Имя материала: Эконометрика Книга вторая Часть 4

Автор: Носко Владимир Петрович

Раздел 7 тесты на единичные корни и нелинейные преобразования. динамический метод наименьших квадратов тема 7.1  тесты на единичные корни и нелинейные преобразования

Проверка на наличие единичных корней стала достаточно общей практикой при работе с временными рядами. В то же время следует уделять внимание вопросу о подходящем преобразовании переменных, которое должно предшествовать такой проверке.

В макроэкономике и эмпирических финансах (цены на акции, обменные курсы) часто имеются убедительные аргументы в пользу использования логарифмического преобразования переменных. Для других рядов (например, процентных ставок) автоматически предполагается спецификация в уровнях. Между тем во многих приложениях априори не ясно, где присутствует предполагаемый единичный корень — в ряде уровней или в ряде логарифмов, так что представляет интерес проверка гипотезы единичного корня в контексте не полностью специфицированного нелинейного преобразования данных.

Начнем рассмотрение с работы Грейнджера и Холлманна (Granger, Hall-тапп, 1991).

Базовым для теории распределений статистик различных критериев, используемых для проверки на наличие единичного корня, является результат Филлипса (Phillips, 1987) о предельном (асимптотическом) распределении статистики Дики — Фуллера в ситуации, когда процесс порождения данных имеет вид:

DGP: yt=yt_{+ut, у0=0, и оценивается статистическая модель:

SM: yt =pyt_{ +ut,  t = l,...,T.

При выводе предельного распределения Филлипс опирается на следующие предположения относительно ut

а)         £(«,) = 0;

б)         supis      < оо для некоторого Р> 2;

в) предел а = lim Е

Г-»оо

Vr=l j

существует, и его значение больше нуля;

г) последовательность {ut}x обладает свойством сильного перемешивания

00 ХЛ

с коэффициентами ат9 удовлетворяющими соотношению       ^ < оо.

 

Замечание 7.1.1. Пусть имеется какая-нибудь последовательность случайных величин {Xk9 к є Z}, Fl^ — множество всех событий, связанных со случайными величинами {Хк9 k<j},a F™+n — множество всех событий, связанных со случайными величинами {Хк9 к <j + п}. Для каждого п > 1 обозначим:

ап = sup     sup P(Af]B)-P(A)P(B).

 

Последовательность {Xk9 к є Z} обладает свойством сильного перемешивания (strong mixing), если сг„ —> 0 при п —> оо.

 

Условие а) — обычное. Условие б) означает равномерную ограниченность моментов EutPno t. В условии в) имеем:

а1 = lim Т Е

Г-»оо

- lim ТE(uj),

где <т2 — долговременная дисперсия (long-run variance) ряда wr Если w, представляет собой процесс белого шума, то

ТЕ(й?) = ТЕ

Ґ j   т т      Л       j г

V

так что в этом случае сг2 = Var(ut) — долговременная дисперсия ряда равна его обычной дисперсии.

Если процесс ut стационарный (в широком смысле) и последовательность

его автоковариаций ^ = Cov(ut9 w, ■) абсолютно суммируема, т.е.

<оо,

 

тогда

а2 = ИтТЕ(й?) =

 

откуда вытекает, что Е(и2)^> О, т.е. ит -» 0 в среднем квадратичном. Последнее есть не что иное, как проявление закона больших чисел (среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию). В качестве примера пусть

ut = put_x + st — стационарный ряд AR(1), р < 1,  Var(st) = а2 > 0. Математическое ожидание такого процесса равно нулю, его дисперсия равна:

 

Var(ut) = - 2 1-Р

ау-я автоковариация равна:

nj

 

так что

j = -«

-PjT-,

-р2

 

1-И J -р2 -p (-py

<оо.

Долговременная дисперсия равна:

Подпись: у =-00СО      _2 да

= —00 а          j = —00

^2

 

21^-1

т.е.

 

<7 =-

 

и отличается от а2 = Far(ut) =  °*   , еслир# 0.

1-/7

Заметим, что именно вследствие подобного различия обычной и долговременной дисперсий приходится корректировать оценки стандартных ошибок оцененных коэффициентов в моделях регрессии с автокоррелированными ошибками — метод Newey — West.

Заметим еще, что в силу условия a) E(yt) = О и в условии в)

1«.

= Ут>

так что

Т-+сс

СТ2 = 1іт£ІІ>4=1іт^^.

Т-+СС

Дополнительное условие г) вместе с остальными условиями обеспечивает выполнение функциональной предельной теоремы (functional limit theorem), гарантирующей сходимость функционалов от соответствующих случайных последовательностей к функционалам от стандартного винеров-ского процесса W(t) (процесса с независимыми нормальными приращениями) при Т —> оо. Покажем, как получается при этих условиях предельное распределение статистики Дики — Фуллера в указанной паре DGP и SM.

Прежде всего заметим, что в этой ситуации оценка наименьших квадратов коэффициента р, полученная на основании Г наблюдений, равна:

 

t =

Рт=— 

2Xi

так что

 

t = i

 

t =

Обозначим частичные суммы ряда ut как

 

Для простоты положим S0 = 0. Тогдаyt = St +у0,

t =

 

г-"2І^.=г"2І(5м+л)2 =

t =

-T-2fj(Sll+2y0St_l+y20) =

 

Последнее выражение можно представить в следующем виде:

L L

 

t =      г = і r_iVC^V^        J t= r-iV^W

 

 

Л       1 2

где [ТУ] — целая часть числа ТУ, 0 < г < 1. Заметим, что:

при r = j:  [Тг]= . т

при г =      :  [Tr] = Г

 

 

= /-1;

 

• при^—i<r<^: 5[7>]=5М.

 

При этом:

1

XT(r) = —f=STr] — ступенчатая функция, непрерывная справа, сгу/Т  l j

т т

.1 т т

r = 1 r-1 T

r = i     г = 1 r-1          г = 1 r-1 *

T

Функциональная предельная теорема. Если выполнены условия а) — г), то при Т -» оо

*r(r) => FP(r),

где JT(r) — стандартное броуновское движение (винеровский процесс —

Wiener process), т.е. случайный процесс с непрерывным временем, для которого:

^(0) = 0;

приращения (W(r2) - W{rx)      (W(rk) - W(rk_x)) независимы в совокупности, если 0 < гх < г2 < ... < rk

W(s)- W(r) ~ N(0, s-г) при s>r;

реализации W(r) непрерывны с вероятностью 1.

Знак => обозначает здесь слабую сходимость, или сходимость по распределению.

Не будем вдаваться в детали определения слабой сходимости в пространствах реализаций случайных функций — для объяснения этого необходимо

привлечение весьма сложного математического аппарата. Для нас важны последствия наличия указанной сходимости.

Теорема о непрерывном отображении. Если XT(r) => W(r) и /?(•) — непрерывный функционал на пространстве £>[0,1] всех вещественнозначных функций на отрезке [0, 1], которые непрерывны справа в каждой точке этого отрезка и имеют конечные пределы слева, то

h{XT(r))—±-+h{W(r)) при Т -> оо.

Здесь —^—> означает сходимость функции распределения случайной величины, стоящей слева от стрелки, к функции распределения случайной величины, стоящей справа от стрелки (сходимость по распределению — convergence in distribution), во всех точках непрерывности последней.

т

Из этих двух теорем и полученного ранее выражения для Т~2^у2_х полуді

чаем: если выполнены условия а) — г), то при Т -> оо

T-2j^yU^^a2)(W(r))2dr. t= о

Займемся теперь числителем дроби в правой части выражения

 

г = 1

Рг-1 = —

.2

-1

t =

 

Подпись: 2 f	2 Л

 

t =

°2J

I 1

Отсюда и из соотношения T~2^yf_x—^—+cr2 (W(r))2dr , полученного

t=

ранее, находим:

 

 

Т{рТ-) =

 

 

г = 1

( 2

(W(l))2—| (J

 

t =

(W(r))2dr

 

 

и рассмотрим некоторые конкретные нелинейные преобразования:

преобразование yt = xf.

В этом случае rjt = yt-yt_x = xf - xf_{ = (xt_{ + st)2 - xf_x = 2xt_xst + sf9 так что нарушаются все 4 условия а) — г);

преобразование yt = x*.

ЗдеСЬ 7, = X3 - Хг3_! =       + £,)3 - X3_j = Зх,2.^, + Зх,.^2 + £3, И ОПЯТЬ

= Ут =1, так что

Здесь sgn(x,) = <

нарушены все 4 условия;

преобразование yt = sgn (xt). -1,  х, <0

0,         х, = 0. В этом случае

1,         х, > О

ст2 = 0;

преобразование >>, = sin лс(.

Грейнджер и Холлман (Granger, Hallman, 1988) показали, что в этом случае процессу, стационарный и что предел в условии в) равен 0;

преобразование у, - ехр (х,). В этом случае:

і], = ех> -ех'-1 = ех"1+є' -ех"1 =(е£і -lfcy,.,,

E(t?l) = E((ee>-ї)у,_1) = Е(е*-l)E(yt_l) = 0,

ЕЦЛ,) = E(jjf ) = Е(еє' - l)2 E(ylx) = Е(еє- -1)2 ЕЦуы) =

= Е(еє>-l)2(t-l)cr2s,

так что rjt имеет линейно возрастающую дисперсию, что нарушает условия б) и в).

Грейнджер и Холлман смоделировали 2000 случайных блужданий длины 200 и на этих данных получили эмпирические распределения статистик Дики — Фуллера (при оценивании уравнения с константой в правой части) при различных преобразованиях смоделированных рядов. В табл. 7.1 и 7.2 приведены

оцененные 5\%-е критические значения этих статистик. В качестве нулевой выступает гипотеза о том, что рассматриваемый ряд является интегрированным порядка 1, а в качестве альтернативной выступает гипотеза о том, что этот ряд стационарный. В таблице Фуллера 5\%-е критическое значение равно -2.88. При использовании этого значения гипотеза единичного корня всегда (правильно) отвергается для sinxr В то же время эта гипотеза обычно отвергается и для рядов sgn(x) и ехр(х), которые было бы неправильным рассматривать как /(О)-ряды. Более частое отклонение гипотезы единичного корня наблюдается и для рядов х,2, х,3, х.

Смоделируем реализацию случайного блуждания со сносом 0.001. График этой реализации показан на рис. 7.1. На рис. 7.2—7.4 приведены графики преобразованных рядов, построенных по этой реализации.

20     40     60     80    100   120   140   160   180   200 t Рис. 7.1

 

У SIN X

20     40     60     80    100   120   140   160   180   200 t Рис. 7.2

 

У SGN X

20     40     60     80    100   120   140   160   180   200 t

 

У

6.Е+08 4

5.Е+08

4.Е+08

З.Е+08

2.Е+08

1.Е+08

 

Y EXP X

О.Е+00

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 іАКТм 11 |TTTTJ ►

20     40     60     80    100   120   140   160   180   200 t

 

Рис. 7.4

Рис. 7.6

Приведенные на рис. 7.5—7.9 коррелограммы первых 5 рядов напоминают коррелограммы рядов, имеющих единичный корень, а коррелограммы рядов sin х и ехр (х) (рис. 7.10—7.11) имеют форму, характерную для стационарных рядов.

 

В целом получается, что DF- и ^DF-критерии более чувствительны к преобразованиям, чем автокорреляции, они отвергают гипотезу единичного корня в ситуациях, когда автокорреляции преобразованного ряда убывают медленно, по типу ряда с единичным корнем.

В работе {Corradi, 1995) дается объяснение наблюдаемому выше поведению автокорреляций нелинейно преобразованных рядов.

ACF sgn(x)

0*

1.04 0.9 J 0.8 J 0.7 А 0.6 4 0.5 J 0А- 0.3 А 0.2 -J 0.1 -J

о4-

4     5 6

Рис. 7.9

8 9

 

/=1

Пусть в качестве DGP выступают следующие модели:

 

 

(7.1)

 

(7.2)

 

х, =ct + M + ^£>

(7.3)

/ = 1

где О О и /= 1,2, Т. Таким образом,

модель (7.1) есть случайное блуждание с х0 = 0;

модель (7.2) есть случайное блуждание с х0 = /л;

модель (7.3) есть случайное блуждание с положительным сносом, т.е. с возрастающим детерминированным трендом.

Предполагается, что st ~ НА случайные величины с E(st) = 0, E{st) = а*, 0 < а] < оо, имеющие плотность. Доказаны следующие результаты:

пусть DGP имеет вид модели (7.1) или (7.2). Тогда для любой непрерывной, неограниченной, выпуклой (или вогнутой) функции /процесс f(xt) не обладает свойством сильного перемешивания;

пусть DGP имеет вид модели (7.3). Тогда для любой непрерывной, строго возрастающей выпуклой функции / процесс f(xt) не обладает свойством сильного перемешивания.

Таким образом, в указанных ситуациях преобразованный ряд не обладает свойством сильного перемешивания, т.е. является процессом с достаточно долгой памятью, что обычно сопровождается медленным убыванием автокорреляций.

Эти выводы подтверждают большинство наблюдений Грейнджера и Холл-мана в отношении коррелограмм. Единственное существенное отличие касается экспоненциального преобразования случайного блуждания. Грейнджер и Холлман, а также Эрмини и Грейнджер {Ermini, Granger, 1993) отмечают достаточно быстрое убывание автокорреляций такого ряда. Однако это не противоречит тому факту, что exp (xt) не обладает сильным перемешиванием (объяснение — в (ErminU Granger, 1993)).

Обладают ли первые разности преобразованных рядов свойством сильного перемешивания?

Если в качестве DGP выступает модель (7.1) или (7.2) и/— непрерывная, строго выпуклая (вогнутая) функция, то

f(xt) = f(xt_l) + £t+(At-At_l),

где обладает сильным перемешиванием, а разность (At - At_x) всегда больше нуля или всегда меньше нуля (в зависимости от того, выпукла или вогнута функция f) и вовсе не обязательно обладает сильным перемешиванием.

Если в качестве DGP выступает модель (7.3) и / — непрерывная, строго возрастающая, выпуклая функция, то

/(*,) = /(*,_,)+£+(4-4-і).

где обладает сильным перемешиванием, а разность (At - At_x) всегда больше нуля и не обязательно обладает сильным перемешиванием.

Таким образом, первые разности преобразованных рядов не удовлетворяют обычным предположениям функциональной центральной предельной теоремы, поэтому асимптотические распределения статистик критериев Дики — Фуллера для преобразованных рядов перестают быть определенными.

В работе {Kramer, Davies, 2002) авторы, обращаясь к работе Грейнджера и Холлмана, выделяют ситуацию с экспоненциальным преобразованием случайного блуждания zr По результатам моделирования (Грейнджера и Холлмана), в этой ситуации DF-критерий, примененный не непосредственно к ряду z,, а к ряду yt = exp (z,), ошибочно отвергал нулевую гипотезу о наличии единичного корня более чем в 75\% случаев.

Пусть

z, =S + zt_x +єп   / = 1,2,..., Г,

где et ~ i.i.d. N(0, а2) и z0 = a2- constant.

Предметом анализа является поведение статистики Т(рТ - 1). Табличные (асимптотические) критические значения этой статистики при гипотезе Н0: р = 1 равны -13.8 (1\%), -8.1 (5\%), -5.7 (10\%).

Пусть значение Г фиксировано. В статье показано следующее:

Последняя вероятность зависит от Т и д. В работе приведены наблюдаемые значения вероятности отвержения нулевой гипотезы при использовании 5\%-го табличного критического значения, вычисленные моделированием.

если о2 —> 0, то рт —> 1 (по вероятности). Но тогда Т(рт - 1) —> 0, так что вероятность отвержения нулевой гипотезы стремится к нулю при любом уровне значимости, меньшем 1;

если с2 —> оо и критическое значение больше, чем -Г, то вероятность отвержения нулевой гипотезы в этом случае стремится к

Полученные результаты подтверждают тот факт, что вероятности отвержения нулевой гипотезы возрастают с увеличением дисперсии инноваций и объема выборки, что ведет к слишком частому отвержению нулевой гипотезы при использовании стандартных табличных критических значений. Эти вероятности оказываются меньшими 0.05 только при очень малых д и при малых объемах выборки.

Авторы рассмотрели также ситуацию, когда единичный корень имеет ряд в уровнях, а проверка производится для ряда логарифмов. Иначе говоря, на этот раз критерий применяется к ряду yt = ln(z,). Разумеется, такая проверка предполагает, что zt > 0 для всех t = 1, 2, Г, а это может наблюдаться, только если z0 > 0 достаточно велико и/или имеется значительный положительный снос. В такой ситуации рассматривается предельное поведение оценки:

Т

£ ln(0-ZM)ln(<7Z,)

Рт(°) = т         

5>V*,-i)

 

при сг2 —» 0 и а2 оо. Показано, что в обоих случаях рт(сг) —> 1, так что условная вероятность отвержения нулевой гипотезы DF-критерием (при условии отсутствия неотрицательных значений zt) стремится к нулю при применении DF-критерия к ряду логарифмов случайного блуждания. Иначе говоря, тест в логарифмах является чрезмерно консервативным.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Как определяется долговременная дисперсия временного ряда? Чему она равна в случае стационарного временного ряда?

Что представляет собой стандартное броуновское движение (винеровский процесс)?

В чем состоит функциональная предельная теорема?

В чем состоит теорема о непрерывном отображении?

Как используются функциональная предельная теорема и теорема о непрерывном отображении при выводе асимптотического распределения статистик для проверки гипотезы Я0: р = 1 в рамках статистической модели SM yt = pyt_x + ut-> /=1,...,77

Как влияют нелинейные преобразования исходного ряда на выполнение условий Филлипса?

Как выглядят автокорреляционные функции нелинейно преобразованных рядов?

Что можно сказать о памяти нелинейно преобразованного процесса?

К каким результатам приводит ошибочное применение критерия единичного корня не к ряду уровней, а к ряду логарифмов уровней?

10. К каким результатам приводит ошибочное применение критерия единичного корня не к ряду логарифмов уровней, а к ряду уровней?

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |