Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

4.5. определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии

Перейдем теперь к оценке значимости коэффициентов регрессии bj и построению доверительного интервала для параметров регрессионной модели Ру (/=1,2,..., р).

В силу (4.14), (4.16) и изложенного выше оценка si дисперсии а£ коэффициента регрессии bj определится по формуле:

si =s"[{X'x)-,

где s2 — несмещенная оценка параметра а2;

[{X'x)~x]jj — диагональный элемент матрицы (х'Х)~~1.

Среднее квадратическое отклонение (стандартная ошибка) коэффициента регрессии bj примет вид:

sbj =8^[(х'ху]м. (4.22)

Значимость коэффициента регрессии bj мбжно проверить, если учесть, что статистика (bj -$j)/sb имеет /-распределение Стьюдента с к = п —р — 1 степенями свободы. Поэтому bj значимо отличается от нуля (иначе — гипотеза Щ о равенстве параметра Р7 нулю, т. е. Я0: Р7 = 0 , отвергается) на уровне значимости а ,

I I    гл

если  = j—->ti-a;n-p-i,   где  /і_а;л-р-і   — табличное значение

sbj

/-критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости а при числе степеней свободы к = п — р — 1.

В общей постановке гипотеза Щ о равенстве параметра ру

заданному числу р -0, т. е. Н0: Р7 = Ру0, отвергается, если

Н = ^^>^а;^-1. (4.23)

 

Поэтому доверительный интервал для параметра Ру есть

 

bj ~ h_a,n_p_xSbj < Ру- < bj + *і-а;я-р-1^у • (4.23')

Наряду с интервальным оцениванием коэффициентов регрессии по (4.23') весьма важным для оценки точности определения зависимой переменной (прогноза) является построение доверительного интервала для функции регрессии или для условного математического ожидания зависимой переменной М^У), найденного в предположении, что объясняющие переменные Х, Хі,..., Хр приняли значения, задаваемые вектором Х'0 =(l х{0 х2о ... хр0).

Выше такой интервал получен для уравнения парной регрессии (см. (3.34) и (3.33)). Обобщая соответствующие выражения на случай множественной регрессии, можно получить доверительный интервал для MX(Y):

У ~tx-atSy £<у + tx.a,ksy , (4.24)

где у — групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии,

sy = яЛ

^Х'0{Х'ХУ1Х0 (4.25) — ее стандартная ошибка.

При обобщении формул (3.36) и (3.35) аналогичный доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной yl примет вид:

 

УО ~ *-а;п-р-Зу0 ^ Уо ^ Уо + *1-а; n-p-Sy0 , (4.26)

где

s9o = s^l + X90(XXylX0 • (4.27)

Доверительный интервал для параметра а2 в множественной регрессии строится аналогично парной модели по формуле (3.39) с соответствующим изменением числа степеней свободы

критерия X2.'

ns2

<о><^ . (4.28)

^a/2;л-p-l Лі-а/2;л-р-1

 

► Пример 4.3. По данным примера 4.1 оценить сменную добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6\%; найти 95\%-ные доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на 1 рабочего для таких же шахт. Проверить значимость коэффициентов регрессии и построить для них 95\%-ные доверительные интервалы. Найти интервальную оценку для дисперсии а2.

Решение. В примере 4.1 уравнение регрессии получено в виде у = -3,54 + 0,854jq + 0,367х2.

По условию надо оценить MX(Y), где Х'0 =(186). Выборочной оценкой MX(Y) является групповая средняя, которую найдем по уравнению регрессии:

у = -3,54 + 0,854 • 8 +0,367 • 6 = 5,49(т).

Для построения доверительного интервала для Мх( Y) необходимо знать дисперсию его оценки — sj. Для ее вычисления обратимся к табл. 4.2 (точнее к ее двум последним столбцам, при составлении которых учтено, что групповые средние определяются по полученному уравнению регрессии).

Теперь по (4.21): s2

6'329  =0,904 и s = J0,904= 0,951 (т). 10-2-1 ^

Определяем стандартную ошибку групповой средней у по формуле (4.25). Вначале найдем

Подпись: ■522 -108 244

ХЬ(Х'Х)-]Х0=(1 8 6)-^

3738

 

ґ і Л

= —^—(2223  -249 78) 3738

15027 -1209 -522

 

1

" 3738

1209 201 -108

 

(б99) = 0,1870.

 

Теперь s9 = 0,95 Ід/0,1870 = 0,411 (т).

По табл. II приложений при числе степеней свободы к = 10— —2—1=7 находим /о,95;7=2,36. По (4.24) доверительный интервал для М^У) равен

5,49—2,36 • 0,411 < М^У) < 5,49 +2,36-0,411,

или

4,52 < MX(Y) < 6,46 (т).

Итак, с надежностью 0,95 средняя сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6\% находится в пределах от 4,52 до 6,46 т.

Сравнивая новый доверительный интервал для функции регрессии MX(Y), полученный с учетом двух объясняющих переменных, с аналогичным интервалом с учетом одной объясняющей переменной (см. пример 3.3), можно заметить уменьшение его величины. Это связано о тем, что включение в модель новой объясняющей переменной позволяет несколько повысить точность модели за счет увеличения взаимосвязи зависимой и объясняющей переменных (см. ниже).

Найдем доверительный интервал для индивидуального значения yl при Х'0=( 8 б):

по (4.27):       sh = 0,95 Ц/і + 0,1870 = 1,036 (т)

и по (4.26):   5,49-2,36 • 1,036 <у*0 < 5,49+2,36 • 1,036,

т. е.     3,05 < у*й < 7,93 (т).

Итак, с надежностью 0,95 индивидуальное значение сменной добычи угля в шахтах с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6\% находится в пределах от 3,05 до 7,93 (т).

Проверим значимость коэффициентов регрессии Ь и Ьі- В примере 4.1 получены Ь= 0,854 и 1>2=Q9367. Стандартная ошибка sb в соответствии с (4.22) равна

sbl =0,951 J—і—201 =0,221. V 3738

Так как t = ~~ = 3,81 > /0,95;7 = 2,36 , то коэффициент Ь значим.

 

Аналогично вычисляем Su = 0,951 J—— -244 = 0,243 и t = в>367 =

b2        1(3738 0,243

= 1,51</0,95;7 =2,36, т.е. коэффициент bi незначим на 5\%-ном

уровне.

Доверительный интервал имеет смысл построить только для значимого коэффициента регрессии Ь\ по (4.23'): 0,854 - 2,36 • 0,221 < р, < 0,854+2,36 • 0,221, или 0,332 < р, < 1,376.

Итак, с надежностью 0,95 за счет изменения на 1 м мощности пласта Х (при неизменном Xfi сменная добыча угля на одного рабочего Убудет изменяться в пределах от 0,332 до 1,376 (т).

Найдем 95\%-ный доверительный интервал для параметра о2. Учитывая, что а= 1—0,95 = 0,05, найдем по таблице III приложений п — р— 1 = лг — 2 — 1 = /? — 3 степенях свободы

Ха/2;л-р-1 =5Со,025;7 =16,01; \%-а/2;п-р- - 5Со,975;7 = 1*69 .

тт л.    ,^оч Ю-0,904^ ,10-0,904

По формуле (4.28) ■          < а2 < ,

16,01 1,69

или     0,565 < а2 < 5,349 и 0,751 < а < 2,313.

Таким образом, с надежностью 0,95 дисперсия возмущений заключена в пределах от 0,565 до 5,349, а их стандартное отклонение — от 0,751 до 2,313 (т). ►

Формально переменные, имеющие незначимые коэффициенты регрессии, могут быть исключены из рассмотрения. В экономических исследованиях исключению переменных из регрессии должен предшествовать тщательный качественный анализ. Поэтому может оказаться целесообразным все же оставить в регрессионной модели одну или несколько объясняющих переменных, не оказывающих существенного (значимого) влияния на зависимую переменную.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |