Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

5.6. частная корреляция

Выше, в § 3.3, для оценки тесноты связи между переменными был введен выборочный коэффициент линейной корреляции. Если переменные коррелируют друг с другом, то на значении коэффициента корреляции частично сказывается влияние других переменных. В связи с этим часто возникает необходимость исследовать частную корреляцию между переменными при исключении (элиминировании) влияния одной или нескольких переменных.

Выборочным частным коэффициентом корреляции (или просто частным коэффициентом корреляции) между переменными Xt и Xj при фиксированных значениях остальных (р — 2) переменных называется выражение

rij.,2:.p ~   I     J   г> (5.21)

1 Исходные данные и соответствующие расчеты (полностью идентичные приведенным в гл. 2) здесь не приводятся.

 

где qn и qjj — алгебраические дополнения элементов гу и Гц матрицы выборочных коэффициентов корреляции f      П2      -    Лр ^

r2[   1     ... r2p

 

Krpl   rpl   ...   1 J

a ry определяются по формулам (3.18)—(3.20). В частности, в случае трех переменных (я=3) из (5.21) следует, что

1»' /"'У . , ■ (5.22)

 

Поясним полученную формулу (5.22). Предположим, что

ИМееТСЯ обЫЧНаЯ регреССИОННаЯ МОДеЛЬ jc/ = Ро+ Pi*/+ Р2**+є/ и

необходимо оценить корреляцию между зависимой переменной Хі и объясняющей переменной X; при исключении (элиминировании) влияния другой объясняющей переменной Х^ С этой целью найдем уравнения парной регрессии Х( по Х^ (£. = Ь$+ЬХь)

и Xj по А^ (£, =Z?o +bxk), а затем удалим влияние переменной Xfo взяв остатки £х = xt - xt и ех - Xj - Xj. Очевидно, что коэффициент корреляции между остатками ех. и ех  будет отражать

тесноту частной корреляции между переменными Xt и Xj при исключении влияния переменной Х/с. Можно показать, что найденный по формуле (3.18) обычный коэффициент корреляции между остатками ех. и ех равен частному коэффициенту корреляции гул, определенному по формуле (5.22).

Частный коэффициент корреляции а#.і2---/» как и парный коэффициент гд9 может принимать значения от —1 до +1. Кроме того, гу\2...р, вычисленный на основе выборки объема л, имеет такое же распределение, как и гу, вычисленный по п'=п—р+2 наблюдениям. Поэтому значимость частного коэффициента корреляции ГуА2---р оценивают так же, как и обычного коэффициента корреляции г (см. § 3.6), но при этом полагают п'=п—р+2.

 

► Пример 5.5. Для исследования зависимости между производительностью труда (Х)9 возрастом (ХЦ и производственным стажем (A3) была произведена выборка из 100 рабочих одной и той же специальности. Вычисленные парные коэффициенты корреляции оказались значимыми и составили: ^2=0,20; Г] з=0,41; Г2з=0,82. Вычислить частные коэффициенты корреляции и оценить их значимость на уровне а=0,05.

Решение. По формуле (5.22) частные коэффициенты корреляции

= -0,26

и аналогично гіз.2=0,44; а-2зл=0,83.

Оценим значимость г2з. Значение статистики /-критерия по (3.46) при я'=я—/?+2= 100—3+2=99 (по абсолютной величине)

больше табличного /Ь,95;97=1>99 (см. табл. II приложений), следовательно, частный коэффициент корреляции Г12.3 значим. Аналогично устанавливается значимость других частных коэффициентов корреляции.

Сравнивая частные коэффициенты корреляции ГуК с соответствующими парными коэффициентами, видим, что за счет «очищения связи» наибольшему изменению подвергся коэффициент корреляции между пгюизвддительностъю труда (Х) и возрастом (Х2) рабочих (изменилось не только его значение, но и знак: г12=0,20; Г!2з=—0,26, причем оба эти коэффициента значимы).

Итак, между производительностью труда (Х) и возрастом (Х2) рабочих существует прямая корреляционная связь (ri2=0,20). Если же устранить (элиминировать) влияние переменной «производственный стаж» (A3), то в чистом виде производительность труда (Х) находится в обратной по направлению (и опять же слабой по тесноте) связи с возрастом рабочих (Х2) (а*і2.з=~0526). Это вполне объяснимо, если рассматривать возраст только как показатель работоспособности организма на определенном этапе его жизнедеятельности. Подобным образом могут быть интерпретированы и другие частные коэффициенты корреляции. ►

 

Упражнения

5.6. Имеются следующие данные о потреблении некоторого продукта Y (усл. ед.) в зависимости от уровня урбанизации (доли городского населения) Х, относительного образовательного уровня Xi и относительного заработка Х$ для девяти географических районов:

 

/

(номер района)

хп

хп

 

Уі

/

(номер района)

хп

хп

xq

Уі

1

42,2

11,2

31,9

167,1

6

44,5

10,8

8,5

174,6

2

48,6

10,6

13,2

174,4

7

39,1

10,7

24,3

163,7

3

42,6

10,6

28,7

160,8

8

40,1

10,0

18,6

174,5

4

39,0

10,4

26,1

162,0

9

45,9

12,0

20,4

185,7

5

34,7

9,3

30,1

140,8

 

 

 

 

 

Средние значения jq =41,85; х2 =10,62; jc3 = 24,42; у =167,07.

Стандартные отклонения     = 4,176; sX2 = 0,7463; sx = 7,928;

^=12,645.

Корреляционная матрица:

 

 

Хх

х2

Хз

Y

 

1

0,684

-0,616

0,802

х2

0,684

1

-0,173

0,770

 

-0,616

-0,173

1

-0,629

Y

0,802

0,770

-0,629

1

Используя пошаговую процедуру отбора наиболее информативных объясняющих переменных, определить подходящую регрессионную модель, исключив при этом мультиколлинеарность. Оценить значимость коэффициентов регрессии полученной модели по /-критерию.

5.7. Имеются следующие данные о весе Y (в фунтах) и возрасте Х(в неделях) 13 индеек, выращенных в областях А, В, С.

 

і

Хі

Уі

Область происхождения

і

Хі

Уі

Область происхождения

1

28

12,3

А

8

26

11,8

В

2

20

8,9

А

9

21

11,5

С

3

32

15,1

А

10

27

14,2

С

4

22

10,4

А

11

29

15,4

с

5

29

13,1

В

12

23

13,1

с

6

27

12,4

В

13

25

13,8

с

7

28

13,2

В

 

 

 

 

Есть основание полагать, что на вес индеек оказывает влияние не только их возраст, но и область происхождения. Необходимо:

а)         найти уравнение парной регрессии Y по X и оценить его

значимость;

б)         введя соответствующие фиктивные переменные, найти

общее уравнение множественной регрессии Y по всем объяс-

няющим переменным (включая фиктивные);

в)         оценить значимость общего уравнения множественной

регрессии по ^-критерию и значимость его коэффициентов по

/-критерию на уровне а=0,05;

г)         проследить за изменением скорректированного коэффи-

циента детерминации при переходе от парной к множественной

регрессии;

д)         оценить на уровне а=0,05 значимость различия между

свободными членами уравнений, получаемых из общего уравне-

ния множественной регрессии У для каждой области.

При построении линейной зависимости расходов на одежду от располагаемого дохода по выборке для 10 женщин получены следующие суммы квадратов и произведений наблюдений:

10        10        10        10 10

5> = 1Ю, £   = 1540 , 2>* = 60, 2>іЛ = 828, 5>і2 = 448.

1=1     1=1     1=1     1=1 1=1

Аналогичные вычисления сумм по выборке из 5 мужчин дали: fx, =35, fx? =325, Іл=15, І>,>> =140, £>f =61.

і=1       /=1       /=1       1=1 /=1

По общей (объединенной) выборке оценена регрессия с использованием фиктивной переменной Z (Z= 1 для мужчины и Z= 0 для женщины), которая имеет вид:

у = -0,06 + 0,438* + 0,46z + 0,072(zx).

На уровне значимости а=0,05 проверить гипотезу о том, что функция потребления одна и та же для мужчин и женщин, если выполнены все предпосылки классической нормальной линейной регрессии.

Решить задачу 5.8, используя критерий Г. Чоу.

5.10.   С целью исследования влияния факторов Х — средне-

месячного количества профилактических наладок автоматиче-

ской линии и Хг — среднемесячного числа обрывов нити на по-

казатель Y — среднемесячную характеристику качества ткани (в

баллах) по данным 37 предприятий легкой промышленности

были вычислены парные коэффициенты корреляции: гу =0,105,

/3,2=0,024 и гі2=0,996. Определить частные коэффициенты кор-

реляции гу2и /3,2.1 и оценить их значимость на 5\%-ном уровне.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |