Имя материала: Эконометрика Книга вторая Часть 4

Автор: Носко Владимир Петрович

Раздел 8 модель стохастической границы тема 8.1 модель стохастической границы для перекрестной выборки

Понятия стохастической производственной функции и стохастической границы производственных возможностей были предложены в конце 1970-х гг. в работах (Aigner, Lovell, Schmidt, 1977) и (Broeck, Fersund, Hjalmarsson, Meeusen, 1980).

Теоретически производственная функция выражает максимальный объем выпуска, который можно получить для заданного набора входных переменных при фиксированной технологии производства:

q = f(z,fi),

где q — объем выпуска (output);

z — вектор значений входных переменных; Р — вектор параметров.

Пусть имеются перекрестные (cross-section) статистические данные по N фирмам, так что вектору z/ значений входных переменных для фирмы / соответствует объем выпуска qt. Для оценивания неизвестного вектора параметров по таким данным в течение довольно многих лет использовался метод наименьших квадратов, согласно которому в качестве оценки вектора /? берется вектор Д минимизирующий по всем возможным J3* сумму квадратов

-Аг,.,/?'»2.

/ = і

Но такой подход приводит к функции q = f(z9 J3), которая выражает не максимальный, а «средний» объем выпуска. Началу серьезных усилий в направлении преодоления разрыва между теорией и практикой положила работа {Farrell, 1957), начиная с которой целью статистического анализа стало оценивание именно граничной производственной функции {frontier production function). Если q = f(z9 (3) понимается именно таким образом, тогда выпуск фирмы / меньше теоретического (в крайнем случае, равен теоретическому), так что

qi=fi(zi,P) = f(zi,P)$i, где    — уровень эффективности (неэффективности) фирмы /, 0 <    < 1.

Если = 1, то фирма / достигает оптимального выпуска, соответствующего технологии, отраженной в указанной производственной функции, т.е. использует все возможности по увеличению выпуска продукции при заданных значениях входных переменных. Если же < 1, то фирма не полностью использует эти возможности.

В работе {Aigner, Chu, 1968) было предложено оценивать вектор /3 методами математического программирования, минимизируя при ограничениях

Яі ^f(zt> Р) СУММУ

ІЯі-Л*і>0)

/=і

или сумму

£ (<7,.-/(z,,/?))2.

 

Если функция f(z9 р) линейна, то в первом случае это — задача линейного программирования, во втором — квадратичного программирования.

Существенным осложнением при реализации этого подхода явилась крайняя чувствительность получаемых оценок к наличию выбросов в данных. Это привело — начиная с работ (Timmer, 1971) и (Dugger, 1974) — к разработке моделей стохастической границы производственных возможностей. В указанных двух работах использовались те же методы математического программирования, однако допускалось, что из-за возможных ошибок измерений некоторая определенная доля наблюдений может находиться выше границы, описываемой функцией q = /(z, Д). Выбор этой доли был, по существу, произвольным и не опирался на какое-либо экономическое или статистическое обоснование. Статистические свойства получаемых при этом оценок оставались неизвестными. Чтобы дать этим оценкам статистическое обоснование, Шмидт {Schmidt, 1976) рассматривает модель с аддитивной случайной составляющей:

 

где е{ < 0.

Задавая (с точностью до неизвестных параметров) распределение случайной составляющей, можно применить для оценивания модели метод максимального правдоподобия. Предположение о том, что имеет показательное распределение, приводит к линейному программированию. Предположение о том, что -Sj имеет полунормальное распределение (усеченное в нуле слева нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием), приводит к квадратичному программированию. Однако то, что оба эти метода равносильны методу максимального правдоподобия, не дает большого выигрыша, поскольку здесь не выполнены условия регулярности, при которых гарантируются «хорошие свойства» оценок максимального правдоподобия (состоятельность и асимптотическая нормальность). В частности, требование Уі < f(zi9 Р) приводит к тому, что область значений случайной величины у зависит от значений параметра, который оценивается.

Работа (Aigner, Lovell, Schmidt, 1977) положила начало использованию моделей, в которых єі является суммой двух компонент:

*,.=!/,.+V,..

Компонента щ < О суть отклонение от граничной функции вследствие причин, находящихся под контролем фирмы /, и отражает неэффективность использования этой фирмой имеющихся в ее распоряжении ресурсов (техническая неэффективность — technical inefficiency). Компонента v/ отражает внешние шоки (external shocks), не находящиеся под контролем фирмы.

Если производственная функция линейна в логарифмах, то обычно рассматривают модель

qi= f(zi9p) + vi-ui9 (8.1)

где и( > О, т.е. модель

qt=f(zi9P) exp(v,.)£,

где

£.=exp(-i/,.).

При этом

f(zi9 Р)            — детерминированная граница производственных возмож-

ностей;

f(zi9 Р) exp(v,)—стохастическая граница производственных возможностей (stochastic frontier production function) фирмы /, учитывающая наличие внешних шоков. Наблюдаемые значения qt находятся на этой границе или ниже нее.

Обычно предполагается, что щ и v, распределены независимо друг от друга и от объясняющих переменных, и і ~ lid. и имеют строго неотрицательное распределение, v/ ~ lid. и имеют симметричное распределение. Таким образом, выражение (8.1) представляет модель компонент ошибки, в которой ошибка раскладывается на две независимые компоненты.

Оценивание параметров модели производится методом максимального правдоподобия. Для проведения такого оценивания необходимо специфицировать распределения компонент ошибки. Чаще всего предполагается, что у, ~ lid. N(09 crv2), а распределение для ut выбирается из трех вариантов:

полунормальное распределение jV+(0, сгм2);

экспоненциальное (показательное) распределение;

усеченное в нуле слева нормальное распределение N+(ju, <rw2) с математическим ожиданием /л.

В пакете Stata для первых двух вариантов возможно оценивание модели, допускающей гетероскедастичность условного распределения ошибок при фиксированных значениях объясняющих переменных. Для третьего варианта можно смоделировать условное среднее усеченного распределения N+(/j9 crw2) как линейную функцию от соответствующих объясняющих переменных.

 

ПРИМЕР 8.1.1

Оценивание в пакете Stata модели стохастической границы производственных возможностей с выбором усеченного нормального распределения в качестве распределения для щ. В табл. 8.1 приведена часть протокола оценивания.

Поскольку оценка для /и статистически незначима, можно использовать полунормальное распределение. В табл. 8.2 приведены результаты оценивания редуцированной модели.

В обоих случаях оценка коэффициента эластичности выпуска по капиталу статистически незначима, так что для объяснения выпуска достаточно использовать лишь количество труда. Результаты оценивания редуцированной модели приведены в табл. 8.3. Статистика критерия отношения правдоподобий для проверки гипотезы <т„2 = 0 принимает здесь значение 64.07. Соответствующее Р-значение меньше 0.001, так что эта гипотеза уверенно отвергается.

После оценивания модели вычисляются прогнозные значения выпуска Inoutput_f{ и остатки et = Inoutput) - Inoutput Jr Оценки для ut вычисляются с использованием формулы для условного среднего E(ut єt) или формулы для условной медианы Mediums?). Вычисление оценок технической эффективности опирается на формулу для £,(exp(w/)| st). Вместо et в эти формулы подставляются остатки ei9 так что

щ = Е(и,е,)9 l=E(Qxp(ui)ei).

Для последней из 3 оцененных моделей получаем картину, изображенную на рис. 8.1, где наблюдаемые значения логарифма выпуска представлены ромбами, а оцененная детерминированная граница — кружками. Для сравнения на рис. 8.2 проведена прямая, подобранная методом наименьших квадратов. На рис. 8.3 показаны результаты для наблюдений 87 — 100, где имеются наблюдения, в которых выпуск превышает оцененную детерминированную границу. На этом рисунке стохастическая граница представлена квадратами. ■

 

ПРИМЕР 8.1.2

Для анализа качества оценивания параметров модели и ее технической эффективности смоделируем 500 наблюдений, следующих модели стохастической границы

Inoutput) = Inlabor) + у,- - ui9 vf ~ lid. N(09 0.52), ut ~ lid. N+(09 1).

Результаты оценивания модели по этим данным приведены в табл. 8.4. Угловой коэффициент и обе дисперсии оценены очень хорошо. Соответственно, ряд остатков et (E_F) весьма похож на ряд et (EPS). (На рис. 8.4 показаны первые 20 значений этих рядов).

-з -Ц—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—H *

2        4        6        8       10       12       14      16      18      20 t Ш EJ=        Ш EPS

Рис. 8.4

 

Статистические характеристики этих двух рядов (по всем 500 точкам) представлены на рис. 8.5 и 8.6. Отметим значительное сходство характеристик этих двух рядов.

Статистические характеристики рядов й{ (UF) и щ (U) представлены на рис. 8.7 и 8.8.

Статистические характеристики ряда технических эффективностей (ТЕ) и ряда оценок технической эффективности (TE_F) приведены соответственно на рис. 8.9 и 8.10. Отметим, что оцененные значения технической эффективности имеют максимальное значение 0.828664, что заметно ниже максимального значения 0.990544 реальной технической эффективности.

Для полноты приведем еще коэффициенты корреляции между истинными и оцененными рядами (табл. 8.5 — 8.8).■

70 -4 60 50 40 -30 -20 -10 0

 

 

-3

 

 

-2

 

 

т

-1 О Рис. 8.5

 

Mean

Median

Maximum

Minimum

Std. Dev.

Skewness

Kurtosis

 

Series: EPS Sample 1 500 Observations 500

-0.826175 -0.737294

0.963463 -3.380840

0.815750 -0.393573

2.854037

Jarque-Bera 13.35214 Probability 0.001261

 

EPS

Подпись: -0.852332 -0.763932
0.937528 -3.408057
0.815777 -0.393333
2.853973
13.33685 0.001270
70 — 60 -50 40 30

20 H 10

 

Series: E_F Sample 1 500 Observations 500

Mean

Median

Maximum

Minimum

Std. Dev.

Skewness

Kurtosis

Jarque-Bera Probability

0  Ipfi j           

-3

-1 0 Рис.8.6

1     E F

 

Series: U_F Sample 1 500 Observations 500

Mean

Median

Maximum

Minimum

Std. Dev.

Skewness

Kurtosis

Jarque-Bera Probability 0.852889 0.702115 2.786265 0.187941 0.515049 1.099873 3.728475

111.8658 0.000000

 

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

U F

Подпись: 0.507359 0.479407 0.990544 0.030752 0.251899 0.187222 2.028030
22.60276 0.000012
24 20

16 ч

12 8 -4 -

 

Series: ТЕ Sample 1 500 Observations 500

Mean

Median

Maximum

Minimum

Std. Dev.

Skewness

Kurtosis

Jarque-Bera Probability

 

0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875   1.0 ТЕ

 

 

Рис. 8.10

ТЕ F

Таблица 8.5

Таблица 8.6

Таблица 8.7

Таблица 8.8

Проведем теперь небольшое исследование, указывающее на проблемы, возникающие при оценивании параметров детерминированной граничной функции, на которую накладывается случайная составляющая st = vi - ut.

Используем в качестве процесса порождения данных модель

уt = 50 + 0.25Х; + у,- -иі9   і = 1,2,..., 200, так что детерминированная граничная функция имеет вид

.у = 50 + 0.25х.

Значения xt получаются по формуле xt = 100 + 300^, где Li.d. случайные величины    имеют равномерное распределение в интервале (0, 1).

В качестве распределения случайной компоненты щ будем брать усеченное в нуле нормальное распределение N+(ju9 З2) со значениями ju = 3, 6, 9, 12, а в качестве распределения случайной компоненты vt возьмем стандартное нормальное распределение 7V(0, 1). В каждом из 4 случаев сгенерируем по 200 реализаций случайных величин щ и v, и вычислим соответствующие им значения^,. На основе полученной последовательности значений^ производим оценивание:

методом наименьших квадратов (OLS) параметров а и J3 модели

методом максимального правдоподобия (MLE) параметров модели

у і = а + 0Xi + v,. - и.,   щ - N+ (//, <у ),   vi ~ N(09 а]).

В табл. 8.9, 8.10 и на рис. 8.11 приведены результаты OLS- и MZJs-оцени-вания для случая ju = 3. В табл. 8.11, 8.12 и на рис. 8.12 — результаты OLS-и A/Lii-оценивания для случая ju = 6. В табл. 8.13, 8.14 и на рис. 8.13 — результаты OLS- и М,£-оценивания для случая ju= 9. В табл. 8.15, 8.16 и на рис. 8.14 — результаты OLS- и MLE-оценивания для случая /и = 12.

 

16 -■-

Series: Residuals Sample 1 200 Observations 200

12

 

8 -

 

4 -

Mean

Median

Maximum

Minimum

Std Dev.

Skewness

Kurtosis

Jarque-Bera Probability

2.57E-14 -0.084047

7.548453 -8.985781

3.128357 -0.104441

2.759528

0.845491 0.655245

 

-8 -6

8 Residuals

Результаты /WLE-оценивания для /j = 9

Рис. 8.12

 

 

 

 

Проанализируем полученные результаты:

• в случае ju = 3 MZJs-оценка параметра а (50.26181) близка к использованному в модели значению а = 50, тогда как 015-оценка этого параметра равна 46.16898; М1£-оценка параметра ju (3.024968) близка к использованному в модели значению ju = 3;

в случае ju = 6 MLE-оценка параметра а (51.6534) также близка к использованному в модели значению а = 50, тогда как OLS-оценка этого параметра равна 44.41100; MLE-оценка параметра /и (6.87178) близка к использованному в модели значению ju = 6;

в случае /и = 9 OLS-оценка параметра а (40.83894) еще дальше отстоит от использованного в модели значения а = 50. Но в этом случае смещается и MLE-оценка этого параметра: она равна 42.41768; при этом значение ju оценивается величиной -0.0079909.

наконец, в случае /и = 12 OLS и MLE дают близкие друг к другу оценки (38.79056 и 38.85209 соответственно); значение ju оценивается величиной -0.000011.

В связи с полученными результатами следует обратить внимание на следующее:

в случае /л = 3 коэффициент асимметрии ряда OLS-остятков равен -0.618137; гипотеза равенства нулю компоненты ошибки, отвечающей за наличие неэффективности, отвергается;

в случае ju = 6 коэффициент асимметрии ряда О/^-остатков равен -0.104441; гипотеза равенства нулю компоненты ошибки, отвечающей за наличие неэффективности, не отвергается;

в случае ju = 9 коэффициент асимметрии ряда О/^-остатков равен -0.048526; гипотеза равенства нулю компоненты ошибки, отвечающей за наличие неэффективности, не отвергается;

в случае /и = 12 коэффициент асимметрии ряда OZiS-остатков равен 0.034727; гипотеза равенства нулю компоненты ошибки, отвечающей за наличие неэффективности, не отвергается.

Заметим еще, что гипотеза нормальности OLS-остатков отвергается только при /и = 3; при переходе от значения /л = 3 к значениям /л = 69 /у = 9, /и = 12 происходит последовательное возрастание Р-значений статистики Харке — Бера от 0.001699 до 0.917130. И это вполне объяснимо: если при ju = 3 распределение суммы е{ - V, - ui существенно несимметрично (что подтверждается формой гистограммы остатков и достаточно большим по абсолютной величине отрицательным значением коэффициента асимметрии), то с возрастанием ju это распределение становится все более симметричным и приближается к нормальному распределению.

Таким образом, предпосылкой для успешного оценивания параметров модели стохастической границы является достаточно большое по абсолютной величине отрицательное значение коэффициента асимметрии ряда остатков, полученных при О/^-оценивании.

Одним из возможных применений модели стохастической границы является оценивание технической эффективности банков. Это сделано, например, в работе {Головань, Карминский, Пересецкий, 2007). При этом эффективность банков оценивалась с двух точек зрения:

с точки зрения выдачи кредитов;

с точки зрения привлечения депозитов.

В каждом из двух случаев рассматривается производственная функция банка, т.е. банк считается производственным предприятием, преобразующим ресурсы в продукт (соответственно кредиты или привлеченные депозиты).

Для построения моделей использовались данные за период с I квартала 2003 г. по III квартал 2005 г. При оценивании из выборки были исключены Внешэкономбанк и Сбербанк, как работающие в условиях, существенно отличающихся от условий для других коммерческих банков.

При оценивании эффективности банков по выдаче кредитов в качестве модели производственной функции использовалась функция Кобба — Дугласа. В левой части уравнения стоят кредиты нефинансовым организациям КЕ (рассматривались только долгосрочные кредиты, так как основная задача банков — преобразовывать короткие пассивы в долгосрочные активы, и интересно, насколько эффективно банк это делает). В правой части уравнения стоят депозиты KD, кредиты других банков KDB, административные расходы RSA (отражающие трудовые ресурсы банка).

ЩКЕ), =Л)+Л ln(KD), + A (KDB)t+b (RSA + v, -щ.

Знаки полученных оценок коэффициентов согласуются с экономической интуицией. Во всех периодах параметр аи значимо отличается от нуля, что говорит о наличии эффекта технической эффективности. Оценки коэффициентов модели на различных выборках стабильны; колебания, как правило, лежат в диапазоне, задаваемом стандартными отклонениями. В группах наиболее эффективных и наименее эффективных банков число банков небольшое.

При оценивании эффективности банков по привлечению депозитов рассматривается модель производственной функции с объемом привлеченных депозитов в левой части VD (продукт) и с чистыми активами СА и административными расходами RSA в правой части (ресурсы, с помощью которых банк привлекает депозиты). Модель имеет вид:

Ы(Щ) = /?о+Д ln(G4,) + fi2 (RSAt) + v, -щ.

Оценки коэффициентов получились еще более устойчивыми, чем в предыдущей модели. Однако распределение эффективности банков с точки зрения привлечения депозитов существенно отличается от распределения эффективности банков с точки зрения выдачи кредитов. Здесь уже гораздо больше как крайне неэффективных банков, так и банков с достаточно высокой эффективностью.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Опишите модель стохастической границы производственных возможностей.

Как оценивается модель стохастической границы производственных возможностей?

Как влияет на качество оценивания параметров модели стохастической границы коэффициент асимметрии ряда остатков, полученных при оценивании модели методом наименьших квадратов?

Как можно использовать модель стохастической границы для оценивания эффективности банков?

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |