Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

3.2. линейная парная регрессия

Рассмотрим в качестве примера зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего Y(t) и мощностью пласта Дм) по следующим (условным) данным, характеризующим процесс добычи угля в п = 10 шахтах.

Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости (рис. 3.1). Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции.

S = £(&-Уі)2 = Z(*o        -Л)' -> min . (3.4)

Следует отметить, что для оценки параметров и Ь возможны и другие подходы. Так, например, согласно методу наименьших модулей следует минимизировать сумму абсолютных

п

величин отклонений   21-й ".У/1*  Однако метод наименьших

/=і

квадратов существенно проще при проведении вычислительной

процедуры и дает, как мы увидим далее, хорошие по статистическим свойствам оценки. Этим и объясняется его широкое применение в статистическом анализе.

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных S=S(bo, b) (3.4) приравниваем к нулю ее частные производные, т. е.

^ = 22(АЬ+М/-Л) = 0;

^ = 2]Г(бо + bxxt-Уі)хі=09 ,obx ых

откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

/=і

(3.5)

 

, /=і    /=і /=і

Теперь, разделив обе части уравнений (3.5) на я, получим систему нормальных уравнений в виде:

(3.6)

(b0+bxx = y;

[b0x + Ьгх2 = ху, где соответствующие средние определяются по формулам:

i=j       

(3.7)

ху

(3.9)

 

2>?

Подпись: (3.10) (3.11)

(3.8)

xі = -^L

 

Подставляя значение

Ь0 = у-Ъхх

из первого уравнения системы (3.6) в уравнение регрессии (3.3), получим

у = y-bxx + bxx,

или

у - у - Ъх (х - jc).        (3.12)

х = 94/10 = 9,4 (м); у = 68/10=6,8 (т); s2x = 908/10- 9,42= 2,44; Cdv(X, Y) = 664/10 - 9,4 • 6,8 = 2,48; Ьх =2,48/2,44= 1,016. Итак, уравнение регрессии Y по X:

j>-6,8 = 1,016(jc-9,4) или j> = 2,75 +1,06х.

Из полученного уравнения регрессии (см. рис. 3.1) следует, что при увеличении мощности пласта X на 1 м добыча угля на одного рабочего Y увеличивается в среднем на 1,016 т (в усл. ед.) (отметим, что свободный член в данном уравнении регрессии не имеет реального смысла). ►

Замечание. Значения переменных xt и у-г могут быть измерены в отклонениях от средних значений, т. е. как х = Xj - х, у - у і - у . Начало координат при этом переместится в точку (Зс, у), а линией регрессии будет та же прямая на плоскости, что и для исходных данных х/, yt. Следовательно, х = 0, у' = 0, и уравнение регрессии (3.12) в отклонениях примет вид

Л Г if

У =о]х ,

а формула (3.13) того же коэффициента регрессии Ь упростится:

ху

1*У

/=1

П

 

(3.16)

 

ибо

х'у' =

Zx'y'i

In,

'2 _

(п

2>'2

i=] J

In.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |