0106. Arellano-Bond test that average autocovariance in residuals of order 2 is 0:

H0: no autocorrelation z = 0.77,    Pr>z = 0.4427.

Полученные результаты подтверждают правильность сделанных предположений об ошибках.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Какая проблема возникает при попытке использования «внутри»-оценки для оценивания коэффициентов динамической модели с фиксированными эффектами? Какое преобразование помогает обойти эту проблему?

В чем состоит обобщенный метод моментов? Как он используется для оценивания коэффициентов динамической модели с фиксированными эффектами?

Как можно проверить гипотезу о правильности спецификации динамической модели, оцененной обобщенным методом моментов?

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |