Имя материала: Эконометрика Книга вторая Часть 3

Автор: Носко Владимир Петрович

Раздел 2 структурные и приведенные формы моделей коррекции ошибок тема 2.1  структурные и приведенные формы векторных авторегрессий и моделей коррекции ошибок

Кратко напомним необходимые для последующего изложения факты, относящиеся к построению и статистическому анализу моделей коррекции ошибок для коинтегрированных временных рядов, приведенные во второй части учебника. Пусть имеем N временных рядов уи, yNt каждый из которых является интегрированным порядка 1, так что в общепринятых обозначениях yjt ~ j = 1, N. Если существует вектор j3 =(/?l5 j3N)T, отличный от нулевого, для которого

рхуи + ...+ pNyNt~ 1(0) — стационарный ряд,

то ряды коинтегрированы (в узком смысле)2; такой вектор J3 называется коинтегрирующим. Если при этом

с = Е(РхУи + ...+ PNyNt

то тогда можно говорить о долговременном положении равновесия системы в виде

Рхух +...+ PNyN = c.

1          Здесь в подстрочных индексах номер (момент) наблюдения стоит на втором месте — после номера ряда. Это отличается от системы обозначений, использованной в разд. 1, где номер наблюдения стоял на первом месте, а за ним следовал номер уравнения.

2          Такое положение называют еще детерминистской коинтеграцией.

В каждый конкретный момент времени t существует некоторое отклонение системы от этого положения равновесия, характеризующееся величиной

Ряд z, в силу сделанных предположений является стационарным рядом, имеющим нулевое математическое ожидание. Так что он достаточно часто пересекает нулевой уровень, т.е. система колеблется вокруг указанного выше положения равновесия.

Положение, однако, осложняется тем, что у коинтегрированной системы 1(1) рядов может быть несколько линейно независимых коинтегрирующих векторов. Если максимальное количество линейно независимых коинтегрирующих векторов для заданных рядов уХп yNt равно г, то это число г называется рангом коинтеграцгш. Для коинтегрированной системы, состоящей из N рядов, ранг коинтеграции может принимать значения г - 1, ...9 N - 1. (Формально если ряды не коинтегрированы, то г = 0. Если же имеется г = N линейно независимых коинтегрирующих векторов, то все N рядов стационарны.) Совокупность всех возможных коинтегрирующих векторов для коинтегрированной системы 1(1) рядов образует r-мерное линейное векторное пространство, которое называют коинтеграционным пространством. Любой набор г линейно независимых коинтегрирующих векторов образует базис этого пространства, и если зафиксировать этот набор в качестве базиса, то любой коинтегрирующий вектор является линейной комбинацией векторов, составляющих базис.

Пусть коинтегрированная система 1(1) рядовyU9 ...,yNt имеет ранг коинтеграции г и может быть представлена в форме VAR(p + 1) — векторной авторегрессии порядка (р + 1). Тогда существует представление этой VAR в форме ЕСМ (модели коррекции ошибок):

Ауи = jux + axxzXt_x + ... + aXrzrt_x +

р

+ Z(Кij АУі,,-у + • • • + Yinj 4У*,,-у ) + єп

У = і

 

p

+ ZOVu 4Vi,,-y + • • • + Ynnj ^n,t-j) + Єт> У = і

где zXt9     zrt— стационарные 1(0) ряды, соответствующие г линейно независимым коинтегрирующим векторам Дг); (аХ{9      aNX)T9     (аХг9      aNr)T — линейно независимые векторы корректирующих коэффициентов (коэффициентов адаптации).

Такую модель коррекции ошибок можно записать в компактном виде:

Ду, = ju + aj3Tyt_x + Г, Д^., +... + Гр Ayt,p + єп

где Гх, ..., Гр — матрицы размера (N х N);

а и р     — (N х г)-матрицы полного ранга г.

При этом столбцы    Дг) матрицы /3являются линейно независимыми

коинтегрирующими векторами, а элементы atj матрицы а являются коэффициентами при стационарных линейных комбинациях

zu- ~ Ао-У'-і'    zr,t- = Р{г)Уї-

(представляющих отклонения в момент (t - 1) от г долговременных соотношений между рядамиylt9 ...,yNt) в правых частях уравнений для Ау1п AyNr Будем говорить о такой модели коррекции ошибок как о модели коррекции ошибок без ограничений (UECM— unrestricted error correction model).

Представление коинтегрированной VAR в форме модели коррекции оши-

бок не единственно, поскольку в качестве набора           Дг) можно взять

любой базис коинтеграционного пространства. Соответственно неоднознач-

ность имеется и в отношении матрицы а. В практических задачах на пер-

вый план (наряду с определением ранга коинтеграции) выходит иденти-

фикация коинтегрирующих векторов, выражающих осмысленные с эконо-

мической точки зрения (экономической теории) долговременные связи

между рассматриваемыми переменными (например, паритет покупатель-

ной способности, спрос на деньги и т.п.). Это, в свою очередь, требует

наложения на коинтегрирующие векторы соответствующих идентифици-

рующих ограничений (identifying restrictions), позволяющих различать эти

векторы, выделяя их из всего множества линейных комбинаций базисных

векторов.

Заметим, что в правую часть уравнений стандартной формы VAR включаются только запаздывающие значения переменных у1п yNt. Поэтому в правой части ЕСМ, соответствующей такой VAR, оказываются только запаздывающие значения приращений (ylt9 ...,yNt). Между тем в практических исследованиях при рассмотрении оцененной корреляционной матрицы вектора приращений (Ауи, AyNt) часто наблюдаются достаточно удаленные от нуля значения недиагональных элементов этой матрицы. Последнее указывает на возможную коррелированность приращений, соответствующих одному и тому же моменту времени. Непосредственно учесть такого рода коррелированность можно, если перейти к модели структурной VAR (SVAR — structural vector autoregression) и соответствующей ей модели структурной ЕСМ (SECM — structural error correction model). Уравнения структурной VAR содержат в правых частях уравнений для отдельных переменных не только запаздывающие, но и текущие значения других переменных. Уравнения структурной ЕСМ содержат в правых частях уравнений для приращений отдельных переменных не только запаздывающие, но и текущие значения приращений других переменных.

Рассмотрим пару рядов уи, у2п составляющих векторный случайный процесс yt = (yiny2t)T-> порождаемый структурной ЕСМ:

АУ, = Рп^Уг, +ГпДД/-і +Гі*2Д72,г-і +

+ а\(РиУи- +РгУ2,,-) + ап(Р2У,,- +Р22У2,,-) + Є,'

 

AV2, = 9іАУі, +УгАУи-Х +/22^2,,-! +

+ «2і(АіД,-1 +АЛ,г-і) + «22(Д2Д/-1 + &2>;2,»-l ) + £>/•

Обозначив

РхХ Рх2

Ґ *     * Л

' Уи     У2

* *

Уі       Уи)

а =

аи ап

а2 Q22j

Ф =

Си

CltJ

1 -<рп

 

получим для этой структурной ЕСМ компактное выражение:

ФАу, = Г*Ау,_, +а/5Ту,_х +£,.

Умножив обе части последнего выражения слева на матрицу Ф-1, найдем приведенную форму ЕСМ (reducedform error correction model):

&у,=ГАу,-+аРту,-+є>,

где Г, = Ф_1Г,   а = ф-'я,   є, = Ф-]С,- Но

1

Ф~' =

1 <рп

(1-^12^21)1^21       1 .

так что, обозначив 6=1 — ^12^212» получим:

 

v    _У\+<РпУ2       v _Уі2+<РпУ22

Уп-       s         ,7x2- 5

„    _У2+<Р2У\       „    _ Гп+РіУп

У2Х-   -5         ,    Г22- s

а = — S

' 1 <Рх2 9г     1 , аи ап

а2 a22j

 

аХХ+(Р2а2Х

а.

аХ2+(рх2а22

 

Рассматриваемая структурная ЕСМ не имеет ограничений в том смысле, что в ней не приравниваются нулю:

никакие внедиагональные элементы матрицы Ф;

никакие элементы матрицы Г*;

никакие элементы вектора а;

никакие элементы вектора Д

Но в конкретных примерах некоторые из перечисленных элементов зану-ляются. Например, если ряды yln y2t ~ Д1) коинтегрированы, то коинтегри-рующий вектор единствен. Если это вектор (J3n, /321)Т, тогда можно положить fin = Ріг ~ 09 #12 = а22 - О, что уменьшает количество неизвестных коэффициентов.

В общем случае структурная ЕСМ имеет вид:

Ф Ayt = Г*Ау^ +... + T*pAyt_p + aj3Tyt_{ + £, где Ф — недиагональная невырожденная квадратная матрица размера (Nx TV). Умножив обе части уравнения на Ф-1, получим приведенную форму ЕСМ: Ayt = rxAyt_x +... + Гр Ayt_p + a/3Tyt_{ + et, где Г. =Ф~1Г\%   а = Ф~1а, є,=Ф~1Сг

В этих двух формах общим является только /3Tyt-X, т.е. долговременное соотношение, тогда как коэффициенты адаптации (в приведенной форме ЕСМ) являются функциями от коэффициентов структурной ЕСМ: а = Ф~1а. Последнее приводит к тому, что отсутствие некоторой корректирующей составляющей в одном из уравнений SECM отнюдь не означает, что эта составляющая будет отсутствовать и в соответствующем уравнении приведенной ЕСМ. Соответственно коррекция ошибок в одном уравнении SECM может распространяться и на все остальные уравнения приведенной ЕСМ.

При рассмотрении вопроса об идентифицируемости параметров структурной ЕСМ естественно выделить отдельно идентификацию коинтегрирующих векторов и идентификацию коэффициентов, связанных с динамической адаптацией, т.е. элементов матриц Ф, Г*, Г^, а. Поскольку коинтегрирующие соотношения в структурной и приведенной ЕСМ одни и те же, можно использовать результаты, касающиеся идентифицируемости коинтегрирующих векторов в приведенной ЕСМ.

Вопрос об идентифицируемости коинтегрирующих векторов естественно возникает при наличии двух и более коинтегрирующих векторов и связан с возможностью различения таких векторов. В процедуре Йохансена, реализованной в пакете Е Views, такое различение производится исходя из того, что если ранг коинтеграции равен 1 < г < N, то существует (N - г) некоинтегрированных между собой (в совокупности) переменных — «общих трендов» («соттоп trends» таких, что добавление к этой совокупности любой из оставшихся г переменных приводит к коинтегрированности пополненного множества из (N - г + 1) переменных. Это означает, что в качестве линейно независимых коинтегрирующих векторов можно взять любой набор из г векторов вида

 

ГА. ^

 

( 0 Л

 

(  0 Ї

0

 

022

 

0

0

 

0

,   . . . ,

Ргг

А.г+.

 

А.г+і

 

Рг,г+х

V Pin )

 

I Pin )

 

у PrN )

Конечно, при этом предполагается, что переменные занумерованы так, что «общие тренды» соответствуют переменным с номерами г + 1, N. Выделение из этого множества возможных наборов единственного набора производится в пакете Е Views нормализацией каждого из этих векторов, так что j-й вектор нормализуется делением всех его элементов на J3JJ9 вследствие чего получаем набор из г векторов:

 

( 1 ^

 

f   0 ^

 

(  0 Ї

0

 

1

 

0

0

 

0

, ...,

1

 

 

/С*

 

 

< Pin j

 

ч Pin у

 

 

Такой набор образует базис r-мерного линейного пространства коинтегрирующих векторов при ранге коинтеграции г.

Проблема, однако, в том, что с точки зрения экономической теории нас могут интересовать коинтегрирующие векторы другого вида (являющиеся, конечно, линейными комбинациями векторов, принадлежащих базису). При этом на соответствующие коинтегрирующие векторы накладываются определенные ограничения, вытекающие из экономической теории: невхождение в коинтегрирующую линейную комбинацию тех или иных переменных, равенство некоторых компонент коинтегрирующего вектора или наличие у них противоположных знаков при одинаковой абсолютной величине и т.п. В такой ситуации возникает вопрос о необходимости и достаточности множества накладываемых ограничений для идентификации (т.е. для различения) коинтегрирующих векторов.

Обычно рассматривают лишь линейные ограничения, в том числе исключающие появление отдельных переменных в коинтегрирующей линейной комбинации. При этом ограничения могут быть представлены как в явной, так и в неявной форме. Если векторы уже нормализованы, то необходимым условием идентифицируемости г коинтегрирующих векторов является наложение на каждый из г векторов не менее (г - 1) линейных ограничений. Об этом условии говорят как о порядковом условии идентифицируемости.

Порядковое условие, вообще говоря, не является достаточным для идентифицируемости, поскольку при его выполнении полученные г векторов могут все же оказаться линейно зависимыми, так что, скажем, вектор J3{ нельзя отличить от некоторой линейной комбинации векторов Д2, Д. Поэтому, в принципе, следует производить еще и проверку линейной независимости полученных г векторов. Для этого можно воспользоваться достаточными условиями идентифицируемости, формулируемыми в терминах матриц, участвующих в формировании явной и неявной форм линейных ограничений.

Если на /-й коинтегрирующий вектор накладывается rt линейных ограничений, то их можно записать в двух формах: явной и неявной. Под неявной формой (indirect restrictions) понимается представление этих ограничений в виде:

Д,А = о,

где Rt — матрица размера (rt х N) ранга rt.

Ту же самую совокупность ограничений можно представить в явной форме (direct restrictions) в виде:

Р=на,

где Ht — матрица размера Nx(N- rt) ранга N-rf; i9, — вектор размера (N- rt) х 1.

При этом выполняется соотношение

ад = о,

т.е. строки матрицы Rt ортогональны столбцам матрицы Ht.

Поясним это на примере модели IS/LM, связывающей следующие макроэкономические параметры:

mt - пМп где Mt — номинальная денежная масса;

inct = GDPn где GDPt — реальный валовой внутренний продукт;

pt = ЫРп где Pt — дефлятор GDP;

г' — краткосрочная процентная ставка;

rht — долгосрочная процентная ставка.

Пусть все эти ряды — интегрированные порядка 1, ранг коинтеграции этих временных рядов равен г = 3 и в коинтеграционное соотношение приходится включать еще и временной тренд t. Тогда речь идет об идентификации трех коинтегрирующих векторов:

 

 

 

 

 

(Азї

Рп

 

Р22

 

Р23

Ръх

р»

. Pi =

РЪ2 Р*2

>    Рз =

Ръъ

Раз

Ръ

 

PS2

 

Рьг

 

 

КРб2 )

 

РбЗ J

обеспечивающих стационарность линейных комбинаций:

zXt=Pxxmt+P2Xinct + P3lpt + /?41г/ +p5lrtb + P6Xt9

Z2t = P2mt + PllinCt + PnPt + /W + Ps2rt  + PblU

Z3t = РхзЩ + Аз"^ + Аз Л + Рлзг' + Аз^ + РбЗ*'

Ограничения на коэффициенты этих векторов могут быть получены, например, из следующих соображений.

Если спрос на реальные деньги рассматривается как функция от реального дохода, краткосрочной ставки и тренда, т.е. mt -pt= fx(inct9 rst9 i)9 то это подразумевает наличие долгосрочной связи между переменными mt -pt9 inct9 rst91 без включения в нее переменной rht9 так что стационарной является линейная комбинация zXt = pxxmt + P2Xinct - pxxpt + pAXrst + pext. Ограничения на вектор px принимают вид: /?31 = -/?п, Р5Х = 0. Эти ограничения можно записать в виде Rxpx =0 (неявная форма), где

'1   0   1   0  0 (Л

Rx =

0  0  0  0   1 0

или в виде Д = Я, i9,, где

ґ 1   о о 0Л

0    10 0

.9.1

21

 

я,

-10       0 0

0   0     10

0   0     0 0

0   0     0 1

 

3 =

э.

21

і931

V^4l/

 

так что Д =

 

V ^41 J

Нетрудно проверить, что RXH{ = 0

'0 0

0Л 1

Если дифференциал процентных ставок (г/ - гД) определяется через остальные переменные без включения тренда, т.е. rst - = /J (тп incnpt)9 то это подразумевает наличие долговременной связи между переменными rst - гД тп incnpt без включения в нее переменной t9 так что стационарной является линейная комбинация z2t = J3l2mt + P22inct + PnPt + Раіг' ~ Раігі- Ограничения на вектор р2 принимают вид: /?52 = -/?42, Р62 = 0. Эти ограничения можно записать в виде R2 р2 -0 (неявная форма), где

0 0 11 0  0  0 0

или в виде Р2 = Н2929 где

 

 

н2 =

о 1

о о о

о о 1

-1

 

$2 =

 

А: 9

22

932

 

так что j32 =

 

22

9,

9

'32

942

42

о о

о

Наконец, если долгосрочная процентная ставка rht определяется как функция только от mnpt и t, то это подразумевает наличие долговременной связи между переменными гД mnpt и t без включения в нее переменных inct и г/, так что стационарной является линейная комбинация z3t = PX3mt + P33pt + Ps3r^ + /W-Ограничения на вектор ръ принимают вид: р23 = 0, /?43 = 0. Эти ограничения можно записать в виде R3 рз =0 (неявная форма), где

R3 =

ґ0   1   0  0  0 ОЛ 0  0  0   10 Ог

о о 1 о о о

или в виде Ръ = НЪ9Ъ, где

 

0 0

Я3 =

 

0^

о о о о 9,

 

23

•^33

 

так что /?3

 

 

о

^23

о

^зз

4^43 У

Необходимое и достаточное условие идентифицируемости г, 1 < г < N,

коинтегрирующих векторов имеет в общем случае довольно сложный вид. Однако при г = 2,3 его достаточно просто проверить (см., например, (Patterson, 2000, р. 635—641)).

При г = 2 коинтегрирующие векторы рх, /?2 идентифицируемы тогда и только тогда, когда выполняются соотношения:

rank(^^2) > 1, rank(tf2^) > 1.

При г = 3 коинтегрирующие векторы /?,, /?2, /?з идентифицируемы тогда и только тогда, когда выполняются соотношения:

гапк(ДЯу) > 1,           і J = 1, 2, 3 (6 соотношений),

гапВД [Я2,Я3])> 2, rank(#2[^^3])>2, rank(/?3[^, Я2]) > 2.

Проверим выполнение этого условия в только что рассмотренном примере, где г = 3. Имеем:

R,H2 =

 

R2Hl =

 

О

{   0 1 v0  0 0 -1

Го о і

ООО

о'

oj

V

(° 1

,0 0

 

Д2#з =

 

Л3Я2 =

ґї          0          1

о

ч0        0          1

Го        о          і

0          0          0

V

'0100 ч0  0  0 1

 

Подпись: Я3[#!, #2] ¬

Подпись: 1 о
Подпись: (0

Подпись: о о

Подпись: о о

Подпись: °1
о,
Подпись: о

Подпись: о о о 1
о о

Подпись: о 1 о о о о

Подпись: о о 1 о о о

Подпись: V
Подпись: о о 1
-1
о ,

Ранги всех трех матриц равны 2, так что и эта группа условий выполнена. Таким образом, коинтегрирующие векторы     /?2, /?3 идентифицируемы.

Если г коинтегрирующих векторов идентифицируемы, то на каждый из них накладывается не менее (г - 1) линейных ограничений. В случае когда на каждый из этих векторов накладывается ровно (г - 1) ограничений, имеем дело с точной идентифицируемостью. Если же хотя бы для одного из векторов количество ограничений превышает (г - 1), то речь идет о сверхидентифицируемости. В последнем случае имеются «лишние» ограничения и возможность проверки гипотезы о том, что заявленные дополнительные ограничения на векторы     рг,     Д. действительно выполняются.

В рассмотренном примере можно, следуя работе (Johansen, Juselius, 1994), наложить следующие — более строгие — ограничения на векторы Д,, Д2, Д3.

О

(1 О О

о о

Вектор Д, нормализуется на іпс„ коэффициенты при т, и р, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, а коэффициенты при обеих процентных ставках равны нулю. Соответствующая равновесная связь интерпретируется как прокси для совокупного дохода относительно линейного тренда. Это дает матрицу вида

1

о

О О

У вектора /?2 равны нулю все коэффициенты, кроме коэффициентов при rf и г*, которые равны по абсолютной величине и противоположны по знаку; вектор нормализуется на один из них. Интерпретация: стационарность дифференциала процентных ставок. Матрица R2 принимает вид:

 

 

R2 =

 

О О О О

О

1 о о о о о о 1 о

0^

о о о 1

Наконец, у вектора /?3 равны нулю коэффициенты при т„ inc, и г'; вектор нормализуется на /-*. Интерпретация: долгосрочная процентная ставка определяется как функция от цены и временного тренда. Матрица R3 имеет вид:

R3 =

f   0  0  0  0 0> 0   1   0  0  0 0 0  0  0   1   0 0,

В итоге получим следующую картину (табл. 2.1).

Проверка гипотезы Н0 о выполнении совокупности всех сверхидентифи-цирующих ограничений производится с использованием асимптотического критерия хи-квадрат, указанного в работе (Johansen, Juselius, 1994). При справедливости гипотезы Н0 статистика этого критерия имеет асимптотическое распределение хи-квадрат с q степенями свободы, где q — суммарное количество дополнительных ограничений. Гипотеза Н0 отвергается при слишком больших значениях этой статистики. Однако неотвержение гипотезы #0 отнюдь не означает, что именно указанную в гипотезе совокупность сверхидентифицирующих ограничений следует использовать, поскольку вообще можно сформировать не один, а несколько различных наборов сверхидентифицирующих ограничений, которые также могут оказаться неотверг-нутыми. Приемлемость некоторого конкретного множества ограничений должна подкрепляться также другими соображениями. Среди них можно выделить следующие:

являются ли осмысленными с точки зрения экономической теории числовые значения оценок коэффициентов, получаемых при выбранных ограничениях?

являются ли осмысленными с точки зрения экономической теории коэффициенты адаптации (adjustment coefficients) atjl

В нашем примере наблюдаемое значение статистики этого критерия равно 3.5; асимптотическое критическое значение, соответствующее уровню значимости 0.05, равно j095(5) = 11.07. Таким образом нулевая гипотеза о выполнении всех 5 сверхидентифицирующих ограничений не отвергается.

После уточнения идентифицирующих ограничений, которые накладываются на коинтегрирующие векторы, производится оценивание параметров приведенной формы ЕСМ

Ayt = apTyt_x + TxAyt_x +... + ГрАу,_р + єп

в результате чего находятся, в частности, и оценки коинтегрирующих векторов Д, Д,     Д. Эти оценки подставляются в уравнение структурной ЕСМ

Ф Ayt = TxAyt_x +... + T*pAyt_p + aj3Tyt_x + £

вместо неизвестных «истинных» коинтегрирующих векторов /?!, /?2, Рг-Возможность получения состоятельных оценок для параметров Ф, Г*, ...9Г*,а структурной формы связана с идентифицируемостью этой системы. Ее можно записать также в виде:

 

(Ф,-г;,...,-г;,-а)

 

или

 

где Ат = (Ф, -Г*, ..., -Г*, -а) — матрица размера (Nx(N +pN + rN));

АУ,-і РТУ,-х

 

вектор стационарных переменных размера {{N+pN+rN)x 1).

Каждая строка матрицы Ат, т.е. каждый столбец матрицы А, относится к отдельному уравнению. Соответственно для идентифицируемости /-го уравнения необходимо наложить на /-й столбец At матрицы А не менее (N - 1) ограничений в виде

RtAt = 0 (неявная форма)

или

А і = Ht &t (явная форма), RiHi = 0.

Как и в разд. 1, гарантией идентифицируемости /-го структурного уравнения служит выполнение рангового условия идентифицируемости, само оценивание должно проводиться системными методами (например, FIML). На основании оцененной структурной ЕСМ (SECM) строится приведенная форма — ЕСМ с ограничениями, соответствующая этой SECM.

Проиллюстрируем процесс построения ЕСМ с ограничениями примером для модели IS/LM, который начали рассматривать ранее. В работе (Johansen, Juselius, 1994) такое построение проводилось по статистическим данным для Австралии (квартальные данные, период с III квартала 1975 г. по I квартал 1991 г.).

При оценивании ЕСМ с учетом указанных выше 11 линейных ограничений на коинтегрирующие векторы и того, что по результатам предварительного анализа модель VAR в уровнях имеет порядок 2, получим оценки, приведенные в табл. 2.2 (для коинтегрирующих векторов Д) и в табл. 2.3 (для векторов коэффициентов адаптации at).

Для того чтобы коинтегрирующие линейные комбинации флуктуировали вокруг нулевого уровня, к ним были добавлены константа и дамми-пере-менная Z)84„ равная 1 в период с I квартала 1984 г. по I квартал 1991 г. и равная 0 на остальной части периода наблюдений, отражающая изменение правил регулирования в банковском секторе. В результате в правых частях уравнений ЕСМ вместо переменных zXt_x, z2?і, z3 t_x используются переменные ест 11_ j, ecm2t_ x, ecm3t_ x, где

ecwl, = Ц - 0.193 (/w, -/?,)- 0.0051 - 0.027 £>84, - 8.43, ecmlt = (г/ - r *) + 0.00967 £>84, + 0.03,

ecm3t = r* -0.488Q>, -0.019f)-0.008 D84, -0.52.

Как говорилось ранее, необходимость в построении структурной ЕСМ возникает из-за наличия коррелированное™ между переменными, стоящими в левых частях ЕСМ. В рассматриваемом примере в левых частях ЕСМ находятся переменные Атп Aincn Арп Arst и Дг/ Следовательно, надо выяснить, имеется ли между ними заметная корреляция. Вычисленные выборочные коэффициенты корреляции между этими переменными приведены в табл. 2.4.

Ориентируясь на табл. 2.4, Йохансен и Юселиус делают вывод о наличии коррелированное™ переменных, что требует системного оценивания. Если исходить из того, что модель VAR в уровнях имеет порядок 2, то в правую часть ЕСМ могут входить значения приращений переменных, запаздывающие не более чем на 1 шаг. Соответственно в правых частях уравнений структурной ЕСМ потенциально могут присутствовать следующие переменные:

Атп Aincn Арп Arsn ДгAmt_ х, Ainct_,, Apt_ х, Arst_ х, ДгД. х, ест 11_ х, ecm2t_ х, ecm3t_ х,

так что в каждом из 5 уравнений (для Атп Aincn Арп Arst и Аг^) потенциально может быть 12 коэффициентов, подлежащих оцениванию. Однако при таком количестве неизвестных (неспецифицированных) коэффициентов уравнения не могут быть идентифицируемыми. Для их идентифицируемости необходимо наложить на коэффициенты каждого уравнения как минимум 4 (5 - 1 = 4) ограничения. И здесь, в отличие от выбора идентифицирующих ограничений на коинтегрирующие векторы, ориентирующегося главным образом на экономические представления, приходится опираться по большей части на статистическую информацию, содержащуюся в самих данных, т.е. на эмпирическую картину адаптации, а не на строгое априорное обусловливание.

Первоначально Йохансен и Юселиус берут ровно по 4 ограничения на каждое уравнение (табл. 2.5), что обеспечивает точную идентифицируемость системы.

Однако в оцененной с такими ограничениями модели оказались статистически незначимыми (по /-статистикам) почти все оцененные коэффициенты. В связи с этим были проведены эксперименты с различными наборами ограничений. В итоге Йохансен и Юселиус пришли к разбиению системы 5 уравнений на два блока, один из которых содержит уравнения для Атп Aincn Дг/, а другой — уравнения для Apt и Дг*. При этом первый блок носит системный характер, а второй — характер приведенной формы, т.е. в правых частях уравнений первого блока имеются эндогенные переменные, порождаемые в рамках системы трех уравнений, а в рамках второго блока — нет. Специфицированные коэффициенты уравнений приведены в табл. 2.6 и 2.7.

В системе из трех первых уравнений помимо нормализующих накладывается еще 19 (7+ 7 + 5 = 19) ограничений (зануляются 19 коэффициентов). Однако необходимым минимумом для каждого из трех уравнений является наличие 2 (3 - 1 = 2) ограничений. Таким образом, «избыточными» здесь

Результаты оценивания SECM с ограничениями

являются: 5 ограничений в первом уравнении, 5 ограничений во втором и 3 ограничения в третьем, всего 13 ограничений. Результаты оценивания SECM с такими ограничениями приведены в табл. 2.8 и 2.9 (в скобках указаны значения ^-статистик для оцененных коэффициентов).

Иначе говоря, оцененная SECM имеет вид:

Am, = 0.35Ар, +0.31А/я,_1 + 0.41Др,_1 + 0.20ест2м -0.55естЗ,_1?

Мпс = 0.25т, + 0.3 lApt + 0.17Arts_{ - 0A4ecmlt_{ + <d.2\%ecmSt_x,

Аг/ = l.lOAr* +0.21Aw/4 + 0.34Ar/4 -0.24Дрм -0.45^ + + 0.19ecml,_1 -0.2Secm2t_l9 Apt =-0.08Am,_1 -0.13A/7,.! + 0.20ecmlM -0A2ecm2t_{ + 0.48ecm3,_l9

АгД = 0.08Ат,ч +0.12ecmlM - О.О^стЗ,.!.

При этом оцененные коэффициенты по большей части статистически значимы.

Поскольку система оценивалась с наложением количества ограничений больше необходимого для идентифицируемости уравнений, имеется возможность проверки гипотезы о действительном выполнении «лишних» ограничений. Статистика соответствующего критерия принимает значение 4.82, что

намного меньше критического значения Jq95(13) = 22.36, так что указанная

гипотеза не отвергается.

Заметим, что оцененной SECM соответствуют следующие матрицы Ф и а:

При переходе от структурной формы к приведенной матрица коэффициентов адаптации находится по формуле а = Ф~{а. В результате получим коэффициенты адаптации, указанные в табл. 2.10.

Хотя в первых трех уравнениях SECM при некоторых из естп ест2п естЗ{ были нулевые коэффициенты, в приведенной форме соответствующие им коэффициенты atj отличны от нуля и показывают, как влияние отклонений от равновесия распространяется на все переменные системы.

В работе (Johansen, Juselius, 1994) проведен детальный экономический анализ результирующих уравнений, исходя из которого сделан вывод о том, что полученная аппроксимация изучаемой экономической структуры, согласованная с имеющимися наблюдениями, вполне удовлетворительна.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Чем отличаются структурные модели VAR и ЕСМ от моделей VAR и ЕСМ, которые были рассмотрены во второй части учебника?

Как получается приведенная форма ЕСМ, соответствующая структурной ЕСМ?

Означает ли отсутствие некоторой корректирующей составляющей в одном из уравнений SECM то, что эта составляющая будет отсутствовать и в соответствующем уравнении приведенной ЕСМ?

Когда возникает вопрос об идентифицируемости коинтегрирующих векторов? В чем состоит порядковое условие идентифицируемости коинтегрирущих векторов? Гарантирует ли оно идентифицируемость коинтегрирущих векторов?

Какую полезную гипотезу можно проверить в ситуации, когда некоторые ограничения на коинтегрирующие векторы, имеющие экономическую интерпретацию, оказываются «лишними» с точки зрения возможности идентификации коинтегрирующих векторов?

Как производятся построение и оценивание структурной ЕСМ? Что является гарантией идентифицируемости /-го структурного уравнения?

Чем отличается приведенная ЕСМ с ограничениями от «обычной» ЕСМ, которая была рассмотрена во второй части учебника?

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |