Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

8.10. garch-morenn

Здесь мы отметим еще один тип моделей временных рядов со специфической зависимостью ошибок регрессии.

(8.59)

(8.60) (8.61)

Пусть xt и yt — стационарные временные ряды, t= 1,..., п. Рассмотрим регрессионную модель

yt =рх,+Є, , удовлетворяющую следующим условиям:

Мє,_,(є,)=0;

 

где Дм(є/)=а0+а1а/2_1,

 

Очевидно, условие (8.61) означает, что большее отклонение от объясненного (прогнозируемого) значения в предыдущем наблюдении приводит к большей вероятности значительного отклонения также и в последующем наблюдении.

Исследования показывают, что подобные явления часто наблюдаются аналитиками финансового рынка: периоды «затишья», когда финансовые показатели лишь незначительно колеблются вокруг среднего, чередуются с периодами «всплеска», характеризующимися широким размахом значений тех же показателей. На рис. 8.3 приведен примерный график подобных наблюдений.

Обратимся к условиям (8.60), (8.61). Из (8.60) следует, что Кє/-ьє/)=0, т* е* автокорреляция остатков отсутствует. Из этого же условия следует, что

/>(е/) = А/(Ам(е/)),

или     /)(є,) = a0 + с^є2., .

Если   £>(є,) = -^-,

1-aj

то        я(є,) = £>(є,_,)

и безусловная дисперсия ошибок регрессии постоянна, т. е. модель гомоскедастична.

 

Уг

•           • • •

• • •

•           • •    •      • •

•           • •

•           • •

 

1          ►/

о

Рис. 8.3

В то же время соотношение (8.61) означает, что имеет место условная гетероскедастынность ошибок регрессии. Модель, удовлетворяющая условиям (8.60), (8.61), называется авторегрессионной условно гетероскедастинной моделью, или ARCH-моделью (AutoRegressive Conditional Heteroskedastic model).

Эта модель допускает обобщения. Если вместо условия (8.61) вводится условие

А,_! ...*,.р (Є' ) = a0 + al£?-l + - + ар*1р,

то модель называется ARCH(p) (арч-модель р-то порядка). Рассматриваются также более общие формы зависимости условной дисперсии ошибок, а именно зависимости следующего вида:

(          р q

D*t-i ~*t-P Vе') = ao + Z a/e?-/ + Z Y/a?-/ •

/=і /=i

Соответствующая модель называется обобщенной авторегрессионной условно гетероскедастинной моделью (Generalited AutoRe-gressive Conditional Heteroskedastic model) порядков p и q, или GARCH (p, q).

Как же определить, имеется ли в модели условная гетероске-дастичность? Как и в случае проверки гипотезы об отсутствии обычной гетероскедастичности, вместо ненаблюдаемых величин — ошибок регрессии — рассматриваются остатки. К модели (8.59) применяется обычный метод наименьших квадратов, выбирается порядок р и рассматривается регрессия

е} =ao+a;e2_j + ... + а'реД.р.

Если при этом гипотеза о незначимости регрессии отвергается, то можно считать, что имеется Л/?С#(/?)-модель.

Модели ARCH и GARCH удовлетворяют всем условиям классической модели, и метод наименьших квадратов позволяет получить оптимальные линейные оценки. В то же время можно получить более эффективные нелинейные оценки методом максимального правдоподобия. В отличие от модели с независимыми нормально распределенными ошибками регрессии в ARCH-модели оценки максимального правдоподобия отличаются от оценок, полученных методом наименьших квадратов.

Например, для ARCH{ 1)-модели логарифмическая функция правдоподобия имеет вид:

 

2 ,=i     2 ы a0 + OLef_x

Ее минимизация с получением соответствующих оценок называется оцениванием модели методом ARCH. Соответствующая процедура присутствует в эконометрических пакетах. При ее компьютерной реализации требуется указать порядок модели.

Использование ARCH- и <24/?С7/-моделей оказывается в ряде случаев экономико-математического моделирования (например, процессов инфляции и внешней торговли, механизмов формирования нормы процента и т. п.) более адекватным действительности, что позволяет строить более эффективные оценки параметров рассматриваемых моделей по сравнению с оценками, полученными обычным и даже обобщенным методом наименьших квадратов.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |