Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

7.1. обобщенная линейная модель множественной регрессии

Обобщенная линейная модель множественной регрессии (Generalized Linear Multiple Regression model)

У = Хр + є, (7.1)

в которой переменные и параметры определены так же, как в § 4.1, описывается следующей системой соотношений и условий:

є — случайный вектор; X — неслучайная (детерминированная) матрица;

М(є)=(Ц

3.         ]Ге =А/(єє') = 0, где Q — положительно определенная

матрица;

4.         г(Х) = р+Кп,

где р — число объясняющих переменных; п — число наблюдений.

Сравнивая обобщенную модель с классической (§ 4.2), видим, что она отличается от классической только видом ковариационной   матрицы: вместо  ^ е=а2Еп для

классической модели имеем Хє=^ обобщенной. Это означает, что в отличие от классической, в обобщенной модели ковариации и дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными. В этом состоит суть обобщения регрессионной модели.

Для оценки параметров модели (7.1) можно применить обычный метод наименьших квадратов.

Оценка Ь = {ХХУ1ХГ, полученная ранее и определенная соотношением (4.8), остается справедливой и в случае обобщенной модели. Оценка Ъ по-прежнему несмещенная (доказательство точно такое же, как приведенное в § 4.2) и состоятельная.

Однако полученная ранее формула для ковариационной матрицы вектора оценок У  оказывается неприемлемой в условиях

обобщенной модели.

Действительно, учитывая (4.15), получим для обобщенной модели

X ^ = (х'х)-1Х'М{єє')х{Х'Х)-1 = (xXYlX'QX(XX)- (7.2) в то время как для классической модели имели по формуле (4.16)

\%ь = а2(ХХу. (7.3) Найдем математическое ожидание остаточной суммы квадратов

п

Y,ef=efe. Используя преобразования, аналогичные приведенні

ным в § 4.4, можно показать1, что для обобщенной модели

1 См., например, [1] или [13].

М(е'е) = ЩЕп - Х(Х*Х)-Х X') Q], (7.4)

т. е. в соответствии с (4.21)

е е

M(s2) = M

(7.5)

ЩЕ„-Х(Х'Х)-]Х')П]

■р-1

п-р-

где символ tr означает след соответствующей матрицы (§ 11.2).

Следовательно, если в качестве оценки ковариационной матрицы У    в соотношении (7.3) заменить а2 на я2, т. е. взять

матрицу У = s2(X'X)~], то ее математическое ожидание

М{±Л = М{3^ХХГ = tT[(E" - №)"'J')ni {хху (7.6)

V    J   n- p-l

в общем случае не совпадает с ковариационной матрицей, определенной соотношением (7.2). Это означает, что обычный метод наименьших квадратов в обобщенной линейной регрессионной модели дает смещенную оценку ковариационной матрицы У    вектора оценок Ъ.

Оценка Ъ, определенная по (4.8), хотя и будет состоятельной, но не будет оптимальной в смысле теоремы Гаусса—Маркова. Для получения наиболее эффективной оценки нужно использовать другую оценку, получаемую так называемым обобщенным методом наименьших квадратов.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |