Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

2.8. проверка (тестирование) статистических гипотез

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметре неизвестного закона распределения.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой и обозначают Щ. Наряду с нулевой гипотезой Hq рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу #1, являющуюся логическим отрицанием #о- Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.

Суть проверки (тестирования) статистической гипотезы заключается в том, что используется специально составленная выборочная характеристика (статистика)   0„ (х,

*2,..., хп)> полученная по выборке Х, Х2,..., ХП9 точное или приближенное распределение которой известно. Затем по этому выборочному распределению определяется критическое значение

6кр — такое, что если гипотеза Я0 верна, то вероятность Д Qn > 0кр) мала; так что в соответствии с принципом практической уверенности в условиях данного исследования событие Qn > 0кр

можно (с некоторым риском) считать практически невозможным. Поэтому, если в данном конкретном случае обнаруживается отклонение 0„ > 0кр, то гипотеза Щ отвергается, в то время

как появление значения Qn < 0кр считается совместимым с гипотезой #о, которая тогда принимается (точнее, не отвергается). Правило, по которому гипотеза Щ отвергается или принимается, называется статистическим критерием или статистическим тестом.

Таким образом, множество возможных значений статистики критерия (критической статистики) Qn разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область (область отклонения гипотезы) W и область допустимых значений (область

принятия гипотезы) W. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия Qn попадает в критическую область W, то гипотезу #о отвергают. При этом возможны четыре случая:

 

Гипотеза Но

Принимается

Отвергается

Верна

Правильное решение

Ошибка 1 -го рода

Неверна

Ошибка 2-го рода

Правильное решение

Вероятность а допустить ошибку 1-го рода, т. е. отвергнуть гипотезу Щ, когда она верна, называется уровнем значимости критерия.

Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т. е. принять гипотезу #0, когда она неверна, обычно обозначают р.

Вероятность (1 — р) не допустить ошибку 2-го рода, т. е. отвергнуть гипотезу Щ, когда она неверна, называется мощностью (или функцией мощности) критерия.

Вероятности ошибок 1-го и 2-го рода (а и р) однозначно определяются выбором критической области. Очевидно, желательно сделать как угодно малыми аир. Однако это противоречивые требования: при фиксированном объеме выборки можно сделать как угодно малой лишь одну из величин — а или р, что сопряжено с неизбежным увеличением другой. Лишь при увеличении объема выборки возможно одновременное уменьшение вероятностей аир.

Критическую область W следует выбирать так, чтобы вероятность попадания в нее статистики критерия 0„ была минимальной и равной а, если верна нулевая гипотеза Щ, и максимальной в противоположном случае:

Подпись:

(2-44)

Другими словами, критическая область должна быть такой, чтобы при заданном уровне значимости мощность критерия 1 — р была максимальной. Задача построения такой критической области (или, как говорят, построения наиболее мощного критерия) для простых гипотез решается с помощью теоремы Неймана—Пирсона, излагаемой в более полных курсах математической статистики.

В зависимости от вида конкурирующей гипотезы Н выбирают правостороннюю, левостороннюю или двустороннюю критическую область. Границы критической области при заданном уровне значимости а определяются соответственно из соотношений:

•   для правосторонней критической области

ДЄ„>Єкр) = а; для левосторонней критической области

Дел<Єкр) = а; для двусторонней критической области

(2.45)

 

(2.46)

ДЄ„<Єкр1) = Р(Єл>Єкр.2)= |.

(2.47)

 

Следует отметить, что в компьютерных эконометрических пакетах обычно не находятся границы критической области 0кр, необходимые для сравнения их с фактически наблюдаемыми

значениями выборочных характеристик 0набл и принятия решения о справедливости гипотезы Щ. А рассчитываются точные значения уровня значимости (p-valio), исходя из соотношения

Р(вп > 0набл)- Р • Если вероятность р очень мала, то гипотезу #о принимают (точнее, не отвергают).

Принцип проверки (тестирования) статистической гипотезы не дает логического доказательства ее верности или неверности. Принятие гипотезы Щ следует расценивать не как раз и навсегда установленный, абсолютно верный содержащийся в ней факт, а лишь как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.

Упражнения

Необходимо: а) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое (стандартное) отклонение а случайной величины X; б) определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |