Имя материала: Эконометрика Книга вторая Часть 4

Автор: Носко Владимир Петрович

К разделу 1

Задание 1.   Сглаживание временного ряда с использованием простого скользящего среднего

Повторите исследование, проведенное в примере 5.1.1 для ряда значений индекса ММВБ (ряд IND). Данные для этого примера содержатся в табл. П-1 Приложения1. Их можно также взять на сайте http://www.micexWmarketdata/indices/data/archive.

Методические указания. Для построения трехпериодного скользящего среднего в пакете EViews 6 можно использовать цепочку Objects —> New object —> Model —» smaJ3=(ind(-)+ind+ind(+))l3 или воспользоваться встроенной функцией @movav: Genr —» sma_3=@movav(ind(),3). Здесь (ind(l), 3) указывает на то, что осредняются текущее и 2 предыдущих значения ряда ind(l), т.е. текущее и по одному соседнему (до и после) значению самого ряда ind.

Для построения пятипериодного скользящего среднего можно использовать цепочку Objects —> New object -> Model —» sma_5=(ind(-2)+ind(-)+ind+ind(+)+ +ind(+2))/5 или опять воспользоваться встроенной функцией @movav: Genr sma_5=@movav(ind(2)95). Здесь (ind(2 5) указывает на то, что осредняются текущее и 4 предыдущих значения ряда ind(2)9 т.е. текущее и по два соседних (до и после) значений самого ряда ind.

Задание 2.   Сглаживание временного ряда с использованием центрированного скользящего среднего

1. Повторите исследование, проведенное в примере 5.1.2 для ряда, представляющего квартальные данные об индексе реального объема сельскохозяй-

 

В заданиях к разделам этой части учебника даются ссылки на Приложение, содержащее необходимые статистические данные и их описание, помещенное после задания 29.

ственного производства в Российской Федерации (ряд AGRO). Данные для этого примера содержатся в табл. П-2 Приложения. Их можно также найти на статистическом портале ГУ—ВШЭ http://stat.hse.ru. 2. Повторите исследование, проведенное в примере 5.1.3 для ряда, представляющего квартальные данные об импорте товаров и услуг в Российской Федерации (ряд IMP). Данные для этого примера содержатся в табл. П-3 Приложения (на сайтах http://stat.hse.ru и http://www.rusimpex.ru данные за 2004 и 2005 гг. несколько отличаются от использованных нами в примере 5.1.3).

Методические указания (к пунктам задания).

Для построения центрированного среднего с периодом 4 можно использовать цепочку Genr —> sma_4_centered=(0.5*agro(-2)+@movsum(agro(l),3)+ +0.5* agro(2))/4.

Аналогичная цепочка используется для ряда IMP.

 

Задание 3.   Фильтр Ходрика — Прескотта

Используя фильтр Ходрика — Прескотта, выделите долговременную компоненту ряда AGRO (см. пример 5.1.4).

Используя фильтр Ходрика — Прескотта, выделите долговременную компоненту ряда IMP (см. пример 5.1.5).

Используя фильтр Ходрика — Прескотта, выделите долговременную компоненту ряда IND, рассмотренного в задании 1. Сравните результаты выделения тренда при различных значениях параметра сглаживания (см. пример 5.1.6).

Методические указания (к пунктам задания).

1. Для применения фильтра Ходрика — Прескотта к ряду AGRO используйте (в рамках объекта Series) цепочку Agro —> Procs —> Hodrick-Prescottfilter —» название сглаженного ряда (hptrend) и значение параметра сглаживания (lambda=1600)-»OA:.

Аналогично поступите с рядом IMP в п. 2.

3. Используйте следующие значения параметра сглаживания: 100 (как для годовых данных), 1600 (как для квартальных данных), 14 400 (как для месячных данных) и 100 000.

 

Задание 4.   Простое экспоненциальное сглаживание

Повторите исследование, проведенное в примере 5.1.7 для ряда IND.

Методические указания. В случае, когда программе предоставляется возможность самой выбрать оптимальное значение параметра сглаживания, достаточно в рамках объекта Series использовать цепочку Procs —» Exponential Smoothing -> Smoothing Method: Single —> название сглаженного ряда (indsm) и предпрогноз-ный период —> ОК. Если значение параметра сглаживания задается заранее (в примере 5.1.7 это было значение 0.2), то помимо названия сглаженного ряда и предпрогнозного периода следует указать еще значение параметра сглаживания (Smoothing parameters: Alpha = 0.2).

Задание 5.  Двойное экспоненциальное сглаживание

Повторите исследование, проведенное в примере 5.1.8 для ряда UNEMP. Данные, использованные в этом примере, содержатся в табл. П-4 Приложения. Обновленные данные можно найти на сайте http://www.prime-tass.ru.

Методические указания. В рамках объекта Series используйте цепочку Procs —> Exponential Smoothing —> Smoothing Method: Double —> название сглаженного ряда unemp _desm предпрогнозный период (1994:1 —1996:4), выбранное значение параметра сглаживания Alpha = 0.2 -> ОК. Если программе предоставляется возможность самой выбрать оптимальное значение параметра сглаживания, то задавать значение параметра сглаживания не следует.

 

Задание 6.   Метод Хольта

Повторите исследование, проведенное в примере 5.1.9 для ряда UNEMP.

Методические указания. Для применения метода Хольта с предоставлением программе возможности выбора оптимальных значений параметров а и р используйте цепочку Procs —> Exponential Smoothing —> Smoothing Method: Holt-Winters — No seasonal —> название сглаженного ряда (unemp_hw_est), предпрогнозный период (1994:1 — 1996:4) ОК.

 

Задание 7.   Метод Хольта — Винтерса

Повторите исследование, проведенное в примере 5.1.10.

Методические указания. Для применения метода Хольта — Винтерса с предоставлением программе возможности выбора оптимальных значений параметров используйте следующие цепочки.

Аддитивная сезонность: Procs —> Exponential Smoothing -> Smoothing Method: Holt-Winters —Additive -> название сглаженного ряда (AGROHWAD), предпрогнозный период (1994:1 —1996:4) -» OK

Мультипликативная сезонность: Procs —» Exponential Smoothing —> Holt-Winters — Multiplicative —» название сглаженного ряда (AGROHWMU), предпрогнозный период (1994:1—2003:4) —> ОК.

 

Задание 8.   Прогноз по модели, оцененной методом наименьших квадратов: линейный тренд

Повторите исследование, проведенное в примере 5.1.11.

Методические указания. Используя объект Equation, оцените методом наименьших квадратов уравнение линейного тренда на предпрогнозном периоде (спецификация UNEMP С @TREND+l, Sample: 1994:1 — 1996:4). Для получения ряда прогнозов и характеристик качества прогноза нажмите в меню объекта Equation виртуальную кнопку Forecast (т.е. прогнозирование) и в открывшемся меню укажите период, для которого строятся прогнозные значения: в нашем случае, это период 1997:1 —1997:4. По умолчанию прогнозные значения помещаются во вновь создаваемый ряд (объект Series), название которого отличается от названия исходного ряда добавлением в конце буквы F (в нашем случае это будет ряд UNEMPF).

В дополнение к ряду прогнозных значений можно построить и ряд значений стандартных ошибок прогнозов, позволяющий строить доверительные интервалы для будущих значений ряда. Для этого надо в том же меню Forecast дополнительно задать в окне S.E.(optional) название ряда стандартных ошибок: UNEMPSE. После этого нажимаем виртуальную кнопку ОК и получаем график, на котором показаны прогнозные значения ряда на 1997 г. и доверительные границы для прогнозов по каждому кварталу, а также таблицу, в которой приведены характеристики качества полученного прогноза на 4 квартала 1997 г.

Задание 9.   Прогноз по модели, оцененной методом наименьших квадратов: полиномиальный тренд

Повторите исследование, проведенное в примере 5.1.12. Статистические данные для этого задания возьмите из табл. П-5 Приложения.

Методические указания. См. методические указания к заданию 8.

Задание 10. Прогноз по модели, оцененной методом наименьших квадратов: полиномиальный тренд и сезонность

Повторите исследование, проведенное в примере 5.1.13.

Методические указания. Для выделения из ряда остатков RESIDEQI циклических составляющих с периодами от 1.5 до 4 лет используйте (в рамках объекта Series) цепочку Proc —> Frequency Filter —> Cycle periods — Low: 6.0 High: 16.0 —> OK.

Задание 11. Прогноз no подобранной стационарной модели AR

Повторите исследование, проведенное в примере 5.2.1.

Методические указания. В меню объекта Equation после оценивания модели на предпрогнозном периоде (1970 — 1990) выбираем Forecast и откроется страница для спецификации прогноза:

Forecast          IX

Forecast of

Method

© Dynamic forecast О Static forecast

0 Structural (Ignore ARMA) 0 Coef uncertainty in S.E, cak

Equations UNTITLED          Series: X

Series names Forecast name: [xf

S.E. (optional):

: aARCH(op lionaQ

Подпись: Forecast sample [І991І1992Output

0 Forecast graph 0 Forecast evaluation

 

0 Insert actuals for rat-of-sarnpfe observations

I    <* 1

Cancel j

 

На этой странице по умолчанию:

дается название для ряда прогнозов: xf

указывается метод получения прогнозных значений:

Method — Dynamic forecast (динамический прогноз),

Coef uncertainty in S.E. calc (при вычислении стандартных ошибок прогнозов учитывается неопределенность оценок коэффициентов).

В окне Forecast sample надо задать начало и конец прогнозного периода (в нашем примере это 1991, 1992).

После получения прогноза (ряд xf) можно сравнить полученные прогнозные значений с действительными, создав группу из рядовхих/

Если на странице в качестве метода выбрать Static forecast, то будет получена последовательность одношаговых прогнозов. В нашем примере это будут:

прогнозное значение на 1991 г., построенное по данным с 1970 по 1990 г.;

прогнозное значение на 1992 г., построенное по данным с 1970 по 1991 г.

Задание 12. Прогноз ряда уровней по подобранной стационарной AR модели для ряда разностей

Повторите исследование, проведенное в примере 5.2.2. Статистические данные приведены в табл. П-6 Приложения.

Методические указания. При построении прогноза для ряда уровней по оцененной стационарной AR() модели для ряда разностей удобно поступить следующим образом. В рамках объекта Equation вместо спецификации gnp_dif с аг() задайте спецификацию d(gnp) с аг(). Такая спецификация уведомляет программу о том, что в качестве объясняемой переменной используется не ряд уровней, а ряд разностей. Это удобно тем, что прогноз в этом случае выдается не только для ряда разностей, но и для ряда уровней. Чтобы получить прогноз для ряда уровней, в спецификации прогноза надо указать: Series to forecast — gnp.

Задание 13. Прогноз по модели авторегрессии с сезонными дамми

Повторите исследование, проведенное в примере 5.2.3. Обновленные статистические данные об объемах производства тканей в Российской Федерации можно найти на сайте http://www.prime-tass.ru.

Задание 14. Сравнение прогнозов, полученных по модели ARIMA, с адаптивными прогнозами

Повторите исследование, проведенное в примере 5.2.4, используя обновленные статистические данные об уровнях безработицы в США в период 1987—1990 гг., которые можно найти на сайте http://research.stlouisfed.org/fred2/data/UNRATE.txt или на сайте http://www.davemanuel.com/historical-memployment-rates-in-the-united-states.php.

 

Задание 15. Прогноз в условиях неопределенности в отношении

стационарности/нестационарности ряда наблюдений

Повторите исследование, проведенное в примере 5.2.5.

К разделу 2

Задание 16. Проверка на отсутствие/наличие причинности по Грейнджеру для двух рядов

Рассмотрите модель VAR() для двух рядов:

Г1г = 0.6 + 0.7Ги_1 + 0.2Г2>г_1 + ^,

Ylt = 0.4 + 0.2Ylt_{ + 0.7У2>Г_! + £lr

Выполнено ли условие стабильности для этой VAR1 Если это условие выполнено, то найдите долгосрочное (стабильное) состояние системы.

Постройте реализацию указанной модели, полагая Yn = Y1X - 0 и D(slt) = = й(єь) = 0.01. Объясните поведение полученных реализаций. Какие значения Yn и У2і следует взять, чтобы система сразу вошла в стабильный режим? Постройте реализацию модели VAR() с этими значениями Yu и Y2l.

По полученной реализации модели (второй вариант) оцените модель VAR() для двух рядов. Сравните оценки коэффициентов со значениями коэффициентов, использованными при моделировании. Убедитесь в том, что оцененная VAR() является стабильной (проверьте расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости).

Проведите диагностику остатков на предмет обнаружения нарушений стандартных предположений VAR.

Подтвердите правильность выбора порядка модели, сравнивая ее с моделями более высокого порядка.

Проверьте гипотезу об отсутствии причинности по Грейнджеру для каждого из рядов по отношению к другому ряду.

Методические указания.

1. В компактной форме указанная VAR() имеет вид:

Уг = М + пУг- + £п

где

0.6 0.4

'0.7 0.2Л 0.2 0.7

 

Є21)

или

 

где

 

 

A{L) = I2-TXL =

Л{Ь)у, = /л+є„

 

0Л fOJL 0.2ЬЛ l){0.2L 0.71

 

 

(1-0.71 -0.2Z, -0.2L 1-0.7L

так что

Уравнение det A(z) - 0 принимает здесь вид:

О,

det.4(z) =

О, или (1

ґ1-0.7г -0.2гЛ -0.2 z

-OJzy

 

0.9z)(l - 0.5z) = 0. Оба корня z =

т.е. (1 - 0.7z)2 - (0.2z)2

 

и z =      больше 1, т.е. условие стабильности выполняется.

Долгосрочное (стабильное) состояние системы находим по формуле:

 

 

0.9

 

(6 4^

f°-6l

 

f5-2!

v4 6,

 

 

,4-8,

Таким образом, стабильное состояние системы определяется здесь как ^, = 5.2, у2, = 4.8, так что стабильное состояние разности уи -y2t есть

Уі-У2 = 0-4-

Соответственно с течением времени независимо от начальных условий ряд уи начинает осциллировать вокруг уровня 5.2, а ряд y2t начинает осциллировать вокруг уровня 4.8; разность (уи - ylt) осциллирует вокруг уровня 0.4.

Сгенерируйте ряды 71 и У2, полагая сначала все значения каждого из них равными 0. Специфицируйте объект Model:

Yl = с( 11 )+с( 12)*х1(-1 )+с( 13)*х2(-1 )+с( 14)*у 1 (-1 )+с( 15)*у2(-1)

Y2 = c(16)+c(17)*xl(-l)+c(18)*x2(^

и реализуйте эту модель порождения рядов У1 и Y2. Объясните совместное поведение полученных рядов.

Измените начальные значения этих рядов на значения, соответствующие стабильному положению системы, т.е., на 5.2 и 4.8, соответственно. Реализуйте ту же модель порождения рядов с новыми начальными значениями. Объясните совместное поведение полученных рядов.

Откройте пару рядов YI и Y2 в виде VAR (Open as VAR...). В открывшемся меню укажите следующее (остальное — по умолчанию):

VAR specification: Unrestricted VAR (VAR без ограничений на коэффициенты),

Lag intervals: 1 1 (в модели учитываются запаздывания только на один шаг).

-><Ж.

При этом автоматически создается объект VAR без имени (UNTITLED), в котором приведены результаты оценивания модели VAR. Сравните полученные оценки коэффициентов со значениями коэффициентов, использованными при моделировании. Убедитесь в том, что оцененная VAR() является стабильной. Для этого проверьте расположение корней характеристического уравнения (не путать с обратным характеристическим уравнением!) на комплексной плоскости, используя переходы:

View -> Lag Structure —> AR Roots Graph.

Оцененная система стабильна, если все корни характеристического уравнения расположены внутри единичного круга на комплексной плоскости. По цепочке

View —> Lag Structure —> AR Roots Table

получаем таблицу значений величин, обратных корням ^-полинома, в нижней части которой указывается, удовлетворяет ли оцененная VAR условию устойчивости.

Для диагностики остатков используйте

View —> Residual Tests и процедуры, предлагаемые в выпадающем подменю:

Portmanteau Autocorrelation Test... — вычисляет многомерные статистики Бокса — Пирса и Люнга — Бокса. При нулевой гипотезе об отсутствии автокорреляций в рядах остатков до порядка h включительно обе статистики приблизительно распределены как \%2(k2(h -/?)), где к — число переменных, включенных в векторную авторегрессию; р — порядок векторной авторегрессии;

Autocorrelation LM Test... — дает возможность провести многомерный тест для проверки отсутствия автокорреляции определенного порядка.

Normality Test... — представляет многомерные расширения теста Харке — Бера на нормальность остатков модели;

White Heteroskedasticity (No Cross Terms I Cross Terms) — данные тесты являются расширениями теста Уайта для случая систем уравнений.

Для подтверждения правильности выбора порядка модели можно оценить модель большего порядка, например, VAR(2)9 и проверить на совместную незначимость оценки коэффициентов при^1(-2) иу2(-2). Это можно сделать прямым вычислением статистики критерия отношения правдоподобий (Lft-критерий):

Irstat = 2(/2 -/,) = Г(1п | Qj | -In | Q21),

где 1р   — логарифм максимума функции правдоподобия при оценивании VAR(p

|П| — определитель оцененной ковариационной матрицы случайных ошибок модели, вычисляемой двумя разными способами:

|Q| = det

Ґ         Л         (   і ^

~Z^rr    или  |n| = det Х^гГ

Т ,        Г-V ,

Оба значения |П| приводятся в протоколе оценивания, соответственно, как Determinant resid covariance и Determinant resid covariance (dof adj.), а значение логарифма максимума функции правдоподобия обозначено как Log likelihood.

При вычислении статистики критерия следует брать одинаковое количество наблюдений Т при оценивании обеих VARI Кроме того, согласно рекомендации Симса, предпочтительнее брать в формуле для статистики критерия не само Г, а значение (Т - к), где к — количество параметров в одном уравнении модели большего (именно так производится вычисление в EViews 6) порядка. Таким образом, вычисленное по указанной выше

Т-к

формуле значение Irstat рекомендуется умножать на ———.

Т-к

Вычислите скорректированное значение Irstat = 2(1х -12)——— и примените и?-критерий с этим значением статистики, ориентируясь на асимптотическое хи-квадрат распределение этой статистики с числом степеней свободы, равным количеству зануляемых коэффициентов.

В рамках объекта Var для VAR(2) произвести проверку рассматриваемой гипотезы можно, используя цепочку

View —» Lag Structure —> Lag Exclusion Tests.

В появляющейся таблице указано значение скорректированной статистики LK-критерия и соответствующее ему Р-значение, рассчитанное по распределению хи-квадрат.

Для выбора глубины запаздываний (порядка VAR) можно использовать также сопоставление значений информационных критериев для оцененных VAR различных порядков. Для этого следует использовать цепочку

View —> Lag Structure —> Lag Length Criteria;

при этом следует указать максимально возможную глубину запаздываний. 6. Оцените уравнение

Yu = cl+alYUt_l + blY2,t_l + £ln

и проверьте гипотезу Ъх - 0.

Оцените уравнение

Yit = С1 + alY t- 1 + ^2^2, t-1 + £lt

и проверьте гипотезу а2 = 0.

Сравните результаты оценивания этих уравнений с результатом оценивания модели VAR(). Почему полученные результаты совпадают?

Создайте группу из рядов у и у2. Нажмите кнопку View и выберите: Granger Causality. В открывшемся окне установите количество запаздываний, равное порядку авторегрессии, и нажмите ОК. Получите протокол, имеющий вид таблицы (табл. 3-1).

Сравните результаты, указанные в табл. 3-1, с результатами, полученными при непосредственном оценивании двух уравнений. Как связаны между собой значения F-статистик, приведенные в таблице, и значения ^-статистик, использованные при тестировании отдельных уравнений?

Задание 17. Причинность по Грейнджеру в модели VAR с тремя переменными

Рассмотрите следующую модель VAR() для трех рядов:

Yt = 0.6Yt_x + 0.5Zt_x + єи,

Xt = 0.6Yt_x + 0.25Z,.! + є2п

Zt = 025Xt_x + 0.6Zt_x + є3г

Выполнено ли для этой модели условие стабильности? Является ли переменная X G-причиной для переменной У?

Постройте реализацию указанной модели, полагая Yx = Хх = Zx = 0 и генерируя єХп s2t и є3і как независимые между собой процессы гауссовского белого шума с D(sXt) = ... = D(s3t) = 1. Для каждой пары переменных проверьте гипотезы о том, что одна из переменных не является G-причиной для второй переменной.

Методические указания. 1. Матричный полином A(L) имеет здесь вид:

 

 

Ґ1

0

 

'0.6L

0

0.51 Л

A(L) = I3-UlL =

0

1

0

-

0

0.6Z,

0.25Z,

 

 

0

1,

 

, о

0.251

0.61,

'1-0.61      0 -0.51' 0      1-0.6Z,  -0.25Z, , v    0      -0.25L 1-0.6L,

det A(L) = (1 - 0.6Z,)3 - (1 - 0.6I)0.252 L2 = (1 - 0.6L)(1 - 0.85I)(1 - 0.351)

J       А Ґ          f        11 1

—» уравнение deL4(z) = 0 имеет корни —,                 и  , соответственно

0.6   0.85 0.35

—> модель стабильна.

Из третьего уравнения получаем: Zt_x = 025Xt_2 + 0.6Z,_2 + ^з,/-і> так что

Yt = Q.6Yt_x + 0.5Zt_x +sXt =0.67r_! + 0.5(0.25Jf,_2 + 0.6Z,_2 + £3 fM) + flM

7r =0.6ГгЧ + 0.125Jf,_2 + 0.3Z,_2 + єи +0.5^3 M.

В рамках последнего уравнения прошлые значения переменной ^ помо-

ги g

гают в предсказании значения Yn так что jc       >у.

2. Построив реализацию указанной модели с помощью объекта Model, образуйте объект Group, содержащий три смоделированных ряда Yt, Хп Zr В меню этого объекта выберите:

View —> Granger Causality —> Lags to Include = 1.

Проинтерпретируйте результаты, представленные в полученной таблице. Почему гипотеза о том, что переменная X не является G-причиной для У, может быть отвергнутой?

Измените глубину запаздываний, полагая Lags to Include = 2. Изменился ли результат проверки гипотезы х—^—>>>? Если изменился, то почему? (При увеличении глубины запаздываний до двух выявляется влияние значения Xt_2>)

Проверьте ту же гипотезу, не прибегая к встроенной проверке, а оценивая непосредственно уравнение

Yt = с(1)У,_, + c(2)F(_2 + с(3)Х,_1 + с(А)Х,_2 + є,.

и проверяя гипотезу с(3) = с(4) = 0. Совпало ли значение полученной F-статистики со значением, приведенным в таблице, полученной в рамках объекта Group? Если не совпало, то почему? (Это связано с включением или невключением в правую часть уравнения для проверки гипотезы постоянной составляющей.)

Задание 18. Блочная экзогенность в модели VAR с тремя переменными Рассматривается модель VAR(2) для переменных^,, у2,,у3г:

yt = ju + nxyt_x+Il2yt_2 + st9

 

Матрицы Пг имеют вид:

Какие из переменных (группы переменных) являются блочно экзогенными в отношении остальных переменных?

Задание 19. Проверка причинности по Грейнджеру и блочной экзогенности в модели VAR (открытая VAR)

Постройте реализацию открытой VAR:

Yu = 0.6 + 0.7У1в/_! + 0.2Y2t_{ + O.lJrj,,.! + 0.2Х,, + єи, Y2t = 0.4 + 0.2YX t f_! + 0.1Y2t_{ + 0.2XU + 0AX2t_{ + є2п

где

XXt - §.lXXt_x + є3п Xn = 0,

X2t = 0.5^^! + є4п X2l — 0,

и в правых частях уравнений стоят независимые между собой процессы гауссовского белого шума с D(sXt) = ... = D(e4t) = 0.01.

Положите Yxx = Y2l = 0. Объясните поведение полученных реализаций.

Как надо изменить при моделировании начальные значения Yn и Y2U чтобы система быстрее выходила на стабильный режим?

Используя смоделированные реализации с начальными значениями, соответствующими стабильному режиму, проверьте гипотезу о том, что переменные Yu и Y2t не являются причиной по Грейнджеру для переменной Хи. Проверьте гипотезу о том, что переменные Ylt и Y2t не являются причиной по Грейнджеру для переменной Х2г

Проверьте гипотезу о блочной экзогенности переменных Хи и Х2г

Методические указания.

Проверьте выполнение условия стабильности модели.

Найдите стабильное решение и на его основе вычислите необходимые значения Yn и 721, учитывая, чтоХи = 0, Х1Х - 0.

Здесь р и матричный полином A(L) — те же, что и ранее, а

0.2 0.41

так что

B(V) = B0+Bl =

,0.2 0.4y

(6 А

Гол

0.2'

 

Л .4 2.8'

,4 6,

,0.2

0.4J

 

,1.6 3.2,

Матрица долгосрочных мультипликаторов равна: С(1) = Л-' (1)5(1) = так что стабильное решение есть

 

{*)-

 

 

'1.4 2.8"

V

 

+

 

 

уУ2;

 

 

J.6 3.2,

х2)

т.е.

у{ = 5.2 + 1.4xj + 2.8х2,

j;2 = 4.8+ 1.6х! + 3.2х2.

Смоделируйте реализации этой открытой системы в случае, когда хи и xlt — независимые друг от друга ЛЯ(1)-ряды,

xXt = 0Jxlt_l + vlr, x2j = 0.5x2t_x + v2„ vuHv2r/./iiV(0,l).

В качестве начальных значений при моделировании возьмите:

хи =х21 = 0, j>n = 5.2, ^21 = 4.8.

3. Создайте объект System под именем 5)^01 и специфицируйте ее как модель VAR(l) с 4 переменнымиХ2г, У2г

XI = С(1)+с(2)*х1Н)+с(3)*х2(^ XI = С(6)+с(7)*х1(-1)+с(8)*х2Н^

Yl = С( 11 )+с( 12)*х 1 (-1 )+с( 13)*х2(-1 )-hc( 14)*j; 1 (-1 )+с( 15)^2(-1) Y2 = С(16)+с(17)*х1(-1)+с(18)*х2(-1)+с(19)*^1(-1)+с(20)^2(-1)

Оцените эту систему методом наименьших квадратов по смоделированным ранее данным. Создайте объект Var под именем varl и специфицируйте ее как модель VAR(l) с теми же переменными, оцените эту модель. Сравните результаты оценивания системы sysOl и модели varl. (Они совпадают.) Проведите диагностику остатков в оцененной модели varl. Подтвердите правильность выбора порядка модели, сравнивая ее с моделями более высокого порядка.

Для проверки гипотезы о том, что переменные Yu и Y2t не являются причиной по Грейнджеру для переменной ХХп оцените уравнение

Xu = ml +al*Y{ t_{ + bl*Y2t_{ +cl*Xht_{ + dl*X2t_{ + єи

и проверьте гипотезу al = Ы = 0.

Для проверки гипотезы о том, что переменные Yu и Y2t не являются причиной по Грейнджеру для переменной Х2п оцените уравнение

X2t = ml + al*Yu! + ЪТY2 t_x + c2*Xux + dl*X2t_x +єи

и проверьте гипотезу al - Ы = 0.

Для проверки гипотезы о блочной экзогенности переменных Хи и X2t можно воспользоваться встроенной процедурой в рамках объекта sysQl:

View —> Coefficient tests —> Wald Coefficient Test,

задав соответствующее условие на коэффициенты:

с(4) = с(5) = с(9) = с(10) = 0.

Задание 20. Ложная причинность по Грейнджеру

Рассмотрите модель VAR{) для двух рядов:

 

Yit= Yi,t- + £2t-Выполнено ли условие стабильности для этой VAR1

Постройте реализацию заданной модели, полагая Yn = Y2X = 0 и D(su) -= D(s2t) = 0.01, Cov(elt9 e2t) = 0. Объясните поведение полученных реализаций.

По полученной реализации модели проверьте гипотезы о том, что одна из переменных не является причиной по Грейнджеру для другой переменной.

Методические указания.

1. В компактной форме указанная VAR() имеет вид:

 

где

 

yt =

{Уи)

Jit j

f 1 6 0 1

или

 

где

о ^ 1-L

так что

А() =

0 0 0 0

,   det,4(l) = 0.

Уравнение detA(z) = 0 принимает здесь вид:

det A{z) =

 

0

l-z    0 ї

l-z

= 0,

 

Переменная Yx признается причиной по Грейнджеру для переменной Yl9 хотя ряды значений этих переменных генерировались независимо друг от Друга.

 

Задание 21. Некоинтегрированная VAR: причинность в краткосрочном плане

Рассмотрите модель VAR(l) для рядов разностей:

AYu = 0.6Yht.^eU9

AY2t = 0AY{ ,_j + 0.6AY2f_x + є2г

Является ли такая VAR в разностях стабильной? Как выглядит VAR для уровней, какой порядок она имеет? Имеется ли коинтеграция между рядами YU9 и Г2/?

В табл. П-7 приведена реализация указанной VAR. Проверьте полученную пару рядов Yu и Ylt на коинтегрированность.

Рассмотрите вопрос о наличии G-причинности одной из переменных в отношении другой переменной в краткосрочном плане.

Подтвердите на основании одних только сгенерированных данных правильность выбора порядка VAR при оценивании.

Методические указания.

VAR в разностях стабильна (выполнено условие стабильности). VAR в уровнях имеет порядок 2. Коинтеграция между рядами Yu и Y2t отсутствует (оба уравнения в разностях не имеют в правых частях корректирующей составляющей).

Для проверки на коинтегрированность создайте из рядов у{ и у2 объект Group и используйте встроенную процедуру проверки. Результаты приведены в табл. 3-3. Ряды признаются некоинтегрированными.

3. Оцените модель VAR() для разностей. Результаты оценивания приведены в табл. 3-4.

Выявляется односторонняя краткосрочная G-причинность в направлении от Yx к Y2. Проверьте наличие такой G-причинности, используя объект Group для разностей. Результаты приведены в табл. 3-5.

Результат тот же. Сравните значения F-статистик в табл. 3-5 с соответствующими значениями ґ-статистик в табл. 3-4. Какая между ними связь? 4. Оценив на основе сгенерированных данных VAR() для разностей, воспользуйтесь процедурой выбора порядка VAR, следуя цепочке

View —> Lag Structure —> Lag Length Criteria.

Из 5 критериев выбора 3 указывают на модель первого порядка (табл. 3-6).

Задание 22. Коинтегрированная VAR: причинность в краткосрочном и долгосрочном плане

В табл. П-8 приведены данные об объемах продаж медицинских препаратов, произведенных фармацевтической фирмой Lydia Pinkham (Sales), yl о расходах фирмы на рекламу этих препаратов (Adver) в период с 1907 по 1960 г. Учитывая исследования различных авторов, для анализа этих данных перейдите к логарифмам уровней.

Определите порядки интегрированности этих рядов, проверьте наличие коинтегрированности между этими рядами.

Оцените долговременное соотношение между рядами и модель коррекции ошибок. Проведите анализ на наличие/отсутствие долгосрочной и краткосрочной причинности между рассматриваемыми рядами.

 

Задание 23. Коинтегрированная VAR: причинность в краткосрочном и долгосрочном плане

В задании 22 тестирование было проведено для пары рядов Adver yl Sales, при этом не принималось в расчет возможное влияние других рядов. С целью учета такого влияния протестируйте наличие или отсутствие соотношений Adver —> Sales, Sales —> Adver (в смысле предшествования по Грейнджеру) с дополнительным включением в тестовые уравнения совокупного располагаемого личного дохода Income. Примените к этой тройке рядов подход Тода — Ямамото.

Задание 24. Структурная VAR, функции импульсного отклика 1. Докажите стабильность следующей VAR(l):

5 1

 

1 5

Уи=-Уи-+-Уи-+иь-

 

Методические указания. Запишите систему в виде *

A(L)yt = щ

и проверьте выполнение условия стабильности в отношении корней уравнения det^(z) = 0.

2. Полагая I = Соv(ut) -

'1 -Г

, выразите ии и u2t через фундаментальные

-1 2

инновации, используя два варианта упорядочения. Для каждого упорядочения составьте модель структурной VAR.

В каждом варианте упорядочения фундаментальных инноваций вычислите значения функций импульсного отклика на единичный шок инноваций для моментов времени t = 1 и t = 2.

Используя пакет EViews, постройте последовательности импульсных откликов на единичные шоки инноваций в каждом из вариантов упорядочения. Сравните полученные первые два отклика со значениями, вычисленными в п. 3.

Методические указания.

Сгенерируйте две последовательности epsl и eps29 имитирующие гауссовский белый шум. Убедитесь в том, что обе эти последовательности проходят диагностические тесты.

Создайте объект Model под именем morig, специфицируйте соответствующую VAR, используя сгенерированные последовательности, и получите реализацию этой VAR (ряды ух иу2).

На основе ряда epsl (не изменяя сам ряд epsl) образуйте новый ряд epsljnodif увеличив первое значение ряда epsl на 1.

Создайте новый объект Model под именем mjnodif аналогичный предыдущему, но использующий вместо ряда epsl ряд epsljnodif. Получите реализацию этой модели (ряды yljnodif и ylmodif).

Постройте последовательности импульсных откликов на единичный шок инноваций єи в виде рядов

delta 1 = yljnodif- у 1  и delta! - yljnodif- yl.

Сравните полученные первые два отклика со значениями, вычисленными в п. 3.

Постройте графики функций импульсного отклика.

 

Используя смоделированные рядьі^І иу2, оцените модель VAR(l) для этих рядов. Сравните коэффициенты оцененной модели с коэффициентами модели, использованной в модели порождения этих рядов. Обратите внимание на доверительные интервалы для (отдельных!) значений импульсного отклика.

Методические указания. Для получения значений функций импульсных откликов и графиков этих функций в оцененной VAR используйте переход: View/Impulse Response. Для получения таблицы значений укажите Display Format: Table. Для получения графиков функций вместе с доверительными интервалами укажите: Multiple Graphs, а также: Response Standard Errors: Analytic или Monte-Carlo. При использовании первого из двух указанных выше упорядочений во вкладке Impulse Definition в окне Cholesky Ordering укажите порядок вхождения рядов: у у2. При использовании второго из двух указанных выше упорядочений, во вкладке Impulse Definition в окне Cholesky Ordering укажите порядок вхождения рядов: y2yl.

Используя оцененную VAR, постройте таблицы и графики декомпозиций дисперсий ошибок прогнозов при каждом из двух упорядочений.

Методические указания. Для получения таблицы и графиков декомпозиций дисперсий ошибок прогнозов в оцененной VAR используйте переход: View/Variance Decomposition. Далее используйте методические указания к п. 5.

Задание 25. Построение функций импульсного отклика

и декомпозиций дисперсий ошибок прогнозов для модели VAR, оцененной на основании имеющихся статистических данных

В рабочем файле lszusa_data.wfl приведены статистические данные о следующих показателях экономики США:

CPISA       — индекс потребительских цен (сезонно-скорректированный); RGDPMON — реальный валовой внутренний продукт; M1SA        — денежный агрегат М2 (сезонно-скорректированный); TBILL3        — процентные ставки по 3-месячным казначейским обязательствам;

PCM   — (commodity price level) — индекс цен на инвестиционные то-

вары, не включающий нефть.

Файл lszusa_data.wfl можно получить, зайдя на следующий интернет-адрес: http://didattica.unibocconi.eu/myigier/index.php?IdUte=48917&idr= 10020&lingua=eng &comando=Apri. Далее выбрать: Data and Exercises for Chapter 4 и скачать предлагаемый ZZP-файл, из которого можно извлечь файл lszusa_data.wfl.

При построении моделей VAR все переменные, за исключением процентных ставок, возьмите в логарифмах уровней: LP = 0]n(CPI_SA LY= W0]n(RGDP_MON), LM1 = 1001n(M2_&4), LPCM= lOOln(PCM).

Следуя работе (Leeper, Sims, Zha, 1966), оцените на периоде с 1960:01 по 1996:03 модель VAR(6) для переменных LP, LYnLMl. Постройте функции импульсного отклика для оцененной системы при упорядочении Р -> Г—> М2, в котором наиболее эндогенной переменной предполагаются деньги. Подтверждается ли эндогенность денежного агрегата характером этих функций? Постройте декомпозиции дисперсий ошибок прогнозов для оцененной системы. Подтверждается ли эндогенность денежного агрегата поведением этих дисперсий?

Примените упорядочение, использованное Симсом: Ml —> 7-> Р. Сравните результаты полученные при использованных двух упорядочениях. Объясните результаты сравнения.

Дополните модель VAR(6) переменной TBILL3 и оцените расширенную модель на том же периоде. Постройте функции импульсных откликов и декомпозиции дисперсий ошибок прогнозов для оцененной системы, используя упорядочение TBILL3 —> Ml -> Y —> Р. Обнаруживается ли здесь эндогенность МІ по отношению к CPL и GDP1 Обнаруживается ли эндогенность МІ по отношению к TBILL31 Наблюдаются ли в поведении функций импульсного отклика «загадка ликвидности» и «загадка цен»? Чем может быть вызвано такое поведение функций импульсного отклика?

Дополните модель VAR(6)9 использованную в п. 3, переменной LPCM и оцените расширенную модель на том же периоде. Постройте функции импульсного отклика и декомпозиции дисперсий ошибок прогнозов для оцененной системы, используя упорядочение TBILL3 —> РСМ-> М1^>Р -> Y. Сравните результаты, полученные для моделей VAR(6) с 4 и 5 переменными.

К разделу 4

 

Задание 26. Оценивание модели стохастической границы производственных возможностей

Проведите оценивание модели стохастической границы производственных возможностей по образцу примера 8.1.1, используя статистические данные из файла frontierl.dta в пакете Stata (http://www.stata-press.com/data/r9/frontierl.dta).

Методические указания. В пакете Stata откройте файл frontierl.dta и выберите в главном меню: Statistics —> Linear regression and related —> Frontier models. Укажите в соответствующих окнах объясняемую (Inoutpuf) и объясняющие (Incapital и Inlabor) переменные, а также выбранное распределение для и{ (Truncated normal distribution). Это равносильно выполнению команды frontier Inoutput Incapital Inlabor, distribution (tnormal). Результаты выполнения этой команды отражены в табл. 3-7.

 

Таблица 3-7

 

.frontier Inoutput Incapital Inlabor, distribution (tnormal)

Stoc. frontier normal/truncated-normal model

Number of obs = 756

 

Здесь

sigma_v2

оценка для сгх

2.

sigmajul

оценка для <у1

2.

 

gamma

 

sigmdl

оценка для у = —у ; оценка для сг/ = <ту2 + <т„2.

Поскольку значение / должно заключаться в пределах от 0 до 1, оптимизация производится для обратного логита от у9 и соответствующая оценка приводится в таблице как ilgtgamma. Поскольку значение <т52 должно быть положительным, оптимизация проводится для 1п(<т52), и соответствующая оценка приводится в таблице как Insigmal. Наконец, ти есть оценка для ju. Последняя строка таблицы указывает на результаты проверки гипотезы <rw2 = 0.

Поскольку оценка для /и статистически незначима, вместо усеченного нормального распределения (с произвольной точкой усечения) можно использовать полунормальное распределение, т.е. использовать выбор: Half-normal.

После оценивания модели оценки для uf вычисляются с использованием команды predict и формулы для условного среднего Е(щ £{) (опция и) или формулы для условной медианы Med(u{ £t) (опция т). Применяя опцию /е, получаем оценки технической эффективности, опирающиеся на формулу для £(exp(w/)| £,).

 

Задание 27. Анализ качества оценивания параметров модели

стохастической границы производственных возможностей и технической эффективности

Проведите анализ качества оценивания параметров модели и технической эффективности по образцу примера 8.1.2.

 

Задание 28. Оценивание модели стохастической границы для панельных данных: модель, инвариантная по времени

Проведите оценивание модели стохастической границы по образцу примера

используя статистические данные из файла xtfrontierl.dta в пакете Stata 10 (http://www.stata-press.com/data/r8/xtfrontierl.dta).

 

Задание 29. Оценивание модели стохастической границы для панельных данных: модель с затуханием во времени

Проведите оценивание модели стохастической границы по образцу примера

используя те же статистические данные, что и в задании 28.

Приложение

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |