Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

7.11. доступный (обобщенный) метод наименьших квадратов

В § 7.1 рассматривалась обобщенная модель множественной регрессии

7= Хр+є. (7.46)

В случае, когда ковариационная матрица £ = Q = a2Q0 известна, как показано в § 7.2, наилучшей линейной несмещенной оценкой вектора р является оценка обобщенного метода наименьших квадратов (совпадающая с оценкой максимального правдоподобия)

b* = (X'Cl-lXylX'Cl-lY. (7.47)

Эта оценка получается из условия минимизации обобщенного критерия (7.14):

S=(Y-Xb)'Q -Y-Xb).

При рассмотрении нормальной обобщенной модели регрессии, т. е. в случае нормального закона распределения возмущений, т. е. є - N„(0;a2Q0), оценка b* также распределена нормально:

**^(P;a2(rW).

На практике матрица возмущений Q почти никогда неизвестна, и, как уже было отмечено в § 7.2, оценить ее я(я+1)/3 параметров по п наблюдениям не представляется возможным.

Предположим, что задана структура матрицы Q (и соответственно Qq), т. е. форма ее функциональной зависимости от относительно небольшого числа параметров Oi, О2, 0W, т. е. матрица ]Г ^ = o2Q.0(Ql9Q2-->Qm)- Например, в модели с автокоррелированными остатками (структура матрицы У определяется двумя параметрами а2 и 9і=р, так что матрица Qq имеет вид (см. § 7.10):

( 1     р   ... р"-1}

[р»-* р»~2 ...    1 ) где р — неизвестный параметр, который необходимо оценить. Идея оценки матрицы ]Г = a2Q0  состоит в следующем.

Вначале по исходным наблюдениям находят состоятельные оценки параметров 9=(9ь О2,..., 9Л)'. Затем получают оценку параметра а2. В соответствии с (4.21) такая оценка для классической модели находится делением минимальной остаточной сум-

п

мы квадратов Yjef ~е'е на число степеней свободы (п~ р— 1). Для обобщенной модели соответствующая оценка

 

Подпись: n- p-lg'Qo'g _(Y-Xb*)n-0l{Y-Xb*)

n-p-l

(7.48)

 

Зная s}, вычисляем матрицу Хє = s?Q0. Доказано, что при

некоторых достаточно общих условиях использование полученных оценок в основных формулах обобщенного метода наименьших квадратов вместо неизвестных истинных значений а2 и ]Г = <j2Q0 даст также состоятельные оценки параметра р и ко-1

вариационной матрицы У о . Описанный метод оценивания нар

зывается доступным (или практически реализуемым) обобщенным методом наименьших квадратов.

Таким образом, оценкой доступного обобщенного метода наименьших квадратов вектора р есть

(7.49)

Применяя метод максимального правдоподобия (см. § 2.7, 3.4) для оценки нормальной обобщенной линейной модели регрессии, можно показать, что оценки максимального правдоподобия Р,0,а2 находятся из системы уравнений правдоподобия:

 

 

где е = Y-Х$ , Cj =

 

$ = (X'CltlX) -lX'CljlY9

a2 = —e'QQe, n

e'cie     1   / a            . 1

—J— = ^tr[cjn09          j = l9...9m9

eil0le n

 

де,

(7.50) (7.51) (7.52)

Анализируя систему (7.50)—(7.52), видим, что оценки Р и а2 метода максимального правдоподобия совпадают с оценками Ь* и si обобщенного метода наименьших квадратов (правда, если

Р = Ь*, то ст2 «si с точностью до асимптотически устранимого смещения).

Для решения системы (7.50) — (7.52) иногда удается найти точное решение, однако чаще приходится прибегать к итерационной процедуре, например, двухшаговой.

1-         й  шаг. Вначале находят оценку метода максимального

правдоподобия $0=(ХХУ1Х'Ї , вычисляют остатки е{ = y - Х$х

и решают полученную систему (7.50) — (7.52) при заданных остатках.

Находят т*1 вектор в{ и матрицу Q0(1) =fi0^(i))-

2-         й шаг. Находят оценку вектора р по формуле (7.49):

^2 = (x,Qq1x)-1x,Qq1y.

Полученные таким образом оценки $(2) при некоторых, весьма

слабых предположениях (как, например, состоятельность оценок 6) будут асимптотически (при большом п) эквивалентны оценкам метода максимального правдоподобия, а значит, будут асимптотически эффективны в широком классе случаев. Описанная двухшаговая итерационная процедура была фактически реализована в процедуре Кохрейна—Оркатта (§ 7.10).

 

Упражнения

7.7. В таблице приведены данные по 18 наблюдениям модели пространственной выборки:

 

/

Xi

е?

і

Xi

ef

1

21,3

2,3

10

71,5

23,8

2

22,6

5,6

11

75,7

45,7

3

32,7

12,8

12

76,0

34,7

4

41,9

10,1

13

78,9

56,9

5

43,8

14,6

14

79,8

56,8

6

49,7

13,9

15

80,7

49,8

7

56,9

24,0

16

80,8

58,9

8

59,7

21,9

17

96,9

87,8

9

67,8

19,7

18

97,0

87,5

 

Предполагая, что ошибки регрессии представляют собой нормально распределенные случайные величины, проверить гипотезу о гомоскедастичности, используя тест Голдфелда— Квандта.

При оценивании модели пространственной выборки обычным методом наименьших квадратов получено уравнение:

у = 3 + 0,6*! -1,2х2.

Уравнение регрессии квадратов остатков на квадраты регрес-соров имеет вид:

ё2 = 2 + 0,3*2 + 01х2. Я2=02,

Зная, что объем пространственной выборки я=200, проверить гипотезу Уайта о гомоскедастичности модели.

При оценивании модели пространственной выборки с помощью обычного метода наименьших квадратов получено следующее уравнение:

j> = 12 + 3,43jc! -0,45л:2;  d = l,2.

(0,1) (0,4) (0,1) При осуществлении регрессии квадратов остатков на квадраты регрессоров получено уравнение вида:

ё2 =4 + 2*2 + 0,4*22.

(0,7) (0,3)

Объем выборки «=3000. С какими из перечисленных ниже выводов следует согласиться:

а)         полученные значения коэффициентов модели с большой

вероятностью близки к истинным;

б)         регрессор Х2 может быть незначимым;

в)         так как значение статистики Дарбина—Уотсона d далеко

от двух, следует устранить автокорреляцию остатков?

7.10.   При оценивании модели временного ряда получены

следующие результаты.

Уравнение модели имеет вид:

й =2-1,2/; </ = 1,9.

(0,7)

С какими из перечисленных ниже выводов следует согласиться:

а)         так как значение статистики Дарбина—Уотсона d близко к

двум, автокорреляция остатков отсутствует;

б)         коэффициент модели при / значим;

в)         если объем выборки достаточно велик, значение коэффи-

циента при / в любом случае с большой вероятностью

близко к истинному;

г) применение теста Бреуша—Годфри может выявить автокорреляцию остатков между отдаленными наблюдениями?

При оценивании модели временного ряда методом наименьших квадратов получены следующие результаты:

j>, =12-0,2*; я? = 1,8.

(0,01)

Известно, что количество наблюдений я=150. С помощью теста Льюинга—Бокса проверить гипотезу об отсутствии автокорреляции первого порядка.

Применение теста Льюинга—Бокса дает следующие результаты:

 

 

'част (т)

QP

P(Q>QP)

0,34

0,33

21,45

0,00

0,12

0,11

24,12

0,00

0,01

0,00

24,13

0,00

0,00

0,00

24,13

0,00

Ряд остатков идентифицируется с помощью модели ARM А (/?, q). Какие значения р и q целесообразно выбрать на основе полученных результатов тестирования?

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |