Имя материала: Эконометрика.Конспект лекций

Автор: Ангелина Витальевна Яковлева

Лекция № 21. представление тренда в аналитическом виде. проверка адекватности трендовой модели

 

Основным способом представления тренда в аналитическом виде, используемом в эконометрике, является метод аналитического выравнивания с помощью функций времени или кривых роста. Суть данного метода заключается в аппроксимации временного ряда, определенной формой регрессионной зависимости. При аналитическом выравнивании динамического ряда наиболее проблематичным является вопрос о выборе функции тренда.

Выбор выравнивающей кривой может осуществляться на основании заранее заданных критериев. Например, хорошей оценкой качества подобранной формы тренда является множественный коэффициент детерминации. Помимо этого, можно рассчитать сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений временного ряда от теоретических значений, рассчитанных с помощью функции тренда.

Если временной ряд содержит равностоящие друг от друга уровни, то одним из методов, позволяющих подобрать подходящую форму кривой, является метод конечных разностей. Конечной разностью первого порядка (или разностным оператором первого порядка) называется разность между соседними уровнями динамического ряда:

V, — у,* — у,, (t — 2~П) .

Разностным оператором (конечной разностью) второго порядка является разность между соседними разностными операторами первого порядка:

v2— VT—v; = у,+1 — у,—у,+у,—.— у,+1 — 2 у,+у,+1, (,—) .

В общем случае разностный оператор i-го порядка может быть рассчитан как разность между соседними разностными операторами (і — 1)-го порядка:

V1 —V— — Vt—1, (t — T+n~n) . 154

Если разностные операторы первого порядка постоянны и равны между собой V12 = Vj3 = , = Vjn , а разностные операторы второго порядка равны нулю

V3 =V4 = ... = Vn = 0,

то тренд изучаемого динамического ряда можно аппроксимировать линейной зависимостью вида: y = a + fixt + є.

Если разностные операторы второго порядка постоянны и равны между собой V23 = V24 = , = V2n , а разностные операторы третьего порядка равны нулю V34 = V35 = ... = V3n = 0, то тренд изучаемого динамического ряда можно аппроксимиро-ватьпараболической зависимостью второго порядка вида

 

y = a + fit + fi2t2.

 

Порядок разностных операторов, являющихся постоянными для изучаемой временной зависимости, определяет степень уравнения тренда:

y = ^fii xt.

 

Коэффициенты уравнения тренда определяются традиционным методом наименьших квадратов. Если временной ряд содержит линейную тенденцию, то коэффициенты уравнения тренда можно найти также с помощью метода моментов. При этом в уравнение вводится новая переменная времени T, которая началом координат имеет середину динамического ряда. Таким образом, ее сумма по всем элементам равняется нулю.

Для динамического ряда с нечетным количеством уровней переменная T = 0 соответствует середине данного ряда. Выше нулевого уровня проставляются числа — 1, —2, —3, а ниже данного уровня — числа +1, +2, +3, т. д.

Для динамического ряда с четным количеством уровней числа — 1, —2, —3 и далее проставляются до середины ряда, а числа +1, +2, +3 ставятся после середины ряда.

Линейное уравнение регрессии с учетом новой переменной принимает вид:

Для нахождения оценок неизвестных коэффициентов данного уравнения составим систему нормальных уравнений:

n

а x n = 2 y,,

nn

в2т2=2 y. xt, .

,=1 ,=1

Решением системы нормальных уравнений будут являться оценки коэффициентов уравнения тренда:

nn

2 y. 2 y. хт n 2т2

=1

 

Проверка адекватности трендовой модели

Модель адекватна описываемому процессу, если значения случайной остаточной компоненты et являются случайными центрированными некоррелированными нормально распределенными величинами. Проверка адекватности модели сводится к проверке указанных свойств ряда остатков.

Проверка случайности остатков модели может осуществляться с помощью критериев исследования ряда на предмет наличия в нем тренда (вместо исходных уровней ряда y1, y2, yt используются элементы остаточного ряда e1, e2, et). Проверка случайности может осуществляться с помощью критерия поворотных точек.

При использовании критерия поворотных точек сравнивают остаток модели et с двумя соседними элементами ряда. Если он окажется меньше или больше их, то данная точка является поворотной. В конце сравнений подсчитывается количество m всех поворотных точек. Ряд остатков модели считается случайным, если выполняется условие:

m >

 

3-2

2 (N - 2)

' '16N -29Х

90

где N — объем выборочной совокупности.

Проверка центрированности остатков ряда осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. Наблюдаемое значение t-критерия определяется по формуле:

1набл

G (e)'

 

где

jet —среднее арифметическое значение остаточного

.1=1— ряда N

G (e ) —^

 

1=1                  — среднеквадратическое отклонение ос-

N - 1    таточного ряда. Критическое значение t-критерия определяется для уровня значимости а/2 и числа степеней свободы (N — 1) по таблице распределения Стьюдента: tKpum(a/2; N — 1).

Если tHa6n > tKpum, то гипотеза о центрированности ряда остатков отвергается с вероятностью ошибки а. Если tm6n < tKpum, то ряд остатков признается центрированным с вероятностью ошибки (1 —

а).

Проверка независимости остатков модели проводится для того, чтобы выявить возможную систематическую составляющую в составе остаточного ряда. Если модель подобрана неудачно, то остатки будут подвержены автокорреляционной зависимости.

Для проверки независимости остатков используется критерий Дарбина-Уотсона, связанный с гипотезой о наличии в ряду остатков автокорреляции первого порядка, т. е. о корреляционной зависимости соседних остатков.

Проверка ряда остатков на нормальность осуществляется с помощью показателей асимметрии и эксцесса (если объем выборочной совокупности не превышает пятидесяти значений). При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса равны нулю.

На основании выборочных данных строятся эмпирические коэффициенты асимметрии и эксцесса по формулам:

1 ye: -jet

ka —і  , кЭ —-           -r —

Если вычисленные коэффициенты близки к нулю, то имеются основания считать ряд остатков нормально распределенным.

В дополнение к выборочным коэффициентам асимметрии и эксцесса определяют среднеквадратические отклонения коэффициентов:

Подпись:
Если одновременно выполняются следующие неравенства:

KA\<1,5G (A ), КЭ <1,5G (Э ),

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты принимается. Если хотя бы одно из указанных неравенств нарушается, то гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается.

Помимо адекватности выбранной модели, необходимо охарактеризовать ее точность. Наиболее простым критерием точности модели является относительная ошибка:

1

со   = —

отн if

N

х100\%.

Если относительная ошибка составляет менее 13\%, то точность подобранной модели признается удовлетворительной.

Существует несколько методов моделирования сезонных и циклических колебаний.

К ним относятся:

расчет сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда,

применение сезонных фиктивных переменных,

анализ сезонности с помощью автокорреляционной функции,

использование рядов Фурье.

Рассмотрим первый из указанных подходов на примере моделирования сезонных колебаний, так как циклические колебания моделируются аналогично.

Если амплитуда сезонных колебаний не меняется во времени, то применяют аддитивную модель временного ряда:

у, — T, +S, + є,,

где T — это трендовая компонента, S — сезонная компонента, є — случайный шум.

Если амплитуда сезонных колебаний со временем изменяется, то применяется мультипликативная модель временного ряда:

у, —T, хS, +є,.

Рассмотрим временной ряд Xi ;, где і — это номер сезона (периода времени внутри года,

например месяц или квартал), і — 1, L (L — число сезонов в году),

j — номер года, j — 1, m   (m — общее количество лет).

Количество уровней исходного ряда равно Lm = n.

При построении модели временного ряда сезонная компонента рассчитывается первой, а затем определяется трендовая составляющая.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 |