Имя материала: Эконометрика.Конспект лекций

Автор: Ангелина Витальевна Яковлева

1. нелинейные по параметрам регрессионные модели

К нелинейным моделям относятся регрессионные модели, в которых результативная переменная нелинейно связана с параметрами уравненияв0, в„- К такому типу регрессионных моделей относятся:

степенная функция y = в0 х Х1 хєІ;

показательная функция (простая экспоненциальная)

Уі = во xff хЄі;

логарифмическая парабола

У = во хв х0$ хєє;

экспоненциальная функция

У = e во+в1 x хє,;

обратная функция

=          1 ;

У = во + в Ъ + Є Є

кривая Гомперца

Уі = k хвв;

логистическая функция (кривая Перла—Рида)

k

y=        -ex—•

1 + в1е во Х + є

Показательная, логарифмическая и экспоненциальная функции называются кривыми насыщения, потому что дальнейший прирост результативной переменной зависит от уже достигнутого уровня функции. Они используются для описания процессов, имеющие предел роста в изучаемом периоде, например в демографии.

Кривая Гомперца и кривая Перла—Рида относятся к так называемым S-образным кривым. Это кривые насыщения, которые имеют точку перегиба. Эти кривые описывают два последовательных процесса — один с ускорением развития, другой с замедлением достигнутого развития. Этот тип кривых применяется в демографии, в страховании, при решении задач о спросе на новый товар.

Нелинейные по параметрам регрессионные модели, в свою очередь, делятся на модели, подлежащие линеаризации, и модели, которые невозможно свести к линейным.

Для примера моделей, которых можно свести к линейной форме, рассмотрим показательную функцию вида:

У і = во *в хє.,

где случайная ошибка et мультипликативно связана с факторным признаком x.. Эта модель является нелинейной по параметру в. Для ее линеаризации применим вначале процесс логарифмирования:

log y . = log во + xt X log ві + log є..

После логарифмирования воспользуемся методом замен. Пусть log y/ = Y; log в0 = A; log в1 = В; log et = E.

Преобразованный вид показательной функции можно записать следующим образом:

Y = A + Bxt + Ei.

Показательная функция является внутренне линейной, и оценки ее параметров могут быть найдены с помощью классического метода наименьших квадратов.

Однако если взять показательную функцию, включающую случайную ошибку et аддитивно, т. е.

 

то данную модель уже невозможно привести к линейному виду процессом логарифмирования. Она является внутренне нелинейной.

Таким же образом можно рассмотреть и степенную функцию, которая является очень популярной в эконометрических исследованиях. Степенными функциями являются кривые Энгеля, кривые спроса и предложения, производственные функции (ПФ). Пусть задана степенная функция вида:

y і =во х хв X£i.

П

Заменим следующие показатели в полученном уравнении:

ln yі = Y; ln во = A; ln xt = X; ln єt = E. Тогда преобразованный вид степенной функции можно записать как:

Y = A + вХ +Е..

Степенная функция также является внутренне линейной, и ее оценки можно найти с помощью классического метода наименьших квадратов. Но если взять ее в виде уравнения

У і =во хxfl хє,

где случайная ошибка аддитивно связана с факторной переменной, то модель становится внутренне нелинейной.

К оценке параметров регрессионных моделей, которые нельзя свести к линейным, применяются итеративные процедуры оценивания. Это могут быть квазиньютоновский метод, симплекс-метод, метод Хука—Дживса, метод Розенброка и др.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 |