Имя материала: Эконометрика.Конспект лекций

Автор: Ангелина Витальевна Яковлева

2. одномерный анализ фурье

Использование рядов Фурье является одной из разновидностей спектрального анализа. Спектральный анализ временных рядов имеет весьма большое практическое значение, так как при моделировании и прогнозировании динамических рядов изучается вопрос о наличии и периоде сезонной компоненты в ряду. С помощью спектрального анализа можно определить в структуре временного ряда пик отклонений от тренда, что и позволит рассчитать длительность периодической компоненты ряда.

Суть спектрального анализа в том, что случайный стационарный процесс может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний различных частот, которые называются гармониками. Функция, описывающая распределение амплитуд этого процесса по различным частотам, называется спектром.

Сезонную составляющую можно представить в виде модели разложения в ряд Фурье, где сезонные колебания представляют собой сумму нескольких синусоидальных и косинусоидальных гармоник с различными периодами:

 

У, =2 (ukcos a)kt + vksin Mk() ,

где uk, vk — некоррелированные случайные величины

с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями, т. е.

D (щ )= D (vk ) = Dk;

<±>k — длина волны функции синуса или косинуса, выражаемая числом циклов (периодов) в единицу времени, т. е. частота. Цель спектрального анализа временных рядов — оценивание спектра ряда. Спектр временного ряда — разложение дисперсии ряда по частотам для определения значимых гармонических составляющих. Значение спектра рассчитывается:

m

ЛоСо + 22xCk cos, k=1

Подпись: где wj — частоты, для которых оцениваются спектры: Wj автокорреляционная функция, значения

m

2

которой определяются так:

'п-к

1

п — к

 

 

п — к

 

2 z>+2 z>

Лх — специально подобранные веса значений ковариационной функции, зависящие от частоты m, которые называются корреляционным окном.

Корреляционные окна — преобразования взвешенного скользящего среднего с шириной окна m.

Дисперсия ряда Фурье будет определяться по формуле:

D (y, )= D

2 (ик cos wkt + ик sin wkt)

 

 

к=0 к=0

Дисперсия ряда Фурье равна сумме всех гармоник ее спектрального разложения. Можно сделать вывод, что дисперсия D(yt) распределена по различным частотам. Графически данное распределение можно изобразить с помощью периодограммы. Значения периодограммы обычно строятся в зависимости от частот или периодов. Период — величина, обратная частоте. Сущность анализа периодограммы сводится к тому, что необходимо найти частоты или периоды с большими спектральными плотностями, которые вносят наибольший вклад в периодические колебания

можно представить как модель множественной линейной регрессии, где зависимой переменной является временной ряд, а независимыми переменными — функции синусов всех возможных частот. Коэффициенты uk при косинусах и vk при синусах — это коэффициенты регрессии, которые показывают степень, с которой соответствующие функции коррелируют с данными. Если найденная корреляция (коэффициент при определенном синусе или косинусе) велика, то на соответствующей частоте в данных существует строгая периодичность.

Перед применением спектрального анализа временной ряд необходимо привести к стационарному виду.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 |