Имя материала: Эконометрика.Конспект лекций

Автор: Ангелина Витальевна Яковлева

2. множественное линейное уравнение регрессии в стандартизированном масштабе. решение квадратных систем линейных уравнений методом гаусса

Оценки неизвестных параметров уравнения регрессии определяются с помощью метода наименьших квадратов. Однако существует и другой способ оценивания этих коэффициентов в случае множественной линейной регрессии. Для этого строится уравнение множественной регрессии в стандартизированном (нормированном) масштабе. Это означает, что все переменные, участвующие в регрессионной модели, стандартизируются с помощью специальных формул.

Процесс стандартизации позволяет установить точкой отсчета для каждой нормированной переменной ее среднее значение по выборке. При этом единицей измерения стандартизированной переменной становится ее среднеквадратическое отклонение.

Формула для перевода независимой переменной x в стандартизированный масштаб:

Подпись:
где i=1,n, j=1,k; G(xi) — среднеквадратическое отклонение независимой пере менной.

Формула для перевода зависимой переменной y в стандартизированный масштаб:

 

В случае линейной зависимости между изучаемыми переменными процесс стандартизации не нарушает этой связи, поэтому справедливо следующее равенство:

 

Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты данной функции, можно использовать классический метод наименьших квадратов для множественной регрессии, т. е. необходимо минимизировать функционал вида:

F =

t (У) — ї>; XS(xi)

•mm.

При этом в качестве переменных в системе нормальных уравнений будут выступать парные коэффициенты корреляции. Такой подход основывается на следующем равенстве:

 

Ъ (xij)х t (xkj )= >

J=1

Таким образом, система нормальных уравнений для стандартизированной модели множественной регрессии имеет вид:

 

Д і + r (xix2 )Л + - ■ + r (xixn Ж = r (xiy ),

. Г (X2Хі )Д1 + Д2 + " ■ + Г (X2Xn )Дп = Г (X2У ), Г (xnX1 )в і + Г (xnX 2 )в2 +--- + fin = Г (xny )

Данная система нормальных уравнений является квадратной, т. е. количество уравнений равняется количеству неизвестных переменных, поэтому оценки коэффициентов Д), Рп можно найти с помощью метода Крамера, метода Гаусса или метода обратных матриц.

После того как параметры уравнения множественной регрессии в стандартизированном масштабе определены, необходимо перевести их в масштаб исходных данных:

в =Д xG(y)•

 

= y ~ІД хxi.

i=1

Основная идея решения квадратной системы линейных уравнений методом Гаусса заключается в том, что исходную квадратную систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными необходимо преобразовать к треугольному виду. С этой целью в одном из уравнений системы оставляют все неизвестные переменные. В другом уравнении сокращают одну из неизвестных переменных для того, чтобы число неизвестных стало (n — 1).

В следующем уравнении сокращают две неизвестные переменные, чтобы число переменных стало (n — 2). В конце данного процесса система примет треугольный вид, первое уравнение которой содержит все неизвестные, а последнее — только одну. В последнем уравнении системы остается (n — (n — і)) неизвестных переменных, т. е. одна неизвестная переменная, которая называется базисной. Дальнейшее решение сводится к выражению свободных (n — 1) неизвестных переменных через базисную переменную и получению общего решения квадратной системы линейных уравнений.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 |