Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

3.3. коэффициент корреляции

Перейдем к оценке тесноты корреляционной зависимости. Рассмотрим наиболее важный для практики и теории случай линейной зависимости вида (3.12).

На первый взгляд, подходящим измерителем тесноты связи У от ^является коэффициент регрессии />і,ибо, как уже было отмечено, он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется Y9 когда X увеличивается на одну единицу. Однако Ь зависит от единиц измерения переменных. Например, в полученной ранее зависимости он увеличится в 100 раз, если мощность пласта X выразить не в метрах, а в сантиметрах.

Очевидно, что для «исправления» Ь как показателя тесноты связи нужная такая стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Статистика знает такую систему единиц. Эта система использует в качестве единицы измерения переменной ее среднее квадратическое отклонение s.

Представим уравнение (3.12) в эквивалентном виде:

у-

У і sx — = b{ —

х-х

 

В этой системе величина

 

(3.17)

 

показывает, на сколько величин sy изменится в среднем Y, когда X увеличится на одно sx.

Величина г является показателем тесноты связи и называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции).

Две корреляционные зависимости переменной Y от X приведены на рис. 3.2. Очевидно, что в случае а зависимость между переменными менее тесная и коэффициент корреляции должен быть меньше, чем в случае б, так как точки корреляционного поля а дальше отстоят от линии регрессии, чем точки поля б.

х

X

 

 

Рис. 3.2

Если г > О (Ь > О), то корреляционная связь между переменными называется прямой, если г < О (Ь < 0), — обратной. При прямой (обратной) связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению (уменьшению) условной (групповой) средней другой.

Учитывая (3.13), формулу для г представим в виде:

 

г=х~у-ху ^С6у(Х,У) (ЗЛ8)

SxSy sxsy

 

Отметим другие модификации формулы г, полученные из формулы (3.18) с помощью формул (3.7)—(3.10), (3.13)—(3.15):

 

(3.19)

nsxsy

( п      у п

пТхіУі-       Ну і

/=і        v=i   Дм J

(n V n    (n У

 

(3.20)

 

 

Для практических расчетов наиболее удобна формула (3.20), так как по ней г находится непосредственно из данных наблюдений и на значении г не скажутся округления данных, связанные с расчетом средних и отклонений от них.

Выборочный коэффициент корреляции г (при достаточно большом объеме выборки п) так же, как и коэффициент корреляции двух случайных величин (§ 2.5), обладает следующими свойствами.

Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке

т. е. -1<г<1. Чем ближе I г к единице, тем теснее связь.

При г = ±1 корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом все наблюдаемые значения располагаются на прямой линии (рис. 3.3).

При г = 0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом линия регрессии параллельна оси Ох (рис. 3.4).

 

r= 1

r=-

 

X

0

а б Рис. 3.3

Следует отметить, что мы ввели    выборочный коэффициент

•           корреляции г исходя из оценки 0 г - *   у = у     близости точек корреляционного

*           •           поля к прямой регрессии Y по X.

.    '     х   Однако г является непосредствен-

0          х          но оценкой генерального коэф-

рис 34            фициента корреляции р между Xи

Y лишь в случае двумерного нормального закона распределения случайных величин X и Y В других случаях (когда распределения Хи У отклоняются от нормального, одна из исследуемых величин, например X, не является случайной и т.п.) выборочный коэффициент корреляции не следует рассматривать как строгую меру взаимосвязи переменных.

 

► Пример 3.2.

По данным табл. 3.1 вычислить коэффициент корреляции между переменными Хи Y.

10

Решение. В примере 3.1 были вычислены ]Г */ = 94;

10

10

10

YjX} =908 ;       =68, ^х{у( =664. Вычислим сумму

i=i

/=і

і=і

 

5>/2 =52 +102 + 102 +72 +52 +62 + 62 +52 + 62 +82 =496.

 

По формуле (3.20)

 

т. е. связь между переменными достаточно тесная. ►

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |