Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

2.3. некоторые распределения случайных величин

Рассмотрим наиболее часто используемые в эконометрике распределения случайных величин.

Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения О, 1, 2,..., aw,..., п с вероятностями

р(х = т) = C™pmqn-m, (2.15)

где      0 < р < 1, q = I — р, m = 0, 1,..., п.

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х = т наступлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.

Формула (2.15) называется формулой Бернулли.

Числовые характеристики: М(Х) = пр, D(X) = npq.

В частности, для частости события W = — в п независимых

п

испытаниях (где X = т имеет биномиальный закон распределения с параметром р) числовые характеристики:

M(W) = р, D(W) =

п

Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0,1, 2,..., т,... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

/           ч Хте~х

р(Х = т) =       -, (2.16)

ml

где т = 0, 1, 2,... .

Числовые характеристики: М(Х) = X, D(X) = X.

(2.17)

(b- af

3. Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [а, Ь, если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

—— при а<х<Ъ

при

х < а, х > Ь. а + Ь

D(X)

ф(*) =

Числовые характеристики: М(Х)

2   '     4  ' 12 4. Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром X, если ее плотность вероятности имеет вид:

(2.18)

ф(*) = '

ГА.е_Ъг при х > 0;

0     при х < 0.

Числовые характеристики: М(Х)- —, D(X) = ^-.

Х> Х-

1

5. Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и а2, если ее плотность вероятности имеет вид :

(x-af гє     2су2 .

(2.19)

ал/2я

Кривую   нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (рис. 2.4). Числовые характеристики:

М(Х) = а, D(X)=o2.

При изменении только парамет-

а-о а а+о х

ра а нормальная кривая перемеща-

Рис- 2.4         ется вдоль оси Ох, при изменении

только параметра а2 меняется форма нормальной кривой.

Нормальный закон распределения с параметрами а = 0, а2 = 1, т.е. N(0;l)9 называется стандартным или нормированным.

Функция распределения случайной величины X, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле: ^ , ч    1    1 Jx-аЛ

Fn(x) = - + -&                         , (2.20)

2   2     а )

2 х

где Ф(х)= —т=*е 2dt — функция (интеграл вероятностей) Лап-л/2я J0

ласа, равная площади под стандартной нормальной кривой 7V(0;1) на отрезке [—х9 х].

Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону:

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал [х, xj], равна

р(хх < X < х2) = ± [Ф(*2) - o(tx)], (2.21)

х - а х2-а

где tx =           , t2 =    .

а а

Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину А > 0 (по абсолютной величине), равна

р(Х-а\< Л)=Ф(0, (2.22)

А

где t = — . а

Из второго свойства вытекает, в частности, правило трех сигм:

Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и а2, т.е. 7У(а;а2), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а - За, а + За).

Непрерывная случайная величина X имеет логарифмически нормальное (сокращенно — логнормальное распределение), если ее логарифм подчинен нормальному закону.

Распределением у} (хи-квадрат) с к степенями свободы называется распределение суммы квадратов к независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону, т.е.

Х2=І^,2, (2.23)

1 = 1

где Zt (і = 1, 2,..., к) имеет нормальное распределение N(0;1).

При к> 30 распределение случайной величины Z— ^2\%2 -yJ2k- близко к стандартному нормальному закону, т.е. N(0;1).

Распределением Стьюдента (или t-распределением) называется распределение случайной величины

(2.24,

lit*

где Z — случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, т.е. N(0;l); у} — не зависимая от Zслучайная величина, имеющая х2-распределение с к степенями свободы.

При &-^+оо /-распределение приближается к нормальному. Практически уже при к>30 можно считать /-распределение приближенно нормальным.

Распределением Фишера—Снедекора (или F-распределением) называется распределение случайной величины

 

F = ^   , (2.25)

к2

где \%2(к1) и х2{к2) — случайные величины, имеющие х2-рас-пределение соответственно с к и к2 степенями свободы.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |