Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

7.3. гетероскедастичность пространственной выборки

Как уже отмечалось выше, равенство дисперсий возмущений (ошибок) регрессиии є/ (гомоскедастичность) является существенным условием линейной классической регрессионной модели множественной регрессии, записываемым в виде ]Г£=а2£„.

Однако на практике это условие нередко нарушается, и мы имеем дело с гетероскедастичностью модели.

Предположим, что необходимо изучить зависимость размера оплаты труда Y (в усл. ден. ед.) сотрудников фирмы от разряда X, принимающего значения от 1 до 10. Получены п = 100 пар наблюдений (де/, у}). График зависимости переменной У от номеров наблюдений, упорядоченных по возрастанию уровня значений объясняющей переменной X, показан на рис. 7.1.

 

Из рис. 7.1 отчетливо видно, что вариация размера оплаты труда сотрудников высоких уровней значительно превосходит его вариацию для сотрудников низких уровней. Следовательно, мы вправе предположить, что регрессионная модель получится гетероскедастичной, и условие ^^а2^ не выполняется.

Мы еще вернемся к этому примеру, а пока обсудим, к каким последствиям приводит гетероскедастичность.

Предположим, что для оценки регрессионной модели Y по Х,..9 Хп мы применили обычный метод наименьших квадратов и нашли оценку Ъ параметра (5 по формуле (4.8). Тогда с учетом (4.12) будем иметь

Ь = {ХХУ1 ХГ = Р + {ХХУ1 Х'г. (7.16)

Как было отмечено в § 7.1, Ъ — несмещенная и состоятельная оценка параметра р для обобщенной линейной модели множественной регрессии; следовательно, и в частном случае, когда модель гетероскедастична, оценка b — несмещенная и состоятельная. Эти свойства оценки Ъ легко усматриваются из (7.16), если учесть, что М(е)=0.

Таким образом, для определения неизвестных (прогнозных) значений зависимой переменной обычный метод наименьших квадратов, вообще говоря, применим и для гетероскедастичной модели.

Так, в нашем примере изучения зависимости размера оплаты У от разряда X сотрудников фирмы регрессионная модель Y по X примет вид:

у = 225,2 + 44,99*,

которая вполне может быть использована для практических приложений.

Однако результаты, связанные с анализом точности модели, оценкой значимости и построением интервальных оценок ее коэффициентов, оказываются непригодными.

В самом деле, при построении t- и .F-статистик, которые служат инструментом для проверки (тестирования) гипотез, существенное значение имеют оценки дисперсий и ковариаций параметров Р/ (/= 1,..., п), т. е. ковариационная матрица ^ь. Между

тем, если модель не является классической, т. е. ковариационная матрица вектора возмущений £ fi = Q * о2Еп, то, как показано в

§7.1,  ковариационная  матрица  вектора оценок параметров

существенно отличается от полученной для классической модели ^ь=&*(ХХУ1 (7.3). А значит, использование матрицы ]Г ь (7.2) для оценки точности регрессионной модели (7.1) может привести к неверным выводам.

Напомним также (§ 7.1), что оценка Ъ (7.16), оставаясь несмещенной и состоятельной, не будет оптимальной в смысле теоремы Гаусса—Маркова, т. е. наиболее эффективной. Это означает, что при небольших выборках мы рискуем получить оценку Ъ, существенно отличающуюся от истинного параметра р.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |